Upload
clara-agustin-stephani
View
27
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Pendugaan Parameter
Citation preview
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter setelah proses identifikasi awal digunakan untuk
menaksir parameter dari distribusi yang terpilih pada proses identifikasi awal.
Parameter dari distribusi hanya dapat diduga (diestimasi) dan tidak dapat
secara tepat diketahui karena tidak ada suatu metodepun yang dapat
mengetahui dengan tepat parameter suatu distribusi berdasarkan data sampel
yang diambil. Metode pendugaan parameter yang sering digunakan adalah
Maximum Likelihood Estimator (MLE).
Secara umum, untuk menemukan MLE dari setiap distribusi teoritis, harus
mencari nilai maksimum dari likelihood function berikut yang mengandung
sejumlah parameter θi.....θn yang tidak diketahui
L (θi …,θn )=∏i=1
n
f (ti ;θ)
Tujuan MLE adalah menemukan nilai parameter θi.....θn yang dapat
memberikan likelihood function yang sebesar mungkin untuk setiap nilai
t1,t2,...., tn. Karena bentuk perkalian dari likelihood function, umumnya lebih
mudah untuk memecahkan logaritma dari likelihood function. Nilai maksimum
likelihood function diperoleh dengan mengambil turunan pertama dari logaritma
likelihood function = 0, yaitu :
∂ ln L(θ i ..... θ n)∂ θ i
=0 i=1,2,...n
1. Weibull MLE
Adapun turunan pertama likelihood function untuk distribusi Weibull adalah
sebagai berikut :
g (m )=∑i=1
n
tim ln t i
∑i=1
n
t im
− 1m
−1n
ln ti=0
Tujuan MLE adalah mendapatkan nilai m dari persamaan di atas.
Permasalahannya adalah persamaan di atas tidak dapat dipecahkan secara
matematis. Maka cara altematifnya adalah menggunakan metode Newton
Rhapson untuk memecahkan persamaan non-linear yaitu dengan
menggunakan persamaan:
m j+1=m j−g(m j)
g(m j+1) dimana g’(x) = dg(x )
dx
yang harus dipecahkan secara iterasi sampai mencapai nilai mj yang
maksimum (atau nilai g(m) yang mendekati nol).
Maka terlebih dahulu mencari turunan pertama dari g(m) yaitu
g' (m )=(∑i=1
n
tim ln2 ti)(∑
i=1
n
t im)−¿¿
Kemudian nilai MLE untuk θ didapat dari persamaan berikut :
θ={1n [∑
i=1
n
t im]}1/m
2. Normal MLE
Adapun nilai MLE untuk parameter dari distribusi normal adalah sebagai
berikut :
μ = x
σ 2 = (n−1)s2
n
3. Lognormal MLE
Adapun nilai MLE untuk parameter dari distribusi lognormal adalah sebagai
berikut :
μ=∑i=1
n ln t i
n
tmed=e μ
s=√∑i=1
n
¿¿¿¿