Universidad Autónoma de Yucatán.

Campus de ciencias exactas e ingenierías.

Facultad de ingeniería.

Reporte de Proyecto

Péndulo de Lissajous

Física 3

Profesor: Ing. David Martínez

Alumnos:

Jiménez Laines Iván Antonio

Pat Abán Paola Janet

Rodríguez Morales Joshua Miguel

4 de Diciembre de 2014

Introducción.

El tiempo que tarda un péndulo en completar una oscilación, su periodo, depende

de su longitud. Un péndulo corto tiene periodo breve y un péndulo largo tiene

periodo grande. Es posible hacer un péndulo cuyo periodo sea largo y corto al

mismo tiempo y que oscile en dos direcciones perpendiculares a la vez. El

movimiento combinado de este péndulo forma unas figuras muy interesantes

llamadas figuras de Lissajous, en honor al científico que las estudió.

Marco Teórico

El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula

de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y

sin peso.

Un péndulo compuesto, como se

muestra en la figura, oscila con 2

diferentes periodos, uno más grande

que el otro, en direcciones

perpendiculares, el movimiento de este

péndulo no puede ser descrito con las

formulaciones que se usaron para

describir un péndulo simple, ya que es

un movimiento armónico complejo bidimensional (oscila sobre el plano xy), sino

que es necesario utilizar herramientas más avanzadas de mecánica clásica. El

péndulo que se muestra a continuación se conoce como Péndulo de Lissajous, por

las figuras que forma su movimiento.

En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de

Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones

paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos

simples en direcciones perpendiculares:

Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después,

con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous.

En mecánica clásica, la trayectoria de un movimiento armónico

complejo bidimensional es una curva de Lissajous.

Materiales

-Hilo

-Embudo o similar

-Madera

-Hojas o cartulina

Metodología

El péndulo de Lissajous tiene dos periodos

Este péndulo tiene una cuerda con forma de Y. Si consideramos la longitud total

L1, el péndulo tiene un periodo largo, pero sólo puede oscilar en una dirección, de

izquierda a derecha (viéndolo de frente). Establecemos esa como la dirección x.

La parte de la cuerda simple, de longitud L2, sí puede oscilar hacia adelante y

hacia atrás, digamos entonces que esa es la dirección y. En esa dirección el

periodo es más breve que en la otra pues L2 es menor a L1.

Así el péndulo tiene dos periodos, uno largo en la dirección x, y uno corto en la

dirección y.

El trazo que dejará el péndulo es interesante si estos dos

periodos tienen una razón entre sí que sea de números

enteros. Por ejemplo, si el periodo largo es doble del corto, la

razón es 2:1 y los trazos correspondientes son los de la

imagen. El péndulo se construye tomando embudo o similar,

de manera tal que pueda dejar salir un material que sirva para

dibujar el trazo, ya sea pintura o arena y colgándolo de una cuerda. En el fondo

del embudo se hace un agujero de 1 o 2 mm de diámetro. Se llena de pintura o

arena. Es importante que la amplitud inicial del péndulo sea lo suficientemente

grande para que los trazos de arena salgan finos y la figura se observe mejor.

Cambiando la distancia entre los nudos se consiguen figuras diferentes.

Evidencias.

Conclusiones

Para el “péndulo dibujante”, conforme la relación entre los periodos va

cambiando, también lo hace el trazado de las figuras, que son básicamente las

gráficas del movimiento armónico del péndulo, las ecuaciones que describen el

movimiento del mismo se pueden encontrar utilizando mecánica clásica, pero

para los objetivos del curso, ese tema no se tocara aquí. También vale la pena

mencionar que las “figuras de Lissajous” son observadas en señales que pueden

ser vistas en osciloscopios.