PENENTUAN KOMPENSASI KARYAWAN DALAM BENTUK OPSI

SAHAM MODEL VERR

(vesting period, exit rate, reload, reset)

Rudianto ArtionoUniversitas Negeri Surabaya

rudianto_82@yahoo.com

Opsi Saham Karyawan (OSK) merupakan salah satu bentuk kompensasi yang dapat diberikan perusahaan pada karyawannya. Opsi ini memberikan hak kepada karyawan untuk membeli sebagian saham perusahaan dalam suatu periode tertentu di masa mendatang dengan harga yang telah ditentukan pada saat opsi tersebut diberikan. Dalam pemberian OSK terdapat fitur-fitur yang dapat mengakomodasi kepentingan perusahaan serta perilaku penerima opsi tersebut. Dalam penentuan OSK model VERR, fitur yang digunakan adalah: 1) Fitur vesting period yaitu fitur masa tunggu untuk dapat dilaksanakan exercise terhadap opsi yang dimiliki, 2) Fitur exit rate yaitu fitur yang memperhatikan kemungkinan datangnya employment shock yang mengakibatkan karyawan penerima OSK keluar dari perusahaan, 3) Fitur reload yaitu fitur yang memberikan opsi baru setelah dilakukan excercise terhadap opsi yang telah dimiliki sebelumnya, 4) Fitur reset yaitu fitur untuk melakukan pengesetan ulang terhadap syarat-syarat yang berlaku dalam OSK jika saham dalam keadaan out of the money.

Kata kunci: Opsi Saham Karyawan, Martingale, Persamaan Difusi, Metode Image

A. Pendahuluan

Akhir-akhir ini beberapa perusahaan di Indonesia mulai mengembangkan

sistem pemberian kompensasi kepada karyawannya. Kompensasi yang diberikan

tidak hanya berupa kompensasi tunai seperti pemberian gaji dan bonus, tetapi

mulai dikembangkan pula pemberian kompensasi non tunai seperti

pengikutsertaan dalam program pensiun, pengikutsertaan program asuransi dan

pemberian opsi saham karyawan.

Pemberian opsi saham karyawan (OSK) memberikan hak kepada

karyawan untuk membeli sebagian saham perusahaan dalam suatu periode tertentu

di masa mendatang dengan harga yang telah ditentukan pada saat opsi tersebut

diberikan. Dengan adanya pemberian OSK ini, diharapkan karyawan dapat

menumbuhkan rasa memiliki terhadap perusahaan sehingga secara tidak langsung

dapat menumbuhkan rasa tanggung jawab sekaligus semangat kerja pada

karyawan untuk turut serta memajukan perusahaan.

Penerima OSK dalam suatu perusahaan, menurut Faoso (2000), dapat

dilakukan secara menyeluruh kepada semua karyawan tanpa proses seleksi, atau

dapat pula dilakukan melalui proses seleksi berdasarkan jabatannya maupun

kriteria-kriteria tertentu yang lebih kualitatif, tergantung pada tujuan diberikannya

OSK. Bagi perusahaan, OSK ini dapat pula digunakan sebagai alat untuk

menahan karyawan unggulannya agar tidak meninggalkan perusahaan.

Pemberian OSK yang sangat bergantung pada kepentingan perusahaan dan

perilaku karyawan dalam perusahaan tersebut mengakibatkan penghitungan harga

OSK sedikit berbeda dengan penghitungan harga opsi pada umumnya. Dalam

penentuan harga OSK terdapat fitur-fitur yang dapat mengakomodasi kepentingan

perusahaan seperti misalnya adanya fitur vesting period (masa menunggu). Fitur

ini dapat digunakan oleh perusahaan yang menginginkan karyawannya tetap

bekerja di perusahaan untuk jangka waktu tertentu. Selain itu, masih terdapat pula

beberapa fitur lain yang dapat digunakan oleh perusahaan.

Dalam makalah ini, akan dibahas tentang penentuan harga OSK yang

dalam penghitungannya memperhatikan fitur-fitur sebagai berikut:

1 Vesting period, artinya penerima OSK dapat melakukan exercise setelah

melewati periode waktu tertentu.

2 Exit rate, artinya penentuan harga OSK memperhatikan kemungkinan

karyawan yang menerima OSK keluar dari perusahaan baik secara sukarela

maupun karena PHK.

3 Reload, artinya penerima OSK yang telah melakukan exercise terhadap

opsinya, dapat menerima OSK yang baru dengan proporsi tertentu.

4 Reset, artinya OSK yang telah melewati masa tunggu namun tidak dilakukan

excercise karena dalam keadaan out of the money maka dapat dilakukan

pengaturan kembali tentang kesepakatan yang ada dalam kontrak OSK.

Selanjutnya, fitur-fitur di atas dijadikan dalam suatu model penentuan

harga OSK yang dinamakan dengan model VERR (vesting period, exit rate,

reload, reset). Dalam penentuan harga OSK model VERR, terlebih dahulu

diperlukan bentuk Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang sesuai dengan

model. Selanjutnya, dari bentuk PDP yang diperoleh akan dicari solusi

analitiknya.

Agar tidak terjadi pendefinisian yang berbeda, berikut ini diberikan

beberapa batasan yang digunakan dalam makalah ini, antara lain:

1 OSK setelah vesting period merupakan opsi yang berjenis American Call

Perpetual

2 OSK pada saat vesting period merupakan opsi yang berjenis European Call

3 Employment shock yang mengakibatkan exit rate dimodelkan mengikuti

proses poisson

4 Penerima opsi diperbolehkan melakukan hedging opsinya sehingga untuk

menurunkan persamaan diferensial dari fungsi harga saham dapat

menggunakan metode standar risk-neutral pricing.

5 Penghitungan OSK mengikuti model pergerakan harga saham yang

memberikan deviden.

6 Penerima opsi saham karyawan tidak dapat menjual opsinya kepada pihak

lain.

7 Penerbitan OSK tidak memperhatikan efek dilution.

B. Opsi Saham Karyawan Model VERR

B.1. Opsi Saham Karyawan

OSK termasuk ke dalam opsi jenis call, artinya penerima OSK mempunyai

hak, bukan kewajiban, untuk membeli sejumlah saham perusahaan dengan harga

yang telah ditetapkan (strike price) pada saat opsi diberikan dan dengan masa

jatuh tempo (maturity time) yang telah ditetapkan pula. Pada saat pemberian OSK,

umumnya strike price telah ditetapkan sama dengan harga saham yang berlaku di

pasar pada saat itu. Sedangkan untuk maturity time, OSK umumnya mempunyai

maturity time yang lebih lama jika dibandingkan dengan maturity time untuk opsi-

opsi yang lain.

Cara-cara yang digunakan untuk menentukan harga OSK berbeda dengan

cara-cara yang digunakan dalam penentuan harga opsi pada umumnya. Hal ini

disebabkan karena adanya fitur-fitur yang berlaku dalam pemberian opsi saham

pada karyawan seperti misalnya:

1. Perusahaan mensyaratkan adanya waktu tunggu bagi penerima OSK untuk

dapat melakukan excercise terhadap opsinya. Waktu tunggu ini bermanfaat

pula untuk menahan karyawan yang telah menerima opsi agar tidak

meninggalkan perusahaan sebelum masa tunggu tersebut berakhir. Waktu

tunggu ini dikenal dikenal dengan istilah vesting period.

2. Perusahaan memberikan batasan kepada penerima OSK untuk tidak menjual

belikan opsinya. Ini dilakukan untuk menghindari keadaan dimana penerima

OSK dapat dengan mudah menerima opsi dan segera menjualnya kembali

ketika penerima OSK tersebut mengundurkan diri dari perusahaan. Hal ini

didasarkan pada asumsi bahwa penerima OSK dapat dengan mudah berhenti

dari pekerjaannya secara tiba-tiba baik secara sukarela maupun karena PHK.

Employment shock pada karyawan dapat terjadi sewaktu-waktu yang

mengakibatkan karyawan keluar dari perusahaan. Proporsi karyawan yang

keluar dari perusahaan persatuan waktu dinyatakan dengan istilah exit rate.

3. Perusahaan dapat memberikan opsi-opsi baru setelah sebagian besar harga

saham perusahaan meningkat, hal ini akan mempengaruhi penerima opsi

untuk segera melakukan excercise terhadap opsinya. Artinya para penerima

OSK yang telah melakukan excercise terhadap opsinya akan mendapatkan

opsi-opsi baru yang disebabkan karena adanya peningkatan harga saham

perusahaan. Opsi baru yang diberikan mempunyai proporsi sepersekian dari

opsi yang dimiliki semula. Pemberian opsi-opsi baru ini dikenal dengan istilah

reloading. Prinsip pemberian reload option adalah jika K menyatakan strike

price dan S menyatakan harga saham maka penerima reload option akan

menerima KS

opsi baru untuk setiap opsi lama yang dimilikinya

4. Jika sebagian besar harga saham perusahaan mengalami penurunan, maka

opsi-opsi yang telah diberikan menjadi kehilangan nilai dan kehilangan

kapasitasnya sebagi insentif. Untuk kondisi seperti ini, perusahaan cenderung

untuk mengeset ulang syarat-syarat dari opsi yang harga kesepakatannya lebih

tinggi dari harga saham yang ada di pasar. Hal ini dikenal dengan istilah

resetting.

Berdasarkan fitur-fitur yang telah dijelaskan tersebut, maka untuk

menentukan harga OSK dilakukan analisis sebagai berikut: ketika opsi diberikan,

strike price K dibuat sama dengan harga saham yang berlaku di pasar pada saat itu

(at the money). Jenis opsi yang digunakan adalah tipe Amerika dan perpetual

artinya dapat dilakukan excercise kapan saja dan mempunyai maturity time yang

lama. Excercise terhadap opsi hanya dapat dilakuakan setelah vesting period

dengan lama T tahun. Jika dilakukan excercise pada saat strike price kurang dari

harga saham, misal pada saat τ ≥ T , maka penerima OSK menerima pembayaran

opsi seperti biasa Sτ−K dengan tambahan ρHKS

opsi baru karena adanya fitur

reload. Opsi baru ini mempunyai strike price baru Sτ , dan vesting period yang

baru selama T tahun. Tetapi, jika harga saham jatuh sampai dengan reset barrier,

lK (0< l<1) pada saat τ<T (saat vesting period) atau τ ≥ T (setelah vesting period)

maka penerima OSK akan mendapatkan ganti ρL opsi baru karena adanya fitur

reset. Opsi baru ini mempunyai strike price l K dengan vesting period yang baru

selama T tahun dan dengan barrier baru pada l2 K . Jika pada saat τ<T(saat vesting

period), penerima OSK keluar dari perusahaan yang banyaknya dinyatakan

dengan λ maka opsi yang dimilikinya tidak bernilai (hangus) tetapi jika penerima

OSK keluar dari perusahaan pada saat τ ≥ T (setelah vesting period) maka

penerima opsi dapat melakukan excercise terhadap opsinya terlebih dahulu,

dengan kondisi strike price lebih besar dari harga saham yang berlaku (in the

money).

Dari fitur-fitur yang ada digabungkan dalam suatu model yang dinamakan

dengan model VERR. Model ini menggabungkan vesting period, exit rate,

reloading, dan resetting yang dinotasikan oleh parameter-parameter T,λ, ρH, dan

ρL.

B.2 Model Pergerakan Harga Saham

Untuk memperoleh harga OSK yang bergantung pada harga saham, maka

terlebih dahulu akan dibahas model pergerakan harga saham. Dengan

mengasumsikan bahwa rata-rata suku bunga r adalah konstan maka model

pergerakan harga saham perusahaan St yang mengikuti Geometric Brownian

Motion dapat dinyatakan sebagai berikut:

d S t

St

=( μ−q ) dt+σd Z t(B .2.1)

dengan q adalah deviden, σ adalah volatilitas, Z adalah gerak Brown standar, dan

μ adalah jumlah return saham yang diharapkan. Dari batasan masalah yang telah

dikemukakan di depan, bahwa penerima OSK diperbolehkan melakukan hedging

terhadap opsinya, maka untuk menurunkan persamaan diferensial dari fungsi

harga saham dapat menggunakan metode standar risk-neutral pricing. Dari

metode ini diperoleh bahwa μ=r, sehingga model pergerakan harga saham dapat

pula dinyatakan sebagai berikut:

d S t

St

=(r−q ) dt +σd Z t(B .2.2)

B.3 Pembatasan Perdagangan OSK

Selanjutnya, karena adanya pembatasan dari perusahaan untuk tidak

memperjual belikan OSK, mengakibatkan harga OSK kurang begitu

menguntungkan bagi penerimanya. Hal ini disebabkan karena penerima OSK

tidak dapat mengambil keuntungan dari penjualan opsi yang diperolehnya tetapi

sebaliknya bagi perusahaan, karena adanya pembatasan ini mengakibatkan

perusahaan harus menanggung biaya yang agak lebih mahal sebagai konsekuensi

dari adanya pembatasan tersebut. Untuk menggabungkan pengaruh tersebut, maka

penerima OSK dianggap sebagai subjek yang sewaktu-waktu dapat keluar dari

perusahaan karena adanya employment shock sehingga pada saat karyawan keluar

dari perusahaan, karyawan tidak bisa menjual opsi yang telah diterimanya.

Employment shock ini dimodelkan mengikuti proses Poisson dengan

hazard rate λ yang secara tidak langsung berarti penerima OSK diharapkan telah

bekerja selama 1λ

tahun pada perusahaan. Ketika penerima merasakan adanya

merasakan adanya employment shock, penerima OSK tidak dapat menjual

opsinya. Penerima OSK dapat melakukan excercise terhadap opsinya, jika sudah

melewati vesting period atau mengorbankannya (opsi hangus). Jika penerima

OSK melakukan excercise terhadap opsinya sesaat setelah vesting period

berakhir, maka penerima OSK tersebut akan kehilangan kesempatan untuk

mendapatkan opsi reloaded yang baru. Employment shock yang mengakibatkan

keluarnya karyawan dari perusahaan mempengaruhi harga opsi dan strategi

melakukan excercise para penerima OSK.

C. Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan

Selanjutnya, penentuan harga OSK dibedakan menjadi 2 daerah waktu

yaitu harga OSK saat vesting period dan harga OSK setelah vesting period. Pada

saat vesting period, harga OSK dinotasikan dengan V (S , t ; K ), dengan S adalah

harga saham, t waktu pada saat vesting period, dan K strike price. Setelah vesting

period, harga OSK dinotasikan dengan C(S;K). Perlu diperhatikan bahwa strike

price dari opsi dapat berubah setelah melewati masa resetting dan reloading.

Setelah vesting period, penerima OSK mempunyai kesempatan untuk

memutuskan kapan saat yang tepat untuk melakukan excercise pada opsi secara

optimal. Menurut Karatzas dan Wang (2000), Strategi optimal dalam melakukan

excercise adalah ketika harga saham S telah mencapai level tertentu, dan level ini

dapat ditentukan dengan menggunakan a smooth-pasting condition.

Ketika di lakukan exercise , penerima OSK akan mendapatkan ρHKS

opsi

baru dengan strike price yang sama dengan harga saham pada saat opsi tersebut

dilakukan excercise. Opsi baru yang diterima, mempunyai vesting period yang

baru pula sehingga opsi baru yang diterima dapat dinyatakan kembali sebagai

V (S , 0 ;S ) dan reset barrier lS, demikian seterusnya.

Dengan memperhatikan perbandingan yang digunakan untuk mendapat

opsi baru karena fitur reload yaitu KS

jika dikalikan dengan sesuatu faktor yang

positif ρH akan menghasilkan harga opsi baru dan reset barrier baru dengan

proporsi yang sama maka untuk menentukan boundary exercise dapat pula

dilakukan dengan cara yang sama yaitu menyatakan sebarang variabel ke dalam

variabel pembanding yaitu K. Dengan cara seperti ini, maka boundary exercise

dapat dinyatakan sebagai hK dengan h>1. Dengan cara ini pula, maka dapat

diperoleh perbandingan antara harga opsi baru V (S , 0; S )dengan strike price S

yang baru adalah D

D=V (S , 0; S )

S(C .1)

Pada gambar 1 diperlihatkan payoff dari OSK berdasarkan 5 kemungkinan

pergerakan harga saham. Pada saat awal diberikan, harga OSK adalah sebesar DK.

kemungkinan pertama, jika harga saham menyentuh reset barrier sehingga

dengan adanya fitur reset mengakibatkan payoff dari OSK adalah DlKρL❑

.

Kemungkinan kedua, jika terjadi employment shock sebelum vesting period ini

mengakibatkan karyawan keluar dari perusahaan, maka payoff dari OSK adalah 0

(hangus). Kemungkinan ketiga, jika dilakukan excercise dengan segera

disebabkan karena adanya employment shock setelah vesting period namun belum

mencapai exercise boundary yang diharapkan maka payoff dari OSK adalah

max (S−K , 0). Kemungkinan keempat, jika dilakukan excercise ketika harga

saham mencapai excercise boundary setelah melewati vesting period atau

kemungkinan kelima dilakukan excercise dengan segera setelah opsi melewati

vesting period dan harga saham telah berada di atas exercise boundary.

Kemungkinan keempat dan kelima memberikan payoff dari OSK adalah

S−K+ DKρH❑

.

vesting period

vested

excercising boundary

reset barrier

Selanjutnya dari payoff yang telah diperoleh, akan ditentukan harga OSK

pada saat awal diberikan. Penentuan harga OSK diperhitungkan melalui 2 daerah

waktu yaitu waktu setelah vesting period dan waktu saat vesting period, dimana

perhitungan saat vesting period bergantung pada hasil yang diperoleh saat

melakukan perhitungan harga OSK setelah vesting period.

C.1 Penentuan Harga OSK Setelah Vesting Period

Penentuan harga OSK setelah vesting period sama seperti penentuan harga

opsi American perpetual dengan tambahan lower barrier untuk reset. Harga OSK

pada saat S ≥ hK , memberikan payoff yang didalamnya disertakan pula reload

option yang baru yaitu:

C ( S , K )=S−K+ρH DK (C .1 .1)

Harga OSK pada saat S=lK yaitu ketika harga saham menyentuh barrier, maka

OSK akan digantikan dengan ρL reset option yang baru yaitu:

C ( lK ;K )=ρL DlK (C .1 .2)

Harga OSK pada saat lK<S<hK diperoleh dari penurunan ekspektasi payoff

harga OSK secara umum:

C ( t , S ; K )=Et , S ¿

τ s adalah stopping time

Untuk mendapatkan bentuk persamaan diferensial dari ekspektasi C ( t , S ; K ) maka

digunakan Discounted Feynman Kac Theorem. Menurut Shreve (2004) prinsip

umum untuk pembuktian dengan menggunakan Discounted Feynman Kac

Gambar 2.4: Diagram payoff dari OSK

Theorem adalah sebagai berikut: a). Menemukan martingale, b). Melakukan

diferensial, c). Menjadikan bentuk ∂ t (drift) sama dengan nol.

Diperoleh persamaan diferensialnya adalah

12

σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S

∂C∂ S

−rC=∂ C∂T

(C .1 .4)

Selanjutnya stopping time untuk OSK setelah vesting period ada 2

kemungkinan yaitu disebabkan karena employment shock atau disebabkan karena

harga saham telah menyentuh level batas yang diinginkan. Sehingga harga OSK

dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

C ( t , S ; K )=Et , S ¿

τ λ adalah stopping time karena employment shock

τ B adalah stopping time karena telah mencapai level batas yang

diinginkan

τ λ∧ τBadalah waktu minimal antara τ λdan τ B

Waktu terjadinya employment shock mengikuti proses poisson

berdistribusi eksponensial sehingga peluang terjadinya adalah sebagai berikut:

P {τ λ∈dt }=λ e− λt dt

Harga OSK yang dipengaruhi oleh employment shock dapat dinyatakan sebagai

berikut:

C p ( S ; K )=∫0

∞

λ e−λt C (t , S ; K ) dt

karena C ( t , S ; K ) memenuhi persamaan (C.1.4) maka C p ( S ; K )dapat diperoleh

dengan cara mengintegralkan persamaan (C.1.4) di kedua ruas

∫0

∞

λ e−λt ((r−q ) S∂C∂ S

+ 12

σ2 S2 ∂2C∂ S2 −rC)dt=∫

0

∞

λ e−λt ∂ C∂T

dt

untuk bentuk integral di ruas kanan, dapat diselesaikan dengan menggunakan

transformasi Laplace Carson. Diperoleh hasil pengintegralannya adalah:

12

σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S

∂C∂ S

−(r+λ )C+λ max ( S−K ,0 )=0(C .1.6)

Harga OSK setelah vesting period memenuhi persamaan diferensial

(C.1.6). Dalam perhitungan selanjutnya untuk mencari solusi persamaan

diferensial tersebut harga OSK C p ( S , K ) dinotasikan dengan C ( S , K ).

C.2 Penentuan Harga OSK Saat Vesting Period

Penentuan harga OSK pada saat vesting period sama seperti penentuan

harga European option dengan harga opsi bergantung ke harga OSK setelah

vesting period yaitu pada saat akhir vesting period

V (S ,T ; K )=C ( S , K )(C .2 .1)

Pada saat mencapai barrier S=lK maka opsi digantikan oleh ρL reload option

yang baru

V ( lK , t ; K )=ρL DlK 0 ≤ t<T (C .2 .2)

Harga OSK pada saat S>lK dan 0≤ t <T diperoleh dari penurunan ekspektasi

harga OSK setelah vesting period tepat pada saat vesting period berakhir yaitu

pada saat T.

Misal V ( t , S ; K ) menyatakan harga OSK pada saat vesting period. Harga

OSK pada saat vesting period didefinisikan sebagai berikut:

V (t , S ; K )=Et , S¿

Jika pada saat vesting period terjadi employment shock yang

mengakibatkan karyawan meninggalkan perusahaan maka OSK dinyatakan

hangus. Sedangkan, jika pada saat vesting period tidak terjadi employment shock

maka harga OSK yang dipengaruhi oleh exit rate yang mengikuti proses poisson

dapat dinyatakan sebagai berikut:

V ( t , S ; K )=Et , S¿

untuk mendapatkan bentuk persamaan diferensial dari ekspektasi V (t , S ; K )

digunakan cara yang sama seperti di atas. Diperoleh persamaan differensial parsial

berikut:

∂ V∂ t

+ 12

σ 2 S2 ∂2V∂ S2 +(r−q ) S ∂ V

∂ S−( λ+r )V =0(C .2.5)

Persamaan diferensial yang diperoleh sama seperti persamaan diferensial standar

Black Scholes kecuali adanya tambahan bentuk – λV yang menyatakan adanya

pembatasan untuk tidak menjual OSK. Selanjutnya akan dicari solusi dari

persamaan diferensial untuk harga OSK saat vesting period. Persaman diferensial

yang diperoleh akan ditransformasi menjadi bentuk persamaan difusi, sehingga

untuk mencari solusinya dapat menggunakan cara-cara yang ada dalam penurunan

solusi pada persamaan difusi.

C.3 Solusi PDP Untuk Harga OSK Setelah Vesting Period

Dari bentuk persamaan differensial pada persamaan (C.1.6) yang diperoleh

yaitu:

12

σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S

∂C∂ S

−(r+λ )C+λ max ( S−K ,0 )=0

merupakan bentuk persamaan differensial tak homogen. Sehingga untuk mencari

solusi dari PD tak homogen tersebut, terlebih dahulu mencari solusi dari bentuk

PD homogennya. Solusi umum dari bentuk PD homogen adalah sebagai berikut:

C ( S ; K )=c1 Sκ1+c2 Sκ2(C .3 .1)

κ1=

12

σ2−(r−q )+√[ 12

σ2−(r−q )]2

+2 σ2 (r+ λ )

σ 2

κ2=

12

σ2−(r−q )−√[ 12

σ2−(r−q )]2

+2 σ2 (r+λ )

σ2

Dari hasil analisis harga saham, diperoleh syarat batas untuk harga OSK.

Jika syarat batas disubstitusikan pada solusi umum PD homogen, akan diperoleh

solusi khusus sebagai berikut:

C ( S ; K )=a1 K ( SK )

κ1

+a2 K ( SK )

κ 2

Setelah diperoleh solusi untuk PD homogennya, selanjutnya mencari

solusi dari bentuk PD tak homogen sebagai berikut:

Bentuk tak homogen

λ max ( S−K ,0 )={λ ( S−K ) K ≤ S<hK0 lK ≤ S<K

sehingga untuk K ≤ S<hK bentuk PD yang berlaku adalah:

12

σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S

∂C∂ S

−(r+λ )C+λ ( S−K )=0

12

σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S

∂C∂ S

−(r+λ )C=−λ (S−K )

diperoleh solusi dari PD tak homogennya adalah:

C ( S ; K )= λ(q+λ )

S− λK(r+λ )

Sehingga harga OSK yang memenuhi persamaan differensial (C.1.6) adalah:

C ( S ; K )={a1 K ( SK )

κ1

+a2 K ( SK )

κ2

+ λ(q+ λ )

S− λK(r+ λ )

K ≤ S<hK

b1 K ( SK )

κ1

+b2 K ( SK )

κ2

lK ≤ S<K

Harga OSK setelah vesting period (vested option) adalah sebagai berikut:

C ( S ; K )={S−K+ρH DK S≥ hK (C .3 .2 )

a1 K ( SK )

κ1

+a2 K ( SK )

κ2

+ λ(q+ λ )

S− λK(r+ λ )

K ≤ S<hK (C .3 .3 )

b1 K ( SK )

κ1

+b2 K ( SK )

κ2

ρL DlK

lK ≤ S<K0≤ S<lK

(C .3.4 )(C .3 .5 )

Dengan smoth pasting condition

∂ C (hK ; K )∂ S

=1(C .3 .6)

C.4 Solusi Analitik Untuk Harga OSK Saat Vesting Period

Dari bentuk persamaan diferensial yang diperoleh

∂ V∂ t

+(r−q ) S ∂V∂ S

+ 12

σ 2 S2 ∂2V∂ S2 −( λ+r )V =0

akan dicari solusi dari persamaan diferensial tersebut menggunakan metode

image. Metode ini digunakan karena adanya reset barrier dari fitur reset.

Sehingga untuk mencari solusinya diperlukan bentuk PDP lainnya yang sama

dengan PDP di atas.

Misal didefinisikan g (S ) pada S>0 sebagai berikut

g (S )={ S+( ρH D−1 ) K−[b1 K ( SK )

κ1

+b2 K ( SK )

κ2] S ≥ hK (C .4 .1)

(a1−b1 ) K ( SK )

κ 1

+( a2−b2 ) K ( SK )

κ2

+ λλ+q

S− λλ+r

K K ≤ S ≤ hK (C .4 .2)

0 0<S<K (C .4 .3)

dan misal W ( S , t ; K ) adalah solusi dari PDP berikut

∂ W∂t

+ (r−q ) S ∂ W∂ S

+ 12

σ2 S2 ∂2W∂ S2 −( λ+r )W =0(C .4 .4)

di S>0 dan 0 ≤ t<T dengan kondisi akhir W ( S ,T ; K )=g ( S )

untuk mencari solusi dari persamaan (C.4.4) maka dilakukan transformasi agar

diperoleh persamaan difusi.

Persamaan difusi yang diperoleh adalah

∂ Z∂ τ

=∂2 Z∂ x2 (C .4 .5)

persamaan difusi ini terdefinisi pada interval 0<S<∞ . Selanjutnya, karena adanya

fitur reset, maka harus diperhatikan keberadan reset barrier pada interval tersebut.

Persamaan difusi yang terdefinisi dengan adanya reset barrier diselesaikan

dengan menggunakan metode image. Persamaan difusi (C.4.5) yang terdefinisi

pada interval 0<S<∞ dapat dipandang sebagai persamaan difusi yang terdefinisi

pada interval 0<S< x0 dan x0<S<∞ dengan x0=lK adalah reset barrier.

Misal ada U (S , t ; K ) yang memenuhi persamaan (C.4.4) yang terdefinisi

pada interval x0<S<∞ (memperhatikan keberadaan reset barrier). Kondisi akhir

dari U (S , t ; K ) dapat dinyatakan sebagai berikut

U (S ,T ; K )={ S+( ρH D−1 ) K−[b1 K ( SK )

κ1

+b2 K ( SK )

κ2] S≥ hK (C .4 .6)

(a1−b1 ) K ( SK )

κ 1

+( a2−b2 ) K ( SK )

κ2

+ λλ+q

S− λλ+r

K K ≤ S≤ hK (C .4 .7)

0 lK<S< K (C .4 .8)

Dengan menggunakan metode image, diperoleh solusi U (S , t ; K ) adalah

U (S , t ; K )=K eαx+βτ Z1 ( x , τ )+K eαx+βτ Z2 ( x , τ )(C .4 .9)

menggunakan sifat invariance pada persamaan difusi dengan sifat translasi dan

perubahan tanda maka diperoleh

Z2 ( x , τ )=−Z1 (2 x0−x , τ )(C .4 .10)

Sebelumnya telah dapat diperoleh x0 dengan harga saham yang bersesuaian

dengan barrier. Misal X harga saham yang bersesuaian dengan barrier maka

x0=lnXK

(C .4 .11)

dengan tranformasi balik dapat diperoleh

Z2 ( x , τ )=−e−α (ln X 2

SK )−βτW ( X2

S, t ; K )

K(C .4 .12)

substitusi pada persamaan (C.4.9) sehingga diperoleh

U (S , t ; K )=W ( S , t ; K )−( SX )

−(k−1 )

W ( X 2

S,t ; K)(C .4 .13)

Selanjutnya untuk mencari V (S ,t ; K ) yang merupakan solusi dari persamaan

diferensial di atas dengan kondisi akhirnya adalah C ( S ; K ) yang terdefinisi pada

persamaan (C.3.2), (C.3.3), (C.3.4), dan (C.3.5) maka V (S ,t ; K )dapat dinyatakan

sebagai berikut

V (S ,t ; K )=U ( S , t ; K )+[b1 K ( SK )

κ1

+b2 K ( SK )

κ2]Dari persamaan (C.4.13) diperoleh harga OSK saat vesting period adalah

V (S ,t ; K )=W ( S , t ; K )−( SX )

−(k−1)

W ( X2

S,t ;K )+[b1 K ( S

K )κ1

+b2 K ( SK )

κ 2] (C .4 .14 )

selanjutnya akan dicari W ( S , t ; K ) yang merupakan solusi dari persamaan difusi

(C.4.4). Persamaan difusi yang diperoleh diselesaikan dengan menggunakan

transformasi fourier, sehingga diperoleh solusinya adalah

Z ( x , τ )= 12√πτ

∫−∞

∞

Z (η ,0 ) e−( x−η )2

4 τ dη

substitusi

x '=η−x

√2 τ

diperoleh

Z ( x , τ )= 1√2π

∫− x√2 τ

∞

Z (√2 τ x '+ x , 0 ) e−12

x ' 2

d x '(C .4 .15)

Selanjutnya mencari syarat awal Z (√2 τ x '+x , 0 ) dari tranformasi balik pada

kondisi akhir W ( S , t ; K ).

W ( S ,T ; K )=max (S−K , 0 )

Jika memperhatikan exercise boundary maka W ( S ,T ; K ) dapat dinyatakan

sebagai

W ( S ,T ; K )=max (S−hK ,0 )+max (S−K , 0 )(C .4 .16)

Untuk S ≥ hk maka strike price adalah hK

W ( S ,T ; K )=S+ ( ρH D−1 ) (hK )−a1 (hK )( ShK )

κ1

−a2 (hK )( ShK )

κ2

− λλ+q

S+ λλ+r

(hK )

dari sebelumnya dapat diperoleh

Y ( x , τ )= ShK

+( ρH D−1 )−a1( ShK )

κ1

−a2( ShK )

κ2

− λλ+q ( S

hK )+ λλ+r

sehingga untuk x yang bersesuaian dengan strike price hK adalah xh diperoleh

Y ( x , 0 )=exh+( ρH D−1 )−a1 ( exh )κ1−a2 ( exh )κ2− λλ+q

( exh )+ λλ+r

Untuk K ≤ S<hk maka strike price adalah K

W ( S ,T ; K )=( a1−b1 ) K ( SK )

κ1

+(a2−b2 ) K ( SK )

κ 2

+ λλ+q

S− λλ+r

K

selanjutnya dapat diperoleh

W (S ,T ;K )K

= (a1−b1 )( SK )

κ1

+( a2−b2 )( SK )

κ2

+ λλ+q

SK

− λλ+r

dan untuk x yang bersesuaian dengan strike price K adalah x diperoleh

Y ( x , 0 )=(a1−b1 ) (ex )κ1−(a2−b2 ) (ex )κ 2+ λλ+q

ex− λλ+r

Selanjutnya diperoleh

Z ( x , 0 )=e12

(k−1) xY ( x , 0 )

Z ( x , 0 )=e12

(k+1) xh+( ρH D−1 ) e

12

( k−1 ) xh

−a1e12 (k−1+2κ 1) x

h−a2 e12 ( k−1+2 κ2) x

h

− λλ+q

e12

(k+1) xh+ λ

λ+re

12

(k−1 ) xh

+ (a1−b1 ) e12

( k−1+2κ1 ) x

+( a2−b2 ) e12 (k−1+2 κ2) x

+ λλ+q

e12

(k +1) x− λ

λ+re

12

(k−1) x

kondisi awal yang diperlukan

Z (√2 τ x '+x , 0 )=e12

(k +1) (√2 τ xh'+xh )

+ ( ρH D−1 ) e12

(k−1 )(√2 τ xh'+ xh)

−a1e12 (k−1+2 κ1 ) (√2 τ xh

'+xh )−a2e

12 ( k−1+2 κ2 ) (√2 τ xh

'+xh)− λ

λ+qe

12

( k+1 )(√2 τ xh'+ xh)

+λλ+r

e12

( k−1) (√2 τ xh'+ xh)

+( a1−b1 ) e12 ( k−1+2 κ1) (√2 τ x '+ x )

+( a2−b2 ) e12 (k−1+2 κ2) (√2 τ x '+x )

+ λλ+q

e12

( k+1 )(√2 τ x '+ x )

−λλ+r

e12

( k−1) (√2 τ x'+ x )

Dari persamaan (C.4.15) akan diintegralkan masing-masing suku yang ada di

kondisi awal. Dari pengintegralan tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut:

Z ( x , τ )=e12

(k +1) xh+14

(k +1)2 τN (d1

h )+( ρH D−1 ) e12

(k−1) xh+14

( k−1 )2 τN (d2

h )−¿

a1e12 (k−1+2 κ1 ) xh+

14 (k−1+2 κ1)2 τ

N (d3h )−a2e

12 ( k−1+2κ2 ) xh+

14 (k−1+2 κ2)2 τ

N (d 4h )

− λλ+q

e12

(k+1) xh+14

(k+1)2 τN (d1

h )+ λλ+r

e12

( k−1) xh+14

(k−1 )2 τN (d2

h )

+( a1−b1) e12 (k−1+2κ 1) x +1

4 ( k−1+2κ1)2 τN (d3 )+¿

(a2−b2 ) e12 (k−1+2κ 2) x +1

4 ( k−1+2 κ2)2 τN (d4 )

+ λλ+q

e12

(k+1) x+ 14

(k+1)2 τN ( d1 )− λ

λ+re

12

( k−1) xh+14

(k−1 )2 τN (d2 )

Dari persamaan sebelumnya, nilai α dan β dapat diperoleh

Y ( x , τ )=e−12

(k−1) x−(14

( k−1)2+2( λ+r )

σ 2 )τZ ( x , τ )

dengan Z ( x , τ ) yang telah diperoleh maka akan menghasilkan

Y ( x , τ )=e−( λ+r ) (T−t ) [ SK

e (r−q ) (T −t ) N (d1h )+ ( ρH D−1 ) N (d2

h)+ λλ+q { S

K

e (r−q ) (T −t ) N (d1 )− SK

e( r−q )( T−t ) N (d1h )}− λ

λ+r{N (d2 )−N (d2

h )}

+{(a1−b1 )( SK )

κ1

eκ1 (r−q+1

2σ 2 (κ 1−1 )) (T −t )

N (d3 )

−a1eκ1 (r−q+1

2σ 2 (κ1−1 )) (T −t )

N (d3h )}+{(a2−b2 )( S

K )κ2

eκ2(r−q+1

2σ 2 (κ2−1 )) (T −t )

N (d4 )−a2 eκ2(r−q+1

2σ 2 (κ2−1 )) (T −t )

N (d4h )]

Dari persamaan sebelumnya dapat diperoleh

W ( S , t ; K )=e−(λ+r ) (T −t )¿

e (r−q) (T −t ) {N ( d1 )−N (d1h) }− λ

λ+rK {N ( d2 )−N (d2

h) }+K ( SK )

κ1

eθ1 (T −t ) {( a1−b1 ) N ( d3 )−a1 N (d3

h ) }+K ( SK )

κ2

eθ2 (T −t ) {( a2−b2 ) N ( d4 )

−a2 N (d 4h )]

dengan

θ1=κ1(r−q+12

σ2 (κ1−1 ))θ2=κ2(r−q+1

2σ2 (κ2−1 ))

D. HASIL DAN PEMBAHASAN

Berikut ini diberikan hasil dari simulasi komputer menggunakan program GUI

Matlab 2008 untuk perhitungan secara analitik. Simulasi yang diberikan

menggunakan parameter-parameter yang diketahui sebagai berikut:

Analisis Sensitivitas untuk masing-masing parameter, diperoleh hasil berikut:

1. Berdasarkan parameter vesting period

S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 1 0.6 35.7926

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 34.3996

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 3 0.6 31.2135

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 4 0.6 29.8134

Dari tabel di atas tampak bahwa, adanya fitur vesting period mengakibatkan

perubahan harga OSK. Semakin lama masa vesting period mengakibatkan harga

OSK semakin rendah.

2. Berdasarkan parameter exit rate

S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK

100 100 0.04 0.4 0.02 0.05 1 1 2 0.6 57.4252

100 100 0.04 0.4 0.02 0.1 1 1 2 0.6 54.2294

100 100 0.04 0.4 0.02 0.15 1 1 2 0.6 52.3396

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 51.191

Dari tabel di atas tampak bahwa, semakin banyak proporsi karyawan yang

mengundurkan diri, mengakibatkan harga OSK semakin menurun. Hal ini

disebabkan karena semakin banyak OSK yang kehilangan nilainya karena

banyak yang tidak dimanfaatkan oleh karyawan.

3. Berdasarkan parameter reload

S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 0.5 1 2 0.6 29.4259

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 30.1649

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1.5 1 2 0.6 31.5151

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 2 1 2 0.6 33.9466

Dari tabel di atas, tampak bahwa semakin besar kesempatan mendapatkan

kembali opsi yang telah digunakan mengakibatkan harga OSK semakin

meningkat. Hal ini dikarenakan karyawan akan terus mendapatkan opsi ketika

opsi yang telah diperoleh sebelumnya telah dimanfaatkan.

4. Berdasarkan parameter reset

S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 0.5 2 0.6 29.6197

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 32.3342

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1.5 2 0.6 35.095

100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 2 2 0.6 37.8881

Dari tabel terlihat kecenderungan yang sama seperti pada fitur reload, yaitu

terjadi kenaikan harga OSK. Hal ini dikarenakan adanya kesempatan bagi

karyawan untuk mendapatkan harga kesepakatan yang baru apabila terjadi

penurunan harga saham lebih rendah dari harga kesepakatan.

E. KESIMPULAN

Dari hasil yang diperoleh tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Kenaikan harga OSK dipengaruhi oleh adanya fitur reload dan reset. Semakin

besar fitur reload dan reset yang diberikan mengakibatkan harga OSK

semakin meningkat.

2. Penurunan harga OSK dipengaruhi oleh adanya fitur vesting period dan exit

rate. Semakin banyak proporsi karyawan yang meninggalkan perusahaan

semakin rendah harga OSK demikian pula semakin lama masa vesting period

mengakibatkan harga OSK semakin menurun.

DAFTAR PUSTAKA

Carr, Peter. (1998), Randomization And The American Put, Review of Financial Studies 11, 597-626

Carr, Peter and Linnetsky, Vadim. (2000), The Valuation of Executive Stock Option in an Intensity-Based Framework, European Finance Review 4: 211-230

Cvitanic, Jaksa, Zvi Wiener, and Fe rnando Zapatero. (2004), Analytic Pricing of Employee Stock Option, University of Southern California

Faoso, Telaumbanua. (2000): Opsi Saham Karyawan, Bisnis Indonesia Halaman Depan Edisi 29 May 2000, http://groups.yahoo.com/group/saham/message/14997

Hadlock, C.R. (1999), Mathematical Modelling in Environment, The Mathematical Association of America.

Kimura, Toshikazu. (2004), Alternative Randomization for Valuing American Option, Daiwa International Workshop on Financial Engineering

Karatzas, Ioannis, and Hui Wang. (2000), A Barrier Option of American type, Applied Mathematics & Optimization 42, 259-279

McDonald, Robert. (2003), Derivatives Market, Addison Wesley

Murni, Dewi. (1995): Proses Poisson, Tulisan Program Master, Institut Teknologi Bandung

Ross, M. Sheldon. (1996), Stochastic Process, John Wiley & Sons, Inc. New York

Shreve, E. Steven. (1996), Stochastic Calculus And Finance, Springer Finance Textbook

Shreve, E. Steven. (2004), Stochastic Calculus For Finance II Continuous-Time Models, Springer Finance Textbook

Sircar, Ronnie and Xiong, Wei. (2006), A general Framework for Evaluating Executive Stock Options, Journal of Economic Dynamics & Control 31, 2317-2349

Strauss, W.A. (1992), Partial Differential Equation: An Introduction, John Wiley & Sons, Inc. New York

Wilmott, Paul, Sam Howison, and Jeff Dewynne. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press

LAMPIRAN

S=HargaSaham , λ=exit rate ,

K=Harga pelaksanaan , ρH=reload option ,

r=Suku Bunga , ρL=reset option,

σ=volatility , T vest=vesting period

q=deviden , l=barrier