PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL … · penentuan konstanta redaman pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan menggunakan lagrangian dengan analisis video

PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL

DAN PENDULUM FISIS GABUNGAN MENGGUNAKAN LAGRANGIAN

DENGAN ANALISIS VIDEO

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Fisika

Oleh:

DOMINICUS BAGUS CHRISTANTO

NIM: 151424026

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i




SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Fisika

Oleh:

DOMINICUS BAGUS CHRISTANTO

NIM: 151424026

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


ii


iii


iv


v


vi

ABSTRAK




Dominicus Bagus Christanto

Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta

2019

Sebuah penelitian telah dilakukan untuk menentukan nilai konstanta

redaman pada pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan. Sebuah

pendulum yang berayun secara bebas, perlahan-lahan akan kehilangan energinya

dan lama kelamaan berhenti. Hal ini terjadi karena pendulum memiliki faktor

redaman pada sistem geraknya. Penelitian ini menunjukkan nilai konstanta redaman

yang dimiliki pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan melalui

persamaan geraknya. Persamaan gerak pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis

gabungan yang digunakan diperoleh menggunakan persamaan Lagrangian.

Persamaan ini kemudian digunakan untuk melakukan fitting data yang diperoleh

melalui analisis video pada software Loggerpro. Hasil penelitian ini menunjukkan

ada satu persamaan gerak yang dimiliki oleh pendulum fisis tunggal dan ada dua

persamaan gerak yang dimiliki oleh pendulum fisis gabungan.

Kata kunci: konstanta redaman, pendulum fisis tunggal, pendulum fisis gabungan,

analisis video, Loggerpro


vii

ABSTRACT

DETERMINATION OF THE DAMPING CONSTANT

SINGLE PHYSICAL PENDULUM AND COMBINED PHYSICAL

PENDULUM USING LAGRANGIAN WITH VIDEO ANALYSIS

Dominicus Bagus Christanto

Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta

2019

A study has been conducted to determine the value of the damping constant

in a single physical pendulum and a combined physical pendulum. A pendulum that

swings freely, will slowly lose its energy and eventually stop. This happens because

the pendulum has a damping factor in its motion system. This study shows the

damping constant values of a single physical pendulum and a combined physical

pendulum through the equation of motion. The equation of motion of a single

physical pendulum and the combined physical pendulum used is obtained using the

Lagrangian equation. This equation is then used to do data fitting obtained through

video analysis on Loggerpro software. The results of this study indicate that there

is one equation of motion that is possessed by a single physical pendulum and there

are two equations of motion possessed by a combined physical pendulum.

Keywords: damping constants, single physical pendulum, combined physical

pendulum, video analysis, Loggerpro


viii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat

rahmat serta kasih-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan

judul “Penentuan konstanta redaman pendulum fisis tunggal dan pendulum

fisis gabungan menggunakan lagrangian dengan analisis video” Penulisan

skripsi ini bertujuan untuk memenuhi sebagian syarat memperoleh gelar sarjana

bagi mahasiswa program S1 pada program studi Program Studi Pendidikan Fisika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proposal skripsi ini masih jauh dari

kesempurnaan, oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun dari semua pihak demi kesempurnaan skripsi ini. Selesainya proposal

ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, sehingga pada kesempatan ini penulis

dengan segala kerendahan hati dan penuh rasa hormat mengucapkan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan moril

maupun materiil secara langsung maupun tidak langsung kepada:

1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Dr. Ignatius Edi Santosa, M.S., selaku Ketua Program Studi

Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas

Sanata Dharma dan dosen penguji Skripsi.

3. Bapak Prof. Dr. Paulus Suparno SJ, selaku Dosen Pembimbing Akademik

angkatan tahun 2015 yang selalu memantau perkembangan penulisan

skripsi mahasiswa-mahasiswinya.

4. Bapak Albertus Hariwangsa Panuluh, M.Sc., selaku dosen pembimbing dan

dosen penguji yang telah banyak membantu dan memberikan bimbingan

dalam pengerjaan Skripsi.

5. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si., selaku dosen penguji yang telah

banyak memberi masukan dalam penyempurnaan Skripsi.

6. Seluruh dosen Pendidikan Fisika yang telah membimbing dan memberikan

banyak ilmu dalam perkuliahan selama kurang lebih empat tahun ini.


ix


x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... iv

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS .......................................................................... v

ABSTRAK ......................................................................................................... vi

ABSTRACT ........................................................................................................ vii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ........................................................................................... 2

1.2. Rumusan Masalah ...................................................................................... 3

1.3. Batasan Masalah ........................................................................................ 3

1.4. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 4

1.5. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 4

1) Manfaat untuk peneliti ............................................................................. 4

2) Manfaat untuk pembaca ........................................................................... 4

1.6. Sistematika Penulisan ................................................................................ 5

BAB II DASAR TEORI ..................................................................................... 6

2.1. Gerak Harmonik Sederhana ...................................................................... 6

2.2. Gerak Harmonik Teredam ......................................................................... 9

2.3. Koordinat Umum dan Derajat Kebebasan ............................................... 11

2.5. Lagrangian ............................................................................................... 13

2.5. Penyelesaian Pendulum Sederhana Menggunakan Lagrangian .............. 14

BAB III METODE PENELITIAN................................................................... 17


xi

3.1. Persiapan Alat .......................................................................................... 17

3.2. Pengambilan Data .................................................................................... 18

3.3. Analisis Menggunakan Loggerpro .......................................................... 19

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN .................................. 25

4.1. Hasil Penelitian ........................................................................................ 25

4.1.1. Pendulum fisis gabungan ................................................................. 25

4.1.2. Pendulum Fisis Tunggal .................................................................. 33

4.2.Pembahasan .............................................................................................. 37

BAB V PENUTUP ............................................................................................ 40

5.1. Kesimpulan ............................................................................................ 40

5.2. Saran ...................................................................................................... 40

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 41

LAMPIRAN ...................................................................................................... 42

Lampiran 1. Penyelesaian Persamaan Pada BAB V ....................................... 42

Lampiran 2. Hasil Analisis Video Pada Loggerpro ........................................ 48

A. Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o ................................................. 48

B. Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o .............................................. 50


xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Gerak Harmonik Sederhana .............................................................. 6

Gambar 2.2. Pendulum Sederhana ........................................................................ 8

Gambar 2.3. Analisis Gaya pada Pendulum Sederhana ........................................ 8

Gambar 2.4. Gerak Harmonik Teredam ................................................................ 9

Gambar 2.5. Pendulum Bergerak Dalam Bidang xy ........................................... 12

Gambar 2.6. Ilustrasi Pendulum Sederhana......................................................... 14

Gambar 2.7. Analisis Pendulum Sederhana ........................................................ 14

Gambar 3.1. Gambar Rangkaian Pendulum fisis (Sebelah Kiri) dan Rangkaian

Pendulum fisis gabungan (sebelah kanan) .................................... 19

Gambar 3.2. Fitur Movie Pada Menu Insert ....................................................... 20

Gambar 3.3. Ikon Set Scale Pada Fitur Analyzer ............................................... 21

Gambar 3.4. Notifikasi Scale .............................................................................. 21

Gambar 3.5. Ikon Set Origin Pada Fitur Analyzer ............................................. 22

Gambar 3.6. Ikon Photo Distance Pada Loggerpro ............................................ 22

Gambar 3.7. Hasil Pengukuran Komponen Panjang Pendulum Menggunakan

Ikon Photo Distance Pada Loggerpro ............................................ 23

Gambar 3.8. Ikon Add Point Pada Fitur Analyzer ............................................. 24

Gambar 4.1. Ilustrasi Pendulum fisis gabungan ................................................. 26

Gambar 4.2. Grafik Hasil Fitting Data Pertama Pada Sudut 8,07o Untuk

Pendulum fisis gabungan ............................................................... 32

Gambar 4.3. Ilustrasi Pendulum Fisis Tunggal .................................................. 34

Gambar 4.4. Grafik Hasil Fitting Data Pertama pada Sudut 8,07o Untuk

Pendulum Fisis Tunggal ................................................................ 36

Gambar 4.5. Pendulum Fisis Tunggal dan Pendulum Fisis Gabungan pada

Ketinggian yang Sama ................................................................... 39

Gambar 4.6. Pendulum Fisis Gabungan Menyimpang Lebih Jauh .................... 39


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1. Konstanta Redaman pada Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o ........ 32

Tabel 4.2. Konstanta Redaman Pada Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o ........... 37


1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Pendulum adalah sebuah benda yang digantungkan pada sebuah poros

sehingga dapat mengalami osilasi. Osilasi adalah gerak bolak balik benda

melalui titik setimbangnya dengan lintasan yang sama secara periodik

(Serway, 2009). Pendulum dapat mengalami osilasi apabila disimpangkan dari

posisi setimbangnya. Dalam kasus-kasus yang sering ditemui di soal Fisika

SMA maupun SMP, pendulum diasumsikan dapat berosilasi tanpa kehilangan

energi mekaniknya. Sehingga pendulum akan terus berosilasi dengan lintasan

yang sama secara periodik dalam rentang waktu yang sama. Namun dalam

kehidupan sehari-hari kejadian ini tidak bisa ditemukan. Pendulum yang

disimpangkan akan mengalami osilasi teredam hingga pada akhirnya berhenti.

Hal ini terjadi karena energi mekanik pada sistem tersebut terdisipasi oleh

adanya hambatan udara ataupun gesekan internal di dalam sistem (Giancoli,

2014).

Penelitian tentang redaman pada pendulum telah beberapa kali

dilakukan. Salah satunya adalah pengukuran penurunan amplitudo dari sebuah

bola yang digantung pada seutas tali yang berosilasi. Bola yang berosilasi

kemudian direkam untuk dianalisis menggunakan analisis video pada aplikasi

Loggerpro. Berdasarkan penelitian ini penurunan amplitudo berbanding

terbalik dengan massa bola dan berbanding terbalik dengan jari-jari bola

(Limiansih, 2013).

Pendulum fisis gabungan adalah dua buah pendulum fisis yang

digabungkan menggunakan sebuah laher, kemudian salah satu ujungnya

dijadikan poros utama agar pendulum dapat berosilasi. Pendulum fisis

gabungan yang disimpangkan dengan sudut simpangan besar, akan bergerak

secara acak. Beberapa peneliti sebelumnya telah menemukan teori yang

menunjukkan keteraturan dari pendulum fisis gabungan. Troy, Celso, Jack,


2

dan James (1992) adalah beberapa peneliti yang berhasil menyelesaikan

persamaan untuk pendulum fisis gabungan yang mereka gunakan.

Penelitian lain terkait dengan pendulum fisis gabungan juga pernah

dilakukan oleh Rafat, Wheatland, dan Bedding (2009). Mereka menggunakan

dua buah lempeng logam yang berbentuk persegi empat, di mana kedua

lempengan tersebut kemudian digabungkan dengan menggunakan laher.

Penelitian ini terkhusus membahas persamaan gerak dari pendulum fisis

gabungan yang mereka teliti. Pada penelitian ini mereka mempertimbangkan

adanya faktor distribusi massa yang mempengaruhi gerak pendulum.

Penelitian ini berhasil menyelesaikan persamaan gerak untuk pedulum fisis

gabungan yang mereka gunakan.

Penelitian Rafat, Wheatland, dan Bedding seperti yang telah disebutkan

tidak hanya membahas pendulum fisis gabungan. Namun penelitian ini

bertujuan untuk menemukan persamaan gerak dari pendulum fisis gabungan

yang mereka gunakan. Dalam kehidupan sehari-hari persamaan gerak memang

penting. Salah satu penerapan persamaan gerak dalam kehidupan sehari-hari

adalah perkiraan kedatangan kereta api yang di selesaikan menggunakan

persamaan Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan Gerak Lurus Berubah Beraturan

(GLBB). Pada penelitian ini persamaan gerak pada pendulum fisis tunggal dan

pendulum fisis gabungan digunakan untuk memperoleh konstanta redaman

yang dimiliki oleh pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan.

Penelitian ini dapat digunakan untuk mencari persamaan gerak

pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan, serta mengukur nilai

konstanta redaman dari pendulum tersebut dengan menggunakan analisis video

pada aplikasi Loggerpro. Konstanta redaman dapat diperoleh setelah

melakukan fitting menggunakan persamaan yang diperoleh dari persamaan

lagrangian. Melalui penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi dan

referensi untuk menentukan konstanta redaman dari pendulum fisis tunggal

maupun pendulum fisis gabungan. Selain itu penggunaan analisis video

menggunakan aplikasi Loggerpro juga dapat diterapkan dalam pembelajaran di

sekolah.


3

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, maka permasalahan

yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah:

1) Bagaimana cara menemukan persamaan pendulum fisis tunggal dan

pendulum fisis gabungan dengan menggunakan Lagrangian dengan

pendekatan sudut kecil?

2) Berapakah nilai konstanta redaman dari pendulum fisis tunggal dan

pendulum fisis gabungan pada sudut kecil?

1.3. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada:

1) Handycam yang digunakan memiliki kemampuan merekam sebanyak 90

fps (frame per second)

2) Laher pada pendulum fisis gabungan yang menggabungkan kedua

pendulum massanya diabaikan

3) Massa pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan dianggap

identik, dengan massa masing-masing 0,04 kg

4) Panjang kedua pendulum pada pendulum fisis gabungan dianggap identik,

dengan panjang masing-masing 0,2 m

5) Pada pendulum fisis gabungan digunakan pendekatan sudut kecil di mana

𝜃1 ≈ 𝜃2


4

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk:

1) Menganalisis persamaan gerak pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis

gabungan menggunakan Lagrangian dengan pendekatan sudut kecil

2) Mengukur nilai konstanta redaman pada pendulum fisis tunggal dan

pendulum fisis gabungan yang digunakan

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini antara lain:

1) Manfaat untuk peneliti

a. Dapat menemukan persamaan gerak dari pendulum fisis tunggal

dan pendulum fisis gabungan dengan pendekatan sudut kecil

menggunakan lagrangian

b. Dapat membuktikan kebenaran persamaan yang telah ditemukan

dengan menggunakan Loggerpro

c. Dapat mengetahui nilai konstanta redaman yang dimiliki

pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan

2) Manfaat untuk pembaca

a. Mengetahui cara penggunaan Loggerpro untuk analisis video

b. Mengetahui persamaan gerak dari pendulum fisis tunggal dan

pendulum fisis gabungan dengan pendekatan sudut kecil

c. Mengetahui perbedaan nilai konstanta redaman pada pendulum

fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan


5

1.6. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1) BAB I Pendahuluan

BAB I membahas latar belakang penelitian, tujuan penelitian, rumusan

masalah, batasan masalah, manfaat penelitian, dan sistematika

penelitian.

2) BAB II Dasar Teori

BAB II berisikan hasil dasar teori tentang gerak harmonik sederhana,

gerak harmonik teredam, lagrangian, derajat kebebasan, dan

penyelesaian pendulum fisis menggunakan lagrangian.

3) BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini memaparkan alat dan bahan yang digunakan, susunan alat-alat,

proses pengambilan data, dan cara menganalisis data.

4) BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan

Bab ini menguraikan hasil penelitian dan pembahasan hasil yang

diperoleh.

5) BAB V Penutup

Bab ini berisi kesimpulan dan saran


6

BAB II

DASAR TEORI

2.1. Gerak Harmonik Sederhana

2.1.1. Sistem Pegas Massa

Gerak harmonik sederhana merupakan gerak bolak-balik yang

dialami suatu benda yang lintasannya melalui titik setimbang. Gerak

harmonik sederhana dapat diilustrasikan seperti gambar 2.1, misalnya

benda pada sistem pegas massa bergerak dari titik b-a-c-a-b dan terus

berulang secara periodik.

Gambar 2.1. Gerak Harmonik Sederhana

(Sumber: https://makeyousmarter.blogspot.com/2015/11/gerak-

harmonik-sederhana-dan-contoh-soal.html)

Sebuah pegas yang berada pada keadaan setimbang tidak akan

memberikan gaya pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh 𝑥

dari posisi setimbangnya, maka pegas akan memberikan gaya pemulih

sesuai dengan hukum Hooke (Tipler, 1998):

𝐅𝐩 = −𝑘𝐱 (2.1)

dengan 𝐅𝐩 adalah gaya pemulih, 𝑘 adalah konstanta pegas, dan 𝐱 adalah

simpangan dari posisi setimbang. Karena benda bergerak dalam sumbu


https://makeyousmarter.blogspot.com/2015/11/gerak-harmonik-sederhana-dan-contoh-soal.html

https://makeyousmarter.blogspot.com/2015/11/gerak-harmonik-sederhana-dan-contoh-soal.html

7

𝑥 dengan kecepatan yang berubah-ubah, maka persamaan geraknya

memenuhi hukum II Newton

∑𝐅 = 𝑚𝐚 (2.2)

dengan gaya yang bekerja pada sistem pegas massa adalah hanya gaya

pemulih, maka:

𝐅𝐩 = 𝑚𝐚 (2.3)

Karena benda hanya pada satu arah, yaitu sumbu x maka gaya pemulih

dapat dituliskan sebagai berikut:

−𝑘𝑥 = 𝑚a (2.4)

ⅆ2𝑥

ⅆ𝑡2+ (

𝑘

𝑚) 𝑥 = 0 (2.5)

dengan 𝑘

𝑚 adalah 𝜔2, maka persamaan 2.5 dapat dituliskan menjadi:

ⅆ2𝑥

ⅆ𝑡2+ 𝜔2𝑥 = 0 (2.6)

Solusi dari persamaan 2.6 pada sistem pegas massa adalah:

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (⍵𝑡 − 𝜙) (2.7)

dengan 𝐴 adalah amplitudo, ⍵ adalah kecepatan sudut, dan 𝜙 adalah beda

fase.

2.1.2. Pendulum Sederhana

Pendulum sederhana adalah salah satu sistem yang menunjukkan

peristiwa gerak harmonik sederhana. Pendulum sederhana terdiri dari

sebuah benda bermassa yang digantung pada sebuah tali. Pendulum

sederhana dapat diilustrasikan seperti pada gambar 2.2.


8

Gambar 2.2. Pendulum Sederhana

Gerakan pendulum sederhana dapat dijelaskan melalui analisis

gaya-gaya yang bekerja pada sistemnya. Gaya-gaya pada pendulum

sederhana dapat dianalisis sebagai berikut:

Gambar 2.3. Analisis Gaya pada Pendulum Sederhana

dengan 𝑇 = 𝑊 cos 𝜃 maka benda bergerak searah dengan 𝑊 sin 𝜃.

Sistem pegas massa memiliki hubungan analog dengan pendulum

sederhana, di mana keduanya merupakan gerak harmonik sederhana.

Sehingga secara analog persamaan 2.6 pada pegas massa dapat

dianalogkan dengan pendulum sederhana, sebagai berikut:

ⅆ2𝜃

ⅆ𝑡2+ 𝜔2𝜃 = 0 (2.6)


9

dengan θ adalah sudut simpangan dari posisi setimbang pada pendulum.

Solusi dari persamaan 2.8 pada sistem pendulum sederhana adalah:

𝜃(𝑡) = 𝐴 sin (⍵𝑡 − 𝜙) (2.7)

dengan 𝐴 adalah amplitudo, ⍵ adalah kecepatan sudut, dan 𝜙 adalah beda

fase.

2.2. Gerak Harmonik Teredam

Gerak harmonik pada kenyataannya akan mengalami redaman yang

mengakibatkan benda akan mengalami penurunan amplitudo dan pada

akhirnya berhenti. Redaman dapat disebabkan oleh hambatan udara dan

gesekan internal di dalam sistem yang berosilasi (Giancoli, 2014). Gesekan

pada gerak harmonik sederhana akan mengubah energi kinetik benda menjadi

energi kalor, sehingga perlahan-lahan benda akan kehilangan energi geraknya.

Penurunan amplitudo pada gerak harmonik yang teredam ditunjukkan oleh

gambar 2.2.

Gambar 2.4. Gerak Harmonik Teredam

(https://www.pngdownload.id/png-c4m18q/)

Gaya redaman sebanding dengan kecepatannya seperti persamaan

berikut (Halliday, dkk., 2010):


10

𝐅𝐫 = −𝑏𝐯 (2.8)

dengan 𝑏 adalah konstanta redaman dan 𝑣 adalah kecepatan benda. Pada sistem

pendulum sederhana kecepatan yang bekerja pada benda adalah kecepatan

sudut ⍵, maka persamaan gaya redaman untuk pendulum sederhana adalah:

𝐅𝐫 = −𝑏 ⍵ (2.9)

Pada sistem pendulum sederhana gaya redaman yang bekerja menerapkan

hukum II Newton, dengan menggunakan pendekatan torsi maka persamaan 2.2

menjadi:

∑Ʈ = 𝐼𝛼 (2.10)

Ʈ𝐹 + Ʈ𝐹𝑟= 𝐼𝛼 (2.11)

dengan Ʈ𝐹 adalah torsi dari gaya berat pendulum dan Ʈ𝐹𝑟 adalah torsi dari gaya

redaman pendulum. Torsi dari gaya redaman pendulum bernilai negatif karena

arahnya melawan arah gerak pendulum. Maka persamaan 2.10 dapat

diturunkan secara matematis sebagai berikut:

− 𝑚𝑔𝑙 sin θ − 𝑏⍵ = 𝐼𝛼 (2.12)

−𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃

𝐼−

𝑏

𝐼⍵ = 𝛼 (2.13)

dengan 𝐼 = 𝑚𝑙2 , maka:

ⅆ2𝜃

ⅆ𝑡2+

𝑏

𝐼

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡+

𝑔

𝑙sin 𝜃 = 0

(2.14)

dengan menggunakan pendekatan sudut kecil dan 𝑔

𝑙= ⍵2maka persamaan 2.14

menjadi:

ⅆ2𝜃

ⅆ𝑡2+

𝑏

𝐼

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡+ ⍵2𝜃 = 0

(2.15)

Solusi dari persamaan 2.15 yang dapat digunakan untuk redaman kecil adalah:

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒−𝐾𝑡 cos (⍵𝑡 − 𝜙) (2.16)


11

dengan 𝐾 adalah faktor redaman dari persamaan dan konstanta redaman

pendulum (b) diperoleh dari persamaan redaman kecil, maka:

𝑏 = 2𝐼𝐾 (2.17)

dengan b adalah konstanta redaman pendulum dan I adalah momen inersia

pendulum.

2.3. Koordinat Umum dan Derajat Kebebasan

Koordinat umum adalah koordinat yang dapat menunjukkan posisi

benda dalam ruang tiga dimensi. Koordinat umum menggambarkan posisi

benda secara umum dan tidak terbatas pada satu koordinat. Koordinat umum

dapat berupa koordinat kartesian, bola, maupun silinder.

Sebuah partikel yang berada di sebuah ruangan dapat ditentukan

melalui 3 koordinat.. Jika sebuah partikel bergerak di dalam bidang, maka

partikel tersebut memiliki 2 derajat kebebasan. Jika partikel tersebut bergerak

di ruang 3 dimensi, maka derajat kebebasannya ada 3. Namun jika partikel

memiliki kendala yang membatasi gerak partikel, maka partikel akan memiliki

jumlah koordinat umum kurang dari 3N, dengan N adalah jumlah benda.

Derajat kebebasan (degree of freedom) digunakan untuk menunjukkan

jumlah koordinat umum yang dimiliki oleh suatu sistem. Apabila benda

memiliki kendala dalam sistemnya maka jumlah derajat kebebasan akan

berkurang mengikuti persamaan 2.21. Kendala dalam sistem dapat dinyatakan

dalam sebuah persamaan yang diberi nama persamaan kendala. Persamaan

kendala adalah persamaan yang berasal dari gejala-gejala pada sistem yang

sifatnya membatasi gerak sistem. Misalnya perhatikan gambar 2.3, sistem pada

gambar ini dibatasi oleh bidang gerak xy sepanjang busur jari-jari r. Persamaan

gerak dari pendulum tersebut dapat menggunakan vektor posisinya.

𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 (2.18)


12

Gambar 2.5. Pendulum Bergerak Dalam Bidang xy

Berdasarkan gambar 2.3 terdapat dua persamaan kendala yang

membatasi gerak pendulum, yaitu:

1) Benda hanya bergerak pada sumbu 𝑥𝑦 dan tidak di sumbu 𝑧, maka:

𝑧 = 0 (2.19)

2) Vektor komponen pendulumnya hanya terdiri dari sumbu 𝑥𝑦, maka:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (2.20)

Dengan demikian persamaan kendala yang dimiliki sistem pada gambar 2.3

ada dua buah yang ditunjukkan oleh persamaan 2.19 dan 2.20.

Derajat kebebasan suatu benda dapat ditentukan menggunakan

persamaan:

ⅆ𝑘 = 3𝑁 − 𝑘 (2.21)

dengan 𝑁 adalah jumlah benda pada sistem dan 𝑘 adalah jumlah persamaan

kendala pada sistem.


13

2.5. Lagrangian

Lagrangian merupakan persamaan yang berasal dari pengembangan

hukum II Newton, dengan tujuan memudahkan penyelesaian persoalan fisika

yang rumit. Lagrangian menggunakan koordinat umum dan dibatasi pada

penggunaan koordinat kartesian dan koordinat polar. Lagrangian juga

menggunakan pendekatan energi, seperti energi kinetik dan energi potensial

benda sebagai dasar penyelesaiannya.

Analisis gerak dengan menggunakan hukum II Newton memenuhi

persamaan 2.2. Namun dalam mekanika lanjut, digunakan analisis gerak

menggunakan lagrangian. Secara umum lagrangian adalah selisih antara energi

kinetik dan energi potensial yang dapat dituliskan sebagai berikut:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (2.22)

dengan 𝑇 adalah energi kinetik dan 𝑉 adalah energi potensial.

Persamaan Euler-Lagrange tergantung pada jumlah variabel terikatnya.

Misalnya pada gerak dua dimensi koordinat umumnya adalah 𝑥 dan 𝑦, maka

persamaan Euler-Lagrange jika tidak ada gaya lain yang bekerja pada sistem

adalah:

ⅆ

ⅆ𝑡(

𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥= 0 (2.23)

dan

ⅆ

ⅆ𝑡(

𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑦= 0 (2.24)

Apabila di dalam sistem terdapat gaya luar yang mengakibatkan gerakan benda

teredam, maka persamaan di atas akan berubah karena adanya faktor redaman

sistem. Misalnya persamaan 2.23, jika sistem teredam maka persamaannya

akan berubah menjadi:

ⅆ

ⅆ𝑡(

𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥= − 𝑏

ⅆ𝑥

ⅆ𝑡 (2.25)


14

2.5. Penyelesaian Pendulum Sederhana Menggunakan Lagrangian

Pendulum Sederhana dapat dilihat seperti pada gambar 2.4, dengan

komponen massa 𝑚, panjang 𝑙, dan sudut 𝜃.

Gambar 2.6. Ilustrasi Pendulum Sederhana

Gambar 2.7. Analisis Pendulum Sederhana

posisi benda dalam sumbu 𝑥 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

𝑥 = 𝑙 sin 𝜃 (2.26)

untuk turunan terhadap waktu 𝑥 adalah �̇�

�̇� = 𝑙 cos 𝜃 �̇� (2.27)

posisi benda dalam sumbu 𝑦 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:


15

𝑦 = −𝑙 cos 𝜃 (2.28)

untuk turunan terhadap waktu 𝑦 adalah �̇�

�̇� = 𝑙 sin 𝜃 �̇� (2.29)

Pendulum yang diberikan simpangan, akan memiliki energi kinetik dan

energi potensial. Besar energi kinetiknya mengikuti persamaan berikut:

𝑇 = 1

2𝑚𝑣2 (2.30)

𝑇 = 1

2𝑚(�̇�2 + �̇�2)

(2.31)

𝑇 = 1

2𝑚[(𝑙 sin 𝜃 �̇�)2 + (−𝑙 cos 𝜃 �̇�)2]

(2.32)

𝑇 = 1

2𝑚𝑙2𝜃2̇(sin2𝜃 + cos2𝜃)

(2.33)

dengan 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1, maka:

𝑇 = 1

2𝑚𝑙2𝜃2̇

(2.34)

energi potensial pendulum sederhana mengikuti persamaan berikut:

𝑉 = 𝑚𝑔ℎ (2.35)

dengan ℎ = 𝑦, maka:

𝑉 = − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 (2.36)

dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 2.34 dan 2.36

disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:

𝐿 = 1

2𝑚𝑙2�̇�2 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃

(2.37)

berdasarkan persamaan 2.33, maka persamaan Euler-Lagrange dapat

diperoleh sebagai berikut:

ⅆ

ⅆ𝑡[𝜕 (

12 𝑚𝑙2𝜃2̇ + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕�̇�] −

𝜕 (12 𝑚𝑙2�̇� + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕θ= 0 (2.38)

𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 (2.39)


16

�̈� +𝑔

𝑙sin 𝜃 = 0 (2.40)

dengan 𝑔

𝑙 adalah ⍵0

2 dan dengan menggunakan pendekatan sudut kecil, maka:

�̈� + ⍵02 𝜃 = 0 (2.41)

solusi dari persamaan 2.41 adalah:

θ = 𝐴 sin(⍵0𝑡 − 𝜙) (2.42)


17

BAB III

METODE PENELITIAN

Penelitian ini bertujuan untuk menemukan persamaan gerak dari

pendulum fisis gabungan menggunakan metode lagrangian dengan pendekatan

sudut kecil, yang kemudian dibuktikan menggunakan aplikasi Loggerpro. Adapun

tujuan lainnya adalah untuk mengetahui besarnya konstanta redaman yang dimiliki

pendulum fisis gabungan dan pendulum fisis. Untuk menemukan persamaan gerak

pendulum fisis gabungan diperoleh dengan cara menurunkan energi kinetik dan

energi potensial pendulum menggunakan persamaan lagrangian. Untuk tujuan yang

lain ditentukan dengan terlebih dahulu merekam gerakan pendulum fisis dan

pendulum fisis gabungan yang telah dilakukan menggunakan handycam Panasonic

90x. Setelah perekaman, video hasil perekaman akan dianalisis menggunakan

aplikasi Loggerpro.

Secara umum penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu: tahap

pertama adalah persiapan alat. Tahap kedua adalah pengambilan data, dan Tahap

ketiga adalah melakukan adalah analisis video menggunakan aplikasi Loggerpro.

3.1. Persiapan Alat

Alat yang digunakan dalam penelitian ini meliputi:

1) Pendulum

Pendulum yang digunakan terbuat dari penggaris plastik yang

dipasangkan dengan laher. Penggaris plastik dipilih karena mudah

didapatkan, murah, memiliki ukuran yang sama (dengan merek yang

sama), dan massanya relatif sama. Selain itu penggaris dipilih karena

mudah dilubangi untuk meletakkan laher, dibandingkan dengan kayu

ataupun logam lainnya. Penggaris plastik juga cukup kokoh dan tidak


18

mudah berubah bentuk, sehingga sangat sesuai digunakan sebagai

pendulum.

2) Laher

Laher digunakan untuk mengurangi gesekan antara pendulum

dengan penyangga. Sehingga faktor redaman yang digunakan

diharapkan hanya berasal dari pendulum.

3) Handycam

Handycam yang digunakan untuk merekam gerak pendulum

adalah Panasonic 90x.

4) Tripod

Tripod digunakan untuk meletakkan handycam, sehingga

handycam dapat diatur satu garis lurus dengan pendulum dan dalam

keadaan datar.

5) Papan tulis hitam

Papan tulis dipilih sebagai background supaya kontras dengan

titik putih yang ada pada pendulum.

6) Tipp-ex dan spidol

Tipp-ex digunakan untuk memberikan tanda pada pendulum

sehingga memudahkan dalam proses analisis gerakan pendulum. Spidol

hitam digunakan untuk menghitamkan bagian di sekeliling tipp-ex,

sehingga sama dengan background.

3.2. Pengambilan Data

Pengambilan data dilakukan dengan melakukan perekaman gerak dari

pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan. Bagian perekaman diawali

dengan penyusunan alat yang telah disiapkan. Alat yang telah disiapkan lalu di

susun seperti pada gambar 3.1.


19

Gambar 3.1. Gambar Rangkaian Pendulum fisis (Sebelah Kiri) dan Rangkaian

Pendulum fisis gabungan (sebelah kanan)

Keterangan:

1 & 5 : laher

2 : titik perekaman

3 : handycam

4 : papan tulis hitam

6 : tripod

Posisi pendulum fisis ataupun pendulum fisis gabungan diatur sedemikian

sehingga menjadi satu garis lurus. Pendulum diberikan bantalan yang

kemudian dilekatkan pada papan tulis yang kakinya sudah diberikan

penyangga sehingga tidak dapat bergerak ataupun bergoyang.

3.3. Analisis Menggunakan Loggerpro

Pengukuran menggunakan Loggerpro dibagi menjadi beberapa bagian,

pertama adalah pengukuran sudut yang digunakan. kedua adalah analisis

gerakan dari pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan. Adapun langkah-

langkah pengukurannya dilakukan sebagai berikut:


20

1) Pengukuran sudut

Pengukuran sudut yang diberikan dilakukan menggunakan fitur

Video analyzer pada software Loggerpro. Dengan cara sebagai berikut:

a. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menampilkan video

yang telah direkam. Video ditampilkan menggunakan fitur movie

yang terletak pada menu Insert, seperti pada gambar 3.2.

Gambar 3.2. Fitur Movie Pada Menu Insert

b. Video yang telah dipilih kemudian dianalisis dengan menggunakan

fitur analyzer, ada fitur analyzer kemudian dipilih ikon set scale,

yang ditunjukkan oleh tanda panah bernomor 1 pada gambar 3.3,

guna menentukan skala pengukuran. Kemudian pointer diarahkan

ke sisi tepi penggaris dan dengan menekan shift+klik, pointer

ditarik ke sisi tepi penggaris yang lain, seperti pada tanda panah

bernomor dua di gambar 3.3. Setelah dirasa garis yang dihasilkan

sudah vertikal sempurna, shift+klik dilepaskan dan setelahnya akan

muncul kolom notifikasi scale, seperti pada gambar 3.4. Pada

kolom distance kemudian diisikan ukuran lebar penggaris yang

sebelumnya telah dilakukan pengukuran.


21

Gambar 3.3. Ikon Set Scale Pada Fitur Analyzer

Gambar 3.4. Notifikasi Scale

c. Langkah selanjutnya adalah membuat dengan membuat titik

setimbang pendulum. Titik setimbang diatur menggunakan ikon set

origin (gambar 3.5.), pointer kemudian diarahkan dan di klik pada

titik putih (bawah) yang telah dibuat.


22

Gambar 3.5. Ikon Set Origin Pada Fitur Analyzer

d. Video dimainkan hingga pada posisi pendulum telah

disimpangkan. Lalu sudut diukur dengan melakukan pengukuran

menggunakan ikon photo distance (panah nomor 1 pada gambar

3.6), dengan mengarahkan pointer pada perpotongan sisi tepi

penggaris dan sumbu y, seperti yang ditunjukkan oleh tanda panah

nomor 2 pada gambar 3.6 pointer kemudian digeser sambil

menekan shift + klik ke posisi yang telah ditentukan (misalnya

menuju panah nomor 3 pada gambar 3.6). Pada sumbu y juga

dilakukan pengukuran dengan cara yang sama, sehingga

menghasilkan data seperti pada gambar 3.7.

Gambar 3.6. Ikon Photo Distance Pada Loggerpro


23

Gambar 3.7. Hasil Pengukuran Komponen Panjang Pendulum Menggunakan

Ikon Photo Distance Pada Loggerpro

e. Setelah diperoleh komponen panjang pendulum pada sumbu 𝑥 dan

𝑦 seperti pada gambar 3.7, maka sudut yang digunakan untuk dapat

diperoleh menggunakan fungsi tangensial.

2) Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan

Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan

dilakukan untuk memperoleh konstanta redaman. Langkah-langkah

yang dilakukan sebagai berikut:

a. Langkah awal yang dilakukan sama seperti poin a sampai poin b

pada pengukuran sudut.

b. Analisis gerakan pendulum fisis dan pendulum fisis gabungan

dilakukan menggunakan ikon add point pada fitur analyzer

(gambar 3.8.). pointer diarahkan ke titik putih (bawah) yang telah

dibuat kemudian diklik dan dilakukan perekaman pergerakan

pendulum pada video.


24

Gambar 3.8. Ikon Add Point Pada Fitur Analyzer

c. Nilai konstanta redaman kemudian diperoleh dengan melakukan

fiting terhadap data yang diperoleh dengan menggunakan

persamaan 𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−𝐵𝑡 sin (𝐶𝑥 + 𝐷).


25

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Penelitian

4.1.1. Pendulum fisis gabungan

a. Derajat kebebasan pendulum fisis gabungan

Derajat kebebasan dapat ditentukan setelah persamaan kendala

yang dimiliki suatu sistem diketahui. Persamaan kendala pendulum

fisis gabungan meliputi:

a) Pendulum fisis gabungan hanya bergerak pada satu bidang

(𝑥, 𝑦), sehingga sumbu 𝑧 pada titik nol. Pada pendulum

pertama:

𝑧1 = 0 (4.1)

dan pada pendulum kedua:

𝑧2 = 0 (4.2)

b) Posisi pendulum fisis gabungan pada sumbu 𝑥 dan 𝑦,

terkungkung oleh panjang lengan pendulum. Sehingga pada

pendulum pertama dapat dinyatakan melalui persamaan:

𝑥12 + 𝑦1

2 = 𝑙12 (4.3)

dan pada pendulum kedua:

𝑥22 + 𝑦2

2 = 𝑙22 (4.4)

dari persamaan di atas diketahui bahwa ada empat persamaan

kendala pada pendulum fisis gabungan.

Derajat kebebasan dari pendulum fisis kemudian dapat

diperoleh dari persamaan 2.21. Sehingga diperoleh persamaan

kendala pada pendulum fisis gabungan sebagai berikut:

ⅆ𝑘 = 3(2) − 4

ⅆ𝑘 = 2


26

dengan demikian maka diketahui ada dua derajat kebebasan untuk

pendulum fisis gabungan, yang juga menandakan bahwa jumlah

koordinat umum pada pendulum fisis gabungan ada dua buah.

b. Penyelesaian persamaan gerak pendulum fisis gabungan

menggunakan lagrangian

Pendulum fisis gabungan diilustrasikan seperti gambar 4.1.

karena pendulum fisis gabungan ini adalah benda pejal yang

memiliki massa, maka dalam analisis ini momen inersia yang

dimiliki pendulum ikut diperhatikan.

Gambar 4.1. Ilustrasi Pendulum fisis gabungan


27

berdasarkan gambar 4.1 posisi benda pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 dapat diperoleh melalui persamaan berikut:

𝑥1 =1

2𝑙1 sin 𝜃1 (4.5)

𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 +1

2𝑙2 sin 𝜃2 (4.6)

𝑦1 = −1

2𝑙1 cos 𝜃1 (4.7)

𝑦2 = −𝑙1 cos 𝜃1 −1

2𝑙2 cos 𝜃2 (4.8)

Turunan terhadap waktu dari persamaan posisi 𝑥 dan 𝑦 adalah:

𝑥1̇ =1

2𝑙1 cos 𝜃1�̇�1 (4.9)

𝑥2̇ = 𝑙1 cos 𝜃1�̇�1 +1

2𝑙2 cos 𝜃2�̇�2 (4.10)

𝑦1̇ =1

2𝑙1 sin 𝜃1 �̇�1 (4.11)

𝑦2̇ = 𝑙1 sin 𝜃1�̇�1 +1

2𝑙2 sin 𝜃2�̇�2 (4.12)

Berdasarkan analisa gambar 4.1, energi potensial dari sistem dapat diperoleh sebagai berikut:

𝑉 = −1

2 𝑚1𝑔𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑚2𝑔 (−𝑙1 cos 𝜃1 −

1

2𝑙2 cos 𝜃2) (4.13)


28

𝑉 = −𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (1

2𝑚1 + 𝑚2) −

1

2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2 (4.14)

Energi kinetik sistem pada gambar 4.1 dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑇 =1

2𝑚1𝑣1

2 +1

2𝑚2𝑣2

2 (4.15)

𝑇 =1

2𝑚1(�̇�1

2 + �̇�12) +

1

2𝑚2(�̇�2

2 + �̇�22) (4.16)

𝑇 =1

8𝑙1�̇�1

2(𝑚1 + 4𝑚2) +1

8𝑚2𝑙2�̇�2

2 +1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2) (4.17)

dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 4.14 dan 4.17 disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:

𝐿 =1

8𝑙1�̇�1

2(𝑚1 + 4𝑚2) +

1

8𝑚2𝑙2�̇�2

2+

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (

1

2𝑚1 + 𝑚2) +

1

2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2 (4.18)

Dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil, maka persamaan Euler-Lagrange untuk θ1 adalah:

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�1

] −𝜕𝐿

𝜕𝜃1= −𝑏1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡 (4.19)


29

untuk 𝑑

𝑑𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�1]

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�1

] =ⅆ

ⅆ𝑡{

𝜕 [18 𝑙1�̇�1

2(𝑚1 + 4𝑚2) +

18 𝑚2𝑙2�̇�2

2+

12 𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (

12 𝑚1 + 𝑚2) +

12 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2]

𝜕�̇�1

} (4.20)

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�1

] =1

4𝑙1

2�̈�1(𝑚1 + 4𝑚2) + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2)�̈�2 − 𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2 (4.21)

untuk 𝜕

𝜕𝜃1

𝜕𝐿

𝜕𝜃1=

𝜕

𝜕𝜃1[1

8𝑙1�̇�1

2(𝑚1 + 4𝑚2) +

1

8𝑚2𝑙2�̇�2

2+

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (

1

2𝑚1 + 𝑚2) +

1

2𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2] (4.22)

𝜕𝐿

𝜕𝜃1= −

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) − 𝑔𝑙1 sin 𝜃1 (

1

2𝑚1 + 𝑚2) (4.23)

Persamaan 4.21 dan persamaan 4.23 disubstitusikan ke persamaan 4.19, kemudian diturunkan secara matematis. penurunan

persamaan 4.19 dapat dilihat pada lampiran 1, maka diperoleh persamaan koordinat umum yang pertama pada pendulum fisis gabungan

sebagai berikut:

d2𝜃1

ⅆ𝑡2+

𝑏1

𝐼1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡+ ⍵1

2𝜃1 = 0 (4.24)

dengan 𝐼1 =9

4𝑚𝑙2; dan ⍵1

2 =2

3

𝑔

𝑙


30

berdasarkan persamaan 4.24 diperoleh solusi untuk persamaan gerak pendulum fisis gabungan sebagai berikut:

𝜃1 = 𝐴𝑒−𝐵1𝑡 sin(⍵1𝑡 + 𝜙) (4.25)

dengan 𝐵1 =𝑏1

2𝐼1

Dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil, maka persamaan Euler-Lagrangian untuk 𝜃2 adalah:

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�2

] −𝜕𝐿

𝜕𝜃2= −𝑏2

ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡 (4.26)

untuk 𝑑

𝑑𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�2]

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�2

] =ⅆ

ⅆ𝑡{

𝜕 [18

𝑙1�̇�12

(𝑚1 + 4𝑚2) +18

𝑚2𝑙2�̇�22

+12

𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (12

𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2]

𝜕�̇�2

} (4.27)

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�2

] =1

4𝑚2𝑙2

2�̈�2 +1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̈�1𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2) −

1

2𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2 (4.28)

untuk 𝜕

𝜕𝜃2

𝜕𝐿

𝜕𝜃2=

𝜕

𝜕𝜃2[1

8𝑙1�̇�1

2(𝑚1 + 4𝑚2) +

1

8𝑚2𝑙2�̇�2

2+

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑔𝑙1 cos 𝜃1 (

1

2𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑔𝑙2 cos 𝜃2] (4.29)


31

𝜕𝐿

𝜕𝜃2= −

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2 sin(𝜃1 − 𝜃2) −

1

2𝑚2𝑔𝑙2 sin 𝜃2 (4.30)

Persamaan 4.28 dan persamaan 4.30 disubstitusikan ke

persamaan 4.26, kemudian diturunkan secara matematis. penurunan

persamaan 4.26 dapat dilihat pada lampiran 1. Maka diperoleh

persamaan koordinat umum yang kedua pada pendulum fisis

gabungan sebagai berikut:

ⅆ2𝜃2

ⅆ𝑡2+

𝑏2

𝐼2

ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡+ ⍵2

2𝜃2 = 0 (4.31)

dengan

dengan 𝐼2 =3

4𝑚𝑙2 dan ⍵2

2 =2

3

𝑔

𝑙

berdasarkan persamaan 4.31 diperoleh solusi untuk persamaan gerak

pendulum fisis gabungan sebagai berikut:

𝜃2 = 𝐴𝑒−𝐵2𝑡 sin(⍵2𝑡 + 𝜙)

dengan 𝐵2 =𝑏2

2𝐼2

(4.32)

c. Analisis konstanta redaman pendulum fisis gabungan menggunakan

Loggerpro

Konstanta redaman pendulum fisis gabungan ditentukan

dengan cara seperti yang telah dijelaskan pada BAB III dengan

menggunakan persamaan 4.32. persamaan ini dipilih karena

pengambilan data dilakukan pada titik yang berada pada di lengan

bawah pendulum fisis gabungan. Berikut adalah hasil fitting untuk

data pertama pada sudut 8,07o :


32

Gambar 4.2. Grafik Hasil Fitting Data Pertama Pada Sudut 8,07o Untuk

Pendulum fisis gabungan

Dari gambar 4.2 faktor redaman dari persamaan pada pendulum fisis

gabungan ditunjukkan oleh variabel B, di mana untuk data pertama

dengan sudut 8,07o memiliki faktor redaman sebesar 0,05664.

Kemudian konstanta redaman pendulum fisis gabungan dapat

ditentukan sebagai berikut:

𝑏2 = 2𝐼2𝐵2

𝑏2 = 2 × [3

2× 0,04 × (0,4)2] × 0,05664

𝑏2 = 1,09 × 10−3 kg m2/s

dengan menggunakan cara yang sama data berikutnya dianalisis,

sehingga diperoleh tabel hasil analisis sebagai berikut:

Tabel 4.1. Konstanta Redaman pada Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o

Data Konstanta Redaman

(Kg m2/s)

1 0,001087

2 0,001116

3 0,001126

4 0,001152

5 0,001103

Rata-rata dan ralat (1,12 ± 0,05) × 10-3


33

4.1.2. Pendulum Fisis Tunggal

a. Derajat kebebasan pendulum fisis tunggal

Derajat kebebasan dapat ditentukan setelah persamaan kendala

yang dimiliki suatu sistem diketahui. Persamaan kendala pendulum

fisis tunggal meliputi:

a) Pendulum fisis tunggal hanya bergerak pada satu bidang (𝑥, 𝑦),

sehingga sumbu 𝑧 pada titik nol. Sehingga persamaan

kendalanya dapat dituliskan:

𝑧 = 0 (4.36)

b) Posisi pendulum fisis tunggal pada sumbu 𝑥 dan 𝑦, terkendala

oleh panjang lengan pendulum. Dengan jumlah kuadrat 𝑥 dan 𝑦

tidak akan lebih besar ataupun lebih kecil dari kuadrat panjang

lengan pendulum. Sehingga persamaan kendalanya dapat

dituliskan:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙2 (4.37)

dari persamaan di atas, diketahui bahwa ada dua persamaan kendala

pada pendulum fisis tunggal.

Derajat kebebasan dari pendulum fisis tunggal kemudian dapat

diperoleh dari persamaan 2.21. Sehingga diperoleh persamaan

kendala pada pendulum fisis tunggal sebagai berikut:

ⅆ𝑘 = 3(1) − 2

ⅆ𝑘 = 1

dengan demikian maka diketahui ada satu derajat kebebasan untuk

pendulum fisis tunggal, yang juga menandakan bahwa jumlah

koordinat umum pada pendulum fisis tunggal ada satu buah.

b. Penyelesaian persamaan gerak pendulum fisis tunggal menggunakan

lagrangian

Pendulum fisis tunggal diilustrasikan sebagai berikut:


34

Gambar 4.3. Ilustrasi Pendulum Fisis Tunggal

berdasarkan gambar 4.4 posisi benda pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦

dapat diperoleh melalui persamaan berikut:

𝑥 =1

2𝑙 sin 𝜃

(4.33)

𝑦 = −1

2𝑙 cos 𝜃

(4.34)

Turunan terhadap waktu dari persamaan posisi 𝑥 dan 𝑦 adalah:

�̇� =1

2𝑙 cos 𝜃 �̇�

(4.35)

�̇� =1

2𝑙 sin 𝜃 �̇�

(4.36)

Berdasarkan gambar 4.4, energi potensial dari sistem dapat

diperoleh sebagai berikut:

𝑉 = 𝑚𝑔ℎ (4.37)

𝑉 = −1

2𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃

(4.38)

Energi kinetik sistem pada gambar 4.4 dapat dinyatakan sebagai

berikut:


35

𝑇 =1

2𝑚(�̇�2 + �̇�2)

(4.39)

𝑇 =1

2𝑚 [(

1

2𝑙 cos 𝜃�̇�)

2

+ (−1

2𝑙 sin 𝜃 �̇�)

2

] (4.40)

𝑇 =1

8𝑚𝑙2�̇�2

(4.41)

dengan menggunakan persamaan lagrangian maka persamaan 4.38

dan 4.41 disubstitusikan ke persamaan 2.22, sehingga diperoleh:

𝐿 = 1

8𝑚𝑙2�̇�2 +

1

2𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃

(4.42)

dengan asumsi bahwa pendulum akan mengalami redaman kecil,

maka persamaan Euler-Lagrangian untuk θ adalah:

ⅆ

ⅆ𝑡[𝜕 (

18

𝑚𝑙2�̇�2 + 12

𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕�̇�] −

𝜕 ( 18

𝑚𝑙2�̇�2 + 12

𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕θ= −𝑏3

𝜕𝜃

𝜕𝑡 (4.43)

Persamaan 4.43 kemudian diturunkan secara matematis, untuk

uraian penurunannya dapat dilihat pada lampiran 1. Setelah

dilakukan penurunan, maka persamaan koordinat umum pendulum

fisis tunggal akan diperoleh sebagai berikut:

ⅆ2𝜃

ⅆ𝑡2+

𝑏3

𝐼3

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡+ ⍵3

2𝜃 = 0 (4.44)

dengan ⍵32 = 2

𝑔

𝑙; dan 𝐼3 =

1

4𝑚𝑙2 , Berdasarkan persamaan 4.44

diperoleh solusi untuk persamaan gerak pendulum fisis tunggal

sebagai berikut:

𝜃 = 𝐴𝑒−𝐵3𝑡 sin(⍵3𝑡 − 𝜙) (4.45)

dengan 𝐵3 =𝑏3

2𝐼3


36

c. Analisis konstanta redaman pendulum fisis tunggal menggunakan

Loggerpro

Konstanta redaman pendulum fisis tunggal ditentukan dengan

cara seperti yang telah dijelaskan pada bab III dengan menggunakan

persamaan 4.45. Berikut adalah hasil fitting untuk data pertama pada

sudut 8,07o :

Gambar 4.4. Grafik Hasil Fitting Data Pertama pada Sudut 8,07o Untuk

Pendulum Fisis Tunggal

Dari gambar 4.5 faktor redaman dari persamaan pada

pendulum fisis tunggal ditunjukkan oleh variabel B, di mana untuk

data pertama dengan sudut 8,07o memiliki faktor redaman sebesar

0,05965. Sedangkan untuk konstanta redaman pendulum fisis

tunggal dapat diperoleh sebagai berikut:

𝑏3 = 2𝐼3𝐵

𝑏3 = 2 × 2 × 0,04 × 0,42 × 0,05965

𝑏3 = 1,52 × 10−2𝑘𝑔 𝑚2/𝑠

dengan menggunakan cara yang sama data berikutnya

dianalisis, sehingga diperoleh tabel hasil analisis sebagai berikut:


37

Tabel 4.2. Konstanta Redaman Pada Pendulum Fisis Tunggal untuk

Sudut 8,07o

Data Konstanta Redaman

(Kg m2/s)

1 0,001527

2 0,001512

3 0,001522

4 0,001525

5 0,001524

Rata-rata dan Ralat (1,52 ± 0,01) × 10-3

4.2. Pembahasan

Penelitian ini memiliki empat tujuan seperti yang sudah disebutkan

pada BAB I. Tujuan pertama penelitian ini adalah menemukan persamaan

umum dari pendulum fisis gabungan menggunakan metode lagrangian

dengan pendekatan sudut kecil. Sesuai dengan yang telah dijelaskan pada

dasar teori, bahwa jumlah persamaan umum dapat diketahui dari derajat

kebebasannya. Pada bagian hasil ditemukan bahwa pendulum fisis

gabungan memiliki dua derajat kebebasan yang berarti pendulum fisis

gabungan memiliki dua persamaan umum. Sedangkan pendulum fisis

hanya memiliki satu derajat kebebasan sehingga pendulum fisis hanya

memiliki satu persamaan umum. Persamaan yang diperoleh untuk

pendulum fisis gabungan ditunjukkan oleh persamaan 4.25 dan 4.32,

sedangkan untuk pendulum fisis ditunjukkan oleh persamaan 4.45.

Pendulum fisis gabungan memiliki dua buah solusi yaitu untuk

sudut yang pertama (𝜃1) dan sudut yang kedua (𝜃2). Karena 𝜃1 ≈ 𝜃2,

maka dalam analisis dapat menggunakan salah satu solusi tersebut. Pada

penelitian ini sudut yang digunakan untuk analisis data pada pendulum

fisis gabungan adalah 𝜃2.

Pendulum yang digunakan dalam penelitian ini ada dua jenis, yaitu

pendulum fisis gabungan dan pendulum fisis. Dengan kedua pendulum


38

terbuat dari penggaris yang dilubangi dan diberi laher sebagai poros,

sehingga pendulum dapat berayun dengan bebas dan mengurangi

terjadinya gesekan antara pendulum dan poros putarnya. Pendulum yang

telah dirangkai kemudian disimpangkan dan direkam menggunakan

handycam Panasonic 90x. Setelah diberikan simpangan pendulum mulai

berosilasi dan lama kelamaan pendulum akan berhenti. Peristiwa ini

menunjukkan bahwa pendulum mengalami osilasi teredam. Redaman

yang dialami pendulum merupakan redaman kecil, di mana dapat dilihat

pada gambar 4.2 ataupun gambar 4.5 terjadi pengurangan amplitudo secara

perlahan.

Pengurangan amplitudo setiap waktu ini kemudian disebut sebagai

konstanta redaman pendulum. Konstanta redaman pendulum dapat

diperoleh dengan menggunakan analisis video yang telah direkam

menggunakan loggerpro dan melakukan fitting data yang diperoleh seperti

yang telah dilakukan pada bagian hasil yang ada pada BAB IV. Nilai

konstanta redaman pendulum fisis tunggal adalah (1,52 ± 0,01) × 10-3 Kg

m2/s dan pada pendulum fisis gabungan adalah (1,12 ± 0,05) × 10-3 Kg m2/s.

Terdapat perbedaan nilai konstanta redaman pendulum fisis tunggal

dan pendulum fisis gabungan. Berdasarkan hasil pengamatan, hal ini dapat

terjadi karena pada saat pendulum gabungan berayun dan mencapai titik

yang sama dengan pendulum fisis tunggal (gambar 4.8). Lengan bawah

pendulum gabungan memberikan dorongan kepada lengan atas pendulum

gabungan (gambar 4.9). Sehingga pendulum gabungan dapat memiliki

simpangan yang lebih jauh dibandingkan dengan pendulum fisis tunggal.


39

Gambar 4.5. Pendulum Fisis Tunggal dan Pendulum Fisis Gabungan pada

Ketinggian yang Sama

Gambar 4.6. Pendulum Fisis Gabungan Menyimpang Lebih Jauh

Kualitas perekaman memiliki pengaruh yang sangat besar dalam

penelitian ini. Sehingga perekaman harus dilakukan pengulangan hingga

beberapa kali untuk memperoleh hasil yang terbaik. Namun karena

keterbatasan kemampuan perekaman dari handycam yang digunakan,

mengakibatkan perekaman untuk sudut yang lebih besar dari 60o tidak

dapat diamati. Dalam penelitian ini sempat terjadi kesulitan dalam proses

analisis video di loggerpro, karena gambar yang dihasilkan kurang

maksimal bahkan beberapa frame terlihat tidak fokus. Namun karena

banyaknya data diperoleh sudah cukup untuk menunjukkan peristiwa

osilasi teredam yang diharapkan dan dapat diamati dengan jelas.


40

BAB V

PENUTUP

5.1. Kesimpulan

a. Ada dua buah persamaan gerak untuk pendulum fisis gabungan yaitu:

𝜃1 = 𝐴𝑒−𝐵1𝑡 sin( ⍵1𝑡 − 𝜙)

dan

𝜃2 = 𝐴𝑒−𝐵2𝑡 sin( ⍵2𝑡 − 𝜙)

b. Nilai konstanta redaman untuk sudut kecil pada pendulum fisis tunggal

adalah (1,52 ± 0,01) × 10-3 Kg m2/s dan pada pendulum fisis gabungan adalah

(1,12 ± 0,05) × 10-3 Kg m2/s

5.2. Saran

Bagi pembaca yang memiliki minat untuk melakukan penelitian serupa

ataupun melanjutkan penelitian ini, penulis menyarankan untuk:

a. Menggunakan kamera atau handycam dengan kualitas perekaman di atas

90 fps. Supaya pada saat analisis menggunakan Loggerpro tidak terdapat

frame yang tidak jelas dan meningkatkan ketelitian dalam penelitian.

b. Menemukan solusi untuk batasan masalah pada poin 1.3.2, di mana pada

penelitian ini massa laher masih di abaikan.

c. Memperhatikan kontras benda yang diamati dengan background. Karena

jika benda dan background tidak kontras maka akan menyulitkan peneliti

pada bagian analisis.

d. Memperhatikan kondisi lingkungan terutama keadaan cahaya dan angin,

yang dapat mempengaruhi proses pengambilan data.

e. Menggunakan komputasi agar memperoleh solusi di mana 𝜃1 ≠ 𝜃2


41

DAFTAR PUSTAKA

Giancoli, Douglas C. 2014. Fisika Prinsip dan Aplikasi. Jilid ke-1. Edisi ke-7.

Diterjemahkan oleh Irzam. Jakarta: Erlangga.

Halliday, D., dan Resnick, R.1984. Fisika Dasar. Edisi Ketiga Jilid 2. Jakarta:

Erlangga.

Limiansih, K., Santosa, I. E. (2013) Redaman Pada Pendulum fisis. Jurnal Fisika

Indonesia. XVII (Desember), 17-20.

Rafat, M. Z., Wheatland, M. S., Bedding, T. R. 2009. Dynamics of a double

pendulum with distributed mass. American Journal of Physics 77. 216

(2009): 216-223

Tipler, P. A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik. Jilid ke-1. Diterjemahkan oleh

Lea Prasetio dan Rahmad W. Adi. Jakarta: Erlangga.

Shinbrot, T., Grebogi, C., Wiasom, J. 1992. Chaos in a double pendulum. American

Journal of Physics. 491 (1992): 491-499


42

LAMPIRAN

Lampiran 1. Penyelesaian Persamaan Pada BAB V

A. Penyelesaian Persamaan 4.23

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�1

] −𝜕𝐿

𝜕𝜃1= −𝑏1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡

𝑙12�̈�1(𝑚1 + 𝑚2) + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2)�̈�2 − 𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(𝜃1̇ − 𝜃2̇)�̇�2+

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑔𝑙1 sin 𝜃1 (

1

2𝑚1 + 𝑚2) = −𝑏1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡

dengan 𝑚1 ≈ 𝑚2 ≈ 𝑚; 𝜃1 ≈ 𝜃2 ; dan 𝑙1 ≈ 𝑙2 ≈ 𝑙; maka:

1

4𝑙2�̈�1(5𝑚) + 𝑚𝑙2�̈�1 + 𝑔𝑙 sin 𝜃1 (

3

2𝑚) = −𝑏1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡

9

4𝑚𝑙2�̈�1 +

3

2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃1 = −𝑏1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡

dengan persamaan di atas kemudian dibagi dengan 9

4𝑚𝑙2, maka:

�̈�1 +2

3

𝑔

𝑙sin 𝜃1 = −

𝑏1

94 𝑚𝑙2

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡


43

dengan 9

4𝑚𝑙2 = 𝐼1;

2

3

𝑔

𝑙= ⍵1; dan persamaan di atas didekati menggunakan pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃1 ≈ 𝜃1, maka

diperoleh persamaan 4.24:

ⅆ2𝜃1

ⅆ𝑡2+

𝑏1

𝐼1

ⅆ𝜃1

ⅆ𝑡+ ⍵1

2𝜃1 = 0

B. Penyelesaian Persamaan 4.31

ⅆ

ⅆ𝑡[

𝜕𝐿

𝜕�̇�2

] −𝜕𝐿

𝜕𝜃2= −𝑏2

ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡

1

4𝑚2𝑙2

2�̈�2 +1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̈�1𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2) −

1

2𝑚2𝑙1𝑙2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2)(�̇�1 − �̇�2)�̇�2+

1

2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�1�̇�2𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2) +

1

2𝑚2𝑔𝑙2 sin 𝜃2 = −𝑏2

ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡

dengan 𝑚1 ≈ 𝑚2 ≈ 𝑚; 𝜃1 ≈ 𝜃2 ≈ 𝜃 ; dan 𝑙1 ≈ 𝑙2 ≈ 𝑙; maka:

1

4𝑚𝑙2�̈�2 +

1

2𝑚𝑙2�̈�2 +

1


ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡

3

4𝑚𝑙2�̈�2 +

1


ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡


4𝑚𝑙2, maka:


47

�̈� +2

3

𝑔

𝑙sin 𝜃 = −

𝑏2

34 𝑚𝑙2

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡

dengan 3

4𝑚𝑙2 = 𝐼2;

2

3

𝑔

𝑙= ⍵2

2; dan persamaan di atas didekati menggunakan

pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃2 ≈ 𝜃2, maka diperoleh persamaan

4.24:

ⅆ2𝜃2

ⅆ𝑡2+ ⍵2

2 𝜃2 +𝑏2

𝐼2

ⅆ𝜃2

ⅆ𝑡= 0

C. Penyelesaian Persamaan 4.48

ⅆ

ⅆ𝑡[𝜕 (

18 𝑚𝑙2�̇�2 +

12 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕�̇�] −

𝜕 ( 18 𝑚𝑙2�̇�2 +

12 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃)

𝜕θ= −𝑏3

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡

1

4𝑚𝑙2�̈� +

1

2𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = −𝑏3

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡


4𝑚𝑙2, maka:

�̈� + 2𝑔

𝑙sin 𝜃 = −

𝑏3

14 𝑚𝑙2

ⅆ𝜃

ⅆ𝑡

dengan 1

4𝑚𝑙2 = 𝐼3; 2

𝑔

𝑙= ⍵3; dan persamaan di atas didekati menggunakan

pendekatan sudut kecil di mana sin 𝜃 ≈ 𝜃, maka diperoleh persamaan 4.49:

ⅆ2𝜃

ⅆ𝑡2+ ⍵3

2 𝜃 +𝑏3

𝐼3

ⅆ𝜃3

ⅆ𝑡= 0


48

Lampiran 2. Hasil Analisis Video Pada Loggerpro

A. Pendulum Fisis Tunggal untuk Sudut 8,07o

1. Data I

2. Data II

3. Data III


49

4. Data IV

5. Data V


50

B. Pendulum Fisis Gabungan untuk Sudut 8,07o

1. Data I

2. Data II

3. Data III


51

4. Data IV

5. Data V


Documents

PENENTUAN KONSTANTA REDAMAN PENDULUM FISIS TUNGGAL … · penentuan konstanta redaman pendulum fisis tunggal dan pendulum fisis gabungan menggunakan lagrangian dengan analisis video