Upload
others
View
35
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF
MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
oleh
MIRA AMALIA
M0113030
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
i
ABSTRAK
Mira Amalia. 2017. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEARITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG. Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atauprinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbolatau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baruadalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistempersamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang denganmetode PDM (Presedence Diagram Method).
Metode PDM merupakan metode untuk menentukan jalur kritis agar pe-nyelesaian proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu. Lintasan terpanjangditentukan dengan memodifikasi perhitungan menggunakan metode PDM padaanalisis lintasan kritis jaringan proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuhperjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratifmaks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktuawal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titikdengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan mem-bentuk lintasan terpanjang dalam jaringan. Hasil dari pembahasan merupakankajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakanprogram yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa ja-ringan proyek dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf bera-rah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuanwaktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobotjaringannya.
Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan litera-tur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito.Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan proyek dengan bobot waktu tem-puh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan denganmatriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukanmelalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya.
Kata Kunci : aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang
iv
ABSTRACT
Mira Amalia. 2017. APPLICATIONOFMAX-PLUS ITERATIVE LINEAREQUATIONS SYSTEM ON THE LONGEST PATH PROBLEM. Faculty of Ma-thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Algebra is a branch of mathematics that studies the concept or principle ofsimplification and problem solving using symbols or specific letters. One of thescores in algebra that is considered new is the max-plus algebra. This researchdiscusses about the system of max-plus linear equation and its application to thelongest path problem with PDM (Presedence Diagram Method).
PDM is a method to determine the critical path for the completion of theproject can be completed in a timely manner. This discussion is the result oftheoretical study based on literature and calculation using the program. Thelongest path is determined by modifying the calculation as in the PERT-CPMmethod with PDM method on the critical path analysis on the project network.Besides, it can be done by modeling travel time on the network into an iterativemax-plus system of linear equations (SLE). From this max-plus SLE solution, itcan be determined the earliest start time and latest time for each point. Pointswith the same earliest start time and latest time will form the longest path onthe network.
The result of this research shows that the network with travel time can bemodeled as a weighted directed graph expressed by the upper matrix max-plusalgebra. The determination of minimum travel time can be done through staroperation (∗) with network weight matrix.
Keywords : max-plus algebra, system of linear equations, longest path
v
MOTO
Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan suatu kaum sampai mereka
mengubah keadaan diri mereka sendiri.
(QS. Ar-Ra’d: 11)
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
ibu, bapak, dan kakak saya sebagai wujud atas doa, cinta, inspirasi, dan motivasi
yang sudah diberikan selama ini.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang te-
lah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh
karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada
1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi, pengembangan
model persediaan, serta penurunan model persediaan.
2. Bowo Winarno, S.Si, M.Kom. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi.
3. Keluarga dan sahabat atas dukungan, motivasi, serta bantuan yang telah
diberikan.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2017
Penulis
viii
Daftar Isi
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Teori Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Definisi dan Sifat-Sifat Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . 5
2.2.2 Matriks dan Vektor dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . 7
ix
2.2.3 Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Maks-Plus . . . . 9
2.2.4 Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . 11
2.2.5 Presedence Diagram Methode(PDM) . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IIIMETODE PENELITIAN 16
IVHASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 17
4.1 Sistem Persamaan Linear Iteratif Maks-Plus dan Metode PDM . . 17
4.2 Penerapan Penjadwalan Proyek dengan Metode PDM . . . . . . . 21
4.2.1 Penerapan Proyek Secara Umum . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Penerapan Kegiatan Proyek Pembangunan Drainase di Se-
marang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
V PENUTUP 32
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
DAFTAR PUSTAKA 34
x
Daftar Tabel
4.1 Data dari lima kegiatan proyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Data dari kegiatan proyek pembangunan drainase . . . . . . . . . 27
xi
Daftar Gambar
4.1 Hubungan antar kegiatan dalam PDM . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Graf berarah kegiatan proyek drainase dalam PDM . . . . . . . . 27
xii
Daftar Notasi
(S,+,×) : himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan
dua operasi biner + dan ×
R : himpunan semua bilangan real
ε : −∞
Rε : R ∪ {ε}
⊕ : operasi maks
⊗ : operasi plus (+)
Rmaks : (Rε,⊕,⊗)
Rm×nε : {A = [aij]|aij ∈ Rε, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n}
Rn×nε : {A = [aij]|aij ∈ Rε, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n}
Rnε : {[x1, x2, . . . , xn]
T |xj ∈ ε, j = 1, 2, . . . , n}
≼m : relasi lebih kecil atau sama dengan
dalam aljabar maks-plus
aij : elemen A ∈ Rm×nε pada baris ke-i
dan kolom ke-j dengan i ∈ n dan j ∈ m
V : titik (vertices)
E : himpunan pasangan tak terurut titik-titik atau edges
A : himpunan pasangan terurut titik-titik atau busur
v : titik awal busur
w : titik akhir busur
(v, v) ∈ A : busur yang menyatakan loop
G = (V,A) : graf berarah dengan V = 1, 2, . . .
λ : nilai eigen maksimum
D : kurun waktu kegiatan
ES : waktu mulai paling awal kegiatan
LS : waktu mulai paling akhir kegiatan
EF : waktu selesai paling awal kegiatan
LF : waktu selesai paling akhir kegiatan
xiii
S : ujung awal atau mulai kegiatan
F : ujung akhir atau selesai kegiatan
ESj : waktu mulai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau
ESi : waktu mulai paling awal kegiatan yang terdahulu
EFj : waktu selesai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau
EFi : waktu selesai paling awal dari kegiatan terdahulu
Dj : kurun waktu kegiatan yang bersangkutan
LFi : waktu selesai paling akhir dari kegitan yang sedang ditinjau
LFj : waktu selesai paling akhir dari kegiatan terdahulu
LSj : waktu paling akhir dari kegiatan yang sedang ditinjau
LSi : waktu paling akhir dari kegiatan yang bersangkutan
xe : waktu awal paling cepat
xl : waktu paling akhir
xiv