Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENERAPAN TEORI ANTREAN PADA LOKET PENGISIAN
BAHAN BAKAR MOTOR PERTALITE
DI STASIUN PENGISIAN BAHAN BAKAR UMUM (SPBU) 44.556.05
NANGGULAN KULON PROGO
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
ANGELA SANDRA SUKMANING HATMARINA
171414084
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PENERAPAN TEORI ANTREAN PADA LOKET PENGISIAN
BAHAN BAKAR MOTOR PERTALITE
DI STASIUN PENGISIAN BAHAN BAKAR UMUM (SPBU) 44.556.05
NANGGULAN KULON PROGO
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
ANGELA SANDRA SUKMANING HATMARINA
171414084
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan kepada:
Tuhan Yesus dan Ibu Maria yang selalu memberikan berkat dan karunia-Nya
yang melimpah dalam hidupku.
Mama yang sangat saya cintai, Victoria Rini Mursriyati, S.Pd., yang selalu
menemani setiap langkahku, memberi wejangan-wejangan sangat berarti, dan
memberikan dukungan serta doanya.
Bapak Sudarto dan adik-adikku tercinta, Benedictus Panji Hatma Negara dan
Erlyta Everlyn Daniella yang selalu memberikan dukungan dan semangat serta
doa.
Teman dekat, Matius Juni Untoro, S.Pd., yang selalu membantu dalam bentuk
apapun.
Almamaterku Universitas Sanata Dharma
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN MOTTO
“Jangan khawatir terhadap pencapaian yang didapat oleh orang lain karena
setiap orang memiliki porsinya masing-masing”.
(Cyrenia Novella Krisnamurti)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Angela Sandra Sukmaning Hatmarina. 2020. Penerapan Teori Antrean pada
Loket Pengisian Bahan Bakar Motor Pertalite di Stasiun Pengisian Bahan
Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan Kulon Progo. Skripsi. Program
Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma.
Kegiatan antrean merupakan kegiatan yang hampir setiap hari dilakukan
oleh manusia, seperti saat membayar di kasir supermarket, saat mengisi bahan
bakar, atau saat melakukan transaksi di sebuah bank. Teori antrean merupakan
bagian dari matematika yang mempelajari aktivitas manusia ini sehingga didapat
antrean yang efisien dan efektif. Penelitian ini bertujuan untuk: 1) memahami teori
antrean, dan 2) mengaplikasikan teori antrean untuk permasalahan antrean di
Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan.
Metode penelitian ini adalah studi pustaka yaitu membaca dan memahami
teori-teori antrean dari berbagai sumber dan diaplikasikan pada kasus pelayanan
pengisian bahan bakar di SPBU 44.556.05 Nanggulan. Objek penelitian adalah
sistem pelayanan dan model antrean yang digunakan pada layanan pengisian bahan
bakar pertalite sepeda motor di SPBU tersebut. Data diperoleh dari kegiatan
pengamatan pengisian bahan bakar selama waktu tertentu.
Hasil dari pembahasan penelitian adalah sebagai berikut. (1) Teori antrean
merupakan salah satu topik dalam Riset Operasi yang mempelajari dan
memodelkan kegiatan antrean yang dilakukan oleh manusia dalam kehidupan
sehari-hari. Tujuan dari teori ini adalah untuk mengetahui dan menjaga
keseimbangan waktu pelayanan dan waktu menunggu selama permintaan
pelayanan berlangsung. Secara sederhana, berdasarkan jumlah server, terdapat dua
jenis antrean. Jenis pertama adalah sistem pelayanan yang hanya memiliki satu
server pelayanan (M/M/1) dan jenis yang kedua yaitu memiliki dua atau lebih
server pelayanan (M/M/c). (2) Jika teori antrean tersebut diaplikasikan pada SPBU
44.556.05 Nanggulan khusus pelayanan pertalite sepeda motor, maka model teori
antrean yang sesuai adalah M/M/1, yang berarti hanya membuka satu pelayanan.
Disiplin antrean yang digunakan adalah First In First Out (FIFO) yang berarti
pelanggan yang masuk terlebih dahulu akan mendapat pelayan pertama.
Berdasarkan perhitungan dalam penelitian ini, penerapan model teori antrean
M/M/1 di SPBU 44.556.05 Nanggulan termasuk dalam kategori sudah optimal.
Probabilitas fasilitas layanan sibuk (𝑃𝑤) mendekati 100% dan probabilitas tidak ada kendaraan dalam antrean (𝑃0) mendekati 0%, yang artinya tingkat pelayanan relatif tinggi dan ada sedikit waktu luang untuk istirahat dalam pelayanan. Rata-rata
jumlah kendaraan dan rata-rata waktu dalam antrean maupun pelayanan tergantung
pada laju kedatangan dan laju pelayanan.
Kata kunci: teori antrean, pelayanan satu server, pelayanan multi server
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Angela Sandra Sukmaning Hatmarina. 2020. The Application of Queueing
Theory at Pertalite Motorcycle Refueling Counters in Nanggulan Gas Station
44.556.06 Kulon Progo. Thesis. Mathematics Education Study Program,
Mathematics and Natural Science Education Departement. The Faculty of
Teacher Training and Education, Sanata Dharma University.
Queue is one of daily human activity, such as queueing for payment in a
supermarket cassier, refueling in a gas station, and when doing bank transation.
Queueing Theory is a branch of mathematics that study that human activity in order
to get an efficient and effective queue. The aim of the research are to 1) understand
the queueing theory, and 2) apply the queueing theory for the case of queueing at
Nanggulan gas station 44.556.05.
This research used a literature study method through reading and
understanding queueing theories those were applied in research on certain cases
or events. The events being researched was the process of refueling service at the
Nanggulan gas station 44.556.05. It is conducted through observing the time
required to get the service from gas station attendant. The subject of this research
were consumers who were refueling their motorcycle with Pertalite gasoline at
Nanggulan gas station at specific hours. The objects of this research were the
service system and its queue model. The data collection technique was obtained
through observation.
The results of the research discussion are the following. (1) The queueing
theory is one of the topics in Operations Research that studies and models queueing
activities carried out by humans in everyday life. The purpose of the theory is to
determine and maintain a balance between service time and waiting time during
ongoing service requests. Based on the number of servers, there are two types of
queue. The first type is a one service server (M/M/1) and the second one is a two or
more service servers (M/M/c). (2) If the queueing theory is applied to Nanggulan
gas station 44.556.05 for motorcycle pertalite service, then the appropriate model
is a single channel-single phase (M/M/1). For motorcycle pertalite gasoline
refueling activities, the Nanggulan gas station 44.556.05 opens only one service.
The discipline used at the service there is First In First Out (FIFO) which means
the customer who comes in first gets the first service. Based on the computation,
the M/M/1 queueing theory model at Nanggulan gas station 44.556.05 has been
optimal is probability that the service facility is busy (𝑃𝑤) approaching 100% and probability of no individual in service approaching 0%. Average number individuand average waiting time in service or in queue based on arrival rate and
service rate.
Keyword: Queue Theory, One server service, multiserver service.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iii
HALAMAN MOTTO ........................................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .................................................. vii
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT ........................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................... x
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ............................................................................................... xv
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xvi
BAB I ...................................................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 5
C. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 6
D. Manfaat Penelitian .................................................................................... 6
E. Metode Penelitian ...................................................................................... 6
F. Sistematika Penulisan ............................................................................... 6
BAB II .................................................................................................................... 8
A. Teori Himpunan ........................................................................................ 8
B. Kalkulus ................................................................................................... 14
C. Teori Peluang ........................................................................................... 20
D. Distribusi Eksponensial .......................................................................... 30
E. Distribusi Poisson .................................................................................... 32
F. Uji Kolmogorov-Smirnov ....................................................................... 35
BAB III ................................................................................................................. 38
A. Pengertian Teori Antrean ....................................................................... 38
B. Elemen Pokok Antrean ........................................................................... 39
C. Model-model Teori Antrean ................................................................... 43
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB IV ................................................................................................................. 64
A. Kinerja Sistem Antrean .......................................................................... 64
B. Deskripsi Kegiatan .................................................................................. 65
C. Perhitungan Data .................................................................................... 66
D. Analisis Perhitungan ............................................................................... 93
BAB V ................................................................................................................... 96
A. Kesimpulan .............................................................................................. 96
B. Keterbatasan ............................................................................................ 98
C. Saran ......................................................................................................... 98
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 100
LAMPIRAN ....................................................................................................... 102
Lampiran 1. Surat Ijin Pengamatan dari Program Studi ........................ 103
Lampiran 2. Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian di SPBU
44.556.05 Nanggulan ................................................................. 104
Lampiran 3. Data Hasil Pengamatan ......................................................... 105
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 3. 1 Simbol-Simbol Pengganti Notasi Kendal-Lee ..................................... 44
Tabel 4. 1 Data Pengamatan Kedatangan..............................................................65
Tabel 4. 2 Data Pengamatan Pelayanan ................................................................ 66
Tabel 4. 3 Penyajian Kedatangan Data 1 .............................................................. 67
Tabel 4. 4 Penyajian Kendaraan Keluar Data 1 .................................................... 69
Tabel 4.5 Penyajian Kedatangan Data 2 ............................................................... 74
Tabel 4. 6 Penyajian Kendaraan Keluar Data 2 .................................................... 76
Tabel 4.7 Penyajian Kedatangan Data 3 ............................................................... 80
Tabel 4.8 Penyajian Kendaraan Keluar Data 3 ..................................................... 82
Tabel 4.9 Penyajian Kedatangan Data 4 ............................................................... 87
Tabel 4. 10 Penyajian Kendaraan Keluar Data 4 .................................................. 89
Tabel 4. 11 Perbedaan Antar Perhitungan Data .................................................... 93
Tabel 5. 1 Hasil Analisis Kerja Sistem Antrean....................................................97
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Operator telepon manual pada awal abad ke-20 (diunduh .................. 3
Gambar 1.2 Agner Erlang (diunduh https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm) ... 4
Gambar 2.1 Diagram Venn....................................................................................10
Gambar 2.2 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan Bagian .............................. 11
Gambar 2.3 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan yang Saling Lepas ............ 12
Gambar 2.4 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Irisan ..................................... 13
Gambar 2.5 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Gabungan ............................. 14
Gambar 2.6 Partisi Sumbu 𝑥 ................................................................................. 17
Gambar 2.7 Diagram Panah dari ruang sampel ke himpunan bilangan Real........ 24
Gambar 3.1 Ilustrasi suatu Antrean.......................................................................39
Gambar 3.2 Ilustrasi Antrean Model Single Channel ........................................... 51
Gambar 3.3 Ilustrasi Antrean Model Single Channel-Single Phase ..................... 53
Gambar 3.4 Ilustrasi Antrean Model Single Channel-Multi Phase....................... 53
Gambar 3.5 Ilustrasi Antrean Model Multiple channel-single phase ................... 59
Gambar 3.6 Ilustrasi Antrean Model Multiple channel-Multiple phase ............... 60
Gambar 4.1 Struktur Sistem Pelayanan................................................................64
Gambar 4.2 Grafik Jumlah Kedatangan Data 1 .................................................... 66
Gambar 4.3 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 1 ........................................ 68
Gambar 4.4 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................... 68
Gambar 4.5 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 1 ............ 70
Gambar 4.6 Grafik Jumlah Kedatangan Data 2 .................................................... 73
Gambar 4.7 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 2 ........................................ 75
Gambar 4. 8 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar .............................................. 75
Gambar 4.9 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 2 ............ 76
Gambar 4.10 Grafik Jumlah Kedatangan Data 3 .................................................. 80
Gambar 4.11 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 3 ...................................... 81
Gambar 4.12 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................. 82
Gambar 4.13 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 3 .......... 83
Gambar 4.14 Grafik Jumlah Kedatangan Data 4 .................................................. 86
Gambar 4.15 Uji Distribusi Poisson Data Kedatangan 4 ...................................... 88
Gambar 4.16 Grafik Banyaknya Kendaraan Keluar ............................................. 88
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
Gambar 4.17 Uji Distribusi Eksponensial Waktu Antar Pelayanan Data 4 .......... 90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seiring berjalannya waktu, manusia dari zaman ke zaman selalu
mengalami perkembangan. Manusia pastinya membutuhkan sarana teknologi
berguna dalam menunjang atau meringankan pekerjaannya pada kehidupan
sehari-hari. Sarana merupakan segala sesuatu yang memiliki fungsi sebagai alat
yang membantu manusia dalam melaksanakan setiap pekerjaannya. Sedangkan
teknologi itu sendiri merupakan segala sesuatu yang digunakan sebagai sarana
dalam menyediakan barang yang digunakan untuk mendukung kelangsungan
dan kenyamanan dalam kehidupan manusia sehari-hari.
Salah satu teknologi yang mampu membantu mobilitas manusia dapat
berpindah dari satu tempat ke tempat lainnya adalah kendaraan. Saat ini,
kendaraan yang sangat banyak dipergunakan dan terjangkau di kalangan
masyarakat adalah sepeda motor. Sepeda motor merupakan kendaraan yang
praktis dengan harga yang relatif murah dan terjangkau oleh banyak orang.
Jenis Bahan Bakar Minyak (BBM) yang dapat dipakai oleh sepeda motor adalah
jenis premium, pertalite, pertamax, atau pertamax turbo. Semakin
bertambahnya pengguna sepeda motor mengakibatkan antrean di beberapa
stasiun pengisian BBM di beberapa lokasi, khususnya yang berada di tempat-
tempat strategis. Situasi ini diperparah saat berkurangnya pasokan BBM di
beberapa daerah yang mengakibatkan adanya antrean panjang di daerah
tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Peneliti melakukan pengamatan sepintas pada siang hari, sore hari, dan
weekend (Sabtu dan Minggu) di Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU)
444.552.17 ACR Maguwoharjo Yogyakarta, SPBU 44.556.05 Nanggulan,
SPBU 44.555.20 Tajem di waktu yang berbeda. Berdasarkan pengamatan
tersebut, peneliti melihat terjadinya antrean panjang pada jam-jam tertentu dan
hari-hari tertentu, yaitu di pagi hari, di sore hari, dan weekend (Sabtu dan
Minggu). Hal ini dipengaruhi oleh kebutuhan masyarakat di pagi hari untuk
bekerja, mengantar anak ke sekolah, maupun sebagai mata pencarian sehari-
hari misal ojek. Antrean panjang di sore hari terjadi karena adanya kebutuhan
bahan bakar untuk melanjutkan perjalanan pulang maupun untuk
mempersiapkan keesokan harinya. Sedangkan pada weekend, terjadinya antrean
panjang dikarenakan akan bepergian liburan.
Dalam hidup sehari-hari, antrean tidak hanya terjadi saat mengisi bahan
bakar untuk kendaraan. Antrean sudah menjadi bagian hidup manusia. Tidak
jarang manusia lebih lama menghabiskan waktu untuk antre dibandingkan
dengan lama proses yang dibutuhkan untuk sebuah urusan, seperti yang terjadi
di bank atau kantor-kantor pemerintah. Antrean panjang juga terjadi di pintu
gerbang tol, misalnya, pada saat-saat melimpahnya pengguna jalan tol tersebut.
Berdasarkan situasi tersebut, perlu kiranya dipikirkan agar antrean yang
panjang dan menghabiskan waktu itu bisa dihindari atau minimal dikurangi.
Sudah terdapat banyak penelitian dalam matematika untuk meminimalisir
proses antrean yang terjadi dalam masyarakat. Untuk menghindari antrean
panjang, beberapa rumah sakit menerapkan pendaftaran online sehingga pasien
cukup datang sesuai dengan waktu yang ditentukan. Beberapa swalayan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
memiliki solusi berbeda untuk menghindari antrean panjang saat pembayaran
di kasir, yakni dengan menyediakan kasir lebih dari satu.
Antrean merupakan individu yang sedang berusaha untuk menerima
pelayanan dari pemberi layanan yang terbatas, sehingga pendatang harus
menunggu terlebih dahulu dalam suatu barisan agar mendapatkan giliran untuk
dilayani. Demi mempertahankan pelanggan agar merasa nyaman saat antre,
maka diperlukan sistem antrean yang baik. Teori antrean adalah salah satu teori
dalam Riset Operasi yang mempelajari dan memodelkan kegiatan antrean.
Penggunaan teori antrean ini memiliki tujuan untuk mengkaji kegiatan antrean
tersebut yaitu waktu menganggur dari penyedia layanan dan waktu para
individu yang harus menunggu untuk mendapatkan pelayanan.
Gambar 1. 1 Operator telepon manual pada awal abad ke-20 (diunduh
https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm)
Teori antrean bermula pada awal abad ke-20 dan diawali oleh seorang
matematikawan Agner Krarup Erlang yang bekerja pada Perusahaan Telepon
Kopenhagen sebagai kepala laboratorium teknis (Boyd, 2014). Telepon pada
zaman itu masih menggunakan alat perantara kabel yang disambungkan dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
perusahaan Telepon untuk menyambungkan antara telepon satu dengan telepon
lain. Operator sangat kewalahan dalam memberikan pelayanan yang cepat
kepada para penelepon, sehingga para penelepon harus menunggu antrean
sebelum tersambung kepada penerima. Sebagai kepala laboratorium teknis,
Erlang mengupayakan agar masa tunggu para penelepon se-minimal mungkin.
Dia adalah orang pertama yang mempelajari masalah jaringan telepon dan
melakukan eksperimen tentang penyambungan telepon tersebut.
Gambar 1. 2 Agner Erlang (diunduh
https://www.uh.edu/engines/epi2972.htm)
Langkah awal yang dilakukan oleh Erlang adalah membuat model
matematika untuk telepon yang masuk. Selanjutnya, dia membuat model
matematika yang mendeskripsikan lama percakapan untuk setiap penelepon.
Dari kedua model matematika tersebut, pada tahun 1909, Erlang
mengembangkan teori antrean yang dipublikasikan-nya dalam makalah yang
berjudul, “Teori Probabilitas dan Percakapan Telepon (The Theory of
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Probability and Telephone Conversations).” Teori antrean yang dikembangkan
oleh Erlang ternyata juga digunakan oleh beberapa perusahan lain di seluruh
dunia untuk menyelesaikan permasalahan seputar antrean, misalnya
dipergunakan di bank, kantor pos, atau rumah sakit.
SPBU 44.556.05 Nanggulan merupakan salah satu stasiun pengisian
bahan bakar umum di Kulon Progo yang terletak di jalan Nanggulan-
Kalibawang. Terlihat pada jam-jam atau waktu-waktu tertentu antrean panjang
terjadi pada SPBU tersebut. Pada penelitian ini, peneliti akan melakukan studi
tentang teori antrean tersebut dan selanjutnya mengaplikasikan pada Stasiun
Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU). Penggunaan teori antrean diharapkan
dapat mengurangi antrean panjang yang terjadi di sebuah SPBU. Berdasarkan
pengamatan, peneliti hendak melakukan kegiatan penelitian untuk mengatasi
masalah antrean yang terjadi di SPBU 44.556.05 Nanggulan dengan
menggunakan teori antrean. Dengan demikian, peneliti akan melakukan
penelitian dengan judul “Penerapan Teori Antrean pada Loket Pengisian Bahan
Bakar Motor Pertalite di Stasiun Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU)
44.556.05 Nanggulan Kulon Progo”.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dirumuskan permasalahan sebagai
berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan teori antrean?
2. Bagaimana teori antrean diaplikasikan pada Stasiun Pengisian Bahan Bakar
Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
C. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:
1. Memahami teori antrean.
2. Mengaplikasikan teori antrean untuk permasalahan antrean di Stasiun
Pengisian Bahan Bakar Umum (SPBU) 44.556.05 Nanggulan.
D. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagi peneliti, penelitian ini merupakan suatu sarana untuk mempelajari dan
memahami teori antrean serta aplikasinya.
2. Bagi pembaca, penelitian ini memberikan referensi dan informasi bagi
pihak yang membutuhkan.
3. Bagi SPBU, memberikan informasi mengenai penanganan antrean yang
terjadi pada pelayanan pengisian bahan bakar secara khusus pada SPBU
44.556.05 Nanggulan.
E. Metode Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan adalah metode studi pustaka yaitu
membaca dan memahami teori-teori antrean yang diaplikasikan dengan
penelitian terhadap kasus atau peristiwa tertentu yaitu proses pelayanan
pengisian bahan bakar pada SPBU 44.556.05 Nanggulan dengan mengamati
dan melakukan observasi. Dari data-data yang diperoleh, kemudian dianalisis
dan ditarik kesimpulan.
F. Sistematika Penulisan
Agar hasil penelitian ini lebih terarah dan mudah dipahami oleh pembaca, maka
peneliti menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB I: PENDAHULUAN
Pada bab ini diuraikan mengenai pendahuluan yang terdiri dari latar belakang,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan
sistematis penulisan.
BAB II: KAJIAN TEORI
Pada bab ini, penulis mengemukakan konsep-konsep dasar yang akan
dipergunakan dalam terori antrean.
BAB III:
Pada bab ini, penulis mengemukakan teori dasar antrean.
BAB IV:
Pada bab ini membahas tentang analisis data dan pembahasan dari hasil
penelitian.
BAB V:
Bab ini membahas kesimpulan dan keterbatasan penelitian, serta saran peneliti
untuk penelitian selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
KAJIAN TEORI
Pada bab ini dibahas tentang beberapa hal yang menjadi konsep-konsep dasar
dalam teori antrean pada bab selanjutnya. Materi yang diuraikan tentang definisi,
teorema, dan kajian matematika mengenai teori himpunan, kalkulus, dan statistika.
Berikut ini uraiannya.
A. Teori Himpunan
Definisi 2.1 Himpunan
Himpunan merupakan suatu kumpulan benda atau objek yang memiliki sifat
tertentu yang sama dan dapat didefinisikan dengan jelas. (Susilo, 2012)
Contoh 2.1
Himpunan mahasiswa yang mengikuti mata kuliah riset operasi.
Himpunan hewan berkaki empat.
Himpunan biasa dinotasikan dengan tanda kurung kurawal dan dapat
dinyatakan dengan menggunakan huruf kapital seperti : A, B, C, X, Y, Z dan
lain-lain. Anggota himpunan dapat dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b,
c, x, y, dan lain-lain. Objek-objek yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
anggota atau elemen atau unsur himpunan itu. Lambang atau notasi yang
digunakan untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah ∈ yang dibaca
“anggota dari”. Berikut merupakan contohnya.
Contoh 2.2
Himpunan A merupakan himpunan huruf vokal, maka dapat dinotasikan
sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜}
Dengan demikian, 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐴, 𝑢 ∈ 𝐴, 𝑒 ∈ 𝐴, 𝑜 ∈ 𝐴
Himpunan memiliki keterkaitan yang erat dengan Diagram Venn, yaitu untuk
menggambarkan suatu himpunan tersebut dalam sebuah diagram agar lebih
mudah dipahami. Berikut definisi dari Diagram Venn.
Definisi 2.2 Diagram Venn
Diagram Venn merupakan salah satu cara dalam menggambarkan himpunan
dan operasi-operasi himpunan secara grafis. Dalam Diagram Venn, himpunan
semesta ditampilkan dalam bentuk persegi panjang dan setiap himpunan yang
ada dalam himpunan semesta digambarkan dengan suatu lingkaran dalam
persegi panjang tersebut atau dalam kurva tertutup sederhana. (Susilo, 2012)
Adapun contoh dari penyajian himpunan dalam Diagram Venn sebagai
berikut.
Contoh 2.3
Diketahui:
𝑆 merupakan himpunan semesta, yaitu
𝑆 = {1,2,3,4,5,6}
𝑋 merupakan himpunan bilangan asli kurang dari 5, yaitu
𝑋 = {1, 2, 3, 4}, dan
𝑌 merupakan himpunan bilangan asli genap kurang dari 7, yaitu
𝑌 = {2, 4, 6}.
Dari himpunan di atas, dapat dinyatakan dalam Diagram Venn, sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Gambar 2.1 Diagram Venn
Dalam himpunan, tidak semua himpunan memiliki anggota, ada juga himpunan
yang tidak memiliki anggota yang dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3 Himpunan Kosong
Himpunan kosong didefinisikan sebagai himpunan yang sama sekali tidak
memuat atau tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan ∅
atau { }. (Susilo, 2012)
Berikut merupakan contoh dari himpunan kosong.
Contoh 2.4
𝐴 merupakan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua.
Penyelesaian:
Karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka 𝐴 tidak memiliki
anggota. Oleh karena itu, 𝐴 merupakan himpunan kosong, dapat ditulis 𝐴 = ∅
atau 𝐴 = { }.
Selain itu, dalam himpunan juga terdapat himpunan yang disebut dengan
himpunan bagian. Adapun definisi dari himpunan bagian adalah sebagai
berikut.
S
1
3 6
2
4
X Y
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Definisi 2.4 Himpunan Bagian
Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap elemen himpunan 𝐴 juga merupakan elemen himpunan dari
𝐵, ditulis dengan notasi (Susilo, 2012)
𝐴 ⊆ 𝐵
Berikut merupakan contoh dari himpunan bagian.
Contoh 2.5
Diberikan himpunan 𝑋 = {bilangan asli} dan himpunan 𝑌 =
{bilangan bulat}. Apakah himpunan 𝑋 merupakan himpunan bagian dari
himpunan 𝑌?
Penyelesaian:
Karena semua elemen himpunan 𝑋 juga merupakan elemen himpunan 𝑌, maka
dikatakan bahwa himpunan 𝑋 merupakan himpunan bagian dari himpunan 𝑌,
{bilangan asli} ⊆ {bilangan bulat}. Diagram Venn untuk himpunan bagian
diperlihatkan dalam Gambar berikut ini.
Gambar 2.2 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan Bagian
Definisi 2.5 Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoin) jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama dan dinotasikan dengan 𝐴 // 𝐵.
S
Bilangan
Bulat
Bilangan
asli
Y
X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Contoh 2.6
Diberikan himpunan 𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan himpunan 𝐵 = {𝑔, ℎ, 𝑖}. Apakah
himpunan tersebut merupakan himpunan saling lepas?
Penyelesaian:
Terlihat bahwa tidak ada satupun anggota himpunan 𝐴 yang terdapat pada
himpunan 𝐵, dan sebaliknya. Karena tidak ada anggota himpunan A yang
berada di himpunan B, maka dikatakan bahwa himpunan A dan B adalah dua
himpunan yang saling lepas, dilambangkan dengan, A // B. dapat dinyatakan
ke dalam Diagram Venn sebagai berikut.
Gambar 2.3 Diagram Venn untuk Contoh Himpunan yang Saling Lepas
Tidak hanya dalam aljabar saja operasi hitung dikenal. Namun, dalam
himpunan pun juga dikenal juga yang namanya operasi dalam himpunan.
Operasi dalam himpunan merupakan cara untuk menghasilkan himpunan
baru dari himpunan yang sudah diketahui. Adapun operasi himpunan yang
akan dibahas yaitu operasi gabungan dan irisan. Berikut definisi operasi irisan
yang dibahas terlebih dahulu.
Definisi 2.6 Operasi Irisan
Diberikan himpunan 𝐴 dan 𝐵. Kedua himpunan tersebut disebut beririsan
jika dan hanya jika terdapat elemen himpunan 𝐴 juga menjadi anggota
S
b
c
d
g
h
i
e
f
A B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
himpunan 𝐵. Selanjutnya, irisan kedua himpunan tersebut, dilambangkan
dengan 𝐴 ∩ 𝐵, adalah himpunan semua elemen himpunan 𝐴 yang juga
terdapat dalam himpunan 𝐵, dinotasikan dengan
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Adapun contoh dari operasi irisan adalah sebagai berikut.
Contoh 2.7
Diberikan himpunan 𝐴 = {7, 8, 9, 10} dan himpunan 𝐵 = {8, 12, 16}, maka
𝐴 ∩ 𝐵 = {8}. Diagram Venn dari kedua himpunan tersebut, yaitu.
Gambar 2.4 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Irisan
Sesudah membahas operasi irisan, berikut ini akan dibahas tentang operasi
gabungan.
Definisi 2.7 Operasi Gabungan
Gabungan dari dua buah himpunan 𝐴 dan 𝐵 merupakan himpunan semua
elemen yang menjadi elemen himpunan 𝐴 saja atau 𝐵 saja atau elemen
himpunan 𝐴 dan 𝐵 kedua-duanya. Himpunan gabungan dapat dinotasikan
dengan 𝐴 ∪ 𝐵 dengan (Susilo, 2012)
𝐴⋃𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Berikut contoh penggunaan dari operasi gabungan.
S
7
9
10
12
16
8
A
B
𝐴 ∩ 𝐵 = {8}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.8
Misalkan himpunan 𝐴 = {2, 4, 6, 8} dan himpunan 𝐵 = {1, 2, 3, 5}. Maka, 𝐴 ∪
𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Diagram Venn dari gabungan himpunan A dan
himpunan B sebagai berikut.
Gambar 2.5 Diagram Venn untuk Contoh Operasi Gabungan
Selain membahas tentang teori himpunan, dalam bab ini juga akan dibahas
mengenai kalkulus yang terdiri dari limit, integral tak tentu, dan integral tentu.
Tujuan dari penjelasan kalkulus ini adalah untuk membantu mempermudah dalam
memahami teori selanjutnya. Adapun penjelasannya adalah sebagai berikut.
B. Kalkulus
Definisi 2. 8 Limit
Diberikan lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 artinya untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 yang diberikan
terdapat bilangan 𝛿 > 0, sedemikan sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 dengan syarat
0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 atau dengan kata lain 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
(Dale dan Purcell, 2010)
Contoh 2. 9
Buktikan bahwa 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
(4𝑥 − 3) = 5.
Penyelesaian:
2 2
S
4
6
8
1
3
5
A B
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Analisis Pendahuluan:
Misalkan 𝜀 merupakan sembarang bilangan positif. Untuk mendapatkan 𝛿 > 0
sedemikian sehingga,
0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⟹ |(4𝑥 − 3) − 5| < 𝜀
Perhatikan pertidaksamaan di bagian kanan.
|(4𝑥 − 3) − 5| < 𝜀 ⟺ |4𝑥 − 8| < 𝜀
⟺ |4(𝑥 − 2)| < 𝜀
⟺ |4||𝑥 − 2| < 𝜀
⟺ |𝑥 − 2| <𝜀
4
Sehingga dapat diambil 𝛿 =𝜀
4.
Bukti formal:
Misalkan diberikan 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 =𝜀
4.
Maka 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿, mengakibatkan
|(4𝑥 − 3) − 5| = |4𝑥 − 8| = 4|𝑥 − 2| < 4. 𝛿 = 4.𝜀
4= 𝜀
Dari persamaan dan pertidaksamaan di atas dari kiri ke kanan dan dengan
menggunakan sifat transitif = dan
16
𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. Leibniz menggunakan lambang ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dengan istilah integral
tak tentu. Dari definisi tersebut, dapat disederhanakan menjadi: (Dale dan
Purcell, 2010)
∫𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Dengan rumus fungsi polinomialnya adalah
∫(𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+. . . +𝑎0)𝑑𝑥 = 𝑎𝑛𝑛 + 1
𝑥𝑛+1 +𝑎𝑛−1𝑛
𝑥𝑛+. . . +𝑎0 + 𝐶
Berikut contoh dari penyelesaian integral tak tentu.
Contoh 2.10
Tentukan hasil dari ∫4𝑥2𝑑𝑥!
Penyelesaian:
∫4𝑥2𝑑𝑥 = 4𝑥2+1
2 + 1+ 𝐶
= 4𝑥3
3+ 𝐶
Jadi, hasil dari ∫4𝑥2𝑑𝑥 adalah 4𝑥3
3+ 𝐶.
Selain integral tak tentu, berikut ini akan dibahas pula tentang integral tentu.
Berikut penjelasan dari integral tentu.
Diberikan suatu fungsi pada interval [𝑎, 𝑏], lalu dipartisi terhadap sumbu 𝑥
sebanyak 𝑛, terlihat pada gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Gambar 2.6 Partisi Sumbu 𝑥
Gambar 2.6 merupakan partisi sumbu 𝑥 dengan titik-titik partisi 𝑎 = 𝑥0 <
𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏. Jika disketsa pada sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦,
maka diperoleh bentuk partisi yang berupa persegi panjang. Jumlahan semua
persegi panjang dengan banyaknya partisi 𝑛 disebut dengan Jumlahan
Riemann. Konsep dari Integral Tentu ini merupakan Jumlahan Riemann.
Adapun langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu:
a. Partisi fungsi 𝑓(𝑥) menjadi beberapa bagian misalkan banyak partisi 𝑛,
semakin banyak partisinya akan semakin bagus, sebab nilainya akan
mendekati nilai eksak atau dapat dikatakan errornya sangat kecil.
b. Jika akan menentukan hasil dari 𝑓(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏], maka tentukan
terlebih dahulu jarak di setiap partisinya yaitu ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, dengan 𝑖 =
1,2, … , 𝑛.
c. Tentukan nilai dari 𝑓(𝑥𝑖∗).
d. Gunakan konsep dari jumlahan luas persegi panjang yaitu
∑ 𝑓(𝑥𝑖∗𝑛
𝑖=1 )(∆𝑥𝑖).
(Dale dan Purcell, 2010)
Definisi 2. 10 Integral Tentu
Diketahui |𝑃| merupakan norma 𝑃 atau panjang partisi yang dirumuskan
dengan |𝑃| = 𝑚𝑎𝑘𝑠 {∆𝑥𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Andaikan 𝑓 merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup
[𝑎, 𝑏]. Jika terdapat nilai
lim|𝑃|→0
∑𝑓(𝑥𝑖∗
𝑛
𝑖=1
) △ 𝑥𝑖
Maka dapat dikatakan 𝑓 terintegralkan pada [𝑎, 𝑏], selanjutnya dapat
dinotasikan dengan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 yang disebut integral tentu fungsi 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏,
dapat didefinisikan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏
𝑎
lim|𝑃|→0
∑𝑓(𝑥𝑖∗
𝑛
𝑖=1
) △ 𝑥𝑖
Pada ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎, 𝑎 disebut dengan titik ujung bawah dan 𝑏 disebut dengan titik
ujung atas untuk integral. Pada definisi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎, secara implisit dapat
diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏. Sehingga dapat juga dinotasikan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏
𝑎
−∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎 > 𝑏𝑏
𝑎
Berdasarkan Teorema Dasar II Kalkulus, untuk menyelesaikan integral tentu
dengan menggunakan definisi dari integral tak tentu. (Dale dan Purcell, 2010)
Adapun contoh dari integral tentu sebagai berikut.
Contoh 2. 11
Tentukan hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2!
Penyelesaian:
Pertama, akan diselesaikan dengan menggunakan Definisi 2. 10, sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Apabila pada interval [2,4] dipartisi sebanyak 𝑛 bagian, maka diperoleh jarak
antar partisi ∆𝑥𝑖 =4−2
𝑛=
2
𝑛 dengan ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Dengan
partisi pada interval [𝑎, 𝑏] adalah 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏.
𝑥0 = 2
𝑥1 = 2 + ∆𝑥𝑖 = 2 +2
𝑛
𝑥2 = 2 + 2∆𝑥𝑖 = 2 + 2(2
𝑛)
⋮
𝑥𝑛−1 = 2 + (𝑛 − 1)∆𝑥𝑖 = 2 + (𝑛 − 1) (2
𝑛)
𝑥𝑛 = 2 + 𝑛∆𝑥𝑖 = 2 + 𝑛 (2
𝑛) = 4
Karena 𝑥𝑖∗ merupakan titik-titik di ujung sebelah kanan di setiap partisinya,
sehingga diperoleh 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖∗ = 2 + 𝑖 (
2
𝑛) dan 𝑓(𝑥𝑖
∗) = 𝑥𝑖∗ + 2 = (2 + 𝑖 (
2
𝑛)) +
2 = 4 + 𝑖 (2
𝑛). Sehingga diperoleh
∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2 = lim|𝑃|→0
∑ 𝑓(𝑥𝑖∗𝑛
𝑖=1 ) △ 𝑥𝑖
= lim|𝑃|→0
∑ (4 + 𝑖 (2
𝑛))𝑛𝑖=1 (
2
𝑛)
= lim|𝑃|→0
((∑ (8
𝑛)𝑛𝑖=1 ) + ((
4
𝑛2)∑ 𝑖𝑛𝑖=1 ))
= lim|𝑃|→0
((8
𝑛) 𝑛 + (
4
𝑛2) (1 + 2 + 3+. . . +𝑛))
= lim|𝑃|→0
((8
𝑛) 𝑛 + (
4
𝑛2) (
𝑛(𝑛+1)
2))
= lim|𝑃|→0
(8 + (2 (1 +1
𝑛)))
= 8 + 2
= 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jadi, hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2 menggunakan Definisi 2. 10 adalah 10 satuan luas.
Selanjutnya, ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2 akan dihitung menggunakan definisi dari integral tak
tentu berdasarkan Teorema Dasar II Kalkulus. Adapun penyelesaiannya adalah
sebagai berikut.
∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2
= [1
1 + 1𝑥1+1 +
2
0 + 1𝑥0+1]
2
4
= [
1
2𝑥2 + 2𝑥]
2
4
= (
1
242 + 2(4)) − (
1
222 + 2(2))
= (16) − (6)
= 10
Jadi, hasil dari ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥4
2 adalah 10. ∎
Setelah mempelajari teori himpunan dan kalkulus, dalam bab ini juga mempelajari
tentang teori peluang. Peluang merupakan kemungkinan yang mungkin terjadi dari
suatu peristiwa. Pada teori peluang ini akan dibahas mengenai ruang sampel,
kejadian, dan lain-lain. Adapun pembahasannya sebagai berikut.
C. Teori Peluang
Definisi 2. 11 Ruang Sampel
Ruang Sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari
suatu percobaan atau kejadian dan dinyatakan dengan simbol S. Banyaknya
anggota sampel dinotasikan dengan 𝑛(𝑆). (Walpole, 1997).
Contoh 2. 12
Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang akan
muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Walpole, 1997)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Ruang sampel S dari percobaan tersebut adalah
{1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝑛(𝑆) = 6.
Definisi 2. 12 Kejadian
Kejadian merupakan peristiwa dari suatu kemungkinan yang diharapkan.
Kejadian dapat dikatakan dengan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 2. 13
Sebuah dadu dilemparkan ke atas sekali, maka ruang sampel 𝑆 dari percobaan
tersebut adalah mata dadu 1, mata dadu 2, mata dadu 3, mata dadu 4, mata
dadu 5, mata dadu 6, sehingga dapat dituliskan 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}. Tentukan
kejadian munculnya mata dadu dengan angka prima.
Penyelesaian:
Misalkan 𝐴 merupakan suatu kejadian yang menyatakan munculnya mata dadu
dengan angka prima.
𝐴 = {2, 3, 5}
Sehingga, 𝐴 ⊆ 𝑆
Definisi 2. 13 Peluang
Peluang merupakan suatu konsep matematika yang digunakan untuk
menghitung kemungkinan yang muncul atau terjadi pada sebuah kejadian.
Diberikan ruang sampel S dan kejadian A dari S. Peluang dari A dinotasikan
dengan P(A) yang memenuhi (Walpole, 1997):
1. 𝑃(𝐴) ≥ 0
2. 𝑃(𝑆) = 1
3. Jika 𝐴1, 𝐴2, … adalah kejadian yang saling asing di S maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝑃(𝐴1⋃𝐴2⋃…) =∑𝑃(
∞
𝑖=1
𝐴1).
Definisi 2. 14 Peluang Suatu Kejadian
Peluang suatu kejadian 𝐴, merupakan banyak anggota kejadian 𝐴 dibanding
dengan banyak anggota ruang sampel dan dinotasikan dengan 𝑃(𝐴) (Walpole,
1997).
𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
Keterangan:
Jika 𝑃(𝐴) = 0 berarti A adalah kejadian yang tidak akan terjadi (muncul).
Jika 𝑃(𝐴) = 1 berarti A adalah kejadian yang pasti terjadi
Contoh 2. 14
Tiga keping koin dilempar sebanyak 1 kali. Tentukan peluang munculnya 2 sisi
gambar!
Penyelesaian:
Misal: 𝐴 = menyatakan angka pada sisi koin
𝐺 = menyatakan gambar pada sisi koin
Ruang sampel dari koin (𝑆) tersebut adalah
{(𝐴𝐴𝐴), (𝐴𝐴𝐺), (𝐴𝐺𝐴), (𝐺𝐴𝐴), (𝐴𝐺𝐺), (𝐺𝐴𝐺), (𝐺𝐺𝐴), (𝐺𝐺𝐺)}
Maka, 𝑛(𝑆) = 8.
Misalkan 𝐵 merupakan kejadian yang menyatakan munculnya 2 sisi gambar,
sehingga 𝐵 = {(𝐴𝐺𝐺), (𝐺𝐴𝐺), (𝐺𝐺𝐴)}.
Jadi, 𝑃(𝐵) =1
6+1
6+1
6=
3
6=
1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Dari percobaan tersebut, nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dari sisi gambar yang
muncul, diberikan pada setiap titik sampel. Bilangan-bilangan tersebut
merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari hasil percobaan
tersebut. Nilai tersebut dapat dilihat sebagai nilai yang dapat diambil dari suatu
peubah acak atau variabel acak 𝑋 tertentu. Berikut merupakan definisi dari
variabel acak 𝑋.
Definisi 2. 15 Variabel Acak
Variabel acak merupakan suatu fungsi bernilai real (bilangan nyata) yang
nilainya ditentukan dari unsur-unsur yang ada dalam ruang sampel. Variabel
acak dapat dilambangkan dengan huruf capital yaitu X, Y, dan lain-lain.
(Walpole, 1997).
Berikut merupakan contoh dari varibel acak.
Contoh 2. 15
Dua buah bola diambil tanpa pengembalian dari sebuah kantong yang berisi 3
buah bola hijau dan 2 buah bola biru. Hasil-hasil percobaan yang mungkin, jika
variabel acak X menyatakan banyaknya bola berwarna biru terambil adalah
Misal: 𝐻 = menyatakan jumlah bola berwarna hijau
𝐵 = menyatakan jumlah bola berwarna biru
Ruang sampel S pada percobaan tersebut adalah
𝑆 = {𝐵𝐵, 𝐵𝐻,𝐻𝐵, 𝐻𝐻}
Nilai 0, 1, 2 diberikan pada setiap titik sampel yang merupakan besaran acak
yang nilainya ditentukan dari percobaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Gambar 2.7 Diagram Panah dari ruang sampel ke himpunan bilangan
Real
Definisi 2. 16 Variabel Acak Diskrit
Suatu variabel acak dikatakan sebagai variabel acak diskrit jika himpunan dari
suatu kemungkinan hasilnya adalah terbilang, atau dengan kata lain variabel
acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga. Jika
tidak memenuhi definisi tersebut, maka variabel acak tersebut disebut variabel
random kontinu. Variabel acak diskrit digunakan untuk data yang berupa
cacahan. Akan lebih dimudahkan bila semua peluang suatu peubah acak
dinyatakan dalam sebuah rumus. Rumus tersebut merupakan fungsi nilai-nilai
𝑥, oleh karena itu dilambangkan dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), 𝑟(𝑥), dan sebagainya.
Jadi, 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥). (Walpole, 1997)
Berikut contoh dari variabel acak diskrit
Contoh 2. 16
Percobaan pelemparan sebuah mata uang logam yang dilempar sebanyak 3
kali. Tentukan variabel random diskritnya!
Penyelesaian:
Misalkan:
𝐺 = menyatakan gambar dari sisi uang logam
𝐴 = menyatakan angka dari sisi uang logam
BB
BH
HB
HH
0
1
2
S ℝ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
𝑆= Ruang sampel dari pelemparan uang logam sebanyak 3 kali.
𝑆 = {𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺}
Variabel random diskritnya:
𝑋 =banyaknya sisi G yang tampak dari 3 kali pelemparan
𝑋(𝐴𝐴𝐴) = 0, 𝑋(𝐺𝐴𝐴) = 1, 𝑋(𝐴𝐺𝐴) = 1, 𝑋(𝐴𝐴𝐺) = 1,
𝑋(𝐺𝐺𝐴) = 2, 𝑋(𝐺𝐴𝐺) = 2, 𝑋(𝐴𝐺𝐺) = 2, 𝑋(𝐺𝐺𝐺) = 3
Definisi 2. 17 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑦) merupakan suatu fungsi probabilitas diskrit
𝑋 untuk setiap kemungkinan nilai 𝑥, jika:
1. 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥 𝜖 ℝ..
2. ∑ 𝑃(𝑥) = 1.𝑥
Contoh 2. 17
Dari Contoh 2. 15Contoh 2. 13, tentukan fungsi probabilitas banyaknya bola
biru terambil!
Jawab:
Nilai 𝑋 merupakan bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola biru
terambil
𝑃(𝑋 = 0) = (30)(22)
(52)
= 1
10
𝑃(𝑋 = 2) = (32)(20)
(52)
= 3
10
𝑃(𝑋 = 1) = (31)(21)
(52)
= 3
5
Fungsi peluang banyaknya bola biru yang terambil:
𝑥 0 1 2
𝑃(𝑋 = 𝑥) 1
10
3
5
3
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Definisi 2. 18 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi 𝑓(𝑥) merupakan suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu
𝑋, jika memenuhi syarat (Walpole, 1997):
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ ℝ
2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞
−∞
3. 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 1) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
Contoh 2. 18
Andaikan variabel acak kontinu 𝑋 yang mempunyai fungsi:
𝑓(𝑥) = {𝑥2
3 , −1 < 𝑥 < 2
0 , 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
a. Buktikan bahwa 𝑓(𝑥) merupakan fungsi probabilitas.
b. Hitunglah 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).
Penyelesaian:
Berdasarkan
a. Definisi 2. 18 (2) , jelas 𝑓(𝑥) ≥ 0,
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞
= ∫𝑥2
3𝑑𝑥 =
2
−1
[𝑥3
9]−1
2
= 1
b. 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫𝑥2
3𝑑𝑥 =
1
0[𝑥3
9]0
1
=1
9
Definisi 2. 19 Distribusi Fungsi Kumulatif
Variabel acak diskrit dan kontinu mempunyai distribusi kumulatif sebagai
berikut (Walpole, 1997)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
{
∑ 𝑝(𝑥) , jika 𝑋 diskrit,
∀𝑋≤𝑥
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , jika 𝑋 kontinu.
∞
−∞
Nilai harapan dari peubah acak disebut juga dengan mean atau rata-rata
populasi. Nilai rata-rata distribusi peluang 𝑋 dilambangkan dengan 𝜇𝑥 atau 𝜇.
Berikut merupakan definisi dari nilai harapan tersebut.
Definisi 2. 20 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)
Diberikan suatu variabel acak 𝑋 dengan distribusi probabilitas yang diketahui.
Nilai harapan atau mean dari 𝑋 sebagai berikut:
1. 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) ,𝑥 jika 𝑋 merupakan variabel acak diskrit;
2. 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,∞
−∞ jika 𝑋 merupakan variabel acak kontinu.
Adapun contoh dari nilai harapan adalah sebagai berikut.
Contoh 2.19
Dalam sebuah kepanitiaan terdiri dari 7 orang yaitu 3 pria dan 4 wanita.
Tentukanlah nilai harapan banyaknya wanita yang terdiri dari 3 orang.
Penyelesaian:
Andaikan 𝑋 variabel acak yang menunjukkan banyaknya wanita dalam
kepanitiaan tersebut. Maka, fungsi probabilitas distribusi dari 𝑋 adalah sebagai
berikut
𝑓(𝑥) =(4𝑥)( 33−𝑥)
(73)
, untuk 𝑥 = 0, 1, 2, 3
Diperoleh,
𝑓(0) =1
35, 𝑓(1) =
12
35, 𝑓(2) =
18
35, 𝑓(3) =
4
35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Sehingga, nilai harapannya adalah
𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0)1
35+ (1)
12
35+ (2)
18
35+ (3)
4
35=12
7
Jadi, nilai harapan dari banyaknya wanita dalam kepanitiaan tersebut adalah 12
7.
Suatu populasi yang pengamatannya terdiri dari nilai-nilai peubah acak 𝑋, juga
memiliki ragam atau variansi yang dilambangkan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) atau 𝜎𝑥2 atau
𝜎2. Variansi merupakan ukuran penyebaran yang mengukur seberapa besar
data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran datanya maka akan
semakin baik. Berikut definisi dari variansi.
Definisi 2. 21 Variansi
Diketahui distribusi probabilitas variabel acak 𝑋 dengan mean 𝜇. Variansi dari
𝑋 adalah: (Walpole, 1997)
1. 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∑ (𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥) ,𝑥 jika 𝑋 variabel acak diskrit,
2. 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,∞
−∞ jika 𝑋 variabel acak kontinu.
√𝜎2 = 𝜎 merupakan standar deviasi dari 𝑋.
Contoh 2. 20
Perhatikan Contoh 2.19. Tentukan variansi dari 𝑋!
Penyelesaian:
Diketahui:
𝐸(𝑋) =12
7,
𝑓(0) =1
35, 𝑓(1) =
12
35, 𝑓(2) =
18
35, 𝑓(3) =
4
35;
Sehingga diperoleh variansi dari 𝑋 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)
𝑥
= (1 −
12
7)2
(1
35) + (1 −
12
7)2
(12
35) + (1 −
12
7)2
(18
35) + (1 −
12
7)2
(4
35)
=
25
49
Teorema 2. 1 Variansi dari Variabel acak 𝑿
Variansi dari variabel acak 𝑋 adalah
𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
Bukti:
1. Bila 𝑋 merupakan variabel acak diskrit, maka
𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)
𝑥
Definisi 2. 21 (1))
= ∑(𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2)𝑝(𝑥)
𝑥
(Penjabaran(𝑥 − 𝜇)2)
=
∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −
𝑥
2𝜇∑𝑥 𝑝(𝑥)
𝑥
+ 𝜇2∑𝑝(𝑥)
𝑥
(Penjabaran)
= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −
𝑥
2𝜇(𝜇) + 𝜇2(1) Definisi 2. 20 (1))
= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −
𝑥
2𝜇2 + 𝜇2 (Hasil kali)
= ∑(𝑥2)𝑝(𝑥) −
𝑥
𝜇2 (Hasil operasi)
= 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 Definisi 2. 21(1))
Jadi, terbukti bahwa Variansi dari variabel acak Diskrit adalah
𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
2. Bila 𝑋 merupakan variabel acak kontinu, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
𝜎2 = ∫(𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
Definisi 2. 21 (2))
= ∫(𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
(Penjabaran(𝑥 − 𝜇)2)
= ∫ (𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞
−∞2𝜇 ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
∞
−∞∫ 𝜇2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
−∞ (Penjabaran)
= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −
∞
−∞
2𝜇(𝜇) + 𝜇2(1) Definisi 2. 20 (2))
= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −
∞
−∞
2𝜇2 + 𝜇2 (Hasil kali)
= ∫(𝑥2)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −
∞
−∞
𝜇2 (Hasil operasi)
= 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 Definisi 2. 21(2))
Jadi, terbukti bahwa Variansi dari variabel acak Kontinu adalah
𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
D. Distribusi Eksponensial
Kegunaan dari distribusi eksponensial adalah untuk mencari selisih waktu yang
terjadi pada suatu peluang tertentu. Distribusi Eksponensial ini merupakan
distribusi kontinu yang digunakan untuk mencari atau mengolah data dengan
menggunakan variabel acak kontinu. Adapun ciri-ciri dari distribusi
eksponensial, antara lain (Kaharudin, 2018):
a. Nilai 𝑥 dimulai dari 0 sampai tak hingga, dan kurvanya memiliki ekor di
sebelah kanan.
b. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu
yang terjadi pada percobaan tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Definisi 2. 22 Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu 𝑋 dikatakan berdistribusi eksponensial dengan
parameter 𝜆, dapat ditulis dengan (𝑥, 𝜆), bila memiliki fungsi densitas sebagai
berikut (Ross, 2019):
𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0
0 , lainnya
Setelah mengetahui definisi distribusi eksponensial, berikut dicantumkan
teorema dari nilai harapan distribusi eksponensial tersebut menggunakan
definisi yang sudah ada sebelumnya.
Teorema 2.2 Nilai Harapan atau Mean dari Distribusi Eksponensial
Nilai harapan atau mean dari suatu variabel acak kontinu berdistribusi
Ekponensial yaitu
𝐸(𝑋) =1
𝜆
Bukti:
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝜆𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
Misalkan 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = −𝑒−𝜆𝑥
𝜆
𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 𝑢𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢
= 𝜆 [−𝑥 𝑒−𝜆𝑥
𝜆]0
∞
−∫ −𝑒−𝜆𝑥
𝜆𝑑𝑥
∞
0
Misalkan 𝑢 = −𝜆𝑥, 𝑑𝑢 = −𝜆 𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = −1
𝜆𝑑𝑢
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
𝜆∫ 𝑥 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 𝜆 [−𝑥 𝑒−𝜆𝑥
𝜆]0
∞
−∫𝑒𝑢
𝜆2𝑑𝑢
∞
0
= 𝜆 [−𝑥 𝑒−𝜆𝑥
𝜆]0
∞
−1
𝜆2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢
∞
0
= 𝜆 [−𝑥 𝑒−𝜆𝑥
𝜆]0
∞
− [1
𝜆2𝑒𝑢]
0
∞
= [𝑥 𝑒−𝜆𝑥]0
∞− [𝑒−𝜆𝑥
𝜆2]0
∞
= [−(𝜆𝑥 + 1) 𝑒−𝜆𝑥
𝜆]0
∞
= lim𝑥→∞
−(𝜆𝑥 + 1)𝑒−𝜆𝑥
𝜆+(𝜆. 0 + 1) 𝑒−𝜆.0
𝜆
= 0+1
𝜆
= 1
𝜆
Jadi, terbukti bahwa Nilai harapan atau mean dari suatu variabel acak kontinu
berdistribusi Ekponensial yaitu
𝐸(𝑋) =1
𝜆
E. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson merupakan distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel acak
diskret yang banyaknya hasil percobaan terjadi dalam interval waktu tertentu
atau di daerah tertentu.
Definisi 2. 23 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson 𝑋 yang menyatakan
banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval tertentu atau di
suatu daerah tertentu dapat didefinisikan sebagai berikut (Walpole, 1997):
𝑓(𝑥, 𝜆) =𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, 3, …
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Keterangan:
𝜆 = rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi.
𝑡 = suatu interval tertentu atau di suatu daerah tertentu.
Setelah mengetahui definisi distribusi poisson, berikut dicantumkan teorema
dari nilai harapan dan variansi distribusi poisson tersebut menggunakan
definisi yang sudah ada sebelumnya. Pertama, akan dibuktikan teorema nilai
harapan atau mean dari distribusi poisson.
Teorema 2.3 Nilai Harapan atau Mean dari Distribusi Poisson
Nilai harapan atau mean dari variabel acak diskrit 𝑋 distribusi poisson yaitu
𝐸(𝑋) = 𝜆
Bukti:
Dari Nilai harapan dari peubah acak disebut juga dengan mean atau rata-rata
populasi. Nilai rata-rata distribusi peluang X dilambangkan dengan μx atau μ.
Berikut merupakan definisi dari nilai harapan tersebut.
Dari Definisi 2. 20 (diskrit), maka diperoleh:
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑛𝑥=0
= ∑𝑥 𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
𝑛𝑥=0
= ∑ 𝑥 𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆∑ 𝑥 𝜆𝑥
𝑥!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆∑ 𝑥 𝜆𝑥
𝑥(𝑥−1)!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆∑ 𝜆𝑥
(𝑥−1)!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆∑ 𝜆𝑥
(𝑥−1)!
𝑛𝑥=1
= 𝑒−𝜆(𝜆 + 𝜆2 +𝜆3
2!+𝜆4
3!+⋯)
= 𝑒−𝜆 (𝜆 (1 + 𝜆 +
𝜆2
2!+𝜆3
3!+⋯))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
= 𝑒−𝜆 (𝜆(𝑒𝜆))
= 𝑒0𝜆
= 𝜆
Jadi, terbukti bahwa nilai harapan atau mean dari variabel acak diskrit 𝑋
ditribusi poisson adalah 𝐸(𝑋) = 𝜆
Selain menentukan nilai harapan dari distribusi poisson, berikut juga
dicantumkan teorema dari variansi distribusi poisson, karena distribusi ini
memiliki nilai variansinya. Berikut pembukyian dari teorema variansi
distribusi poisson.
Teorema 2.4 Variansi dari Distribusi Poisson
Variansi dari variabel acak diskrit 𝑋 berdistribusi poisson yaitu
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆
Bukti:
Kita cari terlebih dahulu 𝐸(𝑋2), yaitu
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥2𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥2𝜆𝑥
𝑥!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥2𝜆𝑥
𝑥(𝑥−1)!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆 ∑ 𝑥𝜆𝑥
(𝑥−1)!
𝑛𝑥=0
= 𝑒−𝜆 (𝜆 + 2𝜆2 + 3𝜆3
2!+ 4
𝜆4
3!+⋯)
= 𝑒−𝜆 (𝜆(1 + 2𝜆 + 3𝜆2
2!+ 4
𝜆3
3!+⋯)
= 𝑒−𝜆𝜆 ((1 + 𝜆) (1 + 𝜆 +
𝜆2
2!+𝜆3
3!+⋯))
= 𝑒−𝜆𝜆(1 + 𝜆)𝑒𝜆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
= 𝑒0𝜆(1 + 𝜆)
= 1(𝜆 + 𝜆2)
= 𝜆 + 𝜆2
Berdasarkan Teorema 2. 1, maka diperoleh:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2
= (𝜆 + 𝜆2) − 𝜆2
= 𝜆
Jadi, terbukti bahwa variansi dari variabel acak diskrit 𝑋 berdistribusi poisson
yaitu 𝜆.
Pengujian statistika dapat dilakukan untuk mengetahui jenis dari karakteristik
data yang diperoleh. Pengujian data yang dilakukan untuk mengetahui apakah
data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak serta berdistribusi Eksponensial
atau tidak. Berikut merupakan penjelasannya.
F. Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari
Rusia yaitu A. N Kolmogorov pada tahun 1993. Uji Kolmogorov merupakan
salah satu uji statistik yang digunakan untuk mengetahui dan memberikan
kepastian data yang dimiliki berdistribusi tertentu atau tidak (Samsudin, 2007).
Uji statistik ini digunakan untuk mengetahui sampai sejauh mana suatu model
tersebut mampu mendekati situasi nyata yang digambarkan. Adapun prosedur
untuk melakukan uji Kolmogorov Smirnov ini secara manual adalah sebagai
berikut.
a. Menentukan hipotesis, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)
𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)
b. Menentukan tingkat signifikansi yaitu 𝛼, dengan 𝛼 = 0,05
c. Menentukan wilayah kritis
d. Membandingkan uji yang sesuai dengan wilayah kritis, yaitu:
𝐻0 ditolak dan 𝐻1 diterima jika statistik uji berada di wilayah kritis
𝑠𝑖𝑔 < 𝛼. Artinya, data tersebut tidak berdistribusi Poisson atau
Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji.
𝐻0 diterima dan 𝐻1 ditolak jika statistik uji tidak berada di wilayah
kritis 𝑠𝑖𝑔 > 𝛼. Artinya, data tersebut berdistribusi Poisson atau
Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji
e. Membuat kesimpulan yaitu menyatakan kembali keputusan sebelumnya ke
dalam bentuk sederhana dan non-teknis.
Adapun prosedur untuk melakukan uji Kolmogorov-Smirnov dengan
menggunakan Software Statistical Package for the Social Sciences (SPSS),
sebagai berikut:
a. Masukan data dalam SPSS.
b. Klik Analyze > Nonparametric Test > Legacy Dialogs > 1-Sample K-S.
c. Pilih data yang akan diuji.
d. Pada pilihan Test Distribusi pilih distribusi yang akan diuji (Normal/
Poisson/ Uniform/ Eksponensial).
e. Klik OK.
f. Lihat nilai dari Asymp. Sig. (2-tailed).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
𝐻0 ditolak dan 𝐻1 diterima jika statistik uji berada di wilayah kritis
𝑠𝑖𝑔 < 𝛼. Artinya, data tersebut tidak berdistribusi Poisson atau
Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji
𝐻0 diterima dan 𝐻1 ditolak jika statistik uji tidak berada di wilayah
kritis 𝑠𝑖𝑔 > 𝛼. Artinya, data tersebut berdistribusi Poisson atau
Eksponensial sesuai dengan yang akan diuji
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
BAB III
TEORI ANTREAN
Bab ini mendiskusikan tentang teori antrean. Pembahasan dimulai dengan
pemaparan pengertian teori antrean dilanjutkan dengan elemen-elemen pokok yang
terdapat dalam antrean.
A. Pengertian Teori Antrean
Antrean merupakan suatu situasi atau kejadian dalam kehidupan sehari-
hari yang sering terjadi dimana beberapa orang menunggu giliran untuk
mendapatkan pelayanan tertentu dari fasilitas yang terbatas dan waktu yang
berbeda-beda. Rata-rata waktu tunggu dalam sebuah antrean tergantung pada
rata-rata kecepatan pelayanan. Semakin cepat pelayanan yang diberikan
kepada pelanggan, maka waktu tunggu juga akan semakin sedikit. Namun,
dalam banyak kasus, pelayanan kepada pelanggan tidak mungkin dipercepat.
Permasalahannya adalah bagaimana mempersingkat waktu tunggu meskipun
waktu pelayanan tidak mungkin lagi dipercepat.
Teori antrean dikemukakan dan dikembangkan oleh seorang
matematikawan Agner Krarup Erlang yang pada saat itu bekerja pada
Perusahaan Telepon Kopenhagen sebagai kepala laboratorium teknis (Boyd,
2014). Pada saat itu, sambungan telepon dari penelepon ke penerima dilakukan
secara manual. Penelepon menghubungi operator, lalu operator secara manual
menghubungkan dengan telepon penerima. Teknologi jaringan telepon pada
waktu itu masih analog sehingga satu saluran hanya bisa dipergunakan oleh
satu pelanggan. Kondisi ini menyebabkan adanya antrean pengguna telepon
yang akan mempergunakan saluran yang sama. Sebagai kepala laboratorium
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
sebuah perusahaan telepon, Erlang mendapat tugas untuk melakukan penelitian
dengan tujuan memperpendek waktu tunggu pelanggan yang akan
menggunakan saluran telepon. Dengan demikian teori antrean merupakan
sebuah teori yang bermanfaat bagi dunia usaha, terutama yang berkaitan
dengan lama waktu tunggu pelayanan. Tujuan teori antrean adalah optimalisasi
(mempersingkat) lama pelanggan dalam menunggu hingga mendapatkan
pelayanan. Proses antrean merupakan proses pada suatu fasilitas yang
berhubungan dengan kedatangan pelanggan, menunggu dalam barisan antrean,
mendapatkan pelayanan, dan terakhir keluar dari fasilitas tersebut setelah
mendapatkan pelayanan.
B. Elemen Pokok Antrean
Elemen sistem antrean merupakan suatu komponen yang merupakan bagian
atau anggota dari sistem antrean tersebut.
Gambar 3.1 Ilustrasi suatu Antrean
Dari Gambar 3.1, dapat dilihat bahwa individu atau barang atau benda
yang masuk dalam suatu sistem akan melewati tahap kedatangan lalu mereka
akan menunggu pada suatu antrean untuk mendapatkan pelayanan, berikutnya
mereka akan mendapatkan pelayanan sesuai dengan kebutuhan masing-
masing, dan terakhir akan keluar dari sistem/ pelayanan jika sudah
mendapatkan pelayanan.
Fasilitas/
pelayanan
Sumber
Kedatangan
Antrean Keluar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Sebuah sistem antrean yang paling sederhana memiliki dua bagian dasar
yaitu antrean tunggal dan fasilitas pelayanan tunggal. Sistem antrean memiliki
6 elemen pokok suatu antrean yaitu sebagai berikut. (Pangestu dkk, 2000)
1. Sumber Masukan.
Sumber masukan ini terdiri dari suatu populasi orang, barang atau
benda yang datang pada suatu sistem untuk dilayani. Populasi ini dapat
berupa populasi terbatas dan populasi tidak terbatas. Populasi terbatas
merupakan populasi yang dapat dilayani dalam sistem yang jumlahnya
tertentu sedangkan populasi tak terbatas merupakan populasi yang relatif
besar.
2. Laju Kedatangan.
Laju kedatangan merupakan rata-rata dari jumlah kedatangan
individu, barang ataupun benda yang datang dalam sistem antrean pada
waktu tertentu. Laju kedatangan suatu individu, barang atau benda dalam
memasuki sistem dapat dengan cara pelanggan yang datang secara acak
atau random maupun konstan yang berarti pelanggan yang datang setiap
periode tertentu. Suatu individu dapat datang satu per satu ataupun
berkelompok. Distribusi probabilitas yang digunakan dalam laju
kedatangan adalah distribusi Poisson. Sedangkan distribusi yang
digunakan untuk selisih antar waktu kedatangan adalah distribusi
Eksponensial.
3. Kapasitas Antrean.
Kapasitas antrean merupakan faktor yang membatasi besar kecilnya
jumlah individu yang dapat dilayani dalam suatu sistem. Bila faktor yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
membatasi besar kecilnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam
sistem, maka sistem tersebut mempunyai kapasitas antrean yang terbatas,
namun sebaliknya bila kapasitas antrean bukan faktor yang membatasi
besar kecilnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem, maka
sistem tersebut mempunyai kapasitas antrean yang tidak terbatas.
4. Laju pelayanan.
Pelayanan merupakan suatu kegiatan yang dilakukan kepada
pelanggan sebagai usaha untuk mencapai kepuasan pelanggan. Sedangkan
kata “melayani” berarti membantu menyiapkan yang diperlukan oleh
orang lain. Laju pelayanan merupakan rata-rata jumlah individu, barang
ataupun benda yang dilayani dalam periode tertentu. Laju pelayanan dalam
sistem antrean dibagi dua jenis, yaitu satu layanan dan beberapa layanan.
Sebuah pelayanan dikatakan sebagai suatu laju satu layanan jika pelayanan
kepada individu selesai dalam satu kali proses pelayanan. Misalnya,
pelayanan dalam suatu bank. Individu dapat langsung meninggalkan
fasilitas pelayanan setelah proses transaksi selesai. Sedangkan, sebuah
pelayanan dikatakan suatu laju beberapa layanan jika pelayanan kepada
individu tidak dapat diselesaikan dengan satu kali proses. Dengan kata
lain, individu harus memenuhi beberapa proses untuk menyelesaikan
segala kepentingannya. Misalnya, pelayanan di rumah sakit saat
melakukan uji laboratorium, dimana pelayanan yang satu dengan yang
lainnya saling berkaitan, mulai dari pendaftaran, pemeriksaan dokter, uji
laboratorium, pembayaran, hasil uji laboratorium, pengambilan obat, dan
akhirnya keluar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
5. Disiplin Antrean.
Disiplin antrean merupakan suatu pedoman yang digunakan untuk
mengatur individu-individu dalam sebuah antrean untuk mendapat
pelayanan terlebih dahulu. Adapun macam-macam disiplin antrean adalah
sebagai berikut. (Kakiay, 2004)
a. First-come first-served (FCFS), yang artinya merupakan individu yang
terlebih dahulu datang, maka akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
antrean pembayaran belanja di swalayan.
b. Last-come first-served (LCFS), yang artinya merupakan individu yang
tiba paling akhir didahulukan dalam pelayanannya. Misalnya, sistem
antrean dalam lift untuk lantai yang sama, yaitu pengguna lift yang
masuk terakhir akan keluar terlebih dahulu.
c. Service in random order (SIRO), yang artinya sistem pelayanan
dengan individu akan dilayani secara acak atau tanpa memperdulikan
siapa yang datang terlebih dahulu untuk dilayani. Misalnya,
penerimaan telepon pada suatu operator ketika banyak telepon yang
masuk.
d. Priority service (PS), yang artinya merupakan prioritas pelayanan akan
diberikan kepada individu yang memiliki prioritas lebih tinggi,
meskipun sudah datang terlebih dahulu, jika prioritasnya lebih rendah
maka akan dilayani setelah individu yang memiliki pelayanan lebih
tinggi. Misalnya, pada antrean rumah sakit di UGD, ketika pasien
dilihat darurat, maka akan dilayani terlebih dahulu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
6. Keluar (Exit).
Sesudah seseorang individu mendapatkan pelayanan, maka dia akan
keluar dari suatu sistem tersebut. Individu tersebut meninggalkan suatu
sistem dapat kembali ke dalam populasi asalnya ataupun pada populasi
yang lebih kecil lagi.
C. Model-model Teori Antrean
Teori Antrean memiliki dua sistem notasi yang dipergunakan yaitu
Notasi Kendal dan Notasi Persamaan.
a. Notasi Kendall
Notasi Kendal merupakan notasi yang dipergunakan untuk
menyatakan model Teori Antrean berdasarkan banyaknya layanan (counter
atau channel) dan banyaknya tahapan (phase). Notasi ini untuk pertama
kali dikembangkan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Inggris
bernama David G. Kendall (Kendall, 1953). Pada awalnya, Kendall
mengusulkan notasi A/S/c untuk model Teori Antrean. Huruf “A”
menyatakan waktu antar kedatangan (time between arrival), “S”
menyatakan distribusi waktu pelayanan (service time distribution), dan “c”
banyaknya layanan (counter) dalam sistem tersebut. Notasi tiga huruf
tersebut kemudian dikembangkan oleh Alec M. Lee (Lee, 1966) dengan
menambahkan tiga notasi lagi menjadi (A/S/c):(K/N/D). Huruf “K”
dipakai untuk menyatakan disiplin antrean, “N” adalah kapasitas
pelayanan, dan “D” adalah sistem layanan atau laju pelayanan. Notasi
(A/S/c):(K/N/D) diterangkan dalam tabel berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Tabel 3. 1 Simbol-Simbol Pengganti Notasi Kendal-Lee
Notasi
Kendall
Notasi
Lee
Keterangan
A dan S M Markov menyatakan kedatangan dan
kepergian berdistribusi Poisson (waktu
antar kedatangan berdistribusi
Eksponensial).
D Deterministik menyatakan waktu antar
kedatangan atau waktu pelayanan
konstan
𝐸𝑘 Waktu antar kedatangan atau waktu
pelayanan berdistribusi eksponensial
GI Distribusi independen umum dari
kedatangan (waktu antar kedatangan)
G Distribusi umum dari keberangkatan
(waktu pelayanan)
K FCFS First Come First Served
LCFS Last Come First Served
SIRO Service in Random Order
PS Prioruty Service
GD General Discipline (disiplin umum)
dalam antrean (FCFS, LCFS, SIRO, PS)
c, N, D 1, 2, 3, … , ∞
Sebagai contoh, suatu parkiran kendaraan hanya memiliki satu pintu
masuk, yaitu saat orang mengambil tiket masuk. Sistem ini termasuk dalam
kategori satu layanan – satu tahapan (single channel – single phase) dan
diberi notasi (M/M/1):(GD/∞/∞). Jenis antrean lain adalah yang dijumpai
di kasir department store. Kasir department store biasanya memiliki lebih
dari satu layanan (counter). Sistem ini termasuk dalam model beberapa
layanan dan diberi notasi (M/M/c):(GD/∞/∞).
b. Notasi Persamaan
Notasi persamaan adalah notasi yang dipergunakan dalam
pemodelan matematis Teori Antrean. Nilai untuk variabel-variabel dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
pemodelan ini diperoleh baik dari pengamatan maupun perhitungan.
Notasi-notasi tersebut adalah sebagai berikut.
𝜆 = Laju kedatangan (arrival rate), yaitu jumlah individu yang masuk
ke dalam pelayanan per satuan waktu (individu/waktu). Cara
menentukan laju kedatangan untuk melakukan sebuah
perhitungan awal adalah
𝜆 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
𝜇 = Laju pelayanan (service rate), yaitu jumlah individu per satuan
waktu (unit/waktu). Cara menentukan laju pelayanan untuk
melakukan sebuah perhitungan awal adalah
𝜇 =𝑘𝑒𝑚𝑎𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑖
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
Sedangkan ukuran yang akan digunakan dalam ukuran performa di
suatu antrean adalah sebagai berikut:
𝑛 = jumlah individu dalam sistem
𝐿𝑞 = rata-rata jumlah individu dalam antrean (individu)
𝐿𝑠 = rata-rata jumlah individu dalam pelayanan (individu)
𝑊𝑠 = rata-rata waktu tunggu dalam pelayanan (jam)
𝑊𝑞 = rata-rata waktu tunggu dalam antrean (jam)
𝑃𝑛 = probabilitas terdapat n individu dalam pelayanan
𝑃0 = probabilitas tidak ada individu dalam pelayanan
𝑃𝑤 = probabilitas fasilitas layanan sibuk
𝑟 = tingkat kegunaan fasilitas pelayanan atau utilitas (rasio)
𝑐 = banyaknya pelayanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Definisi 3. 1 Ukuran Steady-State
Steady-State merupakan kondisi sewaktu sifat-sifat suatu sistem
tidak berubah dengan berjalannya waktu (konstan). Dari sebab itu, dapat
didefinisikan bahwa probabilitas fasilitas layanan sibuk (𝑃𝑤) merupakan
perbandingan antara laju kedatangan (𝜆) dengan laju pelayanan (𝜇).
𝑃𝑤 =𝜆
𝜇 3. 1
Semakin tinggi laju kesibukan dalam pelayanan akan semakin
rendah probabilitas kekosongan sistem (tidak ada individu/ pelanggan
dalam sistem). Sebaliknya, semakin rendah laju kesibukan dalam
pelayanan, akan semakin tinggi probabilitas kekosongan sistem. Dimana 𝑐
merupakan banyaknya fasilitas pelayanan yang tersedia dalam suatu
fasilitas pelayanan, dapat ditulis sebagai berikut.
𝑃𝑤 =𝜆
𝑐𝜇
Kondisi Steady-State ini akan terpenuhi jika nilai 𝑃𝑤 < 1 yang
berarti bahwa 𝜆 < 𝑐𝜇.
Setelah mengetahui kondisi Steady-State di atas, dalam menyatakan suatu
probabilitas terdapat 𝑛 individu dalam pelayanan dapat dibuktikan melalui
teorema berikut, dengan menggunakan definisi yang sudah ada
sebelumnya.
Teorema 3.1 Probabilitas Terdapat 𝒏 Individu dalam Pelayanan
Probabilitas terdapat n individu dalam pelayanan, diberi notasi 𝑃𝑛,
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
𝑃𝑛 = (1 −𝜆
𝜇) (𝜆
𝜇)𝑛
.
Bukti:
Misalkan 𝑃0 menyatakan probabilitas terdapat 0 (tidak ada) individu
dalam pelayanan. Maka laju rata-rata pada proses meninggalkan keadaan 0
adalah 𝜆𝑃0, dengan 𝜆 adalah laju kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).
Di lain pihak, keadaan 0 hanya dapat dicapai dari keadaan 1 melalui sebuah
keberangkatan. Jika ada satu pelanggan dalam sistem menyelesaikan
layanannya, maka sistem tersebut menjadi kosong.
Sistem ini mengikuti steady-state, yaitu, untuk 𝑛 > 0 laju
kedatangan sama dengan tingkat arus keluar. Karena laju pelayanan adalah
𝜇 dan probabilitas tepat 1 pelanggan dalam pelayanan adalah 𝑃1, maka laju
rata-rata memasuki keadaan 0 adalah 𝜇𝑃1 (Ross, 2007). Karena dalam
proses ini berlaku prinsip steady-state, maka didapatkan persamaan:
𝜆𝑃0 = 𝜇𝑃1 3. 2
Sekarang perhatikan keadaan (state) 1. Pada keadaan ini, proses
meninggalkan sistem ditentukan baik oleh laju kedatangan (𝜆) dan oleh
keberangkatan (yang ditentukan oleh laju pelayanan 𝜇). Dengan kata lain,
proses meninggalkan sistem ditentukan oleh 𝜆 + 𝜇. Dengan demikian,
tingkat arus keluar pada keadaan 1 adalah (𝜆 + 𝜇)𝑃1. Di sisi yang lain,
keadaan 1 dapat dimasuki dari keadaan 0 melalui kedatangan dan dari
keadaan 2 dari keberangkatan. Dengan demikian, laju proses memasuki
keadaan 1 adalah 𝜆𝑃0 + 𝜇𝑃2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Secara umum, laju meninggalkan keadaan 𝑛 ditentukan oleh laju
kedatangan (𝜆) dan laju pelayanan (𝜇), sedangkan kelakuan memasuki
keadaan 𝑛 ditentukan oleh laju meninggalkan pada keadaan 𝑛 + 1 dan laju
kedatangan pada keadaan 𝑛 − 1. Berdasarkan prinsip steady-state,
kesamaan laju meninggalkan dan laju memasuki, diperoleh persamaan
berikut.
Keadaan
(State)
Laju meninggalkan sistem
= Laju memasuki sistem
3. 3
0 𝜆𝑃0 = 𝜇𝑃1
𝑛, 𝑛 ≥ 1 (𝜆 + 𝜇)𝑃𝑛 = 𝜆𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑃𝑛+1
Dari 3. 3, maka diperoleh:
𝑃1 =𝜆
𝜇𝑃0
3. 4
𝑃𝑛+1=𝑃𝑛 +𝜆
𝜇(𝑃𝑛 − 𝑃𝑛−1), 𝑛 ≥ 1
3. 5
Untuk 𝑛 = 1,
𝑃𝑛+1 = 𝜆
𝜇𝑃𝑛 + (𝑃𝑛 −
𝜆
𝜇𝑃𝑛−1) 3. 5
𝑃1+1 = 𝜆
𝜇𝑃1 + (𝑃1 −
𝜆
𝜇𝑃1−1) Substitusi 𝑛 = 1
𝑃2 = 𝜆
𝜇𝑃1 + (𝑃1 −
𝜆
𝜇𝑃0) Hasil dari substitusi
𝑃2 = 𝜆
𝜇𝑃1 + (𝑃1 − 𝑃1) 3. 4
𝑃2 = 𝜆
𝜇𝑃1 Hasil pengurangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
𝑃2 = (𝜆
𝜇)2
𝑃0 3. 4
Maka, diperoleh:
𝑃2 = (𝜆
𝜇)2
𝑃0 3. 6
Untuk 𝑛 = 2,
𝑃𝑛+1 = 𝜆
𝜇𝑃𝑛 + (𝑃𝑛 −
𝜆
𝜇𝑃𝑛−1) 3. 5
𝑃2+1 = 𝜆
𝜇𝑃2 + (𝑃2 −
𝜆
𝜇𝑃2−1) Substitusi 𝑛 = 2
𝑃3 = 𝜆
𝜇𝑃2 + (𝑃2 −
𝜆
𝜇𝑃1) Hasil dari substitusi
𝑃3 = 𝜆
𝜇𝑃2 + (𝑃2 − 𝑃2) Penjabaran dari 3. 6
𝑃3 = 𝜆
𝜇𝑃2 Hasil pengurangan
𝑃3 = (𝜆
𝜇)3
𝑃0 3. 6
Maka, diperoleh:
𝑃3 = (𝜆
𝜇)3
𝑃0
3. 7
⋮
Dengan menggunakan langkah yang sama, diperoleh:
𝑃𝑛 = (𝜆
𝜇)𝑛
𝑃0
3. 8
Maka, diperoleh 𝑃𝑛 = (𝜆
𝜇)𝑛
𝑃0
Selain itu, dapat juga dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika,
sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑛= (𝜆
𝜇)𝑛
𝑃0.
Bukti:
1. Untuk 𝑛 = 1, maka
𝑃𝑛 = (𝜆
𝜇)𝑛
𝑃0 3. 5
𝑃1 = (𝜆
𝜇)1
𝑃0 Substitusi 𝑛 = 1
𝑃1 = 𝜆
𝜇𝑃0 Hasil substitusi
2. Diasumsikan bahwa 3. 5 berlaku untuk 𝑛 = 𝑘, maka
𝑃𝑘= (𝜆
𝜇)𝑘
𝑃0
3. Akan dibuktikan persamaan 3. 5 berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
Yaitu:
𝑃𝑘+1= (𝜆
𝜇)𝑘+1
𝑃0
Substitusikan 3. 8 ke dalam 3. 5, dengan 𝑛 = 𝑘 + 1, maka diperoleh
𝑃𝑘+2 =𝜆
𝜇(𝜆
𝜇)𝑘+1
𝑃0 + (𝜆
𝜇)𝑘+1
𝑃0 −𝜆
𝜇(𝜆
𝜇)𝑘
𝑃0
𝑃𝑘+2 = (𝜆
𝜇)𝑘+2
𝑃0 + (𝜆
𝜇)𝑘+1
𝑃0 − (𝜆
𝜇)𝑘+1
𝑃0
𝑃𝑘+2 = (𝜆
𝜇)𝑘+2
𝑃0
Jadi, terbukti bahwa persamaan 3. 5 berlaku 𝑛 = 𝑘 + 1. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa 𝑃𝑛= (𝜆
𝜇)𝑛
𝑃0
Kar