TKS 4013

Analisis Struktur II

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Konsep Analisis Struktur

Lentur

Geser

Aksial

Torsi

Gaya Luar

ST

RU

KT

UR

Gaya Dalam

Momen Lentur

Gaya Geser

Gaya Normal

Torsi

Deformasi

Translasi

Rotasi

Perpindahan

equilibrium compatibility contitutive law

Contoh :

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Keseimbangan gaya luar (external force) dengan

gaya dalam (internal force) pada struktur.

Keseimbangan pada struktur :

Kesetimbangan Statis (Hukum Newton 1)

Kesetimbangan Dinamis (Hukum Newton 2)

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Equilibrium (Keseimbangan) :

0F

amF

0XF

0YF

0ZF 0ZM

0XM

0YM

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Persamaan keseimbangan pada struktur :

Hubungan antara gaya dalam (internal force) dengan

deformasi pada bagian struktur.

Material struktur memenuhi persyaratan yang ada

dalam Hukum Hooke (Elastis dan Linier).

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Constitutive Law (Hukum Konstitusi) :

F = k dengan :

F = gaya (force)

k = kekakuan (stiffness)

= perpindahan (displacement)

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

F

k

F

f

= f F

dengan :

= perpindahan (displacement)

f = kelenturan (flexibility)

F = gaya (force)

Pertimbangan kesesuaian secara kinematis dari

struktur yang terdeformasi (continuity displacement).

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Compatibility (Kesesuaian) :

0;0;0 0;0; 0;0;0 DHDVD CHCVCDCA AHAVA 0;0;0 0;0;0 BHBVB AHAVA

000

00

000

DHDVD

CHCVCDCA

AHAVA

;;

;;

;;

0;0;0

0;0;0

BHBVB

AHAVA

DKK - Derajat Kebebasan Kinematis (Kinematics

Degree of Freedom), adalah jumlah displacement

(translasi dan rotasi) yang belum diketahui besarnya

pada ujung-ujung batang.

DKS - Derajat Kebebasan Statis (Statics Degree of Freedom), adalah jumlah gaya kelebihan (redudant force) pada struktur agar dapat diselesaikan dengan persamaan keseimbangan.

0;0;0 0;0; 0;0;0 DHDVD CHCVCDCA AHAVA 0;0;0 0;0;0 BHBVB AHAVA

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

Compatibility (Kesesuaian) :

Contoh :

Konsep Analisis Struktur (lanjut)

DKK = 0 DKS = 3

DKK = 5 DKS = 1

DKK = 8 DKS = 1

Contoh :

Konstruksi Jembatan

Konstruksi Atap

Konstruksi Pengaku

Deformasi Aksial Gaya Aksial

(Tekan/Tarik)

Bentuk dan Tipe Struktur

Plane Truss (Rangka Bidang) :

Bentuk dan Tipe Struktur (lanjut)

Space Truss (Rangka Ruang) :

Contoh :

Konstruksi Jembatan

Konstruksi Atap, Kubah (dome)

Konstruksi Tower

Deformasi Aksial Gaya Aksial

(Tekan/Tarik)

Deformasi Lentur

Deformasi Geser

Deformasi Aksial

Momen Lentur

Gaya Geser

Gaya Aksial

Bentuk dan Tipe Struktur (lanjut)

Plane Frame (Portal Bidang) :

Contoh :

Portal Sederhana

Bangunan Gedung

Konstruksi Tunnel/Box

Bentuk dan Tipe Struktur (lanjut)

Space Frame (Portal Ruang) :

Contoh :

Bangunan Gedung

Deformasi Lentur

Deformasi Geser

Deformasi Aksial

Deformasi Puntir

Momen Lentur

Gaya Geser

Gaya Aksial

Momen Torsi

Bentuk dan Tipe Struktur (lanjut)

Grid (Balok Silang) :

Contoh :

Balok Spandrel

Konstruksi Lantai Grid

Pondasi Sarang Laba-laba

Pondasi Rakit

Deformasi Geser

Deformasi Lentur

Deformasi Puntir

Gaya Geser

Momen Lentur

Momen Torsi

Struktur terdiri dari :

1. Elemen : batang/member

2. Titik Buhul : nodal/node/joint

Transfer gaya luar pada bagian-bagian struktur melalui

elemen dan node/joint.

Komponen Struktur

Titik Buhul (Node/Joint) adalah bagian dari struktur

yang menghubungkan elemen-elemen struktur.

Node/Joint terbagi atas :

1. Node/Joint Terkekang (disebut juga “constraint-

node”) Perletakan roll, sendi, jepit

2. Node/Joint Bebas (disebut juga “free-node”)

Perletakan kenyal, Titik buhul, Titik kumpul

Titik Buhul (Joint)

Roll

Free Node/Joint/Nodal

Jepit/Fixed Sendi/Pin/Hinge

Titik Buhul (Joint) (lanjut)

Nodal - Displacement (u, v, w)

Elemen (Member)

Elemen adalah bagian dari struktur yang dihubungkan

oleh dua atau lebih titik buhul/node/joint. Elemen terdiri

atas :

1. Elemen garis (truss/frame/grid element)

2. Elemen bidang (plate/wall element)

3. Elemen ruang (hexagonal/cube element)

Gaya Ujung Batang (Nodal Force)

Nodal Forces

(Momen+Geser+Aksial+Torsi)

Nodal Forces

(Momen+Geser+Aksial)

Nodal Forces

(Momen+Geser)

Gaya Ujung Batang (Nodal Force) (lanjut)

Gaya Ujung Batang (Nodal Force) (lanjut)

Gaya Ujung Batang (Nodal Force) (lanjut)

F = k x

atau

xKF

n

3

2

1

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

n

3

2

1

X

:

:

X

X

X

K..KKK

:

:

::

::

:

:

:

:

:

:

K..KKK

K..KKK

K..KKK

F

:

:

F

F

F

Hubungan Nodal Displacement

dengan Nodal Force

DEFORMASI AKSIAL

dengan :

A = luas tampang

E = modulus elastis bahan

L = panjang elemen

EA

N

E

AN

E

xX

dxEA

Ndxd xx ..

L

O

xL NEA

Ldx

EA

Nd .

EA = axial rigidity

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force

z

xI

yM .

Z

xx

EI

yM

E

.

dxEI

M

y

dxd

Z

x ..

L

O Z

dxEI

Md . EIz = flexural rigidity

DEFORMASI LENTUR

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

G

bI

QV

z .

.

Shearing Strain ;

AG

dxVfd

.

..

Displacemen relatif ; Shear Stress ;

VGA

Lfdx

GA

Vfd

L

O

S ..

..

rigidityshearingf

GA

f

=

s

h

a

p

e

f

a

c

t

o

r

DEFORMASI GESER

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

G

Shear Strain,

AG

dxVfd

.

..Relative Displacement,

VGA

Lfdx

GA

Vfd

L

O

S ..

..

rigidityshearf

GA

f = shape factor

bI

QV

z .

.Shear Stress,

JG

rT

G .

.

JG

RT

G

maksmaks

.

.

dxJG

Tdx

Rd maks

.

J

r.T

J

RT .max

J = momen inersia polar (konstanta torsi) GJ = torsional rigidity

TGJ

Ldx

JG

Td

L

O

..

.

DEFORMASI TORSI

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Hubungan Deformasi dengan

Internal Force (lanjut)

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Menghitung hubungan external force (action) dengan

displacement pada balok prismatis (prismatic beam)

dapat memakai banyak metode, antara lain :

“Persamaan Differensial Balok”

“Moment Area Method”

“Unit Load Method or Virtual Work”

Hubungan Displacement dengan

External Force

Kekakuan (Stiffness) adalah gaya (force) yang

diperlukan untuk menghasilkan “unit displacement”.

Fleksibilitas (Flexibility) adalah perpindahan

(displacement) yang dihasilkan oleh “unit force”.

kg/cm) N/mm,(ton/m,panjang

gayasatuan k

cm/kg) mm/kN, (m/ton, gaya

panjangsatuan

Kekakuan dan Fleksibilitas

Kekakuan dan Fleksibilitas (lanjut)

D

A

D = displacement

A = gaya/force

A = k D

D = f A

kfatau

fk

11

f

1

f = fleksibilitas

1

k

k = kekakuan

Struktur balok kantilever menerima beban terpusat A1

dan momen lentur A2 pada ujung kantilever seperti

ditunjukkan pada gambar di atas. Hitung matriks

kekakuan [K] dan matriks fleksibilitas [F] dari struktur

tersebut?

Contoh :

Kekakuan dan Fleksibilitas (lanjut)

Kekakuan dan Fleksibilitas (lanjut)

22131

612D

L

EID

L

EIA

2122

46D

L

EID

L

EIA

2

1

2

23

2

1

46

612

D

D

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

A

A

DkA

Kekakuan dan Fleksibilitas (lanjut)

2

1

2

23

2

1

2

23A

A

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

D

D

2

2

1

3

123

AEI

LA

EI

LD

21

2

22

AEI

LA

EI

LD

AfD

Sehingga dapat dibuktikan bahwa :

atau 1 kf 1

fk

Kekakuan dan Fleksibilitas (lanjut)

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

2

232

23

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

46

612

2

23

kf

)43(

)22()34(

66LL

LL

10

01 kf

kf

Pada metode matriks, pengaruh beban luar yang

bekerja pada batang (member loads) dapat

diekivalensikan dengan beban pada node/joint

yang mempunyai pengaruh sama seperti beban

aslinya.

Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent joint

loads”.

Equivalent Joint Loads

Equivalent Joint Loads (lanjut)

Metode yang dikenal sampai saat ini adalah :

Metode Kekakuan (Metode Perpindahan)

Metode Fleksibilitas (Metode Gaya)

Metode Kekakuan : perpindahan (displacement)

sebagai unknown value (variabel yang tidak diketahui)

dan dicari terlebih dahulu.

Metode Fleksibilitas : gaya (forces) sebagai unknown

value dan dicari terlebih dahulu.

Formulasi Analisis Struktur

dengan Matriks

Metode ini sangat cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000, StaadPRO, ANSYS dan sebagainya).

Asumsi dasar yang digunakan :

1. Bahan struktur berperilaku “linear - elastic”

2. Displacement struktur relatif kecil dibanding dimensi/geometrik struktur

3. Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan

4. Elemen/batang struktur bersifat “prismatic & homogeneous”.

Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)

1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan

hubungan antara “gaya” dan “deformasi” (dalam

koordinat LOKAL).

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke

koordinat GLOBAL.

3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam

koordinat global) digabungkan menjadi matriks

kekakuan seluruh struktur (dengan

mempertimbangkan kompatibilitas).

4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun

vektor/matriks gaya.

Prosedur Analisis

5. Kondisi batas pada perletakan diperhitungkan, dan

dilakukan “static condensation” untuk memperoleh

matriks kekakuan struktur tereduksi (partition

matrix).

6. Matriks kekakuan struktur yang tereduksi tersebut

memberikan persamaan kesetimbangan struktur,

yang solusinya akan menghasilkan “displacement”

setiap node/joint, kemudian gaya-gaya (reaksi

perletakan) dapat diperoleh kemudian.

7. Setelah reaksi perletakan diketahui, gaya-gaya

dalam dapat dihitung untuk setiap elemen (gaya

ujung batang).

Prosedur Analisis (lanjut)

Struktur Aksial (1D)

Struktur Balok (2D)

Struktur Rangka Bidang (2D)

Struktur Rangka Ruang (3D)

Struktur Portal Bidang (３D)

Struktur Portal Ruang (3D)

Struktur Balok Silang (Grid)

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung

Alkaff, M.F., 2004, Matlab 6 untuk Teknik Sipil, CV. Maxikom, Palembang. Brebbia, C.A., & Ferrante, A.J., 1978, Computational Methods for The

Solution of Engineering Problems, Pentech Press, London. Dipohusodo, I., 2001, Analisa Struktur, jilid-1, Penerbit Gramedia, Jakarta. Ghali, A., & Neville, A.M., 1990, Structural Analysis, Chapman and Hall,

London, edisi terjemahan oleh Wira MSCE, Analisa Struktur, Gabungan Metode Klasik dan Matriks, edisi kedua, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Puspantoro., B, 1990, Teori dan Analisa Balok Grid, Penerbit Andi Offset, Yogyakarta.

Supartono, F.X., & Teddy Boen, 1984. Analisa Struktur Dengan Metode Matriks, cetakan ketiga, UI Press, Jakarta.

Suhendro, B., 2002, Analisis Struktur dengan Matriks, Beta Offset, Yogyakarta.

Wang, C.K., 1985, Pengantar Analisis Struktur dengan Cara Matriks untuk Struktur Rangka, Edisi kedua, Erlangga, Jakarta.

Weaver, W dan Gere, J.M., 1989, Matrix Analysis of Framed Structures, Van Nostrand Reinhold Company Inc, edisi terjemahan Analisa Matriks untuk Struktur Rangka, cetakan kedua, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Pustaka

Terima kasih atas perhatian dan sukses buat studinya!