PENGANTAR STATISTIKA

PENGANTARSTATISTIKA INDUSTRIStatistika2Statistika: Definisi & TujuanStatistika adalah ilmu yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan, presentasi (deskritif), dan interpretasi (inferensi) data Secara ilmiah dalam kerangka proses pengambilan keputusan yang berkaitan dengan adanya ketidakpastian (resiko) dan variasi.

3Statistika Deskriptif vs InferensiStatistika deskriptif digunakan apabila peneliti hanya bertujuan mendapatkan ringkasan data yang dimilikinya. Ringkasan ini meliputi lokasi pemusatan data, variabilitas data, dan karakteristik umum distribusi data.Statistika inferensi digunakan apabila peneliti ingin membuat suatu kesimpulan tertentu atas karakteristik/hubungan antar beberapa variabel dalam populasi, diberikan jika hanya memiliki data sampel.4Statistik DeskriptifCollectOrganizeSummarizeDisplayAnalyze

5Statistika Deskriptif vs InferensiStatistik Inferensi - Memperkirakan dan meramalkan nilai parameter populasi - Menguji hipotesis tentang nilai parameter populasi - Membuat keputusan

Tidak dilakukan generalisasiInferensi berdasarkan keterbatasan informasi sampleStatistika Inferensi6

Statistika inferensi: Menduga dan meramalkan (estimasi) nilai parameter populasi...Menguji hipotesis nilai parameter populasi...Mengambil keputusan...Berdasarkan statistik sampel yang diambil dari sejumlah terbatas (tidak lengkap) informasi sampelMelakukan generalisasi terhadap populasi...Observasi pada sebagian populasi Populasi vs SampelOleh karenanya, lingkup data dapat dikategorikan sebagai:populasi merupakan kumpulan semua individu dari jenis objek yang menjadi perhatian penelitian, dansampel adalah bagian dari populasi yang dapat dikumpulkan oleh peneliti (sebatas kemampuannya dalam melakukan pengumpulan data).

Besaran populasi disebut parameter, sedangkan besaran sampel disebut statistik.7Statistik sebagai estimator parameter8Estimator adalah statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi.Estimasi dari sebuah parameter adalah nilai numerik tertentu (dari statistik sampel) yang diperoleh melalui sampling.Titik estimasi adalah sebuah nilai yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter populasi.Statistik adalah ukuran karakteristik sampel.Parameter populasi adalah ukuran karakteristik populasi.Statistik vs Parameter8Distribusi dan rata-rata9XXXXXXX

XXXXXXXXXXX

Rata-rata populasi ()Titik sampelDistribusi frekuensi populasiSample mean ( )

Perbedaan antara rata-rata sampel dengan rata-rata populasi disebut bias9Proses Sampling & InferensiKaitan populasi dan sampel, serta proses sampling, proses inferensi & statistika deskriptif:10PopulasiSampelSamplingInferensiStatistika DeskriptifProses Sampling & InferensiDapat disimpulkan bahwa statistika berkaitan dengan proses pengambilan sampel (sampling) sehingga dapat dilakukan penyajian dan peringkasan data (statistika deskriptif) atau lebih jauh lagi dilakukan pendugaan dan pengujian nilai parameter populasi (statistika inferensi).11Sensus vs SamplingSebuah metoda survey yang mencakup seluruh anggota populasi disebut sensus. Sementara teknik untuk mengumpulkan informasi dari sebagian populasi disebut sampling.12Sampel Random Sederhana Sampling dari populasi dilakukan secara random, sedemikian sehingga setiap sampel berukuran sama (n) memiliki kesempatan yang sama untuk diambil atau dipilihSebuah sampel yang diambil dengan cara tersebut disebut sebuah sampel random sederhana atau sample random.13Pengambilan SampelPada statistika inferensi, pengambilan sampel menentukan hasil inferensi.Idealnya sampel diambil secara random.Pengambilan sampel yang tidak tepat dapat menyebabkan bias systematic error14Pengambilan SampelSetiap data sampel yang diambil dapat mencakup:Nilai sebenarnya (true value),Kesalahan sistematis, danKesalahan acak (random).

Data sampel = true value + kesalahan sistematis + kesalahan acak15Pengambilan Sampel Data sampel = true value + kesalahan sistematis + kesalahan acak

Statistika membantu peneliti untuk mengetahui komponen-komponen nilai data sampel tersebut.16Pengambilan SampelData sampel selalu mengandung kesalahan karena adanya ketidak-pastian (error), Ekspektasi [error] = variansi + (bias)2

Variansi (kesalahan acak) berkaitan dengan masalah kepresisian.Bias (kesalahan sistematis) berkaitan dengan masalah akurasi.17Presisi ukuran seberapa jauh suatu tools memberi hasil yang konsisten variasi data coefficient standard error/koefisien kesalahan baku

Akurasi: seberapa tepat suatu tools mengukur apa yang seharusnya diukur jarak yang diukur dari target ketepatan menentukan sample dalam menggambarkan karakteristik populasi Sample akurasi tinggi: kesimpulan dari sample menggambarkan karakteristik populasi.

18Representative sampleSample yang sebesar mungkin mewakili karakteristik populasi dikatakan sebagai representative sample.Besarnya dugaan keterwakilan populasi dalam sampel dinyatakan dengan (1-).

Notasi selanjutnya disebut: tingkat keyakinan (confidence) dalam melakukan pendugaan atau estimasi, dantingkat pembedaan (significance) dalam melakukan pengujian hipotesis nilai parameter populasi (juga dikenal sebagai kesalahan tipe pertama). 19Statistika dan permasalahannyaKecil kemungkinan karakteristik sampel persis sama dengan karakteristik populasi.Teori probabilitas membantu kita dalam melakukan penarikan kesimpulan atas dugaan atau hipotetis yang terkait dengan karakteristik populasi.

20Statistika dan permasalahannyaPeran statistika dan teori probabilitas dalam proses deduksi dan induksi:

Hipotesis 1 Deduksi Konsekuensi

Modifikasi (hipotesis 2) Induksi

Fenomena Eksperimen Data21Statistika dan permasalahannyaSecara alamiah seorang anak dapat memiliki dugaan (hipotesis 1) bahwa warna merah umumnya panas dan warna biru umumnya dingin. Kemudian dia mendapat pengalaman (deduksi) bahwa ternyata api berwarna biru dari kompor gas lebih panas dari api berwarna merah (konsekuensi). Hal ini merubah dugaan awalnya (induksi) sehingga dia memperoleh dugaan baru (hipotesis 2).

Dengan cara ini manusia belajar secara alamiah dari pengalaman yang dihadapi.22Statistika dan permasalahannyaProses deduksi & induksi ini dapat diciptakan melalui eksperimen dengan memanfaatkan statistika dan probabilitas sehingga dapat diperoleh data atau estimasi untuk mempercepat proses belajar (tidak perlu menunggu kejadian alamiah).

23Statistika dan permasalahannyaKerangka pemikiran kesisteman dan statistika:

Proses Variasi Data Perbaikan

Kerangka kerja ini dikenal sebagai Statistical Thinking (Statistical Division ASQ) yang digunakan sebagai acuan dalam implementasi statistika di dunia nyata. 24Falsafah kesistemanAnalisis Tindakan & resikoSkala pengukuranAda empat type skala, yaitu:Nominal Ordinal Interval Ratio 25Skala pengukuranSkala Nominal group atau kelasJenis kelaminSkala Ordinal urutanRanking Skala Interval perbedaan, selisih, jarakTemperatur Skala Rasio perbandinganOngkos per unit26Statistika Deskriptif distribusi frekuensi & ukuran statistik27Presentasi Data28Grafik/diagram penyampaian informasi data berupa angka secara visualLine Chart/ Diagram GarisHistograms/Diagram BatangFrequency Polygon/Diagram FrekuensiOgives/Distribusi Frekuensi KumulatifPie Chart/ Diagram Lingkaran

29

Sifat Kelompok Data Mutually exclusivetidak overlapping sebuah observasi hanya ada dalam sebuah kelompokExhaustivesetiap observasi ditempatkan dalam sebuah kelompokEqual-width (if possible)kelompok pertama dan terakhir dapat berbeda30Distribusi Frekuensi31Frekuensi dari setiap kelompokjumlah observasi dalam setiap kelompokJumlah frekuensi adalah jumlah observasi, yaitu N untuk populasi n untuk sampel Kelompok midpoint adalah nilai tengah kelompok, kelas atau intervalFrekuensi relatif adalah prosentase dari total observasi dalam setiap kelompokjumlah frekuensi relatif = 1Distribusi FrekuensiWaktu operasi perakitan kendaraan bermotor

Contoh frekuensi relatif: 30/184 = 0.163Jumlah frekuensi relatif = 1

32xWaktu operasi (menit)f(x)Frekuensi (jumlah produk)f(x)/nFrekuensi relatif0 to less than 100 100 to lesss than 200 200 to less than 300 300 to less than 400 400 to less than 500500 to lesssthan 600 303850312213

1840.1630.2070.2720.1680.1200.070

1.000Distribusi Frekuensi Kumulatif33xWaktu operasi (menit)f(x)Frekuensi (jumlah produk)f(x)/nFrekuensi relatif0 to less than 100 100 to less than 200 200 to less than 300 300 to less than 400 400 to less than 500500 to lesssthan 600 30681181491711840.1630.3700.6410.8100.9291.000Frekuensi kumulatif dari setiap kelompok adalah jumlah frekuensi dari kelompok sebelumnya .Distribusi frekuensiTahapan penyusunan:Menghitung jumlah kelas interval (k), dengan rumus (Sturges) :k = 1 + 3,3 Log ndimana : k = Jumlah kelas interval n = Jumlah data

Menghitung Rentang Data (R) R = Nilai data maksimum Nilai data minimum

Menghitung Panjang Kelas Interval (p), dengan rumus :p = R/k

Tabel Distribusi Frekuensi :

34Interval Kelas (Limit)Batas Kelas (Boundaries)Mid Point (xi)Frek. (fi)Frek. Kumulatif (fkum)fi.xi(xi)2fi (xi)2Jumlah35Ukuran StatistikUkuran Pemusatan1. Rata-rata (Mean)2. Nilai Tengah (Median)3. ModusUkuran Penyebaran1. Jangkauan (Range)2. Variasi (Variance)3. Simpangan Baku (Standard deviation) Ukuran Letak1. Kuartil2. Desil3. PersentilUkuran Lain1. Skewness2. KurtosisUkuran Pemusatan Rata-rata Untuk data tunggal dimana : xi = Nilai dari data n = Jumlah data atau banyaknya data didalam sample Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : fi = Frekuensi untuk kelas interval ke-i xi = Nilai tengah x0 = Nilai tengah yang akan diberi coding ci = Variabel coding untuk kelas interval ke-i p = Panjang kelas interval

36

Untuk data tunggal dimana: xi = Nilai tengah dari data n = Jumlah data atau banyaknya data didalam sample

Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :dimana :Li = Batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median akan terletak. p = Panjang kelas interval n = Jumlah data F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median f = Frekuensi kelas berisi median

37Ukuran Pemusatan Median

Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

dimana :Li = Batas bawah kelas modus, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = Panjang kelas interval b1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya b2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

38Ukuran Pemusatan Modus

ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama, sesudah disusun menurut urutan nilainya.

Untuk data tunggal:

Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

dimana :Li = Batas bawah kelas Ki, yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak n = Jumlah datap = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Ki f = Frekuensi kelas Ki

39Ukuran Letak Kuartil

ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama besarnya.

Untuk data tunggal:

Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

dimana :Li = Batas bawah kelas Di, yaitu kelas interval dimana Di akan terletak n = Jumlah datap = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Di f = Frekuensi kelas Di

40Ukuran Letak Desil

ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama.

Untuk data tunggal:

Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :

dimana :Li = Batas bawah kelas Pi, yaitu kelas interval dimana Pi akan terletak n = Jumlah datap = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi f = Frekuensi kelas Pi

41Ukuran Letak Persentil

42Ukuran Penyebaran Variansi & Simpangan Baku

Untuk data tunggal: Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) :Dimana:xi = Nilai tengahf = Frekuensi yang sesuai dengan nilai tengahn = Jumlah frekuensi

Sehingga Standar Deviasi (Simpangan Baku) adalah :

Ukuran Lain

Skewness Ukuran kesimetrisan distribusi data Kemiringan atau kecenderungan distribusi data

Kurtosis Ukuran kedataran atau keruncingan distribusi data43

Kurva Simetris Kurva Miring ke Kiri Kurva Miring ke Kanan (0) (-) (+)

(A) Leptokurtik (B) Platikurtik (C) Mesokurtik Sampling & distribusi sampling44Teknik Penarikan Sampel (Sampling)45Proses mendapatkan sampel dari populasi mencerminkan populasi kesimpulan dari sampel= kesimpulan dari populasi

Masalah dalam bagaimana proses pengambilan sampel

Satuan sampling: segala sesuatu yang dijadikan satuan (unit) yang nantinya akan menjadi objek penelitian.

Daftar yang berisi satuan-satuan sampling yang ada dalam sebuah populasi, yang berfungsi sebagai dasar untuk penarikan sample.

46Metode Penarikan Sample

Berdasarkan proses pemilihannya. a. Sampling with replacements b. Sampling without replacements

2. Berdasarkan peluang pemilihannya.a. Probability sampling b. Non-probability sampling Non-Probability Sampling47Convenience/accidental sampling: sample diambil secara spontanitas mudah dan murahJudgement/purposive sampling: sample diambil berdasarkan karakteristik yang ditentukan oleh tujuan penelitianQuota sampling: = (2), kuota (jatah) dan jumlah sample tertentu mirip stratified tapi tidak acak Snow ball sampling: =(2), populasi kecil dan spesifik teknik berantai (sample berikut ditentukan sample sebelumnya) biaya relatif kecil tapi bias/penyimpangan besar.

48Probability SamplingRandom sampling: sampel (ni) diambil secara random dari populasi (Ni).Systematic sampling: sampel diambil secara random untuk pertama kali, dan selanjutnya diambil secara sistematis.Random dari 5 titik sampel pertamaSistematis setiap 5 titik sampel 49Stratified sampling: sampel random (ni) dipilih dari setiap kelompok populasi (Ni).7654321GroupPopulation Distribution Sample Distribution Cluster sampling: observasi dilakukan pada m cluster dari M cluster populasi.Prosedur Sampling50Menentukan populasi targetMenentukan area populasiMenentukan ukuran populasiMembuat kerangka samplingMenentukan ukuran sampleMenentukan teknik dan rencana pengambilan sampleMelakukan pengambilan sample Distribusi Sampling51Distribusi sampling : distribusi peluang suatu statistik tergantung ukuran populasi, ukuran sample dan metode penarikan sampleDistribusi peluang disebut distribusi sampling dari rataan Distribusi sampling dari rataan Distribusi Chi SquareDistribusi Student-tDistribusi F

Estimasi Parameter5253x = 550 Sebuah nilai estimasi yang memberikan sedikit informasi tentang rata-rata populasi.Peneliti 99% yakin bahwa ada dalam interval [449,551] Sebuah estimasi interval yang sempit dengan tingkat keyakinan yang besar.Peneliti 90% yakin bahwa ada dalam interval[400,700]Sebuah estimasi interval yang sempit dengan tingkat keyakinan yang kecil.Pendahuluan54Estimasi Titik Estimasi nilai tunggal dari distribusi samplingMemberikan informasi tentang parameter populasi. Estimasi interval Sebuah interval atau rentang yang diyakini mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui.Mengukur tingkat keyakinan (confidence) bahwa interval tersebut sesungguhnya mengandung nilai parameter yang dicari.Tipe Estimasi5455Estimator yang baik Unbiased EfisienKonsisten (Sufisien)

56Sebuah estimator dikatakan unbiased jika nilai ekspektasinya sama dengan nilai parameter populasi.

Jika E(X)= maka rata-rata sampel adalah estimator unbiased untuk rata-rata populasi. Rata-rata dari sebuah sampel mungkin tidak sama dengan rata-rata populasi, tetapi jika dilakukan pengulangan sampel secara independen akan diperoleh nilai yang sama dengan parameter populasi.

Setiap penyimpangan (deviation) oleh estimator dari parameter populasi disebut bias.Unbiased5657Unbiased

58Estimator unbiased ada tepat pada targetEstimator biased tidak berada tepat pada target.{BiasEstimator Bias & Unbiased5859Sebuah estimator dikatakan efisien jika memiliki variansi yang relatif kecil. Estimator efisien berada pada target dengan sebaran yang kecil.Estimator tidak efisien mungkin pada target dengan sebaran yang besar.Efisien5960Sebuah estimator dikatakan konsisten jika kemungkinan untuk mendekati parameter populasi semakin besar seiring dengan meningkatnya ukuran sampel.n = 100n = 10ConsistencyKonsisten6061Sebuah estimator dikatakan sufisien jika mencakup semua informasi tentang parameter populasi dalam data sampelnya.

Sufisien6162Estimasi TitikAda tiga metoda estimasi titik (point estimation):Metoda UnbiasedMetoda MomenMetoda Maximum Likelihood63Estimasi interval adalah rentang yang diyakini akan mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Rentang ini juga memberikan besarnya keyakinan bahwa rentang tersebut mencakup nilai parameter yang diamati.Estimasi interval memiliki 2 komponen, yaitu:Sebuah rentang nilai Terkait dengan tingkat keyakinan (level of confidence)Estimasi Interval64Estimasi Interval

65Estimasi Interval

66Estimasi IntervalRata-rata dengan variansi diketahui/tidakSelisih rata-rata dengan variansi sama/tidak dan diketahui/tidak Variansi tungal dan rasioProporsiContoh Rumus:Untuk sampel besar ( n > 30)Untuk populasinya tidak terbatas atau terbatas yang pengambilan sampel dengan pengembalian dan diketahui, interval kepercayaan (1- )100% untuk adalah :

Untuk populasinya terbatas tanpa pengembalian dan diketahui, interval kepercayaan (1- )100% untuk adalah

67

Contoh Pembacan Tabel Luas di bawah kurva normal1- = 95%=5%/2 = 2.5% (uji dua arah)X = 1-0.025 = 0.975Z =Z = 1,9668z0.00...0.06...0.091.90.9750Contoh Interpolasi Data:1- = 96%=4% (uji satu arah)X = 0.9600

Z1 = 1.75 X1 = 0.9599Z = X = 0.9600Z2 = 1.76 X3 = 0.9608

69

z0.00...0.050.061.70.95990.9608Contoh :Perusahaan XYZ memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu, ingin diketahui rata-rata jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam estimasilah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut!

70Penyelesaian :N = 250n = 35X = 39,76 = 0,93 1- = 90% = 10%Z/2 = Z0.05 = 1,65

Kesimpulan:Jadi rata-rata jam kerja karyawan perusahaan XYZ dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 jam sampai 39,99 jam perminggu.

Uji Hipotesis72Hipotesis (Hypothesis) GreeceHupo= Sementara, dan Thesis= Pernyataan/DugaanJenis Hipotesis:Hipotesis Penelitian (Research Hypothesis) Proporsional (Verbal) Tidak bisa diuji secara empiris2. Hipotesis Statistik (Statistical Hyphothesis) Berdasarkan data Dapat diuji secara empiris Suatu asumsi mengenai parameter fungsi frekuensi peubah acakHipotesis Penelitian Hipotesis Statistik Dugaan penelitian dalam H0 dan H1Pengertian Hipotesis Statistik Pengertian Hipotesis StatistikHipotesis Penelitian Hipotesis Statistik Dugaan penelitian dalam H0 dan H1

H0 merupakan hipotesis nol (null hypothesis) dan merupakan hipotesis yang akan diuji dan yang nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya.H1 merupakan hipotesis alternative atau hipotesa tandingan (alternative hypothesis)

Pengujian Hipotesis1. Uji Hipotesis Satu Arah (One Tail Test)

Daerah Penerimaan(1-Daerah Penerimaan(1-Titik kritisTitik kritisDaerah Penolakan

Jika H0 BenarJika H0 BenarPengujian Hipotesis2. Uji Hipotesis Dua Arah (Two Tail Test)

Daerah Penerimaan(1-

Daerah Penolakan bagi yang terlalu kecilDaerah Penolakan bagi yang terlalu besarJika H0 BenarKesalahan pada Pengujian HipotesisKeputusanPengujianHIPOTESISJika H0 BenarJika H0 palsu (H1 Benar)Terima H0Keputusan yang benar.Probabilitas = 1 - Tingkat KeyakinanKesalahan jenis II. Probabilitas = Tolak H0Kesalahan jenis I.Probabilitas = Taraf NyataKeputusan yang benar. Probabilitas =1 - Kuasa Pengujian= Level of Signifinace1 = Level of Confidence1 = Power of the TestTahapan Pengujian HipotesisNyatakan hipotesis ststistik (H0 dan H1) yang sesuai dengan hipotesis penelitian yang diajukan.Menentukan taraf nyata/ alpha (Level of significance)Menentukan jumlah sampel.Mengumpulkan data melalui sampel probabilitas (probability sample/random sample)Gunakan statistik uji yang tepat (distribusi z, t, )Menentukan titik kritis dan daerah kritis (daerah penolakan) H0Menghitung nilai statistik uji berdasarkan data yang dikumpulkan. Perhatikan apakah nilai hitung statistik uji jatuh di daerah penerimaan atau penolakan.Berikan kesimpulan statistik (statistical conclusion)

79Contoh soal :

Suatu perusahaan pembuat pesawat terbang komersial menyatakan, bahwa hasil produksinya setelah dipergunakan dalam waktu 1 tahun diperlukan pengecheckan kembali selama 11 jam dengan standar deviasi 3,5 jam. Setelah berselang 3 tahun teknisi pesawat meragukan hipotesis ini, sehingga perlu dilakukan pengamatan kembali dengan mengambil sampel sebanyak 49 buah pesawat, ternyata waktu rata-rata yang diperlukan untuk mengadakan pemeliharaan ini 12 jam. Teknisi masih percaya bahwa standar deviasinya tetap tidak berubah. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa waktu yang diperlukan untuk pemeliharaan pesawat terbang dalam 1 tahun diperlukan 11 jam, apabila dipergunakan taraf keberartian 10% ? 80

Penyelesaian: Formulasi hipotesis : Ho : = 11 jam H1 : 11 jam Digunakan pengujian dua sisi (two-tailed)Taraf keberartian (level of significance) = 10%, dari tabel kurva normal diperoleh nilai Z/2 = 1.645. Kriteria pengujian Ho diterima jika : -1.645 Z 1.645 H1 ditolak jika : Z > 1.645 dan Z < -1.645Statistik uji, distribusi Z : 81Kesimpulan :Karena nilai Z hitung lebih besar dari nilai Z tabel (+2 > +1.645) maka Ho ditolak pada level significance 10%, dan dapat dinyatakan bahwa rata-rata pemeliharaan pesawat terbang tersebut lebih dari 11 jam. Agar lebih jelas dapat dilihat dalam gambar dibawah ini

Misalkan, dari sekumpulan variabel random ( diambil data-data , maka ekspektasi dari nilai rata-rata data adalah :

Dalam hal ini adalah estimator tidak bias (unbiased) dari ._999066831.unknown

_999066844.unknown

_999066857.unknown

_999066869.unknown

_999066837.unknown

_999066276.unknown

Sebuah estimator akan berada pada suatu rentang atau interval tertentu jika diterapkan tingkat kepercayaan tertentu. Jika L dan U adalah batas-batas interval dimana estimator akan berada dengan tingkat kepercayaan , maka dapat didefinisikan :

, untuk estimasi dua sisiatau

, untuk estimasi satu sisidimana =k dikenal sebagai akurasi (ketelitian) estimasi.

Secara umum, distribusi memungkinkan menghitung k sehingga diperoleh

.

_999148856.unknown

_999148867.unknown

_999148906.unknown

_1010468019.unknown

_999148861.unknown

_999148851.unknown

Interval yang dihitung dari suatu sampel tertentu disebut interval keyakinan (1-()100%. (1-() disebut koefisien keyakinan, dan titik batas pada dan disebut batas-batas keyakinan._999149020.unknown

_999149049.unknown

Daerah penerimaan Daerah Penolakan-1.645+1.645m = 11Daerah Penolakan+2