Pengenalan Scilab: Perangkat Lunak Gratis untuk Komputasi Numerik dan Visualisasi Data

Pengenalan Scilab Perangkat Lunak Gratis untuk Komputasi Numerik dan Visualisasi Data

Saifuddin Arief

ii

Untuk kedua anakku:

Izzuddin dan Hanif

iii

Kata Pengantar

Scilab adalah sebuah perangkat lunak gratis yang dikembangkan untuk komputasi numerik

dan visualisasi data. Scilab cocok digunakan untuk menyelesaikan suatu persoalan

matematika yang sederhana maupun untuk menyelesaikan berbagai persoalan komputasi

numerik yang rumit. Hal ini karena di dalamnya telah terpasang ratusan fungsi yang

merupakan implementasi dari algoritma-algoritma dalam metode numerik. Selain itu

Scilab juga merupakan sebuah bahasa pemrograman tingkat tinggi.

Seperti judul buku ini, obyektif dari buku ini adalah untuk memberikan penjelasan tentang

dasar-dasar penggunaan Scilab serta penerapannya dalam komputasi numerik. Sebagai

ilustrasi yang lebih konkrit mengenai penggunaan Scilab maka di dalam buku juga terdapat

puluhan contoh perhitungan yang diambil dari berbagai macam studi kasus. Beberapa

topik tingkat lanjut. seperti pengunaan fitur antar muka grafis (GUI), pengolahan sinyal,

simulasi, tidak dijelaskan dalam buku ini.

Saran, masukan atau komentar tentang buku akan penulis terima dengan senang hati dan

dapat disampaikan melalui email dengan alamat [email protected].

Tulisan ini dapat digunakan secara gratis untuk keperluan personal dan pendidikan. Bagi

yang ingin menggunakannya untuk kepentingan komersial harap menghubungi penulis

melalui alamat email di atas.

Saifuddin Arief

20 Februari 2015

iv

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iv

1 Pendahuluan 1

Menjalankan Program Scilab 1

Jendela-Jendela Scilab 2

Sistem Bantuan 4

2 Dasar-Dasar Penggunaan Scilab 6

Interaksi dengan Scilab 6

Scilab Sebagai Kalkulator Sains 6

Statemen 7

Baris Komentar 8

Bilangan 9

Variabel 10

Matrik 11

Tipe dan Dimensi Variabel 12

Operator 14

Fungsi 15

Format Output Numerik 18

Penulisan dan Pengeditan Perintah 20

Daftar Riwayat Perintah 21

Melihat Daftar Variabel-Variabel yang Telah Dibuat 21

Menghapus Variabel 22

Membersihkan Jendela Scilab 23

v

Direktori Kerja 23

3 Matematika Dasar 25

Konstanta-Konstanta Matematika 25

Operator-Operator Aritmatika 26

Variabel-Variabel Khusus untuk Aritmatika Komputer 30

Pembagian dengan Nol 32

Akar Kuadrat 33

Nilai Mutlak 35

Tanda Bilangan 36

Pembulatan 36

Aproksimasi Bilangan Real dengan Bilangan Rasional 37

Trigonometri 38

Hiperbolik 42

Eksponensial dan Logaritma 44

Faktorial 46

Bilangan Kompleks 47

4 Matrik dan Vektor 51

Definisi Matrik dan Vektor 51

Pembuatan Vektor dan Matrik Secara Manual 52

Vektor Inkremental 53

Fungsi-Fungsi untuk Membuat Suatu Vektor 54

Fungsi-Fungsi untuk Membuat Suatu Matrik 55

Konkatenasi 58

Dimensi Matrik 59

Merubah Dimensi Matrik 60

Mengekstrak Elemen-Elemen Suatu Vektor 61

vi

Mengekstrak Elemen-Elemen Suatu Matrik 62

Merubah Nilai Elemen Suatu Vektor atau Matrik 64

Menghapus Elemen-Elemen Suatu Vektor atau Matrik 66

Mencari Elemen-Elemen Matrik atau Vektor Yang Memenuhi Kriteria Tertentu 67

Matrik Non-Numerik 69

5 Operasi Matematika terhadap Matrik dan Vektor 70

Penjumlahan dan Pengurangan 70

Perkalian dan Pembagian antara Matrik atau Vektor dengan Skalar 73

Perkalian Matrik 76

Pembagian Matrik 82

Pemangkatan 87

Matrik atau Vektor sebagai Argumen dari Suatu Fungsi Matematika 93

Nilai Maksimum dan Minimum 94

Fungsi-Fungsi Penjumlahan dan Perkalian 96

6 Aljabar Linier 101

Transpose 101

Norma Vektor 103

Norma Matrik 105

Rank Matrik 105

Determinan 106

Matrik Inverse 108

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier 110

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 117

7 Polinomial dan Rasional 120

Pembuatan Fungsi Polinomial 120

Derajat Polinomial 121

vii

Koefisien Polinomial 122

Pembuatan Fungsi Rasional 122

Evaluasi terhadap Fungsi Polinomial dan Rasional 124

Penjumlahan dan Pengurangan 125

Perkalian 126

Pembilang dan Pembagi dari Fungsi Rasional 127

Hasil Bagi dan Sisa dari Suatu Pembagian Polinomial 128

Akar-Akar Polinomial 128

Faktorisasi 131

Turunan 132

Matrik Polinomial dan Matrik Rasional 135

8 String 139

Pembuatan String 139

Penggabungan String 139

Panjang String 139

Ekstraksi Karakter String 140

Mencari Posisi Suatu String pada String yang Lain 140

Memecah String 141

Substitusi String 142

Penggabungan Elemen-Elemen Suatu Matrik String 143

Konversi ke Huruf Besar dan Huruf Kecil 143

Konversi dari Karakter ke Kode ASCII atau Sebaliknya 143

Konversi dari Numerik ke String 144

Evaluasi terhadap Suatu String Ekspresi 144

Operasi Matrik terhadap Suatu Matrik String 145

9 Tanggal dan Waktu 147

viii

Tanggal dan Waktu 147

Kalender 147

Stopwatch 148

10 Perbandingan dan Logika 150

Operasi Perbandingan 150

Operasi Logika 153

Fungsi-Fungsi Logika 156

Fungsi-Fungsi Pengujian 157

11 Perulangan dan Kondisional 161

For 161

While 164

Break 165

Continue 166

If-Else 167

Select-Case 170

12 Editor Teks SciNotes 172

13 Skrip 174

Pembuatan Skrip 174

Cara Menjalankan Suatu Skrip 175

Kelebihan dan Kelemahan Skrip 177

14 Fungsi 178

File-Fungsi 178

Penggunaan Fungsi-Fungsi yang Tersimpan pada Suatu File-Fungsi 181

Membuat Suatu Fungsi Secara Langsung pada Jendela Scilab 182

Variabel Lokal dan Variabel Global 184

Fungsi Rekursif 186

ix

Pengontrolan Eksekusi Suatu Fungsi 187

Menyela Eksekusi Program dan Melakukan Debugging 190

Jumlah Argumen Input dan Output 194

Menampilkan Baris Komentar yang Terdapat Pada Bagian Awal Suatu Fungsi 196

Kelebihan Fungsi 197

15 Input dan Output 200

Memasukkan Data dengan Fungsi Input 200

Menampilkan Nilai Suatu Variabel dengan Fungsi Disp 200

Penanda File 201

Mencetak Nilai Variabel dengan Fungsi Print 202

Membuka dan Menutup File Data 203

Informasi Mengenai File-File yang Telah Dibuka 207

Menyimpan dan Membaca Data String dalam Format Teks ASCII 208

Menyimpan dan Membaca Data dengan Format Fortran 209

Menyimpan dan Membaca Data dengan Format C 211

Mencetak Nilai Variabel dengan Fungsi Mprintf 213

Menyimpan dan Membaca Suatu Data Matrik 213

Menyimpan dan Membaca Data dengan Format Biner 215

16 Grafik Dua Dimensi dan Tiga Dimensi 218

Membuat Grafik Dua Dimensi dengan Fungsi Plot atau Plot2d 219

Judul dan Label Grafik 221

Pembuatan Beberapa Grafik Sekaligus pada Sebuah Jendela Grafik 223

Bentuk dan Warna Garis 224

Legenda Grafik 229

Skala Sumbu-Sumbu Grafik 230

Pengaturan Sumbu-Sumbu Grafik 232

x

Kisi-kisi (grid) 235

Beberapa Macam Variasi dari Fungsi Plot2d 236

Grafik dari Sebuah Fungsi dengan Variabel Tunggal 238

Grafik Polar 238

Pengeditan Suatu Grafik Secara Interaktif Melalui Jendela Grafik 239

Membagi Jendela Grafik ke dalam Sejumlah Jendela Subgrafik 247

Visualisasi Data Pada Beberapa Jendela Grafik Sekaligus 249

Kurva Parametrik Tiga Dimensi 251

Membuat Grafik Tiga Dimensi dengan Fungsi Plot3d dan Plot3d1 252

Mengatur Sudut Pandang 255

Mengatur Gradasi Warna 256

Membuat Grafik Tiga Dimensi dengan Fungsi Surf 257

Grafik Tiga Dimensi Dari Suatu Fungsi 259

Menyimpan, Menyalin dan Mencetak Gambar 261

17 Metode Numerik 262

Persamaan Nonlinier 262

Regresi Linier 269

Interpolasi 272

Gradien 276

Integrasi Numerik 277

Persamaan Differensial Biasa 282

Bilangan Random dan Simulasi 292

18 Penggunaan Scilab yang Efisien 299

Menghindari Penggunaan Statemen Perulangan 299

Menggunakan Alokasi Memori Awal 304

Menghindari Fungsi Rekursif 306

xi

Daftar Pustaka 309

Bab 1

Pendahuluan

Scilab adalah sebuah perangkat lunak yang dirancang dan dikembangkan untuk komputasi

numerik serta untuk visualisasi data secara dua dimensi maupun tiga dimensi. Scilab juga

merupakan sebuah bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berorientasi numerik. Scilab

adalah suatu interpreter sehingga suatu kode program yang dibuat dapat dieksekusi secara

langsung dan dilihat hasilnya tanpa harus melalui tahapan kompilasi.

Scilab adalah sebuah freeware yang dapat digunakan secara gratis untuk keperluan pribadi

maupun komersial. Scilab tersedia dalam berbagai macam sistem operasi utama, seperti

Windows (XP, Vista, 7, 8), Linux, serta MacOS X.

Alamat website Scilab adalah http://www.scilab.org. Pada website tersebut kita dapat

memperoleh file instalasi Scilab, source code, dokumentasi tentang Scilab, modul-modul

tambahan serta berbagai informasi lainnya yang berkaitan dengan Scilab.

Menjalankan Program Scilab

Scilab dapat dijalankan melalui menu Start atau melalui jalan-pintas Scilab yang terdapat

pada dekstop. Setelah Scilab dijalankan maka beberapa saat kemudian pada layar komputer

akan muncul sebuah jendela Scilab seperti yang terlihat pada Gambar 1.1.

Untuk mengakhiri penggunaan Scilab dapat digunakan perintah exit, melalui menu File

Quit, atau dengan menekan tombol yang terdapat pada ujung kanan atas dari jendela

Scilab.

Pendahuluan - 2

Gambar 1.1 Scilab

Jendela-Jendela Scilab

Konsol Scilab (Scilab Console) merupakan bagian utama dari Jendela Scilab. Hampri

sebagian besar interaksi antara kita dengan Scilab dilakukan melalui jendela konsol Scilab.

Konsol Scilab adalah tempat untuk memasukkan semua perintah diberikan kepada Scilab.

Selain konsol Scilab, secara bawaan Scilab juga menampilkan beberapa jendela lainnya

yaitu:

Penjelajah File (file browser). Jendela ini dapat digunakan untuk memilih direktori

kerja. Semua file yang ada pada direktori kerja akan ditampilkan pada jendela

penjelajah file.

Penjelajah variabel (variabel browser). Jendela ini menampilkan daftar dari semua

variabel yang dihasilkan oleh statemen yang dijalankan pada jendela konsol Scilab.

Riwayat perintah (command history). Jendela riwayat perintah berisi rekaman dari

perintah atau statemen yang dijalankan pada jendela Scilab.

Ilustrasi mengenai jendela-jendela di atas dapat dilihat pada gambar berikut ini.

Pendahuluan - 3

Gambar 1.2 Jendela Scilab

Selain jendela-jendela yang telah disebutkan, masih terdapat tiga jendela lagi yaitu:

Jendela bantuan. Jendela ini yang menampilkan penjelasan mengenai suatu fungsi,

operator atau perintah yang terpasang di dalam Scilab. Jendela bantuan akan muncul

jika kita jalankan perintah help atau apropos.

SciNotes. SciNotes adalah sebuah program editor teks yang disediakan oleh Scilab

untuk memudahkan pembuatan atau pengembangan sebuah skrip atau fungsi.

Penjelasan lebih detail mengenai SciNotes dapat dilihat pada Bab 12: Editor Teks

SciNotes.

Jendela grafik. Jendela ini digunakan untuk melakukan visualisasi terhadap suatu data

atau sebuah fungsi matematika. Jendela grafik akan muncul apabila kita menjalankan

perintah-perintah yang berkaitan dengan visualisasi grafik. Penjelasan mengenai

pembuatan grafik dapat dilihat pada Bab 16: Grafik Dua Dimensi dan Tiga Dimensi.

Pendahuluan - 4

Sistem Bantuan

Jendela bantuan dapat ditampilkan dengan perintah help, melalui menu ? Scilab

Help, atau dengan menekan tombol F1. Tampilan dari jendela bantuan adalah seperti pada

gambar di bawah ini.

Gambar 1.3 Jendela Bantuan Scilab

Penjelasan mengenai suatu perintah, fungsi atau operator tertentu dapat kita peroleh

dengan menelusuri jendela bantuan. Namun cara ini mungkin kurang praktis, untuk

mendapatkan penjelasan mengenai suatu perintah, fungsi atau operator tertentu, kita

dapat menggunakan perintah help("topik") atau help topik. Sebagai contoh, untuk

melihat penjelasan tentang fungsi round maka perintahnya adalah help("round") atau

help round. Apabila kita jalankan perintah tersebut maka akan muncul sebuah jendela

seperti pada Gambar 1.4.

Pendahuluan - 5

Gambar 1.4 Contoh penjelasan detail tentang suatu fungsi

Daftar dari semua dokumentasi yang berkaitan dengan sebuah topik atau kata tertentu

dapat ditampilkan dengan dipergunakan fungsi apropos("topik") atau apropos "topik".

Sebagai contoh untuk mencari dokumentasi yang berkaitan dengan kata inv perintahnya

adalah apropos("inv"). Dokumentasi yang berkaitan dengan sebuah topik tertentu juga

dapat dicari melalui fasilitas pencarian yang terdapat pada Jendela Bantuan melalui tab

yang terdapat pada jendela bantuan.

Selanjutnya, melalui menu ? Scilab Demonstrations dapat dilihat berbagai macam

demonstrasi yang memperlihatkan kemampuan Scilab dalam menyelesaikan berbagai

macam persoalan komputasi numerik, simulasi serta visualisasi data. Dengan melihat

berbagai macam demonstrasi yang telah disediakan oleh Scilab, kita dapat memperoleh

gambaran yang lebih konkret mengenai kemampuan Scilab.

Bab 2

Dasar-Dasar Penggunaan Scilab

Interaksi dengan Scilab

Konsol Scilab adalah tempat utama untuk berinteraksi dengan program Scilab. Tanda -->

yang terdapat pada jendela tersebut adalah tempat untuk menjalankan suatu perintah atau

statemen. Sebagai contoh, untuk melakukan suatu perhitungan sederhana yaitu 123 + 456

maka setelah tanda --> kita harus mengetikkan 123 + 456 dan kemudian menekan tombol

Enter untuk menjalankan perintah tersebut. Hasil perhitungannya akan ditampilkan pada

baris berikutnya. Setelah itu di bawahnya akan muncul lagi tanda --> yang berarti bahwa

Scilab siap untuk mengerjakan suatu perintah atau perhitungan yang lain.

-->123 + 456 ans = 579. -->

Scilab Sebagai Kalkulator Sains

Cara mudah untuk mengenal Scilab yaitu dengan menggunakannya untuk menyelesaikan

suatu perhitungan matematika sederhana seperti pada contoh berikut ini.

-->14.59*(1 + 0.0043*80) ans = 19.60896 -->2/sqrt(5^2 + (16*%pi - 1/(40*%pi))^2) ans = 0.0395995

Dasar-Dasar Penggunaan Scilab - 7

Dua contoh di atas adalah perintah Scilab untuk menyelesaikan dua perhitungan

matematika sebagai berikut:

( )

(

)

Beberapa penjelasan mengenai statemen Scilab untuk menyelesaikan dua perhitungan

tersebut adalah sebagai berikut:

Simbol +, -, *, / dan ^ masing-masing adalah operator untuk operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, pembagian dan pemangkatan.

Tanda kurung-buka dan kurung-tutup adalah sepasang operator yang digunakan

untuk mengelompokkan suatu ekspresi matematika.

sqrt adalah fungsi untuk menghitung akar kuadrat dari suatu bilangan.

%pi adalah sebuah variabel khusus untuk konstanta matematika .

ans adalah sebuah variabel yang digunakan oleh Scilab untuk menyimpan hasil dari

suatu perhitungan yang nilainya tidak disimpan ke dalam sebuah variabel tertentu.

Statemen

Statemen adalah suatu baris pernyataan yang dapat dieksekusi oleh Scilab. Hasil eksekusi

dari statemen tersebut akan ditampilkan pada baris di bawahnya, kecuali apabila pada

baris pernyataan tersebut ditambahkan tanda titik-koma (;) di belakangnya.

-->23 + 9 ans = 32. -->FV = 500*(1 + 5/100)^4 FV = 607.75313 -->c = sqrt(8^2 + 6^2); -->x = cos(%pi/4)^2 + sin(%pi/4)^2;

Pada contoh perhitungan di atas FV, c, x adalah variabel-variabel yang digunakan untuk

menyimpan hasil perhitungan.


Nilai yang tersimpan pada suatu variabel dapat ditampilkan dengan cara mengetikkan

nama variabelnya pada baris perintah.

-->c c = 10. -->x x = 1.

Beberapa statemen dapat dimasukkan sekaligus pada satu baris perintah yang sama.

Antara statemen yang satu dengan statemen yang lainnya dapat dipisahkan dengan tanda

koma (,) atau titik-koma (;). Jika digunakan tanda koma maka nilai dari hasil eksekusi

statemennya akan ditampilkan pada baris berikutnya, namun jika digunakan tanda titik-

koma maka nilai dari eksekusi statemennya tidak akan ditampilkan.

-->V = 120; R = 240; I = V/R, P = V*I I = 0.5 P = 60.

Untuk sebuah statemen yang relatif panjang sehingga tidak dapat dimasukkan dalam satu

baris maka statemennya dapat ditulis dalam beberapa baris dengan menggunakan dua titik

atau lebih (..) sebagai tanda sambung antara satu dengan baris berikutnya.

-->e5 = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) + ... -->1/(1*2*3*4*5) e5 = 2.7166667

Baris Komentar

Baris komentar adalah suatu catatan yang dibuat untuk menjelaskan sebuah statemen atau

suatu blok statemen tertentu. Baris komentar dapat ditulis sebagai suatu baris tersendiri

atau ditulis di belakang suatu statemen. Tanda // adalah operator untuk membuat baris

komentar.


Berikut ini adalah contoh-contoh penggunaan baris komentar.

-->d = 53; // jarak (m) -->t = 15; // waktu tempuh (detik) -->// kecepatan rata-rata (m/detik) -->v = d/t v = 3.5333333

Apabila variabel-variabel yang digunakan dalam suatu perhitungan sudah cukup jelas

artinya seperti pada contoh di bawah ini maka baris komentar sebaiknya tidak digunakan.

-->panjang = 20; -->lebar = 10; -->luas = panjang*lebar luas = 200.

Bilangan

Di dalam Scilab, semua bilangan disimpan dengan menggunakan presisi ganda dengan

akurasi sekitar 16 digit desimal signifikan. Suatu bilangan dapat dinyatakan dengan notasi

desimal biasa atau dengan notasi saintifik. Pada notasi desimal tanda titik (.) digunakan

sebagai penanda desimal. Berikut ini adalah contoh-contoh penulisan bilangan dengan

notasi desimal.

777 -123 99.9998 -4.68

Pada notasi saintifik huruf e, E, d, atau D dapat digunakan untuk menyatakan pangkat dari

angka 10. Beberapa contoh penulisan suatu bilangan dalam notasi saintifik adalah sebagai

berikut:

3e8 2.778E-4 1.660d-27 -9.87D34

Notasi saintifik biasanya digunakan untuk menyatakan suatu bilangan yang sangat kecil

atau sangat besar. Hal ini untuk menghindari terjadinya kesalahan penulisan serta lebih

memudahkan pembacaan.


Variabel

Variabel adalah sebuah nama yang digunakan untuk menyimpan nilai suatu bilangan, hasil

perhitungan, atau sebuah obyek tertentu. Penyimpanan nilai suatu obyek ke dalam suatu

variabel dilakukan dengan menggunakan statemen penugasan sebagai berikut:

var = ekspresi

dimana var adalah nama variabel yang digunakan untuk menyimpan nilai dari ekspresi

yang terdapat di sebelah kanannya.

Sebagai contoh, untuk menyimpan hasil perhitungan ( ) ke dalam variabel x,

statemennya adalah sebagai berikut.

-->x = (1 + sqrt(5))/2 x = 1.618034

Apabila hasil eksekusi dari suatu statemen tidak disimpan ke dalam sebuah variabel

tertentu maka hasilnya akan disimpan oleh Scilab pada variabel ans.

-->(7 - 2)*8 ans = 40.

Seperti halnya variabel lainnya, variabel ans juga dapat dipanggil atau dipergunakan dalam

perhitungan selanjutnya, seperti pada contoh di bawah ini.

-->ans*10 ans = 400.

Dalam penamaan suatu variabel terdapat beberapa aturan-aturan sebagai berikut:

Nama suatu variabel harus berupa satu kata yang utuh dan di dalamnya tidak boleh

terdapat tanda spasi maupun simbol operator aritmatika (+, -, /, \, *, ^).

Karakter pertama harus berupa abjad (A-Z dan a-z) atau simbol tertentu (%, _ , #, $, ?),

kemudian karakter berikutnya dapat berupa abjad (A-Z dan a-z), angka (0-9), atau

simbol (%, _, #, $, ?).


Nama sebuah variabel dapat dibuat sepanjang mungkin namun hanya 24 karakter

pertama yang akan digunakan oleh Scilab.

Berikut contoh nama variabel yang mengikuti kaidah penulisan variabel yang benar: x,

Jumlah, nilai_awal, temp, x0, s100.

Dalam penamaan sebuah variabel, huruf kecil dan huruf besar adalah berbeda. Sebagai

contoh, variabel r dan R merupakan dua variabel yang berbeda, begitu juga dengan total,

Total dan TOTAL, dimana ketiganya merupakan variabel yang berbeda.

Hal penting lainnya yang harus diperhatikan dalam penamaan suatu variabel yaitu nama

suatu variabel tidak boleh menggunakan nama-nama dari suatu fungsi atau perintah yang

telah terpasang di dalam Scilab, seperti abs, input, ones, roots, sum, dan lain sebagainya.

Apabila nama sebuah fungsi atau perintah yang terpasang di dalam Scilab digunakan

sebagai nama sebuah variabel maka akan muncul sebuah pesan peringatan Warning

:redefining function, seperti pada contoh berikut ini.

-->sqrt = 4 Warning :redefining function: sqrt

Peringatan ini muncul karena sqrt adalah nama sebuah fungsi terpasang dalam Scilab.

Suatu fungsi atau perintah yang secara tak sengaja dipergunakan sebagai nama sebuah

variabel dapat dibuat berfungsi kembali secara normal dengan menggunakan perintah

clear foo, dimana foo adalah nama fungsi atau perintah yang telah terdefinisi ulang.

Sehingga untuk membuat fungsi sqrt kembali berfungsi normal maka perintahnya yaitu:

-->clear sqrt

Matrik

Matrik adalah tipe dasar dari semua data atau obyek di dalam Scilab. Matrik adalah sebuah

larik data yang berbentuk segiempat. Bilangan atau skalar adalah bentuk khusus dari

sebuah matrik, dimana skalar adalah matrik dengan elemen tunggal.


Berikut adalah sebuah contoh obyek matrik.

-->A = [1 2 3; 4 5 6] // numerik A = 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tanda kurung-siku kanan ([) dan kurung-siku kiri (]) adalah sepasang operator yang

dapat digunakan untuk membuat suatu matrik atau vektor secara manual. Penjelasan

terperinci tentang matrik akan diberikan pada Bab 4: Matrik dan Vektor.

Tipe dan Dimensi Variabel

Di dalam Scilab, suatu variabel dapat langsung dibuat tanpa harus ditentukan tipe dan

dimensinya, seperti pada contoh di bawah ini.

-->e1000 = (1 + 1/1000)^1000 // skalar e1000 = 2.7169239 -->M = [8 1 6 3; 5 7 4 9] // matrik numerik ukuran 2 x 3 M = 8. 1. 6. 3. 5. 7. 4. 9.

Tipe dari sebuah variabel dapat kita ketahui dengan menggunakan fungsi typeof. Ukuran

atau dimensi dari suatu variabel dapat kita ketahui dengan fungsi size.

-->typeof(e1000) ans = constant -->typeof(M) ans = constant -->size(e1000) ans = 1. 1.


-->size(M) ans = 2. 4.

Terlihat bahwa variabel e1000 dan M mempunyai tipe yang sama yaitu constant, yang

berarti kedua variabel tersebut adalah suatu obyek numerik. Ukuran dari variabel e1000

adalah 1x1, yang berarti e1000 adalah suatu skalar. Selanjutnya ukuran dari variabel M

adalah 2x3, yang berarti M adalah sebuah matrik yang berukuran 2x3.

Suatu variabel yang telah dibuat dapat berubah dimensinya, tipenya atau bahkan tipe dan

dimensinya sekaligus, sesuai dengan operasi yang dilakukan terhadapnya, seperti yang

diilustrasikan pada contoh-contoh di bawah ini.

-->x = 9.867; // x adalah suatu skalar -->typeof(x) ans = constant -->size(x) ans = 1. 1. -->x = [10, 20; 0, 30] // x berubah menjadi suatu matrik x = 10. 20. 0. 30. -->typeof(x) ans = constant -->size(x) ans = 2. 2. -->x = "Scilab" // x berubah lagi menjadi suatu string x = Scilab


Pada contoh ini, pertama kali variabel x adalah suatu skalar kemudian berubah ukurannya

menjadi suatu matrik, kemudian variabel x berubah tipenya menjadi sebuah string.

Penjelasan terperinci mengenai obyek string akan diberikan pada Bab 8: String.

Operator

Operator adalah simbol khusus yang melambangkan suatu operasi tertentu, seperti plus

(+) untuk operasi penjumlahan dan operasi konkatenasi string, bintang (*) untuk operasi

perkalian, lebih besar (>) untuk operasi perbandingan lebih besar, dan lain sebagainya.

Ilustrasi untuk operator-operator aritmatika telah kita lihat pada contoh-contoh yang telah

diberikan. Selanjutnya, contoh-contoh di bawah ini adalah ilustrasi mengenai beberapa

operator lain yang terdapat di dalam Scilab.

-->test = 1001 < 999 test = F -->1 + %eps/2 > 1 ans = F -->x = 5; (x >= 0) & (x


operator untuk operasi perbandingan dan operasi logika akan diberikan pada Bab 10:

Perbandingan dan Logika.

Fungsi

Fungsi adalah sebuah nama yang merepresentasikan suatu perhitungan matematika,

(seperti perhitungan akar kuadrat, perhitungan sinus, pembulatan); atau sebuah operasi

tertentu (seperti melihat tanggal sekarang, melihat nama direktori kerja).

Berikut ini ilustrasi dari beberapa fungsi yang telah terpasang di dalam Scilab.

-->n = exp(4) n = 54.59815 -->tan(%pi/4) ans = 1. -->r = modulo(10,4) r = 2. -->rand() ans = 0.2113249 -->date() ans = 06-Mar-2010

Penjelasan dari beberapa fungsi di atas adalah sebagai berikut:.

Fungsi exp adalah fungsi untuk menghitung nilai exponensial dari suatu bilangan.

Fungsi tan adalah fungsi untuk menghitung nilai tangen dari suatu sudut.

Fungsi modulo adalah fungsi untuk menghitung sisa pembagian dari suatu operasi

pembagian terhadap dua bilangan bulat.

Fungsi rand adalah fungsi untuk membuat bilangan random.

Fungsi date adalah fungsi untuk melihat tanggal sekarang.


Nama suatu fungsi juga bersifat sensitif terhadap ukuran huruf. Sebagai contoh, jika kita

tuliskan fungsi sqrt dengan Sqrt atau SQRT maka akan muncul sebuah pesan kesalahan

undefined variable.

-->Sqrt(100) !--error 4 Undefined variable: Sqrt

Sebuah fungsi baru yang merepresentasikan suatu perhitungan atau operasi tertentu juga

dapat kita buat di dalam Scilab. Sebagai contoh, fungsi matematika sebagai berikut:

xxxf exp)(

dapat dibuat dengan menggunakan statemen-statemen sebagai berikut:

-->function y = foo(x) --> y = x - exp(-x) -->endfunction

Penjelasan tentang cara pembuatan suatu fungsi akan diberikan pada Bab 14: Fungsi.

Suatu fungsi yang telah kita buat dapat dijalankan seperti halnya sebuah fungsi yang telah

terpasang di dalam Scilab, seperti pada contoh di bawah ini.

-->fx = foo(1) fx = 0.6321206

Suatu fungsi dapat mempunyai argumen input dan output lebih dari satu. Untuk fungsi-

fungsi tersebut, pada umumnya terdapat beberapa argumen input atau output yang

bersifat opsional dan hanya perlu digunakan sesuai dengan kebutuhan.

Sebagai contoh, untuk mencari suatu bilangan rasional yang merupakan aproksimasi dari

suatu bilangan real, dapat digunakan fungsi rat yang mempunyai notasi sebagai berikut:

[m, n] = rat(x, tol)

dimana x adalah suatu bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat serta tol adalah

toleransi aproksimasi. Argumen tol bersifat opsional, jika tidak dipakai maka nilai

toleransi aproksimasi yang digunakan adalah 10-6. Bilangan rasional m/n adalah hampiran

untuk bilangan real x yang dihasilkan oleh fungsi rat. Berikut ini adalah contoh

penggunaan fungsi rat untuk mencari nilai aproksimasi dari bilangan irrasional .


-->[m, n] = rat(%pi) // argumen tol dengan nilai default n = 113. m = 355. -->[m, n] = rat(%pi, 1e-3) // tol = 1e-3 n = 7. m = 22.

Pada sebuah fungsi yang mempunyai argumen output lebih dari satu, hanya argumen

output pertama yang harus digunakan, argumen ouput kedua dan seterusnya dapat

digunakan sesuai dengan yang kita perlukan. Sebagai contoh, akar dari suatu fungsi

nonlinier dapat kita hitung dengan fungsi fsolve dengan sintaks sebagai berikut:

[x, fval, info] = fsolve(x0, fcn)

Dimana fcn adalah fungsi nonlinier yang dicari akarnya, x0 adalah nilai awal dalam

perhitungan iterasi, x adalah hampiran akar dari fungsi fcn, fval adalah nilai fungsi fcn

pada x (fval = fcn(x)) dan info adalah argumen output yang menyatakan kondisi iterasi

perhitungan (konvergen atau divergen). Argumen fval dan info pada fungsi fsolve

adalah argumen yang bersifat opsional.

Misalkan fungsi nonlinier yang akan kita cari akarnya adalah xxxf sin)( 2 .

-->function y = fx(x) --> y = x^2 - sin(x) -->endfunction

Selanjutnya, kita dapat menjalankan fsolve untuk mencari akar dari fungsi f(x) dengan

tiga macam bentuk argumen output adalah sebagai berikut:

-->x0 = fsolve(1.0, fx) // Satu argumen output x0 = 0.8767262


-->[x0, f0, iter] = fsolve(1.0, fx) // Tiga argumen output iter = 1. f0 = - 1.110D-16 x0 = 0.8767262

Selain fungsi-fungsi matematika standar, di dalam Scilab juga terpasang fungsi-fungsi yang

merupakan implementasi dari algoritma-algoritma dalam metode numerik, seperti fsolve

untuk mencari akar-akar suatu persamaan nonlinier, regress untuk perhitungan regresi

linier, intg untuk melakukan integrasi numerik, dan lain sebagainya. Ilustrasi penggunaan

Scilab untuk menyelesaikan berbagai persoalan dalam komputasi numerik diberikan pada

Bab 17: Metode Numerik.

Format Output Numerik

Scilab akan menampilkan nilai sebuah variabel atau hasil dari suatu perhitungan sesuai

dengan format yang sedang digunakan. Sebagai contoh apabila dijalankan statemen:

NA = 6.0221367e23

maka tampilan yang muncul pada jendela Scilab adalah seperti di bawah ini.

-->NA = 6.0221367e23 NA = 6.022D+23

Terlihat bahwa tampilan bilangan yang muncul adalah berbeda dengan statemen yang

diketikkan dimana tidak semua digit desimal yang telah diketikkan ditampilkan.

Format output numerik pada contoh di atas adalah tampilan yang dihasilkan oleh format

default untuk ouput numerik. Apabila diperlukan format output numerik dapat dirubah

dengan menggunakan fungsi format. Fungsi format hanya akan berpengaruh terhadap

tampilan format numerik saja dan tidak berpengaruh terhadap penyimpanan hasil

perhitungannya di dalam memori komputer.


Fungsi format dapat dijalankan dengan tiga macam sintak sebagai berikut

format(fmt, n) untuk merubah tipe format dan panjang digit yang digunakan untuk

menampilkan bilangan. Argumen fmt adalah tipe format, yaitu 'v' untuk format

default dan 'e' untuk format saintifik, n adalah panjang digit yang digunakan untuk

menampilkan bilangan (2 sampai 25 digit). Format default yang digunakan oleh Scilab

yaitu format('v',10).

format(n) untuk merubah panjang digit yang digunakan untuk menampilkan bilangan

menjadi n digit sedangkan tipe formatnya tetap.

v = format() untuk menampilkan format yang sedang digunakan. Output dari perintah

ini adalah sebuah vektor baris v yang terdiri dari dua elemen. Elemen pertama dari

vektor v adalah tipe format yaitu 0 untuk format saintifik atau 1 untuk format desimal.

Nilai elemen kedua adalah panjang digit yang digunakan.

Berikut ini adalah beberapa contoh penggunaan fungsi format.

-->// Tampilan dengan format default -->x = 1/7 x = 0.1428571 -->y = 123456789 y = 1.235D+08 -->// Tampilan dengan format desimal menggunakan 20 digit -->format('v',20) -->x x = 0.14285714285714285 -->y y = 123456789.


-->NA NA = 6.0221367000000D+23 -->// Tampilan dengan format saintifik menggunakan 15 digit -->format('e',15) -->x x = 1.42857143D-01 -->y y = 1.23456789D+08 -->NA NA = 6.02213670D+23

Penulisan dan Pengeditan Perintah

Misalkan kita akan melakukan sebuah perhitungan sebagai berikut:

( )

Anggap perhitungan tersebut kita selesaikan dengan statemen sebagai berikut

rho = (1 + sqr(5))/2

maka statement tersebut tidak dapat dieksekusi dan akan muncul sebuah pesan kesalahan,

seperti di bawah ini.

-->rho = (1 + sqr(5))/2 !--error 4 undefined variable : sqr

Pesan kesalahan ini muncul karena terdapat kesalahan dalam statemen di atas yaitu fungsi

sqr seharusnya ditulis sqrt.

Daripada menulis kembali seluruh statemennya, terdapat sebuah cara yang lebih mudah

untuk memperbaiki kesalahan pada statemen di atas. Caranya yaitu dengan menggunakan

tombol panah ke atas () untuk menampilkan kembali statemen yang telah diberikan dan

menggunakan tombol panah ke kiri () untuk memindahkan kursor sehingga berada di


depan kata sqr. Setelah itu sisipkan huruf t sehingga sqr berubah menjadi sqrt. Berikut ini

adalah statemen yang dihasilkan dari proses pengeditan serta hasil perhitungannya.

-->rho = (1 + sqrt(5))/2 rho = 1.618034

Pada saat penulisan atau pengeditan suatu perintah kita juga dapat menggunakan fitur tab

completion. Dengan menggunakan fitur ini, pada saat pengetikan suatu perintah atau

statemen apabila kita tekan tombol tab setelah kita ketikkan beberapa karakter awal dari

nama suatu variabel atau fungsi maka akan muncul sebuah kotak yang berisi daftar nama-

nama variabel atau fungsi yang berawalan dengan karakter yang telah kita ketikkan. Pada

daftar pilihan yang muncul, pilih nama variabel atau fungsi yang kita maksud kemudian

tekan enter. Berikut ini adalah ilustrasi dari fitur tab completion.

Daftar Riwayat Perintah

Perintah-perintah atau statemen-statemen yang kita jalankan pada Jendela Scilab dapat

ditelusuri kembali dengan menggunakan tombol panah ke atas () dan tombol panah ke

bawah (). Selain dengan menggunakan tombol-tombol panah kita juga dapat melihat

statemen atau perintah yang telah diberikan pada Jendela Command History.

Melihat Daftar Variabel-Variabel yang Telah Dibuat

Semua variabel yang telah kita buat pada jendela Scilab akan disimpan dan dikelola oleh

Scilab dalam ruang kerja (workspace). Selain variabel-variabel yang kita buat pada ruang

kerja juga tersimpan variabel-variabel yang dibuat secara otomatis oleh Scilab. Daftar dari

semua variabel yang tersimpan pada ruang kerja dapat ditampilkan pada jendela Scilab

dengan menggunakan gunakan perintah who atau whos. Perintah who akan menampilkan


daftar yang berisi nama variabel saja sedangkan perintah whos akan menampilkan daftar

variabel secara lengkap, yaitu nama, tipe dan ukuran variabel. Sayangnya output dari

kedua perintah tersebut juga menampilkan semua variabel yang secara otomatis

dijalankan oleh Scilab sehingga outputnya tidak informatif. Cara lebih praktis untuk

melihat variabel yang telah dibuat adalah melaluli jendela variabel browser.

Menghapus Variabel

Semua variabel yang telah tersimpan pada ruang-kerja dapat dihapus sekaligus dengan

menggunakan perintah clear. Untuk menghapus hanya beberapa variabel tertentu saja,

misalkan variabel var1, var2, var3 perintahnya adalah clear var1 var2 var3.

Berikut ini adalah ilustrasi dari penggunaan perintah clear.

-->h = 60; -->L = 300; -->w = 0.118; -->To = (w*L^2)/(8*h) To = 22.125 -->Tmax = (w*L)/2*sqrt(1 + (L/(4*h))^2) Tmax = 28.333825 -->clear L w // menghapus variabel L dan w -->L !--error 4 Undefined variable: L -->clear // menghapus semua variabel -->Tmax !--error 4 Undefined variable: Tmax -->S = L*(1 + (8/3)*(h/L)^2 - (32/5)*(h/L)^4) !--error 4 Undefined variable: L


Seperti pada contoh di atas, akan muncul sebuha pesan kesalahan apabila sebuah variabel

telah dihapus jika dipanggil atau digunakan kembali.

Membersihkan Jendela Scilab

Jendela Scilab dapat dibersihkan dari statemen-statemen yang telah kita berikan beserta

outputnya dengan menggunakan perintah clc, melalui menu Edit Clear Console atau

dengan menggunakan tombol F2. Perintah ini hanya akan membersihkan jendela perintah

saja dan tidak akan menghapus statemen-statemen yang telah diberikan dari daftar

riwayat perintah.

Direktori Kerja

Direktori kerja yang sedang digunakan dapat dilihat dengan menggunakan perintah pwd.

-->pwd ans = F:\Scilab

Cara lainnya untuk melihat direktori kerja adalah dengan menggunakan menu File

Display Current Directory.

Untuk pindah ke direktori lain sebagai direktori kerja, kita dapat menggunakan perintah cd

atau chdir. Sintaks dari kedua perintah tersebut adalah sebagai berikut:

cd str atau cd('str')

chdir str atau chdir('str')

dimana str adalah direktori kerja yang akan digunakan. Misalkan kita akan menggunakan

direktori "C:\Komputasi Numerik\Scilab" sebagai direktori kerja maka kita dapat

melakukannya dengan menjalankan salah satu dari statemen sebagai berikut.

-->chdir('C:\Komputasi Numerik\Scilab'); -->cd 'C:\Komputasi Numerik\Scilab';

Selain dengan perintah pwd kita juga dapat melakukan perubahan direktori kerja dengan

menggunakan menu File Change Current Directory.

Perubahan direktori kerja dengan menggunakan cara-cara yang telah disebutkan hanya


bersifat sementara saja. Ketika kita menjalankan Scilab pada sesi berikutnya maka

direktori kerja yang telah kita atur pada sesi sebelumnya akan hilang. Perubahan direktori

kerja yang bersifat permanen dapat dilakukan dengan cara memasukkkan nama direktori

yang dikehendaki pada kotak teks untuk argumen "Start in" yang terdapat di dalam

form properties dari jalan-pintas (shorcut) Scilab. Form tersebut dapat ditampilkan dengan

melakukan klik-kanan terhadap shorcut Scilab dan kemudian kita pilih properties.

Bab 3

Matematika Dasar

Konstanta-Konstanta Matematika

Tabel 3.1 adalah daftar dari beberapa konstanta matematika yang telah terpasang di dalam

Scilab.

Tabel 3.1 Konstanta Matematika di dalam Scilab

Variabel Deskripsi

%i i = 1

%pi = 3.1415927.....

%e e = 2.7182818 .....

Contoh penggunaan konstanta-konstanta matematika di atas adalah sebagai berikut.

-->sin(%pi/2) ans = 1. -->log(%e) ans = 1. -->%i^2 ans = - 1.

Matematika Dasar - 26

Operator-Operator Aritmatika

Simbol-simbol untuk operator aritmatika yang terdapat di dalam Scilab diperlihatkan pada

Tabel 3.2. Selain simbol-simbol tersebut, terdapat simbol lain yang digunakan dalam

penulisan suatu ekspresi matematika yaitu tanda kurung-buka dan kurung-tutup, ( ), yang

digunakan untuk mengelompokkan suatu bagian ekspresi matematika.

Tabel 3.2 Operator Matematika

Operasi Notasi Matematika Notasi Scilab

Penjumlahan a + b a + b

Pengurangan a b a b

Perkalian a b

a * b

Pembagian

a / b

Pemangkatan a ^ b atau a ** b

Urutan operasi aritmatika dari tingkatan yang paling tinggi ke tingkatan yang lebih rendah

adalah sebagai berikut:

1. Operasi matematika yang terletak di antara tanda kurung ( )

2. Operasi pemangkatan

3. Operasi perkalian atau pembagian

4. Operasi pejumlahan atau pengurangan.

Eksekusi terhadap suatu ekspresi matematika yang didalamnya terdapat beberapa macam

operasi aritmatika dimulai dari operasi yang mempunyai tingkatan tertinggi kemudian ke

operasi berikutnya yang mempunyai tingkatan operasi lebih rendah dan seterusnya

sampai selesai. Apabila di dalam suatu ekspresi matematika terdapat beberapa operasi

yang mempunyai tingkatan sama maka urutan eksekusinya dimulai dari sebelah kiri ke

kanan.


Berikut ini ilustrasi berbagai macam perhitungan aritmatika.

-->1 + 2/(3*4) ans = 1.1666667 -->(1 - 2/(3 + 2))/(1 + 2/(3 - 2)) ans = 0.2 -->1000*(1 + 0.15/12)^60 ans = 2107.1813

Penggunaan tanda spasi dalam penulisan suatu ekspresi matematika bersifat opsional

namun sebaiknya tanda spasi digunakan untuk mempermudah pembacaan dari ekspresi

matematika yang dibuat.

Contoh 1. Tentukan besarnya resultan gaya yang dihasilkan oleh gaya-gaya yang bekerja

pada roda-roda mobil, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1, serta posisi resultan

gaya tersebut dari titik A?

Gambar 3.1

Penyelesaian. Misalkan FA, FB dan FC adalah gaya-gaya yang bekerja pada titik A, B dan C

maka resultan gaya R yang dihasilkan oleh ketiga gaya tersebut adalah

R = FA + FB + FC


Misalkan d adalah letak resultan gaya dari titik A, maka d dapat dihitung dengan formula

sebagai berikut:

R

xFxFxFd CCBBAA

dimana xA, xB, xC adalah letak gaya FA, FB dan FC dari titik A.

Perhitungan resultan gaya R dan letaknya dari titik A adalah sebagai berikut:

-->FA = 20; // Gaya pada titik A (kN) -->FB = 20; // Gaya pada titik B (kN) -->FC = 10; // Gaya pada titik C (kN) -->xA = 0; // Letak gaya FA (m) -->xB = 3; // Letak gaya FB (m) -->xC = 5; // Letak gaya FC (m) -->R = FA + FB + FC // Resultan gaya R (kN) R = 50. -->d = (FA*xA + FB*xB + FC*xC)/R // Letak gaya R (m) d = 2.2

Jadi resultan gaya R adalah sebesar 50 kN dan letaknya sejauh 2.2 m dari titik A.

Contoh 2. Sebuah baterei mempunyai gaya gerak listrik 12 V dan tahanan internal 0.05 .

Jika pada terminal-terminal baterei tersebut dihubungkan dengan sebuah tahanan luar

sebesar 3 . Tentukan arus yang mengalir pada rangkaian tersebut dan beda tegangan

yang terdapat pada terminal baterei tersebut?

Penyelesaian. Arus (I) pada rangkaian tersebut dapat dihitung dengan menggunakan

formula sebagai berikut:

rRI

dimana adalah gaya gerak listrik, r adalah tahanan internal dan R adalah tahanan luar.


Beda tegangan (V) yang terdapat di antara terminal baterei dapat dihitung dengan formula

sebagai berikut:

IrV

Arus yang mengalir pada rangkaian dan beda tegangan yang terdapat pada terminal

baterei dapat kita hitung dengan perintah-perintah sebagai berikut.

-->epsilon = 12; // gaya gerak listrik -->r = 0.05; // tahanan internal baterei (Ohm) -->R = 3; // tahanan luar (Ohm) -->I = epsilon/(R + r) // arus yang mengalir pada rangkaian (Ampere) I = 3.9344262 -->V = epsilon - I*r // beda tegangan pada terminal baterei (Volt) V = 11.803279

Arus yang mengalir pada rangkaian adalah 3.9 A dan beda tegangan yang terdapat pada

terminal baterei yaitu 11.8 V.

Contoh 3. Sebuah bahan radioaktif mempunyai waktu paruh 150 hari. Apabila hari ini

massa radioaktif tersebut adalah 10 gram, berapakah jumlah massa radioaktif yang

tertinggal setelah 300 hari ?

Penyelesaian. Peluruhan suatu bahan radioaktif dapat dihitung dengan sebagai berikut:

(

)

dimana m adalah massa bahan radioaktif yang tertinggal, mo adalah massa awal bahan

radioaktif, t adalah waktu peluruhan, serta h adalah waktu paruh.

Perhitungan massa radioaktif yang tertinggal adalah sebagai berikut.

-->massa_awal = 10; -->waktu_paruh = 150;


-->waktu = 300; -->massa_tersisa = massa_awal * (1/2)^(waktu/waktu_paruh) massa_tersisa = 2.5

Sehingga setelah 300 hari, bahan radioaktif yang tertinggal yaitu sejumlah 2.5 gram.

Variabel-Variabel Khusus untuk Aritmatika Komputer

Di dalam Scilab, terdapat beberapa variabel khusus yang berkaitan dengan operasi

aritmatika dengan komputer. Variabel-variabel khusus tersebut yaitu %eps, %inf dan %nan.

Deskripsi singkat mengenai ketiga variabel tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Daftar Beberapa Konstanta Aritmatika Komputer

Variabel Deskripsi

%eps Presisi komputer

%nan Bukan sebuah bilangan (not a number)

%inf Takhingga (, infinity)

Variabel %eps merupakan variabel khusus yang menyatakan presisi komputer. Nilai dari

variabel ini adalah nilai terkecil yang dapat ditambahkan pada suatu bilangan sehingga

menghasilkan suatu nilai yang berbeda dengan nilai dari bilangan tersebut. Nilai variabel

%eps akan tergantung pada jenis komputer. Untuk komputer yang mendukung sistem 64

bit IEEE, nilai variabel %eps kira-kira adalah 2.220 10-16.

Berikut ini beberapa contoh ilustrasi mengenai variabel %eps.

-->%eps %eps = 2.220D-16 -->format(20)


-->1 + %eps ans = 1.00000000000000022 -->1 + %eps/2 ans = 1.

Variabel %inf merupakan suatu variabel yang digunakan untuk menyatakan operasi

pembagian suatu bilangan real, (selain bilangan nol), dengan bilangan nol.

-->ieee(2) -->9.99/0 ans = Inf -->-345/0 ans = -Inf

Fungsi ieee yang terdapat pada contoh ini digunakan untuk mengontrol suatu

perkecualian yang terjadi dalam sebuah operasi aritmatika. Penjelasan mengenai fungsi ini

akan diberikan pada subbab berikutnya tentang pembagian dengan nol.

Variabel %inf digunakan untuk merepresentasikan suatu bilangan yang nilainya diluar

jangkauan bilangan yang dapat disimpan oleh Scilab. Jika suatu bilangan mempunyai

nilai yang lebih besar dari 10308 maka nilainya akan dinyatakan dengan simbol %inf

namun jika nilainya lebih kecil dari -10308 maka nilainya akan dinyatakan dengan

simbol -%inf.

-->2^1023 ans = 8.98D+307 -->2^1024 ans = Inf


-->-2^1024 ans = - Inf

Variabel %nan adalah variabel yang digunakan untuk menyatakan suatu operasi

matematika yang tidak didefinisikan, seperti 0/0, - , /

-->0/0 ans = Nan

Pembagian dengan Nol

Terdapat suatu perkecualian dalam suatu operasi pembagian yaitu pembagi nilainya tidak

boleh sama dengan nol. Jika hal ini terjadi maka Scilab secara default akan menampilkan

suatu pesan kesalahan, seperti yang terlihat pada contoh di bawah ini.

-->99/0 !--error 27 division by zero...

Fungsi ieee dapat digunakan untuk mengontrol perkecualian yang mungkin terjadi pada

suatu operasi aritmatika. Fungsi ieee mempunyai sintaks sebagai berikut:

ieee(m)

dimana m adalah mode untuk menangani operasi perkecualian yang terdapat di dalam

suatu ekpresi aritmatika. Terdapat tiga pilihan untuk argumen mode dalam fungsi ieee

yaitu 0, 1, dan 2. Dekripsi untuk ketiga mode tersebut adalah sebagai berikut:

Mode 0 (mode default), jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol

maka akan muncul sebuah pesan error.

Mode 1, jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol maka akan

muncul suatu pesan peringatan yang disertainya dengan hasil perhitungannya yang

berupa Inf atau Nan sesuai dengan operasi aritmatikanya.

Mode 2, jika terdapat suatu operasi pembagian dengan bilangan nol maka hasil

perhitungannya berupa Inf atau Nan sesuai dengan operasi aritmatikanya tanpa

disertai suatu pesan peringatan.


Berikut ini beberapa contoh perhitungan sebagai ilustrasi untuk fungsi ieee.

-->ieee(1) -->99/0 Warning :division by zero... ans = Inf -->0/0 Warning :division by zero... ans = Nan -->ieee(2) -->99/0 ans = Inf

-->0/0 ans = Nan

Apabila fungsi ieee() dijalankan tanpa menggunakan argumen maka fungsi tersebut akan

menampilkan mode ieee yang sedang dipergunakan.

Akar Kuadrat

Fungsi sqrt adalah fungsi untuk menghitung akar kuadrat dari suatu bilangan real

(termasuk bilangan negatif) maupun akar kuadrat dari suatu bilangan kompleks.

Contoh 4. Sebuah mobil bergerak dari keadaan diam dengan percepatan konstan 5 m/det2.

Tentukan kecepatan mobil tersebut setelah menempuh jarak sejauh 40 m?

Penyelesaian. Kecepatan mobil dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:


dimana v0 adalah kecepatan awal, a adalah percepatan dan d jarak yang ditempuh.

Berikut ini statemen-statemen Scilab untuk menentukan kecepatan mobil.

-->v0 = 0; // kecepatan awal [m/s]; -->a = 5; // percepatan mobil [m/det^2] -->d = 40; // jarak tempuh [m] -->v = sqrt(v0 + 2*a*d) // kecepatan mobil [m/s] v = 20.

Jadi kecepatan mobil adalah 20 m/det.

Contoh 5. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + x + 1 = 0.

Penyelesaian. Akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung

dengan menggunakan formula sebagai berikut :

,

Perhitungan akar-akar dari persamaan adalah sebagai berikut:

-->a = 1; b = 1; c = 1; // koefisien persamaan kuadrat -->D = b^2 - 4*a*c; // diskriminan -->r1 = (-b + sqrt(D))/(2*a) // akar pertama r1 = - 0.5 + 0.8660254i -->r2 = (-b - sqrt(D))/(2*a) // akar kedua r2 = - 0.5 - 0.8660254i

Jawaban yang diperoleh yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + x + 1 = 0 adalah

-0.5 + 0.866i dan -0.5 - 0.866i.


Nilai Mutlak

Fungsi abs adalah fungsi untuk menghitung nilai mutlak dari suatu bilangan real atau nilai

modulus dari suatu bilangan kompleks. Berikut ini contoh penggunaan fungsi abs.

-->abs(-28.9) ans = 28.9 -->abs(3 - 4*%i) ans = 5.

Contoh 6. Tentukan jarak terdekat antara titik (1, -4, -3) dengan sebuah bidang planar 2x

3y + 6z = -1.

Penyelesaian. Jarak terdekat antara suatu titik P(x0, y0, z0) dengan sebuah bidang planar

ax + by + cz + d = 0 dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut

| |

Dengan menggunakan rumus ini, jarak antara titik P dengan bidang planar dapat dihitung

dengan statemen-statemen sebagai berikut:

-->a = 2; b = -3; c = 6; d = 1; // normal bidang -->x0 = 1; y0 = -4; z0 = -3; // Titik P0 -->D = abs(a*x0 + b*y0 + c*z0 + d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) D = 0.4285714

Jawaban yang diperoleh yaitu jarak terdekat antara titik (1, -4, -3) dengan bidang planar 2x

3y + 6z = -1 adalah 0.429.


Tanda Bilangan

Tanda suatu bilangan dapat diketahui dengan fungsi sign yang mempunyai definisi sebagai

berikut:

0 jika,1

0 jika,0

0 jika,1

x

x

x

xsign

Contoh-contoh penggunaan fungsi sign adalah sebagai berikut.

-->sign(56.78) ans = 1. -->sign(-28.9) ans = - 1.

Pembulatan

Scilab menyediakan beberapa macam fungsi untuk melakukan operasi pembulatan, seperti

yang terlihat pada Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Fungsi-Fungsi Pembulatan

Fungsi Deskripsi

round Pembulatan

ceil Pembulatan ke atas

floor Pembulatan ke bawah

fix atau int Pembulatan ke arah nol

clean Pembulatan nilai yang sangat kecil menjadi nol


Contoh-contoh penggunaan fungsi pembulatan adalah sebagai berikut:

-->round(5.67) ans = 6. -->ceil(2.34) ans = 3. -->floor(5.67) ans = 5. -->int(-123.45) ans = - 123.

Fungsi clean(x, tol) akan membulatkan nilai dari suatu variabel x menjadi angka nol

apabila nilai absolutnya lebih kecil daripada suatu nilai toleransi tol. Argumen tol adalah

argumen yang bersifat opsional dengan nilai default 10-10.

-->x = cos(%pi/2) x = 6.123D-17 -->x = clean(x) x = 0.

Aproksimasi Bilangan Real dengan Bilangan Rasional

Suatu bilangan real x dapat diaproksimasi nilainya dengan suatu bilangan rasional m/n

melalui fungsi rat sebagai berikut:

[m,n] = rat(x, )

dimana adalah toleransi aproksimasi. Apabila argumen tidak dipergunakan maka nilai

toleransi aproksimasi yang digunakan adalah 10-6.


Ilustrasi penggunaan fungsi rat adalah sebagai berikut:

-->[n,d] = rat(1.25) d = 4. n = 5. -->[m,n] = rat(%pi,0.001) n = 7. m = 22.

Contoh yang terakhir ini adalah salah satu pendekatan nilai yang populer.

Trigonometri

Daftar dari fungsi-fungsi trigonometri dan inverse trigonometri yang terdapat di dalam

Scilab diberikan pada Tabel 3.5. Sebagian besar fungsi trigonometri dan inverse

trigonometri hanya membutuhkan argumen input tunggal, kecuali fungsi atan dan atand.

Terdapat dua macam sintaks untuk kedua fungsi tersebut, yaitu sintak dengan argumen

input tunggal (atan(n) dan atand(n)), serta sintak lainnya dengan dua argumen input

(atan(y,x) dan atand(y,x)).

Fungsi atan(n) dan atand(n) menggunakan dua kuadran dalam perhitungan nilai inverse

tangen. Output dari fungsi atan(n) dan atand(n) masing-masing berada dalam interval

sudut [-, ] radian dan [-90, 90] derajat. Fungsi atan(y,x) dan atand(y,x)

menggunakan empat kuadran dalam perhitungan nilai inverse tangen. Output dari fungsi

atan(y,x) dan atand(y,x) masing-masing berada dalam interval sudut [-, ] radian dan

[-180, 180] derajat.


Tabel 3.5 Fungsi-Fungsi Trigonometri

Fungsi Deskripsi

sin Sinus (radian)

sind Sinus (derajat)

cos Cosinus (radian)

cosd Cosinus (derajat)

tan Tangen (radian)

tand Tangen (derajat)

cotg Cotangen (radian)

asin Inverse sinus (radian)

asind Inverse sinus (derajat)

acos Inverse cosinus (radian)

acosd Inverse cosinus (derajat)

atan Inverse tangen (radian)

atand Inverse tangen (derajat)

Contoh-contoh penggunaan fungsi-fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

-->sin(%pi/3) ans = 0.8660254 -->cosd(45) ans = 0.7071068 -->tan(%pi/4) ans = 1.

Berikut ini adalah beberapa contoh pengunaan fungsi-fungsi inverse trigonometri.

-->acosd(0.5*sqrt(2)) ans = 45.


-->4*atan(1) ans = 3.1415927 -->atan(-1,1) ans = - 0.7853982

Contoh 7. Sebuah peluru ditembakkan dari sebuah meriam dengan kecepatan awal 72

m/detik dan sudut kemiringan terhadap bidang horisontal adalah 60 derajat. Tentukan

jarak jangkauan peluru tersebut ?

Penyelesaian. Jarak jangkauan (r) peluru dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:

( )

dimana vo adalah kecepatan awal, adalah sudut tembakan, g adalah percepatan gravitasi.

Statemen-statemen untuk menghitung jarak jangkauan peluru adalah sebagai berikut:

-->v0 = 72; // kecepatan awal (m/detik) -->theta = 60; // sudut tembakan (derajat) -->g = 9.81; // percepatan gravitasi (m/detik^2) -->r = v0^2*sind(2*theta)/g // jangkauan peluru (m) r = 457.64278

Jadi jangkauan peluru adalah sejauh 457.6 m.

Contoh 8. Dengan mengacu pada Gambar 3.2, tentukan besarnya gaya F yang harus

dikerjakan pada ujung pengungkit sehingga dihasilkan momen pada titik O sebesar 15 Nm

yang bekerja searah jarum jam? Diketahui = 60o, = 30o, a = 50 mm, serta b = 300 mm.


Gambar 3.2

Penyelesaian. Momen yang dihasilkan oleh gaya F yang bekerja pada pengungkit adalah:

cossinsincos bFbaFM

Dari persamaan ini diperoleh besarnya gaya F untuk menghasilkan momen M yaitu"

cossinsincos bbaM

F

Berikut ini adalah statemen-statemen Scilab untuk menghitung gaya F.

-->M = 15; // Nm -->phi = 60; // derajat -->theta = 30; // derajat -->a = 0.05; // m -->b = 0.30; // m -->F = M/(cosd(theta)*(a + b*sind(phi)) - b*sind(theta)*cosd(phi)) F = 77.599076

Jadi gaya yang diperlukan untuk menghasilkan momen sebesar 15 Nm adalah 77.6 N.


Hiperbolik

Daftar dari fungsi-fungsi hiperbolik dan inverse hiperbolik yang terdapat di dalam Scilab

dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.6 Fungsi-Fungsi Hiperbolik dan Inverse Hiperbolik

Fungsi Deskripsi

sinh Sinus hiperbolik

cosh Cosinus hiperbolik

tanh Tangen hiperbolik

coth Cotangen hiperbolik

asinh Inverse sinus hiperbolik

acosh Inverse cosinus hiperbolik

atanh Inverse tangen hiperbolik

Berikut ini adalah ilustrasi penggunaan fungsi-fungsi hiperbolik dan inverse hiperbolik.

-->sinh(2) ans = 3.6268604 -->tanh(0.5 + 2.5*%i) ans = 0.6433315 - 0.5249367i -->asinh(3.5) ans = 1.9657205

Contoh 9. Sebuah kabel optik tergantung pada tiang-tiang dimana ujung-ujung pada setiap

bentangnya membentuk sudut terhadap horisontal (Gambar 3.3). Tentukan tegangan

minimum yang bekerja pada kabel dan tinggi maksimum lendutannya? Diketahui kabel

optik mempunyai kerapatan massa 0.9 kg/m dan jarak antar tiang adalah 30 m.


Gambar 3.3

Penyelesaian. Tegangan tarik maksimum (Tmax) yang bekerja pada kabel dan tinggi

lendutan maksimum (h) dapat ditentukan dengan rumus-rumus sebagai berikut

tanasinh2

aw

FH

cosmaxHFT

12coshH

H

F

aw

w

Fh

gw

Dimana: FH adalah tegangan tarik horisontal yang bekerja pada kabel optik

Tmax adalah tegangan tarik maksimum yang bekerja pada kabel optik

h adalah panjang lendutan maksimum

a adalah jarak antara tiang

w adalah berat satuan kabel

adalah kerapatan massa (density) kabel

g adalah percepatan gravitasi

Perhitungan tegangan tarik maksium (Tmax) yang bekerja pada kabel dan tinggi lendutan

maksimum (h) adalah sebagai berikut.


-->g = 9.81; // percepatan gravitasi (m/s^2) -->rho = 0.9; // density kabel (kg/m) -->w = rho*g; // berat satuan kabel; -->theta = 22/180*%pi; // sudut kemiringan pd ujung kabel (rad) -->a = 30; // jarak antar tiang (m) -->FH = w*(a/2)/asinh(tan(theta)) // Gaya horisontal (N) FH = 336.32494 -->Tmax = FH/cos(theta) // Tegangan tarik maksimum pd kabel (N) Tmax = 362.73813 -->h = FH/w*(cosh(w*(a/2)/FH) - 1) // Tinggi lendutan maksimum h = 2.9916403

Jadi tegangan tarik maksimum yang bekerja pada kabel adalah 362.7 N dan tinggi lendutan

maksimum pada bagian tengah kabel adalah 2.99 m.

Eksponensial dan Logaritma

Daftar dari fungsi-fungsi exponensial dan logaritma yang terdapat terpasang di dalam

Scilab diberikan pada Tabel 3.7.

Tabel 3.7 Fungsi-Fungsi Exponensial dan Logaritma

Fungsi Deskripsi

exp Exponensial

nextpow2 Pangkat dua terbesar selanjutnya

log Logaritma alami

log2 Logaritma base 2

log10 Logaritma base 10


Deskripsi mengenai fungsi-fungsi tersebut adalah sudah jelas dari deskripsi yang diberikan

pada Tabel 3.7 kecuali untuk fungsi nextpow2. Fungsi nextpow2(x) adalah suatu fungsi

yang digunakan untuk menghitung suatu bilangan integer n terkecil yang memenuhi

persyaratan 2n |x|.

Contoh penggunaan fungsi-fungsi exponensial dan logaritma adalah sebagai berikut:

-->exp(2.5) ans = 12.182494 -->log(10) ans = 2.3025851 -->log10(0.001) ans = - 3. -->nextpow2(20) ans = 5.

Contoh 10. Anggap suatu minuman kopi mempunyai kandungan ion hidrogen sebanyak

1.210-6 mol/Liter. Tentukan berapakah nilai pH-nya ?

Penyelesaian. Nilai pH suatu zat dapat ditentukan dengan formula sebagai berikut:

HpH 10log dimana [H+] adalah konsentrasi dari ion hidrogen dalam satuan mol/Liter. Maka nilai pH

dari minuman kopi dapat dihitung sebagai berikut:

-->kopi = 1.2E-6; // kandungan ion hidrogen dalam kopi -->pH_kopi = -log10(kopi) pH_kopi = 5.9208188

Jadi nilai pH kopi adalah sekitar 5.9.


Contoh 11. Jumlah penduduk dunia pada awal tahun 1990 diperkirakan adalah sekitar 5.3

milyar dengan laju pertambahan penduduk sekitar 2% per tahun. Dengan mengunakan

asumsi bahwa pertumbuhan populasi penduduk akan bertambah secara eksponensial,

maka perkirakan jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 ?

Penyelesaian. Jumlah penduduk pada awal suatu tahun tertentu dapat dihitung dengan

persamaan sebagai berikut:

kt

oeyy

dimana yo adalah jumlah penduduk pada awal tahun 1990 (dalam satuan milyar), k adalah

laju pertambahan penduduk dan t adalah perbedaan waktu sejak tahun 1990 (dalam

satuan tahun).

Perhitungan jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 dapat diselesaikan dengan

perintah-perintah sebagai berikut:

-->y0 = 5.3; // jumlah penduduk pada awal th 1990 (milyar) -->k = 0.02; // laju pertumbuhan pertahun -->t = 20151990; // selang waktu sejak awal th 1990 (tahun) -->y = y0*exp(k*t) // jumlah penduduk pada awal th 2015 (milyar) y = 8.7382227

Jadi jumlah penduduk dunia pada awal tahun 2015 adalah sebanyak 8.73 milyar.

Faktorial

Notasi matematika untuk faktorial dari suatu bilangan bulat n adalah n!. Di dalam Scilab,

nilai faktorial dari suatu bilangan dapat dihitung dengan menggunakan fungsi factorial,

seperti yang ditunjukkan pada contoh di bawah ini:

-->factorial(6) ans = 720.


Contoh 12. Sebuah panitia yang terdiri dari tiga orang akan diambil dan dibentuk dari

delapan orang. Tentukan berapa banyak kombinasi panitia yang dapat dibentuk apabila

satu orang hanya dapat masuk sekali saja dalam satu grup?

Penyelesaian. Jumlah kombinasi panitia yang dapat dibentuk dapat dihitung dengan

rumus sebagai berikut:

( )

dimana n adalah jumlah orang yang akan dipilih dan k adalah jumlah anggota panitia. Jadi,

jumlah kombinasi panitia yang dapat dibentuk adalah

-->K = factorial(8)/(factorial(3)*factorial(8-3)) K = 56.

Bilangan Kompleks

Misalkan z adalah bilangan kompleks z = x + iy, dimana i adalah simbol bilangan imajiner

1 , maka bilangan kompleks z di dalam Scilab dapat dinyatakan sebagai berikut:

z = x + y*%i atau z = x + %i*y

Sebagai contoh, notasi untuk bilangan kompleks z = 2 3i adalah sebagai berikut:

-->z = 2 - 3*%i z = 2. - 3.i

Operasi Aritmatika terhadap Bilangan Kompleks

Operasi aritmatika terhadap suatu bilangan kompleks dapat dilakukan dengan

menggunakan notasi yang sama seperti notasi pada bilangan real. Berikut ini beberapa

contoh operasi aritmatika terhadap bilangan kompleks.

-->x = 1 - 3*%i; -->y = -2 + %i*5; -->p = x + y p = - 1. + 2.i


-->q = x - y q = 3. - 8.i -->r = x*y r = 13. + 11.i -->r/x ans = - 2. + 5.i

Komponen Real dan Imajiner.

Komponen real dan imajiner dari suatu bilangan kompleks dapat diekstrak dengan

menggunakan fungsi real dan imag, seperti pada contoh di bawah ini.

-->x = 3 + 4*%i; -->real(x) ans = 3. -->imag(x) ans = 4.

Conjugate Bilangan Kompleks.

Jika z = x + iy maka conjugate untuk bilangan compleks tersebut didefiniskan sebagai

.

Conjugate suatu bilangan kompleks dapat dihitung dengan fungsi conj, seperti pada contoh

di bawah ini.

-->w = 8 + 10*%i; -->conj(w) ans = 8. - 10.i


Modulus Bilangan Kompleks

Modulus atau nilai mutlak dari bilangan z = x + iy didefinisikan sebagai berikut

| |

Modulus bilangan kompleks dapat kita hitung dengan fungsi abs.

-->v = 12 - 5*%i; -->abs(v) ans = 13.

Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks

Selain dalam notasi kartesian (x, y) sebuah bilangan komplek z = x + iy juga dapat

dinyatakan dengan notasi koordinat polar (r, ) sebagai berikut:

( ( ) ( ))

dimana:

(

)

Seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini.

Gambar 3.4 Ilustrasi Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks

Sebagai contoh, bilangan kompleks z = -3 + 4i dapat dirubah ke dalam bentuk polar dengan

perhitungan sebagai berikut.

-->z = -3 + 4*%i; -->r = abs(z) r = 5.


-->theta = atand(imag(z),real(z)) // derajat theta = 126.8699

Jadi bentuk polar untuk bilangan kompleks z = -3 + 4i adalah

z = 5 (cos(126.9o) + i sin(126.9o))

Notasi Eksponensial untuk Bentuk Polar

Dengan menggunakan identitas Euler: ( ) ( ). Bilangan komplek

( ( ) ( )) juga dapat dinyatakan dalam notasi ekponensial . Dalam

notasi ini sudut harus dinyatakan dalam satuan radian.

Berikut ini adalah ilustrasi penulisan bilangan kompleks dalam notasi eksponensial.

-->z = -3 + 4*%i; -->r = abs(z) r = 5. -->theta = atan(imag(z),real(z)) // radian theta = 2.2142974 -->r*exp(theta*%i) ans = - 3. + 4.i

Terlihat bahwa statemen 5*exp(2.21*%i) ekuivalen dengan statemen -3 + 4*%i.

Bab 4

Matrik dan Vektor

Definisi Matrik dan Vektor

Semua tipe data di dalam Scilab dianggap berupa suatu matrik. Matrik adalah sebuah larik

data segiempat yang terdiri dari beberapa baris dan kolom. Vektor dan skalar merupakan

bentuk khusus dari matrik. Vektor adalah sebuah matrik yang hanya mempunyai satu baris

(vektor baris) atau satu kolom (vektor kolom) kemudian skalar adalah sebuah matrik yang

hanya terdiri dari satu elemen saja.

Berikut ini adalah ilustrasi mengenai obyek skalar, vektor dan matrik.

-->a = 123 // skalar

a = 123. -->v = [1 2 3 4 5] // vektor baris (1 x 5) v = 1. 2. 3. 4. 5. -->w = [4; 4; 2] // vektor kolom (3 x 1) w = 4. 4. 2. -->M = [1 3 5; 2 4 6] // matrik (2 x 3) M = 1. 3. 5. 2. 4. 6.

Matrik dan Vektor - 52

Pembuatan Vektor dan Matrik Secara Manual

Suatu vektor atau matrik dapat dibuat secara manual dengan menggunakan operator

kurung-siku kanan ([) dan operator kurung-siku kiri (]).

Elemen-elemen suatu vektor dapat dipisahkan dengan menggunakan tanda spasi, koma (,)

atau titik koma (;). Jika elemen-elemen vektor dipisahkan dengan tanda spasi atau koma

maka yang dihasilkan adalah suatu vektor baris, namun jika elemen-elemen vektor

dipisahkan dengan titik-koma maka yang akan dihasilkan adalah suatu vektor kolom.

-->v1 = [1, 3, 9] v1 = 1. 3. 9. -->v2 = [2 4 6] v2 = 2. 4. 6. -->v3 = [10; 11; 12] v3 = 10. 11. 12.

Dalam pembuatan suatu matrik, elemen-elemennya harus dimasukkan secara perbaris.

Elemen-elemen yang terdapat dalam satu baris yang sama dapat dipisahkan dengan tanda

spasi atau tanda koma. Kemudian diantara suatu baris dengan baris lainnya dapat

dipisahkan dengan tanda titik-koma atau dengan tombol ENTER.

-->A = [9 7 5; 1 4 3] A = 9. 7. 5. 1. 4. 3. -->B = [1 2 4 [Enter] --> 2 4 8 [Enter] --> 3 6 12] B = 1. 2. 4. 2. 4. 8. 3. 6. 12.


Elemen matrik yang terdapat pada setiap baris harus sama jumlahnya. Jika hal ini tidak

dipenuhi maka akan muncul sebuah pesan kesalahan, seperti yang pada contoh berikut ini.

-->X = [1 2 3; 4 5 6 7; 8 9 10] !--error 6 inconsistent row/column dimensions

Suatu ekspresi matematika juga dapat digunakan sebagai nilai suatu dari elemen vektor

atau matrik, seperti pada contoh di bawah ini:

-->D = [(1+2) 3*4; exp(1) log(10)] D = 3. 12. 2.7182818 2.3025851

Vektor Inkremental

Vektor inkremental adalah suatu vektor baris dimana nilai dari setiap elemennya

bertambah atau berkurang secara konstan terhadap elemen sebelumnya. Suatu vektor

inkremental dibuat dengan operator titik-dua () sebagai berikut.

x = j:k

x = j:d:k

Statemen j:k akan menghasilkan sebuah vektor baris dimana nilai elemen pertamanya

adalah j, nilai elemen berikutnya adalah j+1 dan seterusnya sampai nilai elemen terakhir

nilainya sama dengan k atau suatu nilai inkremental terbesar yang lebih kecil dari k.

Apabila nilai indek j lebih besar dari indek k maka statemen j:k akan menghasilkan

sebuah vektor kosong.

-->tahun = 2011:2016 tahun = 2011. 2012. 2013. 2014. 2015. 2016.

Statemen j:d:k akan menghasilkan sebuah vektor baris dimana nilai elemen pertamanya

adalah j, nilai elemen berikutnya adalah j+d, dan seterusnya sampai diperoleh suatu

elemen yang nilai nilainya sama dengan k atau suatu nilai inkremental terbesar yang lebih

kecil dari k. Nilai d dapat berupa suatu bilangan desimal positif maupun desimal negatif.

Namun bila d bernilai negatif maka nilai j harus lebih besar daripada k.


-->xpts = 0:.25:2 xpts = 0. 0.25 0.5 0.75 1. 1.25 1.5 1.75 2. -->y = 10:-2:1 y = 10. 8. 6. 4. 2.

Fungsi-Fungsi untuk Membuat Suatu Vektor

Terdapat dua fungsi yang dapat digunakan untuk membuat suatu vektor baris inkremental

yaitu linspace dan logspace.

Linspace

Fungsi linspace mempunyai sintaks sebagai berikut:

X = linspace(n_awal, n_akhir, npts)

Output dari fungsi linspace adalah sebuah vektor baris yang mempunyai elemen sebanyak

npts dimana elemen-elemen tersebut mempunyai jarak linier yang seragam yang nilainya

terletak diantara n_awal dan n_akhir. Argumen npts bersifat opsional jika tidak digunakan

maka jumlah elemen yang dihasilkan adalah sebanyak 100 elemen.

Berikut ini contoh penggunaan fungsi linspace.

-->a = linspace(1,2,4) a = 1. 1.333 1.667 2. -->b = linspace(4,0,5) b = 4. 3. 2. 1. 0.

Logspace

Sintak dari fungsi logspace adalah sebagai berikut:

X = logspace(n_awal, n_akhir, npts)

Output dari fungsi logspace adalah sebuah vektor baris yang mempunyai elemen sebanyak

npts dimana elemen-elemen tersebut mempunyai jarak logaritmik yang seragam yang


nilainya terletak diantara 10n_awal dan 10n_akhir. Apabila argumen n_akhir berupa %pi maka

nilai dari elemen terakhir adalah bukan 10. Argumen npts bersifat opsional jika tak

digunakan maka jumlah elemen yang dihasilkan adalah sebanyak 50 elemen.

Ilustrasi penggunaan fungsi logspace adalah sebagai berikut:

-->x = logspace(1,2,4) x = 10. 21.544347 46.415888 100.

Fungsi-Fungsi untuk Membuat Suatu Matrik

Scilab juga menyediakan fungsi-fungsi yang dapat digunakan untuk membuat beberapa

matrik khusus. Fungsi-fungsi tersebut yaitu ones, zeros, eye, diag dan rand.

Ones

Fungsi ones(m,n) akan menghasilkan suatu matrik berukuran m n dimana semua

elemennya mempunyai nilai satu.

-->A = ones(3,4) A = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. -->B = ones(3,1) B = 1. 1. 1.

Fungsi ones juga dapat menerima argumen berupa suatu matrik. Statemen ones(X) akan

menghasilkan suatu matrik satuan yang berukuran sama dengan matrik X.

-->C = [4 5 1; 4 4 2]; -->D = ones(C) D = 1. 1. 1. 1. 1. 1.


Zeros

Fungsi zeros(m,n) akan menghasilkan suatu matrik berukuran m n dimana semua

elemennya mempunyai nilai nol.

-->X = zeros(2,3) X = 0. 0. 0. 0. 0. 0.

Argumen dari fungsi zeros juga dapat berupa suatu matrik. Fungsi zeros(X) akan

menghasilkan suatu matrik nol yang berukuran sama dengan matrik X.

Eye

Fungsi eye(m,n) akan menghasilkan suatu matrik identitas yang berukuran m n.

-->I = eye(3,3) I = 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. -->J = eye(2,5) J = 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.

Fungsi eye juga dapat menerima argumen berupa suatu matrik. Statemen eye(X) akan

menghasilkan suatu matrik identitas yang berukuran sama dengan matrik X.

Rand

Fungsi rand dapat digunakan untuk membuat suatu matrik yang elemen-elemennya

merupakan bilangan random. Sintak dari fungsi rand adalah sebagai berikut:

A = rand(m,n,dist)

A = rand(X,dist)

dimana m dan n adalah jumlah baris dan kolom matrik yang akan dibuat, X adalah

sembarang matrik dan dist adalah distribusi dari bilangan random. Apabila argumen

fungsi rand berupa suatu matrik X maka matrik bilangan random yang dihasilkannya akan


mempunyai dimensi yang sama dengan dimensi matrik X.

Terdapat dua pilihan untuk argumen dist yaitu:

'uniform' untuk membuat bilangan random yang mempunyai distribusi seragam

dalam range [0,1]

'normal' untuk membuat bilangan random yang mempunyai distribusi normal

dengan nilai rata-rata 0 dan deviasi standar 1.

Argumen dist bersifat opsional apabila tidak dipergunakan maka bilangan random akan

dibuat dengan menggunakan distribusi seragam.

Berikut ilustrasi dari fungsi rand.

-->x = rand(2,4) x = 0.8782165 0.5608486 0.7263507 0.5442573 0.0683740 0.6623569 0.1985144 0.2320748 -->Y = rand(3,3,'normal') Y = - 0.1884803 - 1.3874078 0.0698768 0.4241610 2.7266682 - 2.8759126 - 1.0327357 - 0.7123134 - 1.3772844

Diag

Fungsi diag dapat digunakan untuk membuat sebuah matrik diagonal. Misalkan v adalah

sebuah vektor maka fungsi diag(v) akan menghasilkan suatu matrik yang elemen-elemen

diagonalnya merupakan elemen-elemen dari vektor v.

-->d = [1 2 3 4]; -->D = diag(d) D = 1. 0. 0. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 0. 3. 0. 0. 0. 0. 4.

Selain itu, fungsi diag juga dapat digunakan untuk mengekstrak elemen-elemen diagonal

suatu matrik, seperti pada contoh di bawah ini.


-->A = [9 8 7;6 5 4;3 2 1] A = 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. -->diag(A) ans = 9. 5. 1.

Konkatenasi

Konkatenasi merupakan operasi penggabungan beberapa vektor atau matrik sehingga

menjadi sebuah vektor atau matrik baru yang lebih besar. Seperti pada operasi pembuatan

suatu vektor atau matrik secara manual, operasi konkatenasi juga dilakukan dengan

menggunakan operator kurung-siku kanan dan operator kurung-siku kiri ([ ]).

Beberapa contoh operasi konkatenasi adalah sebagai berikut:

-->V1 = [1 2 3 4]; -->V2 = [5 6 7 8]; -->V3 = [11 12 13 14]; -->V4 = [15 16 17 18]; -->P = [V1 V2] P = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. -->Q = [V1 V2; --> V3 V4] Q = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. -->N1 = [1 2 3 4 5]; -->N2 = [10 20 30; 11 21 31]; -->N3 = eye(2,2);


-->N = [N1; N2 N3] N = 1. 2. 3. 4. 5. 10. 20. 30. 1. 0. 11. 21. 31. 0. 1.

Operasi konkatenasi hanya dapat dilakukan terhadap vektor-vektor atau matrik-matrik

yang mempunyai dimensi yang konsisten. Apabila persyaratan tersebut tidak dipenuhi

maka akan muncul sebuah pesan kesalahan seperti pada contoh di bawah ini.

-->A = [1 2 3]; -->B = [4 5 6 7]; -->X = [A; B] !--error 6 inconsistent row/column dimensions

Dimensi Matrik

Informasi mengenai dimensi dari suatu matrik dapat diperoleh dengan menggunakan

fungsi size yang mempunyai sintaks sebagai berikut:

[nr,nc] = size(A)

dimana nr dan nc adalah jumlah baris dan kolom dari matrik atau vektor A. Fungsi size juga

dijalankan dengan argumen output tunggal, sebagai berikut:

n = size(A)

Output dari sintak ini adalah suatu vektor baris, dimana elemen pertama dan keduanya

masing-masing menyatakan jumlah baris dan jumlah kolom matrik A.

Berikut ini contoh penggunaan fungsi size.

-->A = [1 1 0 1; 1 0 2 0; 0 -2 2 -4]; -->[nr,nc] = size(A) nc = 4. nr = 3.


Jumlah semua elemen yang terdapat pada suatu vektor atau matrik dapat diketahui dengan

menggunakan fungsi length, seperti yang ditunjukkan pada contoh-contoh di bawah ini.

-->length(a) ans = 5. -->length(A) ans = 12.

Merubah Dimensi Matrik

Suatu matrix dapat dirubah dimensinya dengan fungsi matrix dengan sintaks sebagai

berikut:

matrix(A, m, n)

dimana A adalah matrik yang akan dirubah dimensinya, kemudian m dan n adalah ukuran

dimensi dari matrik yang baru. Jika yang dirubah dimensi baris atau kolomnya saja maka

angka -1 digunakan sebagai nilai argumen untuk dimensi lainnya yang tidak ditentukan.

Berikut ini ilustrasi penggunaan fungsi matrix.

-->V = 1:12; -->M = matrix(V,3,4) M = 1. 4. 7. 10. 2. 5. 8. 11. 3. 6. 9. 12. -->A = [1:4 ; 5:8 ; 9:12] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. -->B = matrix(A, 2, 6) B = 1. 9. 6. 3. 11. 8. 5. 2. 10. 7. 4. 12.


-->C = matrix(A, -1, 4) C = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Dimensi dari matrik yang dihasilkan oleh fungsi matrix harus sesuai atau kompatibel

dengan dimensi dari matrik lama. Apabila persyaratan ini tidak dipenuhi maka akan

muncul suatu pesan kesalahan seperti pada contoh di bawah ini.

-->X = matrix(A,5,3) !--error 60 argument with incompatible dimensions

Mengekstrak Elemen-Elemen Suatu Vektor

Elemen ke-i dari suatu vektor v dapat diekstrak dengan notasi sebagai berikut:

v(i)

Pada operasi ini, simbol $ dapat digunakan untuk menyatakan indek dari elemen yang

terakhir. Berikut ini ilustrasi proses ekstrasi elemen-elemen suatu vektor.

-->a = [1 3 5 7 9]; -->a(2) ans = 3. -->a($) ans = 9.

Semua elemen vektor yang terletak pada indek ke-i sampai ke-j dapat diekstrak dengan

cara sebagai berikut.

v(i:j)

Elemen-elemen vektor yang letaknya tidak berurutan juga dapat diekstrak dengan

menggunakan notasi sebagai berikut:

v([i k p . . .])

dimana i, k, p adalah letak atau indek dari elemen-elemen yang akan diekstrak.


Berikut ilustrasi proses ekstraksi beberapa elemen vektor sekaligus.

-->a = [1 3 5 7 9]; -->b = a(2:4) b = 3. 5. 7. -->c = a([5 1 3]) c = 9. 1. 5.

Mengekstrak Elemen-Elemen Suatu Matrik

Elemen yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n dari suatu matrik X dapat diekstrak

dengan notasi sebagai berikut:

X(m,n)

Pada operasi ini, simbol $ dapat digunakan untuk menyatakan baris terakhir atau kolom

terakhir.

Berikut ini beberapa contoh proses ekstraksi elemen-elemen suatu matrik.

-->A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. -->a12 = A(1,2) a12 = 2. -->b = A(2,$) b = 6. -->A($,$) ans = 9.


Elemen-elemen matrik X yang terletak pada baris ke-i dapat diekstrak dengan sintaks

sebagai berikut:

X(i,:)

Kemudian untuk mengekstrak semua elemen matrik X yang terletak pada kolom ke-j

sintaknya adalah sebagai berikut.

X(:,j).

Berikut ini ilustrasi ekstraksi elemen-elemen matrik yang terletak pada suatu baris atau

kolom tertentu.

-->A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. -->A(3,:) ans = 9. 10. 11. 12. -->A(:,$) ans = 4. 8. 12. 16.

Elemen-elemen matrik X yang terletak pada baris ke-i sampai baris ke-j serta kolom ke-m

sampai kolom ke-n dapat diekstrak dengan sintaks sebagai berikut:

X(i:j, m:n)

Pada operasi ini, simbol titik-dua (:) juga dapat digunakan untuk menyatakan elemen-

elemen yang terletak pada semua baris atau semua kolom yang dimaksud.

-->A(2:3, 2:4) ans = 6. 7. 8. 10. 11. 12.


-->A(3:4, :) ans = 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Beberapa elemen matrik yang letaknya tidak berurutan dapat diekstrak secara serentak

dengan sintaks sebagai berikut:

X([p q ...], [r s ...])

dimana p q ... adalah indek untuk posisi baris, kemudian r s ... adalah indek untuk

posisi kolom.

-->A([1 2], [2 4]) ans = 2. 4. 6. 8.

Elemen-elemen matrik yang diekstrak harus berada di dalam dimensi matrik. Apabila

elemen yang diekstrak berada di luar dari dimensi matrik maka akan muncul sebuah pesan

kesalahan seperti pada contoh di bawah ini.

-->A(4,5) !--error 21 invalid index

Merubah Nilai Elemen Suatu Vektor atau Matrik

Elemen-elemen yang terdapat pada sebuah matrik atau vektor juga dapat dirubah nilainya

dengan menggunakan statemen penugasan, seperti yang terlihat pada contoh-contoh di

bawah ini.

-->x = [1 2 4 6]; -->x(2) = 3 x = 1. 3. 4. 6. -->x($) = 12 x = 1. 3. 4. 12.


-->A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. -->A(4,4) = 0 A = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 0. -->A(2,:) = [0 1 0 0] A = 1. 2. 3. 4. 0. 1. 0. 0. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 0. -->A(3:4, 1:3) = zero(2,3) A = 1. 2. 3. 4. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 12. 0. 0. 0. 0.

Seperti yang terlihat pada contoh-contoh di atas, notasi untuk menyatakan indek dari

elemen-elemen matrik atau vektor yang akan dirubah nilainya adalah sama seperti notasi

yang digunakan pada proses ekstraksi elemen-elemen matrik atau vektor.

Apabila indek atau posisi dari elemen yang akan dirubah nilainya berada di luar dari

dimensi matrik atau vektor maka dimensi dari matrik atau vektor akan bertambah secara

otomatis. Pada operasi ini elemen-elemen baru lainnya yang nilainya tidak didefinisikan

akan diisi dengan nilai nol.

-->X = [1 2 3 4]; -->X(7) = 7 X = 1. 2. 3. 4. 0. 0. 7.


-->Z = ones(3,3); -->Z(3,5) = 2 Z = 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 2.

Menghapus Elemen-Elemen Suatu Vektor atau Matrik

Elemen-elemen yang terdapat pada suatu vektor atau matrik dapat dihapus sehingga

menjadi sebuah vektor atau matrik baru yang lebih kecil. Notasi posisi elemen-elemen

vektor atau matriks adalah sama seperti notasi pada proses ekstraksi elemen-elemen

vektor atau matrik.

Berikut ini beberapa contoh operasi penghapusan elemen-elemen suatu vektor atau

matrik.

-->A = [1 2 3 4 5 6 7]; -->A(4) = [ ] A = 1. 2. 3. 5. 6. 7. -->xyz = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] xyz = 16. 3. 2. 13. 5. 10.

Documents

Pengenalan Scilab: Perangkat Lunak Gratis untuk Komputasi Numerik dan Visualisasi Data