MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISISModel matematis suatu sistem :

Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem

yang bersangkutan.

Dengan mengteahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.

Sistem

INPUT OUPUT

R(s) C(s)

Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem.

R(s) = transformasi Laplace dari input

C(s) = transformasi Laplace dari output

G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem.

C(s) = G(s).R(s)

Transfer function :

model matematis sistem ekuivalen dengan transfer function.

Transfer function / fungsi alih :

Perbandingan antara transformasi laplace dari output dengan transformasi laplace dari

inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal = 0.

1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran)

k = konstanta pegas

m = massa

f = koefisien gesekan (piston)

carilah transfer function sistem mekanis diatas !

Solusi :

F = m.a

F – k.x – f. = m.

F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms2X(s)

F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)

1.

G(s)

J = momen inersia

f = koefisien gesek

= kecepatan sudut (output)

T = torsi (input)

= percepatan sudut

= pergeseran sudut

J = T

J = T-f.

Js(s) = T(s) – f(s)

T(s) = (Js +f) (s)

eI = ………………(1)

e0 = ………………(2)

Transformasi Laplace :

1 EI(s) = Ls I(s) + R I(s) +

2 E0(s) = I(s) = C s E0(s)

21:

EI(s) = L C s2 E0(s) + R C E0(s) + E0(s)

EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)

(Buktikan !!!)

Bila kedua rangkaian RC

disamping tidak dianggap

terpisah.

EI = R1.i1 + ………………… (1)

0 = ………..(2)

e0 = ………………….(3)

Transformasi Laplace :

1

2

3

Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan diatas menghasilkan :

Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap terpisah.

Transfer Function :

X1(s) X2(s) X3(s)

X

X1(s) X3(s)

BLOK DIAGRAM (DIAGRAM KOTAK)Blok diagram : Suatu pernyataan grafis untuk menggambarkan sistem pengaturan.

Elemen-elemen blok diagram :

a. PROSES atau TRANSFER FUNCTION

b. ELEMEN PENJUMLAHAN

A C C = A - B

G1(s) G2(s)

G1(s) G2(s)

TRANSFER FUNCTION G(s)

B

c. PERCABANGAN

BLOK DIAGRAM LENGKAP UNTUK SISTEM SEDERHANA :

R(s) = input

C(s) = output

G(s) = transfer function “feedforward”

H(s) = transfer function “feedback”

G(s)H(s) = transfer function “open-loop”

Transfer function “closed-loop” :

E(s) = R(s) – B(s) ……….. (1)

B(s) = C(s) . H(s) ………. (2)

C(s) = E(s) . G(s) ………..(3)

21 : E(s) = R(s) – C(s).H(s) ……..(4)

43 : C(s) = (R(s) – C(s).H(s)) G(s)

C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s)

Contoh :

SISTEM CLOSED-LOOP (SISTEM TERTUTUP) DENGAN DISTURBANSI :

N(s) = Disturbance

a. N(s) = 0

b. R(s) = 0

Atau

output total :

BLOK DIAGRAM SISTEM FISIS :

EI = R.i + .…. (1)

E0 = ….. (2)

Transformasi Laplace :

1 EI(s) = RI(s) +

2 E0(s) = I(s)Cs1

21 : EI(s) = RI(s) + E0(s)

RI(s) = EI(s) – E0(s)

I(s) =

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : I(s) =

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : E0(s) = I(s)

E0(s)

BLOK DIAGRAM RANGKAIAN RC

Atau :

ATURAN PENYEDERHANAAN BLOK DIAGRAM

Contoh : Hitung u/ sistem yang mempunyai blok diagram sebagai berikut :

MENDAPATKAN TRANSFER FUNCTION DARI SISTEM FISIS1 MOTOR DC DENGAN PENGATURAN JANGKAR

Ra = tahanan jangkar

La = induktansi jangkar

ia = arus jangkar

if = arus medan

ea = tegangan jangkar

eb = emf terinduksi

= perpindahan sudut dari poros / batang meter

T = torsi

J = momen inersia total

f = koefisien geseran total

Persamaan Sistem :

(1) ea = Ra.ia + La.

(2) eb = K . n . = c . n = c .

(3) T = KI . . Ia = cI . ia

(4) J. + f . = T

Transformasi Laplace :

(1) Ea(s) = Ia(s) [Ra + La . s] + Eb(s)

(2) Eb(s) = c . (s)

(3) T(s) = CI.Ia(s)

(4) T(s) = (s) [Js +f]

(1) Ia(s) [Ra + Las] = Ea(s) – Eb(s)

(2) Eb(s) = c . (s)

(s) Eb(s)

(3) T(s) = cI . Ia(s)

Ia(s) T(s)

C

CI

(4) (s) = T(s)

T(s) (s)

Blok Diagram Sistem :

2 SISTEM LEVEL CAIRAN

A)

qI = aliran air yg masuk

q0 = aliran air yang keluar

R = tahanan kran

C = kapasitas tangki

h = tinggi air

(1) h = q0 . R H(s) = R Q0(s)

(2) C.sH(s) = QI(s) – Q0(s)

H(s) = R [QI(s) – CsH(s)]

[RC.s + 1] H(s) = RQi(s)]

B)

Tangki 2 :

q0 = Q0(s) = …. (1)

C2 = qm – q0 C2sH2(s) = Qm(s) – Q0(s) ….(2)

Tangki 1 :

(1) H2(s) Q0(s)

Penggabungan :

=

SIGNAL FLOW GRAPH (GRAF ALIRAN SINYAL)HUBUNGAN ANTARA SIGNAL FLOW GRAPH DENGAN BLOK DIAGRAM

BLOK DIAGRAM SIGNAL FLOW GRAPH

R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)

SIFAT-SIFAT SIGNAL FLOW GRAPH

(a) x a y y = a . x

(b) x a y b z x a.b z

G(s)

(c)

(d)

DEFINISI

x1, x2, x3, x4 node (simpul)

G1, H2, G2, G3, H1 transmittance / gain

x1 input node (source)

x4 output node (sink)

x2, x3 mixed node

G1 G2 G3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain)

Gain lintasan tertutup :

G1, G2, H2 / G2, H2, G1

G2, G3, H1

Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut tidak melintasi suatu transmittance yang sama.

x1 x1

a acx3 c

x4 x4

b bc

x2 x2

Contoh :

Gain lintasan maju : 1) G1 G2 G3 G4 G5

2) G1 G2 G6 G5

gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1 3) G4 G5 H3

2) G2 G3 H2 4) G2 G6 G5 H3 H2

TEORI MASON

P = fungsi alih / tranfer function total

=

PI = gain / transmittance lintasan maju ke I

LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan

LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan

I = bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang

menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan

Contoh :

P1 = G1 G2 G3 G4 G5

P2 = G1 G2 G5 G6

L1 = G1 G2 H1 L3 = G4 G5 H3

L2 = G2 G3 H2 L4 = G2 G5 G6 H2 H3

Dua buah lintasan tertutup yang tidak bersinggungan

L1 L3 = G1 G2 G4 G5 H1 H3

L2 L3 = G2 G3 G4 G5 H2 H3

= 1 – L1 – L2 – L3 – L4 + L1 L3 + L2 L3

1 = 1

2 = 1

soal latihan :