Pengendalian Proses

Pengendalian ProsesKelakuan Dinamik Sistem Orde DuaApa sistem orde dua?Sistem orde dua adalah bila output sistem y (t) merupakan penyelesaian persamaan differensial orde dua. Seperti persamaan berikut:

Jika ao 0, persamaan (11.1) menghasilkan:

.. (11.1)

.. (11.2)Apa sistem orde dua?dengan,

= natural period sistem osilasi = damping factor (faktor peredam)Kp = steady state gain atau static gain sistem

.. (11.2)

Apa sistem orde dua?Dalam bentuk variabel deviasi dan kondisi awal = 0 ; Transformasi Laplace Persamaan (11.2):

Contoh sistem pembentuk orde dua.Proses multikapasitas yang terdiri dari dua atau lebih sistem orde satu (1) yang tersusun dalam rangkaian seri.

.. (11.3)Apa sistem orde dua?Inherently second order system, yaitu sistem dengan komponen fluida atau padatan yang memiliki inertia dan/atau memiliki percepatan.Proses dengan sistem perangkat kendali.

Dalam industri kimia, orde dua atau lebih yang sering ditemui tergolong pada 1 dan 3.Respon dinamik sistem orde duaUntuk melihat ciri sistem berorde dua, ditinjau respons dinamik sistem orde dua karena perubahan input yang berupa step.Perubahan input f (t) yang berupa fungsi step pada persamaan (11.2), menghasilkan:

Dua buah poles dari fungsi transfer pada pers. (11.4) ditentukan oleh persamaan karakteristik.

.. (11.4)Respon dinamik sistem orde duayaitu: dan

Sehingga pers. (10.14) menjadi:

.. (11.6)Respon dinamik sistem orde duaBentuk respons y (t) tergantung pada letak (lokasi) poles P1 dan P2 dalam koordinat bilangan kompleks.Dari harga P1 dan P2 dapat terjadi 3 kemungkinan yang berupa kasus berikut :Kasus A : > 1, didapat dua poles bilangan riil yang berbeda.Kasus B : = 1, didapat dua poles bilangan riil yang sama.Respon dinamik sistem orde duaKasus C : < 1, didapat dua poles dengan pasangan dua bilangan kompleks.Kasus A : >1, dikenal dengan overdamped response.Untuk kasus ini invers pers. (10.16), dengan ekspansi parsial menghasilkan:

.. (11.7)Respon dinamik sistem orde duacatatan,

Respons sistem untuk berbagai harga ditunjukkan pada gambar berikut

Respon dinamik sistem orde dua

Respon dinamik sistem orde duaDibandingkan dengan sistem orde 1, respons overdamped pada awalnya mengalami perlambatan dan kemudian respons berlangsung lamban. Respons akan lebih lamban dengan kenaikan .Harga akhir respons didekati dengan asimtotis.Seperti halnya sistem orde 1, Kp pada sistem orde 2 dinyatakan:

Respon dinamik sistem orde duaOverdamped merupakan respons proses dengan multi kapasitas yang dihasilkan dari kombinasi sistem orde satu dalam rangkaian seri.

Kasus B: = 1, Critically damped responseUntuk kasus ini invers pers. (10.6) memberikan:

.. (11.8)Respon dinamik sistem orde duaRespons orde kedua dengan critical-damping mendekati harga akhirnya lebih cepat dari yang dihasilkan sistem dengan overdamped.Kasus C: < 1, Underdamped responseUntuk kasus ini invers persamaan (10.6) menghasilkan:

.. (11.9)Respon dinamik sistem orde duadengan:

Kurva y(t)/Kp vs t/ untuk berbagai harga .

Respon dinamik sistem orde duaDari kurva dapat ditarik kesimpulan :Respons underdamped pada awalnya lebih cepat dari response critically damped maupun overdamped yang berubah dengan lamban (sluggish).Respon dinamik sistem orde duaMeski respons underdamped pada awalnya cepat dan mencapai harga akhirnya lebih awal, tidak berhenti langsung tapi berosilasi terus dengan amplitudo yang berkurang dengan cepat. Kelakuan response yang berosilasi merupakan ciri khas underdamped response yang membedakannya dari yang lain.Osilasi output semakin besar dengan harga yang makin kecil.

Respon dinamik sistem orde duaRespons underdamped pada pabrik kimia disebabkan interaksi sistem pengendali dengan unit proses yang dikendalikan. Tipe respons seperti ini akan sering ditemui, sehingga diperlukan pemahaman yang baik terhadap karakteristiknya.

Respon dinamik sistem orde duaCiri-ciri respons underdamped.

Respon dinamik sistem orde duaOvershoot: yaitu rasio A/B

Decay ratio: yaitu rasio C/A

.. (11.11).. (11.12)Respon dinamik sistem orde duaPeriod of oscillation: T = frekwensi radian = = 2ff = 1/TT =

.. (11.13)Respon dinamik sistem orde duaNatural period of Oscillation: TnSistem orde dua tanpa damping, = 0 memiliki fungsi transfer:

Sistem yang berosilasi secara kontinyu dengan amplitudo yang tetap dan frekwensi natural n = 1/,Serta periode osilasi natural Tn = 2..

.. (11.14)Respon dinamik sistem orde duaResponse time adalah waktu yang diperlukan respons untuk pertama kalinya mencapai + 5 % harga akhir respons.Rise time merupakan waktu yang diperlukan untuk pertama kalinya respons mencapai batas harga akhirnya. Untuk yang lebih kecil, rise time lebih pendek atau dengan kata lain respons sistem lebih cepat tetapi harga overshoot akan lebih besar.Respon dinamik sistem orde duaCatatan:Tujuan perancangan sistem pengendali merupakan pemilihan yang tepat harga dan sehingga dihasilkan overshoot yang rendah, decay ratio kecil dan response time yang pendek.Akan sering ditemui bahwa tidak mungkin memenuhi kriteria di atas dengan harga dan yang sama sehingga perlu ditetapkan harga dan sebagai harga kompromi yang dapat diterima.Respon dinamik sistem orde duaCatatan:Bila massa atau energi mengalir melalui kapasitas tunggal akan diperoleh sistem orde satu. Jika aliran massa atau energi melewati dua kapasitas yang dipasang seri, sistem akan berkelakuan sebagai sistem orde dua.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaUntuk sistem yang dipasang seri, dapat dibedakan dalam 2 kategori :non-interacting capacities atau non-interacting first order systems in series.interacting capacities atau interacting first order systems in series.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaProses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaPada tangki yang tidak beriteraksiTangki 1 memberi umpan ke tangki 2, sehingga tangki mempengaruhi tangki 2 sebaliknya tangki 2 tidak memberi pengaruh terhadap kelakuan tangki 1.Pada tangki yang beriteraksiTangki 1 mempengaruhi tangki 2, juga sebaliknya tangki 2 mempengaruhi tangki 1.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaKapasitas yang tidak berinteraksi (non-interacting capacities).Sistem yang tersusun dari dua kapasitas yang tidak berinteraksi dapat dijelaskan dengan persamaan differential dalam bentuk umum:

.. (11.17a)

.. (11.17b)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaSistem 1 mempengaruhi sistem ke 2 dengan outputnya.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaPenyelesaian pers. (10.7a) dan (10.7b) merupakan karakteristik kapasitas tangki seri yang tidak berikteraksi. Fungsi transfernya masing-masing, adalah:

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaFungsi transfer keseluruhan antara f1(t) dan y2(t) adalah:

atau,

dengan: ()2= p1.p2; 2= p1 + p2; Kp= Kp1. Kp2

.. (11.18)

.. (11.19)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaDari persamaan (11.19) terlihat respons keseluruhan sistem merupakan sistem orde dua.Dari persamaan (11.18) harga poles sistem merupakan bilangan riil dan berbeda: p1 = - 1/p1 dan p2 = - 1/ p2 Jika p1 = p1 akan diperoleh poles yang sama.Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaKesimpulan:Sistem yang tersusun dari dua non-interacting capacities, selalu menghasilkan sistem orde dua yang overdamped atau critical damped dan tidak pernah menghasilkan sistem underdamped.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaLihat respons sistem non-interacting karena adannya perubahan input sebagai unit step pada persamaan (11.7) untuk kasus overdamped dan pada persamaan (11.8) untuk kasus critically damped.Bentuk persamaan yang sepadan dengan pers.(11.7) dapat diturunkan dari pers. (11.18):

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duadiperoleh,

dimana : Kp = Kp1.Kp2

Untuk kasus N kapasitas, fungsi transfer overall adalah:

.. (11.20)

.. (11.21)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaContoh 11.1 Dua tangki disusun dalam seri membentuk sistem yang tidak beriknteraksi. Fungsi transfer untuk masing-masing tangki [lihat contoh 10.1] adalah:

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duadengan, Kp1 = R1; Kp2 = R2; p1 = A1R1 dan p2 = A2R2 dan h1, h2. F1. merupakan bentuk deviasi, karena:F1 = h1/R1 maka fungsi transfer overall adalah:

.. (11.22)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaDari pers. (11.22) terlihat hubungan antara input Fi(s) dengan output akhir (h2(t) menghasilkan sistem orde dua overdamped.Dengan pers. (11.20) respon untuk kapasitas dua yang tidak berinteraksi dengan p1 p2 adalah:

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaProses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaCatatan:Respons sistem kapasitas ganda yang overdamped terhadap perubahan input berupa step berbentuk s; yaitu pada awal respons berlangsung lambat, kemudian cepat dan lambat kembali.Ciri sistem kapasitas ganda memberi kelambatan pada awalnya yang lazim disebut delay atau transfer lag.Penambahan jumlah kapasitas yang dipasang seri menyebabkan delay pada awal respons semakin terasa.Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaInteraction capacites

42Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaNeraca massaTangki 1 =

Tangki 2 =

Asumsi: F1 =

F2 =

.. (11.23a).. (11.23b)

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaPersamaan (11.24a) dan (11.24b) harus diselesaikan secara simultan.

.. (11.24a).. (11.24b)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaPenyelesaian persamaan model-matematika sistem interacting yang simultan merupakan ciri yang membedakan sistem interacting dengan sistem non-interacting, dan memberi indikasi saling pengaruh dari masing-masing unit.Pada keadaan steady state:h1,s h2,s = R1Fi,s .... (11.25a)

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaKurangkan pers. (11.25a) dari pers. (11.24a) dan pers. (11.25b) dari pers. (11.24b), setelah memasukkan variabel deviasi, diperoleh:

.. (11.25b)

.. (11.26a)

.. (11.26b)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duadengan, h1 = h1 h1,s; h2 = h2 h2,s; dan Fi = Fi Fi,s.

Transformasi Laplace pers. (11.26a) dan (11.26b) diperoleh:

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duadengan, p1 = A1R1 dan p2 = A2R2 maka penyelesaian persamaan menghasilkan:

.. (11.27a)

.. (11.27b)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaRespons kedua tangki terhadap perubahan input merupakan orde dua.Perbedaan dalam penyebut pada respons h1(s) terhadap input Fi(s) dari sistem interacting dengan non-interacting terletak pada faktor A1.R2. Faktor ini dikenal sebagai interaction factor.Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaCatatanDari persamaan (11.27b), poles fungsi trnasfer adalah:

> 0, sehingga poles p1 dan p2 merupakan bilangan riil dan berbeda. Sehingga respon interacting capacitive selalu overdamped.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaKarena respons overdamped dengan poles p1 dan p2 yang berbeda, pers.(11.27b) dapat ditulis,

dimana: 1 = - 1/p1 dan 2 = - 1/p2,

.. (11.29)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaDua interacting capacities dapat dipandang sebagai non-interacting capacities dengan modifikasi konstanta waktu.Dua tangki yang saling berinteraksi mempunyai konstanta waktu p1 dan p2. Bila dipandang sebagai dua tangki yang tak saling berinteraksi, konstanta waktunya 1 dan 2.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaBila dianggap p1 = p2 = , perbandingan 1 dan 2

Efek interaksi menyebabkan perubahan rasio konstanta waktu antara kedua tangki respons satu tangki menjadi lebih cepat dan yang lainnya menjadi lebih lambat.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaTangki dengan respons yang lebih lambat menjadi pengendali respons keseluruhan, dan response keseluruhan akan lebih lamban.Sistem saling berinteraksi memberi respons yang lebih lamban dibanding sistem yang tak saling berinteraksi.

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaContoh 11.2. Dinamika dua tangki yang saling berinteraksi.Jika 2 tangki berinterkasi (Gambar 11.4b) dengan A1 = A2, R1 = R2/2; p1 = p2/2 = . Dari pers (11.27b) diperoleh:

.. (11.30)Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaBila ada perubahan input berupa fungsi step, dan inversi menghasilkan:

atau

Jika kedua tangki tak saling berinteraksi, fungsi transfernya adalah:

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duasetelah inversi diperoleh:

atau

Analisis terhadap perbandingan kedua sistem:Kedua sistem sama-sama overdamped

Proses-proses multikapasitas sebagai sistem orde duaNon-InteraksiInteraksiKonstanta Waktu dan 20,44 dan 4,56Rasio Konstanta Waktu = 0,50,11/4,56 = 0,1Inherently Second-order ProcessesKelakuan sistem yang berkaitan dengan orde dua dalam bentuk ini jarang ditemui dalam instalasi gerak massa fluida atau transaksi mekanik, dan memiliki sifat :inersia untuk bergerak.tahanan untuk bergerak.kapasitas untuk menyimpan energi.(1), (2), (3) merupakan ciri orde 1, inherently energi proses orde dua dicirikan inersia untuk bergerak.

Inherently Second-order ProcessesHukum Newtongaya= massa sistem x percepatan = (massa) x dV/dt = m (d/dt) (dL/dt)= m (d2L/dt2)dengan, V = kecepatan linier perpindahan sistem l = jarak perpindahan sistem

Bentuk kuadrat memberi kelakuan orde dua sistem.

Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliKehadiran pengendali dalam suatu proses kdapat merubah orde proses dan menghasilkan bentuk lain kelakuan dinamik proses tersebut.Contoh 11.4 merupakan contoh proses orde pertama yang berkelakuan dinamik orde dua karena ada sistem pengendali.

Sistem Orde Dua Karena Kehadiran Pengendali

Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliNeraca massa pada tangki,

Pada keadaan steady state, 0 = Fi,s - Fo,s ...... (11.34)Dari pers. (11.34) dan (11.33) diperoleh,

.. (11.33)

.. (11.35)Sistem Orde Dua Karena Kehadiran Pengendalidengan, h = h hs; Fi = Fi Fi,s; Fo = Fo Fo,s

Deviasi h digunakan oleh pengendali menambah atau mengurangi laju alir keluar sesuai dengan hubungan,

.. (11.36)Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliKejadian yang mungkin terjadi:Bila h = 0, maka Fo = Fo,s karena tidak bergerakBila h < 0 (arus turun); Fo < Fo,s (pengendali mengurangi laju keluar dan arus akan naik).Bila h > 0 (arus naik); Fo > Fo,s (pengendali menambah laju keluar dan arus akan turun).Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliKelakuan sistem pengendali yang dirumuskan dengan pers. (11.36) dikenal proportional-integral control, karena harga variabel yang dimanipulasi sebanding (proportional) dengan penyimpangan h dan integral penyimpangan h.Bila harga Fo dari pengendalian dilibatkan pada neraca massa, Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliBentuk Transformasi Laplace

atau

.. (11.37)

.. (11.38)Sistem Orde Dua Karena Kehadiran Pengendalidengan

2. = IKp = I/Kc

Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliTergantung pada harga Kc dan I dapat terjadi kasus:

Sistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliSistem Orde Dua Karena Kehadiran PengendaliDari contoh yang telah dibahas terlihat kelakuan dinamik tangki orde pertama dapat berubah menjadi orde dua, bila pengendali PI dilibatkan.Parameter pengendali Kc dan I memberi harga terhadap kelakuan dinamik sistem, respons dapat berubah dari underdamped menjadi over damped.

Class exercise

Homework due to 30/05/15

Homework due to 30/05/15

Have a nice weekend