PENGGUNAAN ALGORITMA NONLINEAR PROGRAMMING ?· pertidaksamaan nonlinear. (Bertsekas, 1999) Algoritma…

Embed Size (px)

Text of PENGGUNAAN ALGORITMA NONLINEAR PROGRAMMING ?· pertidaksamaan nonlinear. (Bertsekas, 1999)...

1

PENGGUNAAN ALGORITMA NONLINEAR PROGRAMMING UNTUK MENGOPTIMALKAN PARAMETER DALAM METODE PEMULUSAN

EKSPONENSIAL SATU PARAMETER

Nama Mahasiswa : Eka Novi Nurhidayati

NRP : 1208 100 040

Jurusan : Matematika

Abstrak Ada beberapa parameter yang harus dievaluasi pada metode pemulusan eksponensial sehingga didapatkan parameter yang optimal yang memberikan ukuran kesalahan peramalan yang paling kecil. Untuk mendapatkan parameter yang optimal biasanya dicari dengan menggunakan metode coba dan salah (trial and error). Beberapa algoritma nonlinear programming dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi tersebut. Dalam tugas akhir ini dicari parameter yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat dengan bantuan software Matlab. Proses untuk mendapatkan nilai optimal dengan menggunakan metode dichotomous search membutuhkan 23 iterasi hingga didapatkan nilai optimal sebesar 0,2648 dan MAPE sebesar 11,8261%. Sedangkan dengan menggunakan metode interpolasi kuadrat membutuhkan empat iterasi dengan hasil yang optimal sebesar 0,2649 dan MAPE sebesar 11,8261%. Dapat dilihat dari hasil tersebut bahwa metode interpolasi kuadrat lebih efektif karena jumlah iterasi yang dibutuhkan lebih sedikit sehingga waktu yang dibutuhkan juga lebih efisien.

Kata kunci : nonlinear programming, metode pemulusan eksponensial

1. Pendahuluan Menurut Makridakis (1989), peramalan (forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel tersebut atau variabel yang berhubungan. Salah satu metodenya adalah metode pemulusan eksponensial. Beberapa metode yang umum digunakan dalam pemulusan eksponensial, yaitu: metode pemulusan eksponensial satu parameter (metode pemulusan eksponensial tunggal, metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown dan metode pemulusan eksponensial tripel satu parameter dari Brown), metode pemulusan eksponensial dua parameter (metode pemulusan eksponensial tunggal: pendekatan adaptif dan metode pemulusan ganda dua parameter dari Holt) dan metode pemulusan eksponensial tripel (tiga parameter) dari Winter..

Ada beberapa parameter yang harus dievaluasi dalam tiap metode pemulusan eksponensial. Pendekatan untuk menentukan parameter yang optimal biasanya dilakukan secara coba dan salah (trial and error). Makridakis (1999) menyatakan bahwa

algoritma nonlinear programming dapat

menyelesaikan masalah optimasi parameter ini dengan baik. Metode yang digunakan dalam algoritma nonlinear programming pada pengerjaan tugas akhir ini adalah metode dichotomous search (pencarian dikotomis) dan metode interpolasi kuadrat. Studi kasus pada tugas akhir difokuskan untuk mendapatkan parameter yang optimal pada metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming. Untuk mengevaluasi nilai parameter peramalan, digunakan ukuran error peramalan, yaitu persentase error absolut rata-rata (mean absolute percentage error). Harga parameter peramalan yang terbaik adalah harga yang memberikan nilai error peramalan yang terkecil. 2. Metode Pemulusan Eksponensial Menurut Makridakis (1999), metode pemulusan eksponensial adalah metode yang menunjukkan penurunan secara eksponensial terhadap pembobotan pada observasi yang

2

lebih tua. Metode pemulusan eksponensial yang digunakan dalam pengerjaan tugas akhir ini adalah metode pemulusan eksponensial tunggal. 2.1 Metode Pemulusan Eksponensial

Tunggal Metode ini menggunakan sebuah parameter yang dibobotkan kepada data yang paling baru dan membobotkan nilai (1- ) kepada hasil peramalan periode sebelumnya (The Jin Ai, 1999) di mana harga terletak antara 0 dan 1. Persamaan umum yang digunakan dalam metode ini adalah: (1) dengan: : ramalan untuk periode waktu (t+1) : data pada periode waktu ke-t : ramalan untuk periode waktu ke-t Menurut (Makridakis, 1999), karena nilai tidak diketahui, maka nilai ini dapat didekati dengan menggunakan nilai observasi pertama dan kemudian dilanjutkan dengan menghitung pada persamaan (1). Kemungkinan lainnya adalah merata-ratakan empat atau lima nilai pertama dalam kelompok data dan menggunakannya sebagai ramalan pertama. 2.2 Ukuran Error Peramalan Ukuran error peramalan digunakan untuk mengevaluasi harga parameter peramalan. Harga parameter peramalan yang terbaik adalah harga yang memberikan nilai error peramalan yang terkecil. Dalam tugas akhir ini, ukuran error peramalan yang akan digunakan adalah persentase error absolut rata-rata (Mean Absolute Pecentage Error). Rumus umum yang digunakan adalah:

MAPE =

Suatu model mempunyai kinerja sangat baguss jika nilai MAPE berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai MAPE berada di antara 10% dan 20% (Zainun dan Majid, 2003). 3. Algoritma Nonlinear Programming

Nonlinear programming dapat diaplikasikan pada suatu kasus dimana fungsi f(x) merupakan nonlinear atau nilai x ditentukan oleh persamaan atau pertidaksamaan nonlinear. (Bertsekas, 1999)

Algoritma nonlinear programming yang digunakan pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 3.1 Metode Dichotomous Search (Pencarian

Dikotomis)

Langkah-langkah pengerjaan pada metode dichotomous search (pencarian dikotomis) untuk meminimalkan nilai f(x) dalam selang [ ] adalah sebagai berikut (Sharma, 2006): 1. Titik dan dipilih sedemikian hingga, = (2) dan anggap bahwa, = (3) 2. Dengan menyelesaikan persamaan (2) dan (3) didapatkan,

3. Setelah mendapatkan nilai dan , berlaku tiga kasus yaitu: a. Jika f , maka (x yang

optimum) terdapat di antara dan . b. Jika f , maka . c. Jika f , maka .

Proses untuk mencari nilai x yang optimal yang meminimalkan nilai f(x) merupakan suatu proses iterasi, di mana proses akan berhenti ketika selisih nilai dan sangat kecil. Saat selisihnya sangat kecil, maka didapatkan nilai x yang optimal sama dengan ( )/2. 3.2 Metode Interpolasi Kuadrat

Dari persamaan umum fungsi kuadrat , dipilih tiga titik , , sehingga didapatkan:

(4)

(5)

(6). Kemudian dengan menyelesaikan persamaan (4), (5) dan (6) diperoleh nilai a dan b sebagai berikut: a=

(7)

b=

(8).

Untuk mendapatkan nilai minimum dari persamaan umum fungsi kuadrat dapat diperoleh dengan menggunakan turunan pertama:

3

Nilai x yang minimum disimbolkan dengan , maka . Langkah selanjutnya substitusikan persamaan (7) dan (8) ke , didapatkan:

Sebuah titik pendekatan awal diberikan dan , dengan adalah panjang langkah. Telah disebutkan di awal bahwa tujuan algoritma ini adalah untuk meminimalkan fungsi f(x), maka titik ketiga dipilih berdasarkan syarat berikut: 1. , jika f( ) < f( ) 2. , jika f( ) > f( ).

Proses untuk mencari nilai yang meminimalkan nilai f(x) merupakan suatu proses iterasi. Untuk mendapatkan keakuratan yang diinginkan, proses iterasi akan berhenti saat nilai yang berurutan selisihnya sangat kecil. 4. Metodologi Penelitian Obyek penelitian yang difokuskan pada tugas akhir ini adalah mendapatkan parameter yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming. Langkah pengerjaan yang dilakukan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: a. Studi Pendahuluan Menurut The Jin Ai (1999), evaluasi parameter peramalan dalam peramalan pemulusan eksponensial dengan satu parameter merupakan permasalahan nonlinear programming yang amat khusus. Fungsi obyektifnya adalah ukuran kesalahan peramalan, masalah yang dihadapi adalah minimasi. Variabel yang ada hanya satu yaitu parameter peramalan, kendala yang ada harga variabel terletak antara 0 dan 1. Secara umum evaluasi parameter peramalan dalam metode pemulusan eksponensial dapat dituliskan sebagai:

Minimasi: y = f() Kendala: 0 1 dengan: y : ukuran error peramalan : parameter peramalan

Untuk menghitung fungsi obyektif pada suatu harga variabel (y = f()) diperlukan

langkah perhitungan yang panjang. Dari semua data pada periode waktu yang diketahui, nilai ramalan untuk masing-masing periode dihitung menggunakan kumpulan persamaan metode yang dikehendaki. Kemudian ukuran kesalahan peramalan dihitung berdasarkan pada periode waktu yang dapat diramalkan dan yang datanya ada. b. Mendapatkan Parameter yang Optimal

Langkah-langkah yang dikerjakan untuk mendapatkan nilai parameter yang optimal adalah sebagai berikut: i. Mendapatkan data, di mana data yang

digunakan pada pengerjaan tugas akhir ini berasal dari Tabel 3-10 buku Metode dan Aplikasi Peramalan (Makridakis, 1999).

ii. Membuat program untuk metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat dengan bantuan software matlab R2010a dan netbook Acer Aspire One Happy dengan CPU Intel Atom N550 serta memori 1GB DDR3.

iii. Memasukkan data ke dalam program sehingga didapatkan output berupa nilai parameter yang optimal.

c. Analisis Hasil Pada tahap ini dilakukan analisis hasil dari metode-metode dalam nonlinear programming yang dipakai, metode manakah yang paling efektif sehingga didapatkan parameter yang paling optimal. Keefektifan program dapat dilihat dari jumlah iterasi. d. Kesimpulan dan Saran.

Pada tahap akhir pengerjaan ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan sebelumnya