PENGGUNAAN INDEFINITE DAN DEFINITE INTEGRALUNTUK KEHIDUPAN KESEJAHTERAAN EKONOMI

SUATU WILAYAH KOTA

Thomas J. Kakiay

Fakultas Teknologi Industri Universitas Gunadarma

Jl. Margonda Raya No. 100, Depok

&rakDalam kehidupan nyata pada suatu wilayah kata besar maupun yang menengah selalu

Udapat persoalan kehidupan ekonotni yang layak pertama untuk menseiahterakan masyarakat

&t penduduk kota tersebut.Persoalan kesejahteraan ini harus dapat dimodelkan atau dibentuk dalam akumulasi

dat (capital) yang merupakan komponen utama dari kepentingan kebutuhan kesejahteraan

furomi wilayah kata tersebut.Dalam hat ini terdapat dua kenyataan yang harus diketahui dan dilaksanakan terlebih

hlaiu, yaitu :futama : Adanya nilai tertentu dari stok modal (capilal stock) sebagai permulaan dari

periode wahu ftiasanya dalam bentuk uang).Hua : Adanya tingkat kelayakan dari investasi baru (net new investrnent) sebgai fungsi

dari waktu (g(t)). Dengan demikian untuk fungsi indefinite integral tersebut dapatdiperoleh suatu jumlah stok modal (capilal stock) pada setiap waWu tertentu(biasanya dalam tahunan) sebagai perjalanan dari permulaan stok modal tahunpertama tersebut.

Dengan demikian terdapat juga untuk aplikasi fungsi definite integral yang akan

diilustrasikan pada suatu perusahaan nasional di wilayah kota tersebut yang mengetahui tentang

I*gsi Marginal Revenue (M.R) untuk penjualan barang kebutuhan pokok (seperti : beras) di

vilayah kota tersebut. Melalui perhitungan integral yang terbatas dari fungsi marginal revenue

tqsebut aknn menjadi fungsi total revenue yang dapat menganalisis setiap pertambahan revenue

&ri spesifikasi penjualan yang meningkat.

l. Pendahuluan

Dalam wilayah kota-kota besar maupun kota menengah akan selalu dihadapkan pada

blayakan kehidupan yang sejahtera dari masyarakat atau penduduk kota-kota tersebut. Pada

dasarnya penggunaan indefinite integral sangat menekankan pada spesifikasi dari hubungan

fingsional untuk akumulasi berbagai macam stok barang (stock of capital goods) atau

lrembentukan modal (capitat formation) yang sangat dibutuhkan pada masyarakat kota-kota

tersebut.Hubungan fungsional ini pada umumnya sering dibahas (dianalisis) pada tingkat nasional

dengan berbagai persoalan ekonominya dan juga pada tingkat wilayah dan kota-kota besar(menengah) dengan terutama membahas kesejahteraan ekonominya; Dalam hal ini apabilapembentukan modal dapat diproses secara terus menerus selama bertahunan'. Demikian pula nilai dari stok kapital pada setiap point dalam waktu, dapat dinyatakansebagai fungsi dari waktu. Tingkat dari pembentukan kapital atau kelayakan pada investasi baruyang mengikuti setiap waktu harus dapat diketahui untuk membahas total stok capital.

Indefinite integral dapat menguraikan suatu fungsi integral untuk pembentukan kapitaldengan mengetahui tingkat dari kelayakan investasi baru pada setiap waktu. Dengan demikiandapat menggunakan notasi :

t - Sebagai waktu dalam tahun, bulan atau hariK(t) : Sebagai nilai stok kapital pada setiap waktu-t

P-8

Penggunaan Indefinite Dan Definite Integral Untuk Kehidupan Kesejahteraan Ekonomi

2. Ilustrasi Indefinite Integral

Pada penggunaan indefinite integral ini dapat dicontohkan suatu grup dari pimpinanperusahaan ingin mengetahui hubungan fungsional untuk pembentukan kapital (capital formation)pada suatu wilayah kota. Dan juga para eksekutif ingin mengetahui hubungan fungsional inisebagai suatu usaha akumulasi kapital yang merupakan komponen yang krusial dari kehidupankesejahteraan wilayah kota tersebut.

Dalam hal ini terdapat dua fakta yang diketahui, yaitu :l. Nilai dari stock capital pada wilayah kota tersebut dengan suatu periode waktu permulaan

sebesar: $17,0 juta.2. Tingkat kelayakan dari investasi baru (net new investment) yang dinyatakan dalam fungsi

waktu, g(t) yang sudah diperhitungkan dan dirumuskan sebagai : g(t) :0r5 trl3, dengan t diukurdalam tahunan.

Sebagai tujuan dari penelitian ini untuk menentukan ekspresi dari fungsi pada nilai kapital dalamjutaan dollar tersebut dinyatakan sebagai fungsi dari waktu K(t). Untuk rnenganalisis hubungan ini,maka kelayakan investasi baru sebagai fungsi, g(t) = 0,5 tr'3 harus diintegral dengan respek fada-t.

Demikian juga nilai konstanta dari integral ini sama dengan kapital stok permulaan atau: $17juta (C: l7), selanjutnya dapat diperoleh:

K(t) =

:

:

0,5 p'o at

t4/3 + C

t4'3 + 17

Je(tl at

!0,5 t"' dt

l8J

8

Dengan ini fungsi : K(t; : lto't *8

yang diatur dalam tahunan setelahsetiap periode waktu tertentu akanbawah ini menunjulJ<an hasilnya.

17 akan memberikan sejumlah stok kapital pada setiap waktu

melalui tahun pertama. Dengan demikian dapat diperkirkandiperoleh : Nilai stok kapital yang diinginkan, dan tabel di

Tabel : Nilai stok kapital dengan wahu (dalam jutaan dollar)

No.Urut.

Periode Waktu(o

Stok KapitalK (t) Konstanta (c) Stock kapital

gq11) + c)1a

5810l315202530

0,3751,6223,2045,9968,07311,45313,96020,33927,39334.917

17t7t7t7t7t71717t7t7

$ 17,375$ 18,622$20,204$22,996$ 25,073$28,453$ 30,960$ 371338

$ 44,383$ 51,917

Pada hasil dari stok kapital yang terdapat dalam tabel di atas akan dapat diuraikan untuk 5(lima) tahun pertama diperoleh stok kapital sebesar : $ 20.204.000,- yang mana hal ini

: tur lDIrJeq u€{nfunllp led"p anua^3J lsur8Jelu ls8urg u€p IeJSeluI uel8Jn8ued'u?[nq red s€roq uol nqu 002 uep uol nqlr 09I eau€r

Bped enuelel l?lol ue>plnfunueul led?p enuaAOJ FutBIBtu Is8urg ears IJBp u€pllele{ ue8uaq

'u"lenluad (a8uer) eere s€lecl eped urryerEolulp pdep sruBq anueler

pur8reur eA-rD[ DI€ru 'rur se:aq qepunles srsrleueEuaut {$un wC 'sereq uol nqlJ gg7 ue8uep

redurss uol nqlr 09I llep lnqesrel e1o4 qe,(eprn uped ueuelnq (saps) uelenfued uelz4Eurued InlBIeu

u")ilrsuqrp ledup Suef enualor I?1ol ueq€cltuel tnqele8uau ur8ur ruI Isuolseu Uzel{esrued

: e,tu:eque8 ueEueq

Og'o - oo? = (O)g: ur,n

.| : ue8uap ue4c1e,(urp 1enFe1 uole Euef 4o4od uBqeq sslpu€ru1ue8uap ueSunqnqreq8ue,( (UfrD anueAa.I luur8reu 1s3ury undepy 'n1uega] e1o1 qu,{e1ur eped (seraq) 4o4oduei{Eq nles uelenfuad 4nlun (onuaau 1eu€nur rs8ury) n,uogcunf anuaiat 7oa13.rcw,, tnqelaSuaurqepns 8ue,{ lsuors€u ueequsruad uep qo}uoc nlens eped uqrqsgp ledep tse4snlt teSeqeg

'"*xuepq-x

zJ€lue (x)g ea-rn4 uep Be:e urslsp ue4e1e{urp iedep lnqesra} {uaunu IIsBI{ tse}uasardar ueqof o

(e)g-(q)g : lf* U = *p(*)4 = (x)cqrq

: ueSuap ue4lnfrmlrp ledep ut teq u€p'pr8elur allugePul ruepp ledepralfluu.{ 1e:3a1ur Elu?}suo{ ue4sndeq8ueur uu4e ueEuemSuad nele ueepaqrad uup uee1e,{ure6

'efuueEunltqrad 4ruun e trutod depeqrel q lurod F?p u?epeqrod ueseieqrolal

uaFuap e,{uyseq Jllelnluq ue4edruaru rut p.6e1ut ellugap IssFturoJ {n}uoq F?C

':r xP(x){ : (x){q

: luades '1erEa1ut {n}uog rssrdsqe urulap usse}eqrals{

e,{uepe qBl?pe npqgp qlqaFel rueqedrp sruuq Suef p:8a1ur allulJap resep uoel leEuqag

pr8alul allugo11 ueeunSSuag 'g

'eie3eu nlsns Ip upe 8ue,{ "tro{-elo{

qer{eprnu6lelelqsfesuau eunS le4Sutuaur sruaueru srual e,(usmeqes 3ue,( p11de1 {ols ue;ppfunuourue4u e,(usrua1as (selaq etulD gI '(qnpdas) 0I suIEIes ueunqsl uzlu48uuad eEn[ ueqnueq

']nqesJ3l

e1o4 qe,(e1y* luuorserado epud rpelra1 Euef uu1e33uefa1-ue1e6?ue[a1 uelqe,yrefllun8Eueileduotu

ledep srueq lnqesrel slol Jlln{oqa uted e8nf 1uI I?t{ u?p '}ngesra} €lol{ qefelur

1e1ue,(suur ue4eralqefasuau {qun lu}lde:t uelolSurued spe >PPq lpereq 1u1 e1n! 91 g redecuauz,(ueq lelldq 1o1s ue8unlqred upqede rmrueu 'yogz'gy : J?seqes uele4Euruad uoplnfunuou

Ft

c)(D

o4(A

g

Tggg sqsnSy Zt.- lZ 'epe>1eg'suuepeunt sslrsJelrun uingolpny(zooz rutlt6;) ua[1s1u1uelqs uep ragdruo;tr 's8utpaacord

g'0 - 00t: Xhtr

0I-d

Penggunaan Indefinite Dan Dehnite Integral Untuk Kehidupan Kesejahteraan Ekonomi

Suatu Wilayah Kota

2AO

F(Q) = MR: Jt+oo-O,3Q) dQ160.

F(Q) = AooQ-0,15 O'l:x(

^ l ( . . . ): (+oo* 200) - (0,1s(200)'l- (400X160) - (0,15X160)' l

: {(8oooo - 6000) - (64000 - 3840)}: {z+ooo-60160}

,=

Sebagai hasil dari perhitungan ini menunjukftan bahwa perusahaan tersebut akan mencapai: $13.840 sebagai tambahan pendapatan bulanan bila penjualan meningkat dari 160 ribu sampaidengan 200 ribu ton (beras) per bulan.

Perhitungan ini berdasarkan pada prinsip bahwa melakukan integral dari fungsi marginalrevsnue akan merubah menjadi fungsi total revenue, sedangkan pembatasan pada integral tersebutakan menjadi tambahan revenue dari spesifikasi kelebihan penjualan.

4. Kesimpulan

Sebagai penelitian dan penguraian indefinite dan definite integral ini dapat diberikanbeberapa kesimpulan berilart ini :o Dengan menggunakan indefinite integral pada tingkat kelayakan dari investasi baru yang

dinyatakan dalam fungsi waktu : g(t) = ctp, dengan cr dan p sebagai konstanta akan dapatmemberikan hasil-hasil (output) yang sangat bermanfaat bagi perkembangan dan pertumbuhandalam kesejahteraan wilayah kota.

. Dalam perhitungan indefinite integral yang dinyatakan dalam fungsi waktu tersebut, diperlukanjuga stok kapital permulaan sebagai modal utama dari wilayah kota tersebut yang seharusnyaterus dilakukan perkembangannya.

o Dengan menggunakan definite integral untuk fungsi marginal revenue dari penjualan suatubahan kebutuhan pokok (beras) pada wilayah kota tertentu akan merubah dan menghasilkanfungsi total revenue yang akan memberikan pemenuhan kebutuhan pokok pada wilayah kotatersebut.

5. Daftar Pustaka

tl] Robert H. Nicholson, Mathematics fo, Business and Economics, NewYork:Mc. Graw-Hill Book Company.

Lzl Mark Hirschey and James L. Pappas., Managerial Economics, Seventh Edition,Printed in the USA, copynght O 1993.