Penggunaan Turunan

  • View
    60

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Semoga Bermanfaat :)

Text of Penggunaan Turunan

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    1/15

    10/30/

    5 1 Menggambar grafik fungsiUntuk menggambar grafik fungsi ada beberapa informasi yang dibutuhkan, diantaranya:

    A. Titik potong dengan sumbux dan sumbuy

    B. Asimtot fungsi

    C. Kemonotonan Fungsi

    D. Ekstrim Fungsi

    E. Kecekungan Fungsi

    F. Titik Belok

    5 Penggunaan Turunan

    A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

    Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dapat dicari dengan mudah. Bila diketahui sebuah

    fungsiy =f(x) maka titik potong sumbux akan terjadi bilaf(x) = 0 dan titik potong sumbuy

    akan terjadi dengan memasukkanx = 0.

    B. Asimtot fungsi

    Definisi :

    Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi.

    Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni

    (i) Asimtot Tegak

    Garis x = cdisebut asimtot tegak dariy =f(x) jika

    (ii) Asimtot Datar

    Garis y = bdisebut asimtot datar dariy =f(x) jika

    (iii) Asimtot Miring

    Garis y = ax+ bdisebut asimtot miring jika

    dan

    )(lim xfcx

    bxfx

    )(lim

    ax

    xf

    x

    )(lim baxxf

    x

    )(lim

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    2/15

    10/30/

    x = a asimtot tegak

    a

    )(lim xfax

    )(lim xfax

    Ini terjadi untuk kasus dimana:

    dan

    x = a asimtot tegak

    Ini terjadi dalam kasus

    )(lim xfax

    )(lim xfax

    a

    Berikut ini adalah gambaran dari Asimtot tegak

    dan

    y= bDari gambar di samping Garis y = b asimtot datarkarena

    Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga.

    Namun jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh grafik fungsi (tidak dipotong lagi)

    bxfx

    )(lim

    Garis y = b merupakan asimtot datar bila:

    ataubxf

    x

    )(lim bxfx

    )(lim

    baxy

    y=f(x)

    Dari gambar di samping Garis y = ax + b

    merupakan asimtot miring

    Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk

    nilai x hingga.

    Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus

    asimtot datar dan asimtot miring

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    3/15

    10/30/

    Contoh soal:

    Tentukan semua asimtot dari

    Jawab :

    (i) Asimtot tegak :x = 2, karena dan

    (ii) Asimtot datar :

    2

    42lim2

    2 x

    xxx

    Jadi asimtot datarya tidak ada.

    2

    42)(

    2

    x

    xxxf

    2

    42lim

    2

    2 x

    xx

    x

    )(

    )1(lim

    2

    42lim)(lim

    2

    2

    212

    4222

    xx

    xx

    xxx x

    x

    x

    xxxf

    )(

    )1(lim

    2

    2

    21

    42

    xx

    xx

    x

    xx

    xx

    x

    xf

    a xx

    1

    .2

    42

    lim

    )(

    lim

    2

    xx

    xx

    x 2

    42

    lim 2

    2

    1)1(

    )1(lim

    )1(

    )1(lim

    2

    42

    22

    42222

    x

    xx

    xx

    xx

    x x

    x

    (iii) Asimtot miring

    02

    4lim

    xx

    2

    )2(42lim

    2

    x

    xxxx

    x

    xx

    xxx

    2

    42lim2

    axxfbx

    )(lim

    JadiAsimtot miringnya y =x

    2

    242lim

    22

    x

    xxxx

    x

    1

    1)(

    xxf

    3

    1)(

    xxxf

    1

    2)(

    2

    2

    x

    xxxf

    3

    2)(

    x

    xxf

    Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

    Soal Latihan

    1

    2)(

    2

    2

    x

    xxxf

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    4/15

    10/30/

    C. Kemonotonan Fungsi

    Definisi. Fungsif(x) dikatakan monoton naikpada interval I jika untuk

    Dan monoton turunpada interval I jika untuk

    Ixxxfxfxx 212121 ,,

    x1

    f(x1)

    x2

    f(x2)

    I

    Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

    Ixxxfxfxx 212121 ,,

    Fungsi f(x) monoton turun pada selang I

    f(x1)

    f(x2)

    x1 x2I

    Teorema: Andaikanf diferensiabel di selang I, maka

    Fungsif(x) monoton naik pada I jika

    Fungsif(x) monoton turun pada I jika

    Contoh Soal

    Tentukan selang kemonotonan dari

    Jawab :

    f(x) monoton naik

    f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).

    Ixxf 0)('

    Ixxf 0)('

    2

    42)(

    2

    x

    xxxf

    ),4(dan)0,(pada

    2

    2

    )2(

    )42(1)2)(22()('

    x

    xxxxxf 2

    22

    )2(

    42462

    x

    xxxx

    22

    2

    )2(

    )4(

    )2(

    4

    x

    xx

    x

    xx

    0 2 4

    ++++++---------------------+++++++

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    5/15

    10/30/

    D. Ekstrim Fungsi

    Definisi: Misalkanf(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

    f(c) disebut nilai global darifpada I jika

    f(c) disebut nilai lokal darifpada I jika terdapat selang

    buka yang memuatc sehingga untuk setiapxpada selang buka tadi.

    Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim

    imummin

    maksimumIx

    xfcf

    xfcf

    )()(

    )()(

    imum

    maksimum

    min

    )()(

    )()(

    xfcf

    xfcf

    Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

    Max

    lokal Min

    lokal

    Max

    global Min

    global

    Max

    lokal Min

    lokal

    a b c d e f

    Dari gambar di atas terlihat nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

    Ada tiga jenis titik kritis :

    Titik ujung selang I

    Titik stasioner ( yaitux =c dimana ) ,

    secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))

    Titik singulir (x = c dimana tidak ada ), secara geometris: terjadipatahan pada grafik f di titik (c,f(c))

    0)(' cf

    )(' cf

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    6/15

    10/30/

    Teorema: Dari uji turunan pertama untuk ekstrim lokal didapat

    Jika pada dan pada0)('

    0)('

    xf

    xf

    ),( cc 0)('

    0)('

    xf

    xf

    ),( cc

    Makaf(c) merupakan nilai lokalminimum

    maksimum

    c

    Disebelah kiri c monoton naik

    (f >0) dan disebelah kanan c

    monoton turun (f

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    7/15

    10/30/

    Soal Latihan

    630152)( 345

    xxxxf

    3

    13)(

    2

    x

    xxxf

    2

    12)(

    2

    x

    xxxf

    x

    xxf

    2)1(

    )(

    Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

    1.

    2.

    3.

    4.

    E. Kecekungan Fungsi

    Fungsif(x) dikatakan cekung ke ataspada interval I bila naik pada interval I,

    dan f(x) dikatakan cekung kebawahpada interval I bila turun pada interval I.

    Teorema: Uji turunan kedua untuk kecekungan

    1. Jika , makaf cekung ke atas pada I.

    2. Jika , makafcekung ke bawah pada I.

    )(' xf

    )(' xf

    Ixxf ,0)("

    Ixxf ,0)("

    Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

    x

    y

    x

    y

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    8/15

    10/30/

    2

    42)(

    2

    x

    xxxfTentukan selang kecekungan dari

    Contoh soal

    Jawab :

    2

    2

    )2(

    4)('

    x

    xxxf

    4

    22

    )2(

    )4)(2(2)2)(42()(''

    x

    xxxxxxf

    4

    2

    )2(

    ))4(2)2)(42)((2(

    x

    xxxxx

    3

    22

    )2(

    82882

    x

    xxxx

    3)2(

    8

    x

    Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada selang )2,(

    F. Titik belok

    Definisi :

    Misalf(x) kontinu dix = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belokdari kurvaf(x) jika :

    terjadi perubahan kecekungan dix = b, yaitu di sebelah kirix =b, fungsifcekung ke

    atas dan di sebelah kanan x =b fungsifcekung ke bawah atau sebaliknya.

    x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.f b"( ) 0 )(" bf

    c

    f(c)

    (c,f(c)) titik belok

    c

    f(c)

    (c,f(c)) titik belok

    Karena disebelah kiri c cekung keatas dan

    disebelah kanan c cekung kebawahKarena disebelah kiri c cekung kebawah

    dan disebelah kanan c cekung keatas

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    9/15

    10/30/

    c

    f(c)

    (c,f(c)) bukan titik belok karena disekitar

    c tidak terjadi perubahan kecekungan

    c

    Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan

    tapi tidak ada titik belok karena f tidak terdefinisi di c

    12)(.1 3

    xxf

    Soal :

    Tentukan titik belok (jika ada) dari

    4)(.2 xxf

    2

    42)(.3

    2

    x

    xxxf

    12)(.1 3

    xxf

    4)(.2 xxf

    Jawaban

    26)(' xxf

    xxf 12)(''

    0

    +++++++-------------

    Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok

    2

    3

    12)(''

    4)('

    xxf

    xxf

    0

    ++++++++++++++

    Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan

    3)2(

    8)(''

    xxf

    2

    +++++++--------------

    Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x)

    tidak terdefinisi di x = 2

    2

    42)(.3

    2

    x

    xxxf

  • 5/24/2018 Penggunaan Turunan

    10/15

    10/30/

    Soal Latihan

    630152)( 345

    xxxxf

    3

    13)(

    2

    x

    xxxf

    2

    12)(

    2

    x

    xxxf

    x

    xxf

    2)1(

    )(

    Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :

    1.

    2.

    3.

    4.

    3/1)( xxf 5.

    xxxf 26/1)(.6 3

    2

    42)(

    2

    x

    xxxf

    Contoh Soal:

    Dik