Embed Size (px)
Citation preview
PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL
Modul 4.Transformasi Z
Content
• Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi impuls, TZ fungsi sinusoidal
• Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal), fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z) dan TZ fungsi x(n)/n.
Latar Belakang“Domains of representation ”
Domain-n (discrete time) :Sequence, impulse response, persamaan beda
Domain- :Freq. response, spectral representation
Domain-z :Operator, dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.
Content
• Transformasi-Z Langsung• Sifat-sifat Transformasi-Z • Transformasi-Z Rasional • Transformasi-Z Balik• Transformasi-Z Satu Sisi
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
Definisi :
Contoh 1:
n
nznxzX )()(
5321
1
1
7521)(
1,0,7,5,2,1)(.a
zzzzzX
nx
1,0,7,5,2,1)(b. 2 nx
31122 752)( zzzzzX
Contoh 2:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:
0),()(c.
0),()(b.
)()(a.
3
2
1
kknnx
kknnx
nnx
1.1)()(a. 01
zznzXn
n
k
n
n zzknzX
)()(.b 2
k
n
n zzknzX
)()(c. 3
Contoh 3:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx
1:1dimana,1
1
...1)()(
11
21
0
zROCzz
zzznuzXn
n
1:,1
1)()()(
1
zROC
zzXnunx
Contoh 4:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx n
zROCzz
AAAAA
zznuzX
n
n
n
n
n
nn
:1dimana,1
1
1
1...1
)(
11
32
0
0
1
0
zROCz
zXnunx n :,1
1)()()(
1
TABEL FUNGSI DASAR TZ
SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Linieritas
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 5:
3:,31
1)(3)(
2:,21
1)(2)(
122
111
zROCz
zXnunx
zROCz
zXnunx
n
n
3:32:651
1
31
4
21
3)()3(4)2(3
21
1
11
zROCzzROCzz
z
zzZXnunx nn
)()()()()()( 2121 zXbzXazXnxbnxanx
)()3(4)2(3 nunx nn
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Pergeseran
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 5:
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
ZXznnx n0)( 0
)3( nunx
1:,1
31
3
13
zRROC
z
zZXzZXnunx x
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Time Reversal
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 6:
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
)( nunx
11:,1
1
1
111
zRROC
zzzXnunx
x
)()( 1 zXnx
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Diferensiasi dalam domain z
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 7:dz
zdXznnx
)()(
)()( nuannx n
azRROCaz
zXnuanx xn
:,
1
1)()()(
111
21
1
21
2
11
11)(
1
1)()()()(
az
az
az
azz
azdz
dz
dz
zdXzzXnuannx n
21
1
1)(
az
aznuan n
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Konvolusi antara dua sinyal
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Jawab:
Contoh 8:
)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx
lainnya
nnxnx
,0
50,1)(1,2,1)( 21
543212
211 1)(21)( zzzzzzXzzzX
)1)(21()()()( 543212121
zzzzzzzzXzXzX
76121 1)()()( zzzzXzXzX
1,1,0,0,0,0,1,1)(*)()( 21 nxnxnx
TRANSFORMASI Z RASIONAL Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
Fungsi Rasional
N
0k
kk
M
0k
kk
NN
11o
MM
11o
za
zb
zazaa
zbzbb
)z(D
)z(N)z(X
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
No
Mo
oo
aa
zaa
Z
bb
zbb
z
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
N(z) dan D(z) polinom
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
No
Mo
oo
a
az
aa
Z
bb
zbb
z
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
)pz()pz)(pz(
)zz()zz)(zz(z
a
b
)z(D
)z(N)z(X
M21
M21MN
o
o
N
1kk
M
1kk
MN
)pz(
)zz(zG)z(X
Tentukan pole dan zero dari
Jawab:
Contoh 9:
21
1
5,05,11
5,12)(
zz
zzX
)5,0)(1(
)75,0(2
)5,0)(1(
75,02
5,05,1
75,02)(
22
1
zz
zz
zz
zz
zz
z
z
zzX
5,01:
75,00:
21
21
ppPole
zzZero
Tentukan pole dan zero dari
Jawab:
Contoh 10:
21
1
5,01
1)(
zz
zzX
)]5,05,0()][5,05,0([
)1(
5,0
)1()(
2
jzjz
zz
zz
zzzX
*2121
21
5,05,05,05,0:
10:
ppjpjpPole
zzZero
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik
Teorema residu Cauchy :
n
nznxzX )()( dzzzXj
nx n 1)(2
1)(
Cluardizbila
Cdalamdizbiladz
zfd
kdzzz
zf
jo
o
zzk
k
C ko
o
,0
,)(
)!1(
1
)(
)(
2
1 1
1
Ekspansi deret dalam z dan z-1
Tentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
Contoh 11:
n
nznxzX )(
21
21
23
1
1)(
zzzX
4321
16
31
8
15
4
7
2
31)( zzzzzX
,
16
31,
8
15,
4
7,
2
3,1)(nx
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
Tentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
Contoh 12:
)()()()(
)()()()(
2211
2211
nxnxnxnx
zXzXzXzX
KK
KK
21 5,05,11
1)(
zz
zX
)5,0()1(5,05,1
)(
)5,0)(1(5,05,1)(
212
2
2
2
z
A
z
A
zz
z
z
zX
zz
z
zz
zzX
)5,0()1(5,05,1
)( 212
z
A
z
A
zz
z
z
zX
)5,01(
1
)1(
2)(
11
zzzX )(])5,0(2[)( nunx n
5,05,1
)5,0()(
)5,0)(1(
)1()5,0(2
212121
zz
AAzAA
zz
zAzA
1215,05,0
5,005,01
21111
122121
AAAAA
AAAAAA
5,05,1
)5,0()(
5,05,1
)(2
21212
zz
AAzAA
zz
z
z
zX
Pole-pole berbeda semua
N
N
k
k
pz
A
pz
A
pz
A
z
zX
1
1)(
N
Nkk
kk
pz
ApzA
pz
Apz
z
zXpz
)()()()(
1
1
kpz
k Az
zXpz
k
)()(
Contoh Soal 8.17
Jawab:
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
)z(Xz8)z(Xz28)z(X5)z(Yz8)z(Yz6)z(Y 2121
121
21
z1
1
z8z61
)z8z285()z(Y
1z1
1)z(X
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(8z6z(
)8z28z5(
z
)z(Y 3212
2
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(4z)(2z(
)8z28z5(
z
)z(Y 3212
146
84
)3)(2(
85620
)1z)(4z(
8z28z5
z
)z(Y)2z(A
2z
2
1
2010
200
)5)(2(
811280
)1z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)4z(A
4z
2
2
115
15
)5)(3(
8285
)4z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)1z(A
1z
2
3
1z
1
4z
20
2z
14
z
)z(Y
111 z1
1
z41
20
z21
14)z(Y
)n(u]1)4(20)2(14[)n(y nnzs
Ada dua pole yang semua
N
N
k
k22
k
k1
1
1
pz
A
pz
A
)pz(
A
pz
A
z
)z(X
kpz
2k
k1 z
)z(X)pz(A
kpz
2k
k2 z
)z(X)pz(
dz
dA
Contoh Soal 8.18
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :
211 )z1)(z1(
1)z(X
)1z(
A
)1z(
A
1z
A
)1z)(1z(
z
z
)z(X 32
212
2
4
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
2
2
1
4
3
)1z(
z2z
)1z(
)z)(1()1z)(z2(
)1z(
z
dz
d
z
)z(X)1z(
dz
dA
1z
2
2
2
2
22
3
)n(u]4
3n
2
1)1(
4
1[)n(x n
2
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
22
2
Pole kompleks
*pppp 21
211
11
11 z*ppz*ppz1
pz*A*Az*ApA
z*p1
*A
pz1
A
12
21
1
1
zp1
A
zp1
A)z(X
*AAAA 21
22
11
11o
21
1
zaza1
zbb
z*ppz*)pp(1
z)p*A*Ap(*)AA(
)ARe(2*AAb
)ARe(2)AIm(j)ARe()AIm(j)ARe(*AA
o
)pRe(2*)pp(a
)pRe(2)pIm(j)pRe()pIm(j)pRe(*pp
1
2
2
222 p*ppap)p(Im)p(Re
)]pIm(j)p)][Re(pIm(j)p[Re(*pp
)pIm()AIm(2)pRe()ARe(2
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(p*A*Ap
*)ApRe(2)p*A*Ap(b
]pIm()ARe()AIm()p[Re(j)]pIm()AIm()pRe()A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(*Ap
1
Contoh Soal 8.19
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari : 21
1
z5,0z1
z1)z(X
22
11
11o
21
1
zaza1
zbb
z5,0z1
z1)z(X
5,0)ARe(1)ARe(2bo
5,0)pRe(1)pRe(2a1
5,0*)ApRe(1*)ApRe(2b1
5,0)p(Im)p(Re5,0pa 222
2
5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222
5,0)ARe(5,0)pRe(
5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2
)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap
25,0j5,0A25,0)AIm(
5,0)AIm(5,025,0*)ApRe(
11
11
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z*p1
*A
pz1
A)z(X
11 z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0)z(X
45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0
n45sin)707,0(5,0n45cos)707,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)e707,0)(25,0j5,0()e707,0)(25,0j5,0()n(x
nn
n
n
n
n
n45jn45j
TRANSFORMASI-Z SATU SISI
Definisi :
Contoh Soal 8.20Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
0n
nz)n(x)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
312
2
zz75)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
74321
3
3
zz7z5z2z)z(X
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
314
4
zz75)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh Soal 8.21Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
Jawab:
0k),kn()n(x).c
0k),kn()n(x).b
)n()n(x).a
7
6
5
1z)n()z(X).a0n
n5
k
0n
n6 zz)kn()z(X).b
0z)kn()z(X).c0n
n7
Time Delay
Contoh Soal 8.22Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)
dimana x(n) = anu(n )
Jawab:
]z)n(x)z(X[z)kn(xk
1n
nk
1n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
211
1
2
22
2
1n
n21
azaaz1
z
z)2(xz)1(xXz
z)n(xXz)z(X
Time advance
Jawab:
Contoh Soal 8.23Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2)
dimana x(n) = anu(n )
]z)n(x)z(X[z)kn(x1k
0n
nk
1n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
azz
az1
z
z)1(x)0(xXz
z)n(x)z(XzX
21
2
12
1
0n
n22
Contoh Soal 8.24
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
dengan input x(n) = 0
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y22
1
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
5,7)2(y5,8)1(y
)n(y)n(y zi
21
1
21
1
z2z31
5,10z17
z2z31
)5,7(2z)5,8(2)5,8(3)z(Y
)2(y2z)1(y2)1(y3]z2z31)[z(Y
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y
121
22
1
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y2
2z
A
1z
A
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y 212
41
4
1z
17z5,10
z
)z(Y)2z(A
5,61
5,6
2z
17z5,10
z
)z(Y)1z(A
2z2
1z1
11 z21
4
z1
5,6
2z
z4
1z
z5,6)z(Y
nnzi )2(4)1(5,6)n(y
Contoh Soal 8.25
Jawab:
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
3)2(y4)1(y
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
]z)2(xz)1(x)z(X[z8]z)1(x)z(X[z28
)z(X5]z)2(yz)1(y)z(Y[z8
]z)1(y)z(Y[z6)z(Y
221
22
1
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y21
121
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y21
121
1
21121
z1
z8z285z32]z8z61)[z(Y
)z1)(z8z61(
z8z285z32z32)z(Y
121
2121
)z1)(z8z61(
z24z45)z(Y
121
21
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y2
2
)1z)(4z)(2z(
24z4z5
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y 2
2
2
4z
A
2z
A
1z
A
)1z)(4z)(2z(
24z4z5 3212
115
15
)5)(3(
2445
)4z)(2z(
24z4z5A
1z
2
1
26
12
)3)(2(
24820
)1z)(4z(
24z4z5A
2z
2
2
410
40
)5)(2(
241680
)1z)(2z(
24z4z5A
4z
2
3
4z
4
2z
2
1z
1
z
Y
111 z41
4
z21
2
z1
1Y
)n(u])4(4)2(21[)n(y 2n
![New Z-transformacja [tryb zgodności]dydaktyka:z-transformacja... · 2016. 3. 18. · 2 Definicja z-transformacji n s(z) s(n) z n z Z-transformata jest szeregiem Laurentagdzie: s(n)](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/60688d2238314929db52f988/new-z-transformacja-tryb-zgodnoci-dydaktykaz-transformacja-2016-3-18.jpg)
