PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN … · 2 ABSTRAK . DIAN NUGRAHA.Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan Clique Maksimum. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS

1

PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN

MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM

DIAN NUGRAHA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

2

ABSTRAK

DIAN NUGRAHA. Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan Clique

Maksimum. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS.

Alignment struktur protein menjelaskan hubungan kesamaan fungsi dari dua jenis protein.

Permasalahan alignment struktur protein dapat dilihat melalui masalah Contact Map Overlap

(CMO). Masalah CMO dapat diselesaikan dengan mencari clique maksimum pada suatu graf,

dimana verteks dan sisi merepresentasikan asam-asam amino dan hubungan antar asam-asam

amino secara berurutan. Pada karya ilmiah ini, permasalahan mencari clique maksimum

menggunakan dua langkah utama, yaitu menyusun beberapa verteks dan sisi berdasar pada sifat

khusus graf dan preprocessing verteks. Implementasi model dilakukan dengan menggunakan

struktur protein hipotetik.

Kata kunci: Contact Map Overlap, alignment, protein, clique maksimum

3

ABSTRACT

DIAN NUGRAHA. Optimization of Protein Structure Alignments Using Maximum Cliques.

Supervised by SISWANDI and NUR ALIATININGTYAS.

An alignment of protein structures describes the relationship of two types of proteins similarity

function. The problems of the protein structure alignments can be identified through the problems

of the Contact Map Overlap (CMO). The problems of CMO can be solved by finding a maximum

clique in a graph, where vertices and edges represent the amino acids and contacts between any

two amino acids respectively. In this paper, the problem of finding maximum cliques is using two

main steps, the arranging vertices and edges based on the special properties of the graph and

preprocessing vertices. Implementation of the model is done by using the structure of a

hypothetical protein.

Keywords: Contact Map Overlap, alignments, protein, maximum cliques

4

PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN

MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM

DIAN NUGRAHA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

5

Judul Skripsi : Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan

Clique Maksimum

Nama : Dian Nugraha

NIM : G54070045

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I,

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP: 19640629 199103 1 001

Pembimbing II,

Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.

NIP: 19610104 198803 2 002

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP: 19650505 198903 2 004

6

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya

sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis

sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah

ini. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapakku (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,

kepercayaan, kasih sayang, dan motivasinya), Adik-adikku (terima kasih atas doa,

semangat, motivasi dan dukungannya), dan keluarga besar baik dari Ibu dan Bapak

(terima kasih atas doanya),

2. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan

pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

3. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,

kritik dan saran, motivasi serta doanya,

4. Muhammad Ilyas. S.Si, M.Sc selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran

dan doanya,

5. segenap dosen Departemen Matematika IPB, terima kasih atas semua ilmu yang telah

diberikan,

6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak

Deni, Mas Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,

7. sahabat terbaik saya, Aulia Retnoningtyas, Pandi, Della Azizah, Mirna Sari Dewi, Wenti

Ismayulia, Eka Nurhasannudin, sahabat-sahabat saya di Pondok Handayani, sahabat-

sahabat saya di DR C30, Komunitas Author of The Dream dan teman-teman Botit yang

tidak bisa saya sebutkan satu persatu (terima kasih atas semangat, motivasi dan doanya),

8. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Rizqy, Denda, Imam, Mutia, Masayu,

Sri, Rachma, Fajar, Rofi, Ayung, Lina, Siska, dan teman-teman lainnya atas doa,

dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 4 tahun,

9. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi

yang lebih baik,

10. adik-adik Matematika angkatan 45 dan 46 yang terus mendukung agar berkembang,

11. Gumatika yang menunjukkan sebuah hal yang baru,

12. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang

matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, September 2013

Dian Nugraha

7

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 13 Januari 1989 dari bapak Engking Sukiman dan

ibu Ipah Tasripah. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.

Penulis menyelesaikan pendidikan dasar dan menengah di SD Negeri Benda Baru II pada

tahun 2001, SMP Negeri 2 Pamulang pada tahun 2004, dan tahun 2007 penulis lulus dari SMA

Negeri 1 Kota Tangerang Selatan. Pada tahun 2007 pula penulis diterima sebagai mahasiswa IPB

melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika pada

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi

Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)

sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) tahun 2009-2010. Penulis

pernah menjadi ketua Komisi Disiplin dalam acara Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan

2008 dan 2009 atau angkatan 45 dan 46, serta penulis juga pernah menjadi anggota panitia dan

koordinator di berbagai acara kemahasiswaan. Penulis juga aktif dalam organisasi non

kemahasiswaan, yaitu komunitas penulis muda di IPB bernama Author of The Dream dan telah

menerbitkan kumpulan cerpen bersama berjudul SAM! Sinema Akhir Mahasiswa.

8

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ ix

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ x

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1

1.2 Tujuan Penulisan .............................................................................................................. 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Graf ................................................................................................................................... 1

2.2 Protein .............................................................................................................................. 3

III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP

3.1 Contact Map Protein ......................................................................................................... 4

3.2 Contact Map Overlap ....................................................................................................... 4

IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP

4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah Clique Maksimum ................................................ 6

4.2 Sifat Khusus Graf ........................................................................................................ 8

4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf .............................................................................. 8

4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks Tetangga ........................................................ 9

V STUDI KASUS

5.1 Penentuan Graf ............................................................................................................ 12

5.2 Penentuan Batas Bawah Graf ...................................................................................... 13

5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah Contact Map Overlap ........................................... 15

VI SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan ........................................................................................................................... 17

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 18

LAMPIRAN ........................................................................................................................... 19

viii

9

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Derajat setiap verteks di graf ................................................................................ 26

2 Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .................................................. 26

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Graf ................................................................................................................. 1

2 Adjacent dan incident ........................................................................................................ 2

3 Ilustrasi derajat pada graf ................................................................................................... 2

4 Clique-4 ............................................................................................................................. 2

5 Tingkatan struktur protein ................................................................................................. 3

6 Contact map protein A dan B ............................................................................................ 4

7 Contact map overlap pada protein A dan B ....................................................................... 4

8 Masalah CMO takfisibel pada protein A dan B ................................................................. 5

9 Contoh masalah CMO pada protein A dan B .................................................................... 6

10 Contoh solusi fisibel graf berdasar Gambar 9 .............................................................. 7

11 Contoh solusi takfisibel graf berdasar Gambar 8 .......................................................... 7

12 Graf berdasarkan contoh pada Gambar 6 ..................................................................... 7

13 Penomoran diagonal tenggara graf ............................................................................... 8

14 Hipotetis protein A dan B .................................................................................................. 12

15 Verteks yang terbentuk ................................................................................................. 12

16 Overlap , ( } ...................................................................... 12

17 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12

18 Overlap , ..................................................................... 13

19 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 13

20 Overlap , ..................................................................... 13

21 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12

22 Graf Gp berdasar Gambar 14 ............................................................................................. 13

23 Penyederhanaan notasi graf .......................................................................................... 13

24 Verteks sebagai awal .............................................................................................. 14

25 ...................................................................................................................... 14

26 ......................................................................................................... 14

27 .............................................................................................. 14

28 Clique-4 dengan ..................................................... 14

29 Penomoran diagonal tenggara graf ................................................................................ 15

30 Diagonal tenggara (5) dan (6) graf ............................................................................... 15

31 Subgraf berisi verteks diagonal tenggara (5) dan (6) dari graf ..................................... 15

32 Graf hasil Langkah 2 ......................................................................................................... 15

33 Graf hasil Langkah 3 ......................................................................................................... 16

34 Verteks awal .......................................................................................................... 16

35 Pewarnaan verteks merah dan biru .................................................................................... 16

36 Pewarnaan verteks merah, biru dan kuning ........................................................................ 16

37 Hasil pewarnaan graf .................................................................................................... 16

38 Clique maksimum graf ................................................................................................. 17

39 Solusi optimal graf ....................................................................................................... 17

40 Overlap optimal masalah CMO berdasar Gambar 14 ........................................................ 17

41 Posibilitas pasangan overlap fisibel berdasar Gambar 14 .................................................. 22

ix

10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Pembuktian Lemma 2 ........................................................................................................ 20

2 Pembuktian Teorema 1 ...................................................................................................... 20



5 Posibilitas CMO fisibel untuk mencari jumlah berdasarkan Gambar 12 ................ 22

6 Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf ..................................................... 26

7 Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf ......... 26

x

11

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Protein merupakan salah satu bio-

makromolekul yang penting peranannya

dalam makhluk hidup. Protein terbentuk dari

rangkaian asam-asam amino yang terikat satu

sama lain dalam ikatan peptida. Urutan asam

amino yang khas dan berbeda akan

memengaruhi konformasi tiga dimensi (3D)

dalam struktur tersier pada setiap jenis protein.

Ketika suatu polipeptida dalam protein

melipat, asam amino yang tidak berturutan di

dalam rangkaian aslinya dapat juga sangat

dekat dan membentuk suatu hubungan contact

antara satu sama lain yang diakibatkan oleh

pengaruh fisik dan kimiawi protein tersebut.

Hubungan contact yang terjadi dalam struktur

tersier tersebut dapat direpresentasikan secara

simetri sebagai contact map.

Contact map dalam protein dapat

dinyatakan sebagai suatu graf takberarah yang

merepresentasikan secara singkat struktur tiga

dimensi dari protein dengan verteks

menyatakan asam amino dan sisi antara dua

verteks menyatakan keadaan dua asam amino

yang mengalami contact. Pada contact map

yang ekuivalen dalam dua protein, akan

terdapat suatu alignment yang menunjukkan

suatu ikatan antara contact-contact dalam

protein pertama dengan contact-contact dalam

protein kedua. Setiap pasangan contact

tersebut dinamakan overlap.

Masalah Contact Map Overlap (CMO)

bertujuan mengukur kesamaan antara dua

struktur tersier protein dengan

membandingkan kedekatan asam amino yang

tidak berturutan. Solusinya adalah dengan

menentukan jumlah overlap maksimum yang

dapat terbentuk. Model masalah Contact Map

Overlap dari alignment struktur protein dapat

digambarkan sebagai masalah maksimum

clique dalam suatu kasus pendefinisian graf.

Sebuah clique dalam graf adalah subgraf

dengan sifat bahwa setiap pasang verteksnya

terhubung oleh sisi.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas

masalah Contact Map Overlap yang optimal

pada protein dengan menggunakan metode

maksimum clique. Sumber utama karya ilmiah

ini diambil dari jurnal yang berjudul Optimal

Protein Structure Alignment Using Maximum

Cliques (Dawn M Strickland et al. 2005).

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah

sebagai berikut :

1. Menyelesaikan masalah CMO pada protein

dengan cara mencari clique maksimum

dalam suatu masalah graf.

2. Memberikan studi kasus untuk mencari

solusi yang optimal dalam masalah CMO.

II LANDASAN TEORI

2.1 Graf

Definisi 1 (Graf)

Suatu graf adalah pasangan terurut

dengan atau adalah himpunan

berhingga dan takkosong dari elemen graf

yang disebut verteks (node, point), sedangkan

atau adalah himpunan pasangan yang

menghubungkan dua verteks dalam graf

disebut sisi (edge, line). Setiap sisi pada

dapat dinotasikan dengan atau .

Banyaknya verteks dari suatu graf disebut

order dan banyaknya sisi pada suatu graf

disebut size.

(Chartrand & Zhang 2009)

Graf :

vu y

xw

Gambar 1 Graf .

Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan

dan

Order dari graf pada Gambar 1 adalah 5 dan

size-nya adalah 4.

12

Definisi 2 (Adjacent dan incident)

Misalkan dan verteks pada graf .

Verteks dikatakan tetangga (adjacent) dari

jika ada sisi yang menghubungkan verteks

dan , yaitu . Himpunan semua

tetangga dari verteks dinotasikan dengan

. Jika adalah sisi pada graf

maka dikatakan incident dengan verteks

dan .

(Chartrand & Zhang 2009)

Graf :

u v

wx

e1

e2e3 e4

e5

Gambar 2 Adjacent dan incident.

Ilustrasi adjacent dan incident

diperlihatkan pada Gambar 2. Verteks

adjacent dengan verteks dan tetapi

verteks tidak adjacent dengan verteks .

Verteks incident dengan sisi , tetapi

verteks tidak incident dengan sisi .

Definisi 3 (Derajat/degree)

Derajat suatu verteks adalah banyaknya

sisi yang incident dengan verteks , dan

dinotasikan dengan atau atau

.

(Vasudev 2007)

Graf :

uv

w

x

y

z

Gambar 3 Ilustrasi derajat pada graf.

Pada Gambar 3 diperlihatkan bahwa

, , dan

.

Definisi 4 (Subgraf)

Suatu graf dikatakan subgraf dari graf

jika dan .

(Chartrand & Oellermann 1995)

Graf merupakan subgraf dari graf .

Definisi 5 (Neighbour/neighbor)

Neighbour/neighbor dari himpunan

verteks dalam graf adalah himpunan dari

semua verteks yang adjacent dengan verteks

dalam dan dinotasikan dengan .


Definisi 6 (Clique)

Clique dalam graf adalah subgraf dari

dimana untuk setiap pasang verteks dan

dalam , . Clique dikatakan

maksimum (clique maksimum) jika tidak ada

clique lain yang dapat dibentuk dan memuat

order lebih besar daripada clique tersebut di

graf . Banyaknya order maksimum dalam

suatu clique disebut clique number dari graf

dan dinotasikan oleh . Clique dapat

dituliskan sebagai clique-k adalah clique yang

dibentuk oleh verteks.


Sebagai ilustrasi, graf pada Gambar 4

merupakan clique maksimum berdasarkan

graf dengan clique-4.

Graf :

v

w

x

y

Gambar 4 Clique-4.

Definisi 7 (Pewarnaan/coloring)

Pewarnaan dari graf merupakan

pemberian warna verteks dari , sehingga

verteks yang adjacent mempunyai warna yang

berbeda. Jika ada warna yang digunakan,

maka pewarnaan disebut sebagai n-coloring.


13

Definisi 8 (Chromatic number)

Chromatic number dari suatu graf

adalah banyaknya warna minimum yang dapat

digunakan dalam pewarnaan graf dan

dinotasikan dengan .

(Vasudev 2007)

Definisi 9 (Graf Perfect)

Graf perfect adalah suatu graf yang

mempunyai clique number dan chromatic

number yang sama .


2.2 Protein

Protein merupakan polimer yang dibentuk

dari rangkaian asam-asam amino, yaitu

molekul organik yang memiliki gugus

karboksil (COOH) dan gugus amino (NH2)

(Campbell et al. 2004). Dua asam amino yang

diposisikan sedemikian rupa sehingga gugus

karboksil dari satu asam amino berdekatan

dengan gugus amino dari asam amino yang

lain akan membentuk suatu ikatan kovalen

yang disebut ikatan peptida. Jika proses itu

dilakukan berulang-ulang, maka akan

menghasilkan polipeptida, suatu polimer yang

terdiri dari banyak asam amino yang berikatan

melalui ikatan peptida.

Jenis protein sangat beragam, tetapi semua

molekulnya dibangun dari kumpulan 20 asam

amino yang sama dengan urutan asam amino

yang khas dan berbeda. Hal ini disebabkan

karena kondisi fisik dan kimiawi lingkungan

protein tersebut. Perbedaan urutan asam

amino yang unik di sepanjang rantai

polipeptida menentukan konformasi (bentuk-

bentuk molekul) tiga dimensi apa yang akan

diambil oleh protein tersebut. Banyak protein

berbentuk globuler (secara kasar agak bulat),

sementara yang lain bentuknya seperti serat.

Protein adalah makromolekul yang

mempunyai struktur paling kompleks. Bentuk

arsitektur kompleks protein terdiri dari tiga

tingkatan struktur yang saling berimpitan

yaitu struktur primer, sekunder dan tersier.

Struktur primer terdiri dari asam-asam amino

yang dihubungkan oleh ikatan peptida dan

mempunyai urutan yang spesifik. Struktur

sekunder adalah pelipatan atau pelilitan

polipeptida dalam konfigurasi berulang,

seperti α-heliks dan lembaran berlipat-lipat

(β-sheet) yang dihasilkan dari pembentukan

ikatan hidrogennya. Struktur tersier adalah

keseluruhan bentuk tiga dimensi suatu

polipeptida dan dihasilkan dari interaksi

antara rantai-rantai samping asam amino.

Tingkatan keempat, yaitu struktur kuartener

yang terjadi ketika suatu protein terdiri atas

dua atau lebih rantai polipeptida (Campbell et

al. 2004).

Protein dapat mengalami pelipatan

(folding). Pelipatan protein memengaruhi

konformasi tiga dimensi dalam rangkaian

polipeptida yang mengakibatkan adanya

hubungan contact asam-asam amino antara

satu protein ke protein lain. Hubungan contact

ini disebabkan adanya kesamaan sifat fisik

dan kimiawi antara asam-asam aminonya.

Gambar 5 Tingkatan struktur protein (primer

(atas) sampai dengan kuartener (bawah))

14

III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP

3.1 Contact Map Protein

Struktur tersier protein menggambarkan

konformasi tiga dimensi (3D) yang dapat

disederhanakan menjadi dua dimensi melalui

contact map antar asam amino. Ahli biologi

mendefinisikan contact map dalam protein

sebagai graf takberarah yang berisi satu

verteks untuk satu asam amino dan sisi antara

dua verteks menyatakan bila antara dua asam

amino yang tidak berturutan dalam keadaan

“in contact”, yaitu jika karbon alfa dari dua

asam amino yang tidak berturutan sangat

dekat satu sama lain dalam struktur tersier

protein.

Ketika protein melipat, ikatan peptida

memaksa asam-asam amino yang berturutan

dalam rangkaian aslinya pun dapat juga sangat

dekat antara satu sama lain dalam struktur

tersier. Dikarenakan asam amino dan

berturutan, mereka saling berbagi ikatan

peptida dan secara otomatis mengalami

contact. Namun contact yang demikian tidak

dianggap dan tidak dibahas dalam

permasalahan ini.

Secara matematika, Erik Bernstein (2008)

mendefinisikan contact map dari suatu

rangkaian polipeptida yang

mengandung asam amino dapat

direpresentasikan sebagai suatu graf

takberarah dengan himpunan

verteks dan sebagai

himpunan sisi , dengan syarat:

Misalkan diberikan dua protein, yaitu

protein A dan protein B yang masing-masing

memiliki 6 asam amino. Pada protein A, asam

amino 1 mengalami contact dengan asam

amino 3 dan 4, tetapi tidak dengan asam

amino 2, 5 dan 6. Selanjutnya contact lain

terjadi pada asam amino 2 dengan 6, asam

amino 3 dengan 1 dan 5, serta asam amino 4

dengan 1 dan 6.

Pada protein B, asam amino 1 mengalami

contact dengan asam amino 2 dan 4, tetapi

tidak dengan asam amino 3, 5 dan 6.

Selanjutnya contact lain terjadi pada asam

amino 2 dengan 1 dan 5, asam amino 3

dengan 6, serta asam amino 4 dengan 1 dan 6.

Sehingga didapatkan protein A dan protein B

sama-sama memiliki 5 contact map yang

dapat dilihat pada Gambar 6 berikut.

Protein A

1 2 3 4 5 6

Protein B

1 2 3 4 5 6

Gambar 6 Contact map protein A dan B.

3.2 Contact Map Overlap


merupakan permasalahan dalam pencarian

overlap terbanyak yang dapat dibentuk dari

asam-asam amino yang berikatan antara dua

jenis protein. Tujuannya adalah memetakan

kesamaan antara dua struktur tersier protein

dengan membandingkan kedekatan dari asam

amino yang tidak berturutan dan memberikan

suatu alignment antara contact map di protein

pertama dengan contact map di protein

kedua. Setiap pasangan contact antara dua

protein yang dihubungkan oleh suatu

alignment tersebut dinamakan “overlap”.

Misalkan diberikan suatu masalah CMO

pada protein A dan protein B sebagai berikut:

Protein A

1 2 3 4 5 6

Protein B

1 2 3 4 5 6

Gambar 7 Contact map overlap pada protein

A dan B.

15

Pada Gambar 7, garis putus-putus antara

asam-asam amino pada protein A dan protein

B merepresentasikan alignment. Diketahui

bahwa terdapat alignment dari asam amino 1

pada protein A dengan asam amino 1

pada protein B , dengan ,

dengan , dengan dan dengan .

Suatu overlap

adalah suatu pasangan terurut dimana contact

A dan contact B dihubungkan oleh alignment.

Berdasarkan hal tersebut, hubungan antara

contact dengan contact ,

contact dengan contact , dan

contact dengan contact adalah

overlap, yaitu ,

dan .

Suatu alignment akan fisibel jika telah

memenuhi dua pembatasan sebagai berikut:

1) Tidak ada asam amino dari satu protein

dapat diberi alignment dengan lebih dari

satu asam amino pada protein lain. Asumsi

ini disebut pembatasan eksklusifitas.

2) Urutan asam amino dapat dipertahankan

secara baik dalam alignment. Artinya

alignment tidak boleh saling bersilangan,

yaitu jika asam amino i dan j dalam satu

protein diberi alignment dengan asam

amino dan dalam protein lain,

maka harus berlaku jika dan hanya

jika . Asumsi ini disebut

sebagai pembatasan pengurutan.

Pada Gambar 7, alignment yang terbentuk

adalah alignment fisibel karena telah

memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan

pembatasan pengurutan (2), sehingga masalah

masalah CMO yang terbentuk akan fisibel.

Jika terbentuk suatu alignment yang tidak

memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan

pembatasan pengurutan (2), maka alignment

akan takfisibel. Sehingga masalah CMO yang

terbentuk juga akan takfisibel. Gambar 8

berikut akan menunjukkan contoh masalah

CMO yang takfisibel.

Protein A

1 2 3 4 5 6

Protein B

1 2 3 4 5 6

Gambar 8 Masalah CMO takfisibel pada

protein A dan B.

Pada Gambar 8, diketahui bahwa asam

amino memiliki dua alignment yang

menghubungkan asam amino ( ) dan asam

amino ( ). Kemudian terdapat alignment

yang saling bersilangan ketika overlap yang

dibentuk adalah pada dan

. Berdasarkan hal tersebut,

pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan

pengurutan (2) dilanggar, sehingga masalah

CMO tersebut takfisibel.

16

IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP

4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah

Clique Maksimum

Dalam menentukan banyaknya overlap

maksimum yang terjadi di antara dua protein,

masalah CMO dapat ditransformasikan

menjadi suatu masalah maksimum clique pada

graf khusus dengan verteks

dimana menyatakan himpunan contact

protein A dan menyatakan himpunan

contact protein B.

Verteks dinyatakan dalam grid baris

dan kolom, dengan verteks baris untuk setiap

contact di dan verteks kolom untuk setiap

contact di . Oleh karena itu setiap verteks

bersesuaian dengan overlap pada contact

dalam protein A dan contact

dalam protein B. Secara implisit, suatu

verteks yang demikian merepresentasikan

suatu alignment dari asam amino dengan

asam amino dan alignment dari asam

amino dengan asam amino . Sisi ada

antara dua verteks jika pasangan verteks

tersebut overlap dan juga merupakan solusi

fisibel dari contact map overlap yang terjadi.

Solusi dari masalah CMO akan fisibel

(solusi fisibel) jika telah memenuhi syarat

kefisibelan alignment, yaitu memenuhi

pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan

pengurutan (2).

Lemma berikut akan menunjukkan bahwa

setiap verteks merepresentasikan solusi

fisibel untuk CMO.

Lemma 1

Diberikan protein A dengan contact

dan protein B dengan contact , setiap

verteks dari adalah solusi

fisibel untuk CMO.

Bukti:

Anggap suatu verteks sembarang

bersesuaian dengan contact dan

. Tanpa menghilangkan sifat

umumnya, asumsikan bahwa dan

. Selanjutnya jika asam amino

dengan asam amino dan dengan

diberikan suatu alignment, maka terdapat

order-preserving alignment yaitu tidak ada

asam amino yang dapat diberi alignment

dengan lebih dari satu asam amino. Sehingga

memenuhi syarat kefisibelan alignment.

Misalkan diberikan suatu contoh masalah

CMO sebagai berikut:

Protein A

1 2 3 4 5 6

Protein B

1 2 3 4 5 6

Gambar 9 Contoh masalah CMO pada

protein A dan B.

Pada Gambar 9, dapat diketahui bahwa

overlap yang terbentuk antara protein A dan

protein B, yaitu overlap ,

dan ,

memiliki alignment yang fisibel karena telah

memenuhi pembatasan eksklusifitas dan

pembatasan pengurutan. Berdasarkan masalah

CMO pada Gambar 9, akan ditunjukkan cara

menentukan verteks dan sisi yang merupakan

solusi fisibel.

Misalkan diberikan:

1. Verteks dengan

dan .

2. Verteks dengan

dan .

3. Verteks dengan

dan .

Sehingga sisi yang terbentuk adalah:

1.

2.

3.

Selanjutnya graf yang didapatkan juga

merupakan suatu solusi fisibel bagi masalah

CMO dan dapat dilihat pada Gambar 10.

17

B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6

A1A3

A1A4

A2A6

A3A5

A4A6

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 10 Contoh solusi fisibel graf

berdasar Gambar 9.

Kemudian, berdasarkan Gambar 8,

verteks dan sisi yang terbentuk juga

merupakan solusi takfisibel dalam graf dan

dilihat pada Gambar 11.


A1A3

A1A4

A2A6

A3A5

A4A6

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 11 Contoh solusi takfisibel graf

berdasar Gambar 8.

Untuk mendapatkan suatu graf

berdasar pada Gambar 6, terlebih dahulu

dicari semua kemungkinan contact map

overlap yang dapat terbentuk dan merupakan

solusi fisibel. Sehingga berdasar pada

kemungkinan yang telah didapatkan,

selanjutnya sisi dalam graf-graf tersebut

digabungkan menjadi satu graf yang utuh

yaitu graf .


A1A3

A1A4

A2A6

A3A5

A4A6

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 12 Graf berdasarkan contoh pada

Gambar 6.

Gambar 12 menunjukkan graf untuk

masalah Contact Map Overlap berdasar pada

Gambar 6. Graf tersebut dibentuk oleh 25

verteks dan 24 sisi.

Setelah didapatkan suatu graf ,

selanjutnya akan dicari solusi optimal dengan

cara mencari clique maksimum yang

terbentuk dalam graf .

Misalkan diketahui himpunan verteks

. Untuk setiap himpunan verteks

dalam , jika masing-masing pasangan

verteks bersesuaian dengan suatu solusi

fisibel CMO, maka semua himpunan verteks

juga bersesuaian dengan solusi fisibel CMO.

Hal itu merupakan relasi jika dan hanya jika,

sehingga pasangan fisibel ini merupakan

syarat perlu dan syarat cukup untuk

kefisibelan seluruh himpunan seperti

ditunjukkan pada Lemma 2 berikut.

Lemma 2

Diberikan protein A dan protein B,

himpunan verteks bersesuaian dengan

solusi fisibel CMO jika dan hanya jika setiap

pasangan verteks , bersesuaian

dengan solusi fisibel CMO.

(pembuktian Lemma 2 dapat dilihat pada

Lampiran 1)

18

Selanjutnya akan ditunjukkan suatu solusi

optimal untuk masalah CMO akan bersesuaian

dengan suatu clique maksimum dalam . Hal

ini dijelaskan dalam Corollary 1 sebagai

berikut:

Corollary 1

Diberikan protein A dan protein B,

terdapat korespondensi satu-satu antara clique

di dengan solusi yang fisibel untuk CMO

dan clique maksimum di bersesuaian

dengan solusi optimal untuk CMO.

Bukti:

Hasil dari Corollary 1 merupakan akibat

langsung dari Lemma 2 dan dari definisi

bahwa solusi optimal bagi CMO adalah

jumlah maksimum verteks yang fisibel secara

bersamaan di .

Berdasarkan Lemma 2 dan Corollary 1,

didapatkan suatu transformasi dari masalah

CMO ke masalah maksimum clique dan

menunjukkan bahwa suatu clique maksimum

di bersesuaian dengan solusi optimal dari

CMO.

4.2 Sifat Khusus Graf

Berikut akan dijelaskan beberapa sifat

khusus graf yang berguna dalam

preprocessing step untuk mencari solusi

optimal dalam graf . Preprocessing step

adalah langkah untuk mencari clique

maksimum dan pewarnaan minimum dalam

graf sehingga didapatkan suatu graf perfect

yang merupakan solusi

optimal dari graf .

4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf

Verteks dari graf disusun menjadi dua

dimensi grid, yaitu baris untuk setiap contact

pada protein A dan kolom untuk setiap

contact pada protein B. Selanjutnya semua

sisi dalam graf diatur agar mempunyai

orientasi (arah) yang sama. Hal tersebut dapat

dilihat pada Teorema 1 berikut.

Teorema 1

Diberikan suatu protein dengan

menyatakan

contact map dengan dan

menotasikan

asam amino dari protein . Untuk setiap

protein , didefinisikan suatu lexicographic

ordering yaitu contact

dalam

diurutkan berdasarkan urutan menaik dan

urutan menaik . Jika graf disusun dengan

cara tersebut, maka semua sisi dalam akan

berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau

arah ini dinamakan “diagonal tenggara”.

(pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada

Lampiran 2).

Berdasar pada Teorema 1, diberikan suatu

cara untuk memberikan penomoran himpunan

diagonal tenggara dari graf , dengan

mengawali penomoran dari baris paling akhir

kolom pertama sampai baris awal kolom

terakhir. Dengan kata lain himpunan diagonal

tenggara dari graf adalah himpunan semua

verteks pada graf sepanjang semua garis

dengan slope -1 (lihat Gambar 13).


A1A3

A1A4

A2A6

A3A5

A4A6

(1) (2) (3) (4) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 13 Penomoran diagonal tenggara

graf .

Verteks graf yang terletak pada baris

kolom (verteks ) dan pada baris

kolom (verteks ) berada pada diagonal

tenggara yang sama jika .

Selanjutnya berikan penomoran diagonal

tenggara dari kiri bawah menuju kanan atas

graf , sehingga verteks adalah salah

satu dari verteks pada diagonal tenggara ke

dengan adalah banyaknya

baris. Pada diagonal tenggara ke

19

terdapat verteks sebanyak

verteks, dengan adalah banyaknya kolom.

Misalkan akan ditunjukkan letak dan

banyaknya verteks yang berada sepanjang

diagonal tenggara dari verteks

atau verteks pada baris kedua dan kolom

ketiga (verteks ) pada Gambar 12.

Diketahui jumlah baris , dan jumlah

kolom . Nilai dari

dan

= = 4.

Disimpulkan bahwa verteks adalah

bagian dari diagonal tenggara bernomor 6 dan

memiliki 4 verteks sepanjang diagonal

tenggaranya.

Selanjutnya penomoran diagonal tenggara

akan digunakan sebagai alat untuk mereduksi

graf dengan menggunakan Lemma 3

sebagai berikut:

Lemma 3

Tidak ada clique yang lebih besar dari

clique- dapat memiliki verteks yang berada

pada diagonal tenggara yang berisikan

verteks atau kurang.


Lampiran 3).

Berdasar hasil Lemma 3, jika diberikan

suatu batas bawah (lower bound) di graf

, maka semua diagonal tenggara di graf

yang mempunyai verteks atau kurang akan

dapat dihapus. Hal itu bertujuan mereduksi

graf dan menunjukkan bahwa suatu clique

maksimum terdapat pada himpunan diagonal

tenggara tersebut.

Untuk mencari batas bawah dalam

menentukan clique maksimum di graf ,

akan digunakan suatu metode berdasarkan

(Strickland, DM. 2008) sebagai berikut:

Misalkan diberikan graf ,

1. Ambil .

2. Pilih sebagai verteks di graf yang

berderajat maksimum. Tambahkan ke .

3. Pilih verteks berderajat terbesar yang

adjacent dengan , tambahkan ke . Lalu

hapus semua verteks yang tidak adjacent

dengan dari .

4. Jika kosong, maka berhenti. Jika tidak,

kembali ke langkah 2.

Pada dasarnya, akan memuat verteks

dengan derajat terbesar yang terhubung satu

sama lain membentuk clique. Order dari

himpunan yang dihasilkan adalah suatu

clique- dalam graf dan juga merupakan

batas bawah dari clique maksimum di

( ).

Dari penjelasan Lemma 3 di atas, jika

diberikan suatu nilai atau clique-3,

maka diagonal tenggara yang memuat verteks

kurang dari atau sama dengan tiga ,

maka akan dapat dihapus. Pada Gambar 13,

diagonal tenggara yang memiliki nomor (1),

(2), (3), (7), (8) dan (9) akan dapat dihapus.

4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks

Tetangga

Untuk menghapus beberapa bagian

diagonal tenggara graf , verteks dapat

dihilangkan berdasarkan sifat tetangga

mereka. Tetangga dari verteks adalah semua

verteks sedemikian , yaitu semua

verteks yang saling berbagi sisi dengan .

Kedua sifat berikut ini harus diketahui

untuk memberikan akses dalam penghapusan

suatu verteks di .

Sifat 1


clique- dapat memuat verteks yang memiliki

tetangga kurang dari .

Sifat 1 menjelaskan bahwa jika diberikan

suatu batas bawah pada graf , maka

semua verteks yang memiliki tetangga kurang

dari akan dapat dihapus.

Misalkan diberikan suatu nilai .

Maka verteks yang memiliki derajat kurang

dari empat (verteks tetangga ) dapat

dihapus. Sebagai contoh, misalkan pilih salah

satu verteks dalam graf (lihat Gambar 11),

yaitu verteks atau verteks .

Diketahui bahwa verteks bertetangga

dengan tiga verteks, yaitu verteks ,

verteks dan verteks . Dengan kata

lain, verteks memiliki derajat ,

maka verteks dapat dihapus.

20

Selanjutnya, Sifat 2 berikut akan

menjelaskan suatu pewarnaan berdasarkan

verteks tetangganya.

Sifat 2


clique- dapat memuat verteks yang

tetangganya dapat diwarnai kurang dari

warna.

Bukti:

Dikarenakan tidak ada dua verteks

berwarna sama dapat mempunyai sisi, maka

tidak ada clique yang dapat memuat

keduanya. Oleh karena itu, semua verteks dari

clique harus mempunyai warna yang berbeda,

sehingga tidak ada verteks yang tetangganya

diwarnai dengan warna atau kurang,

dapat berada dalam clique yang lebih besar

dari .

Berdasarkan Sifat 2, digunakan suatu

definisi pewarnaan, yaitu setiap verteks harus

secara pasti ditetapkan satu warna dan tidak

ada dua verteks dan yang terhubung oleh

sisi dapat mempunyai warna yang sama. Hal

ini berarti, warna ( ) ≠ warna ( ).

Namun terdapat dua kesulitan dalam

mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung.

Pertama, menemukan jumlah warna minimum

yang diperlukan untuk mewarnai tetangga

verteks adalah permasalahan yang sulit.

Kedua, mewarnai tetangga setiap verteks akan

sangat memakan waktu. Oleh karena itu,

Corollary 2 berikut diberikan untuk mereduksi

verteks dan sisi dalam graf sehingga akan

mempermudah dalam pencarian clique

maksimum dengan menggunakan metode

pewarnaan.

Corollary 2

Ketika graf disusun berdasar pada

Teorema 1, tidak ada clique yang lebih besar

dari clique- dapat memiliki verteks yang

tetangganya berada kurang dari baris atau

kurang dari kolom di graf .

Bukti:

Dikarenakan semua sisi dalam adalah

tenggara, maka tidak ada dua verteks dan

dalam baris yang sama dapat dihubungkan

oleh sisi (sebab sisi akan menjadi timur-

barat, tetapi sisi tersebut tidak ada). Sehingga,

tidak ada clique yang dapat memuat dua

verteks dari baris yang sama.

Akibatnya verteks dengan tetangga yang

berada dalam paling banyak baris tidak

dapat ada dalam clique dengan lebih dari

verteks lain dan demikian tidak dapat

ada dalam clique yang lebih besar dari .

Argumen yang serupa dapat diaplikasikan

untuk kolom.

Sebagai konsekuensi dari Corollary 2,

didapatkan cara sederhana untuk menghapus

verteks yang derajatnya kurang dari , yaitu

dengan menghapus semua verteks yang

derajat baris atau kolomnya (jumlah baris atau

kolom yang tetangganya berada dalam baris

atau kolom tersebut) kurang dari .

Setelah graf direduksi berdasar pada

Corollary 2, selanjutnya Sifat 2 akan

digunakan sebagai langkah akhir untuk

mencari clique maksimum. Dari penjelasan

sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dalam

metode preprocessing terdapat empat tipe

verteks yang dapat dihapus berdasarkan batas

bawah , sebagai berikut:

(1) = verteks yang berada pada diagonal

tenggara pertama atau terakhir di .

(Lemma 3)

(2) = verteks yang memiliki tetangga

atau kurang di . (Sifat 1)

(3) = verteks yang tetangganya berada

pada baris/kolom atau kurang di

. (Corollary 2)

(4) = verteks yang tetangganya dapat

diberi warna atau kurang di .

(Sifat 2)

Diketahui bahwa metode (4)

menyamaratakan metode (1)-(4). Lemma

selanjutnya memformulasikan ide ini.

21

Lemma 4

Diberikan sebuah graf CMO dan

dengan menggunakan definisi dari , ...,

dari (1)-(4) diatas, hubungan berikut adalah

benar : (a) , (b) , dan (c)

.


Lampiran 5)

Selanjutnya untuk menentukan suatu

metode pewarnaan dalam graf dan

mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung,

Observasi berikut dibutuhkan untuk

memberikan penjelasan mengenai graf CMO.

Observasi

Ketika graf Gp disusun berdasar pada

Teorema 1, dua verteks dari baris yang sama

dan kolom berurutan (atau kolom yang sama

dan baris berurutan) biasanya memiliki sifat

yang sama dengan tetangganya.

Mengacu pada dua verteks dalam baris

yang sama dan kolom berurutan (atau kolom

yang sama dan baris berurutan) sebagai

verteks adjoining. Diketahui bahwa sebagian

besar tetangga dari dua verteks adjoining

dan adalah berbagi. Sehingga dapat

digunakan kembali pewarnaan tetangga

verteks ketika mencari pewarnaan tetangga

dari verteks .

Ambil menjadi warna penetapan

untuk verteks ketika mewarnai tetangga dari

verteks . Kemudian berikan suatu pewarnaan

dari tetangga , partisi tetangga dari verteks

adjoining menjadi dua himpunan :

(1) . Karena verteks adalah

tetangga dari , maka dapat digunakan

kembali warnanya;

.

(2) . Karena verteks adalah

bukan tetangga dari , tidak ada warna

penetapan awal untuk .

Dari keterangan di atas didapatkan suatu

cara pewarnaan dengan menetapkan warna

verteks dalam himpunan (1) dan kemudian

menentukan warna minimum untuk verteks

dalam himpunan (2). Selanjutnya akan

digunakan metode urutan derajat warna

pertama untuk mencari batas atas dalam

menentukan suatu clique maksimum di graf

berdasarkan (Strickland, DM. 2008)

sebagai berikut:

Misalkan diberikan graf ,

1. Warnai verteks dengan warna .

2. Warnai verteks yang adjacent dengan

dengan warna dan verteks yang tidak

adjacent dengan dapat diberi dengan

warna sebelumnya ( ).

3. Kemudian untuk setiap verteks berturut-

turut, pilih warna berbeda dan minimum

yaitu tidak ada warna verteks yang

adjacent dengan berbagi dengan warna

yang sama.

Hasil dari metode pewarnaan ini

memberikan suatu batas atas graf ( )

yang akan digunakan untuk memeriksa

apakah clique maksimum yang didapatkan

merupakan solusi optimal bagi masalah CMO

dengan syarat batas bawah graf sama

dengan batas atas graf .

22

V STUDI KASUS

Misalkan diberikan dua hipotetik protein

yaitu, protein A yang memiliki 8 asam amino

dan protein B yang memiliki 7 asam amino.

Contact map antara asam-asam amino dalam

protein A dan protein B adalah sebagai

berikut:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

Gambar 14 Hipotetik protein A dan B.

Pada Gambar 14, terlihat bahwa terdapat

5 contact pada protein A dengan =

{ , , , , }

dan 6 contact pada protein B dengan =

{ , , , , ,

}. Sehingga didapatkan banyaknya

verteks ={ , ,

, , ,

, , ,

..., } yang terbentuk berjumlah

30 verteks sebagai berikut:

Pro

tein

A

Protein B


A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

B5B7

Gambar 15 Verteks yang terbentuk.

5.1 Penentuan Graf .

Untuk menentukan suatu graf , terlebih

dahulu dicari sisi yang dapat dibentuk dari

banyaknya kemungkinan overlap yang terjadi

berdasar Gambar 14. Berikut adalah beberapa

contoh kemungkinan overlap yang dapat

dibentuk dan merupakan fisibel:

1. Misalkan overlap ,

( } seperti pada Gambar 16.

Sehingga didapatkan sisi yang fisibel

seperti pada Gambar 17.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

8

Protein A

Protein B Gambar 16 Overlap ,

( }


A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

B5B7

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 17 Sisi fisibel.





23

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

Gambar 18 Overlap ,

.


A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

B5B7

Protein B

Pro

tein

A






1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

Gambar 20 Overlap ,

.


A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

B5B7

Protein B

Pro

tein

A


Beberapa kemungkinan overlap lain yang

fisibel dapat dilihat pada Lampiran 5.

Berdasar pada hal tersebut, maka didapatkan

suatu graf yang terdiri dari 30 verteks dan

30 sisi sebagai berikut:

B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6 B5B7

A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

Protein B

Pro

tein

A

Gambar 22 Graf Gp berdasar Gambar 14.

5.2 Penentuan Batas Bawah Graf .

Untuk mempermudah notasi dalam

mencari suatu batas bawah pada graf ,

dilakukan penyederhanaan terhadap Gambar

17 sebagai berikut:

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 23 Penyederhanaan notasi graf .

24

Penentuan batas bawah atau nilai dari

suatu clique maksimum yang terdapat dalam

graf , digunakan metode heuristik

(Strickland, DM. 2008), sebagai berikut :

Langkah 1. Misalkan .

Langkah 2. Pilih verteks dengan derajat

terbesar di sebagai verteks awal dalam

mencari clique yaitu verteks atau

yang berderajat 7, sehingga .

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 24 Verteks sebagai awal.

Langkah 3. Hapus semua verteks yang

tidak adjacent dengan , yaitu dengan

menghapus 23 verteks lainnya, yaitu verteks

{ , , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , ,

, } dan .

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Protein B

Gambar 25 .

Langkah 4. Pilih verteks berderajat

terbesar yang adjacent dengan , yaitu

atau . Misalkan pilih dan

tambahkan ke dalam , sehingga

dan selanjutnya hapus

verteks yang tidak adjacent dengan ,

yaitu , dan .

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 26 .

Langkah 5. Pilih verteks berderajat

terbesar yang adjacent dengan , yaitu

. Tambahkan ke dalam ,

sehingga dan

selanjutnya hapus verteks yang tidak adjacent

dengan , yaitu .

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 27 .

Langkah 6. Tambahkan ke dalam

. Kemudian berhenti, maka yang terbentuk

merupakan clique maksimum dari graf Gp

dengan

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 28 Clique-4 dengan

25

Berdasarkan hasil tersebut didapatkan

batas bawah atau clique maksimum

dengan clique-4.

5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah

Contact Map Overlap.

Diketahui nilai atau clique-4

sebagai batas bawah. Untuk mencari solusi

optimal pada graf digunakan langkah-

langkah sebagai berikut :

Langkah 1. Hapus semua himpunan

diagonal tenggara yang berisi 4 verteks atau

kurang (Lemma 3). Susun graf sesuai

dengan Teorema 1. Berikan penomoran

diagonal tenggara mulai dari baris lima kolom

satu ( ), sampai baris satu kolom enam

( ) sebagai berikut:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Protein B

Pro

tein

A

2 3 4 5 61

1

2

3

4

5

Gambar 29 Penomoran diagonal tenggara

graf .

Selanjutnya, hapus semua diagonal tenggara

yang memuat verteks 4, yaitu hapus

diagonal tenggara bernomor (1), (2), (3), (4),

(7), (8), (9) dan (10).

(5) (6)

Protein B

Pro

tein

A

2 3 4 5 61

1

2

3

4

5

Gambar 30 Diagonal tenggara (5) dan (6)

graf .

Berdasar hal tersebut, suatu clique maksimum

akan terdapat pada graf yang tersusun oleh

verteks: , , , ,

, , , , dan

, sebagai berikut:

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

(5) (6)

Gambar 31 Subgraf berisi verteks diagonal

tenggara (5) dan (6) dari graf .


memiliki tetangga verteks . (Sifat 1).

Dengan kata lain, verteks berderajat

pada graf dapat dihapus. Maka, suatu

clique maksimum pada graf dimungkinkan

akan terbentuk oleh verteks: , ,

, , dan .

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 32 Graf hasil Langkah 2.

Keterangan ,

, dan . Derajat setiap

verteks dapat dilihat pada Tabel 1 Lampiran 6.


memiliki tetangga berada pada baris atau

kolom (Corollary 2). Cukup pilih salah

satu diantara baris atau kolom yang

memenuhi. Verteks yang memenuhi adalah

26

, , dan . Posisi

baris atau kolom setiap verteks tetangga dapat

dilihat pada Tabel 2 Lampiran 7.

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 33 Graf hasil Langkah 3.


tetangganya dapat diwarnai dengan warna

(Sifat 2). Berdasar pada Langkah 1, diketahui

bahwa suatu clique yang maksimum akan

terdapat pada diagonal tenggara (5) dan (6).

Selanjutnya graf hasil dari Langkah 3 akan

digunakan untuk mencari pewarnaan

minimum dengan metode heuristik sederhana,

sebagai berikut:

1. Misal dijadikan sebagai verteks

awal dan beri warna merah.

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 34 Verteks awal .

2. Pilih verteks berderajat terbesar yang

adjacent dengan , yaitu dan

beri warna biru. Selanjutnya verteks yang

tidak adjacent dengan , yaitu

, dan dapat diberi

warna merah. Verteks yang tidak adjacent

dengan , yaitu dapat diberi

warna biru.

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 35 Pewarnaan verteks merah dan

biru.

3. Pilih verteks yang adjacent dengan

dan , yaitu dan beri warna

kuning. Selanjutnya dan

dapat diberi warna kuning juga.

Protein BP

rote

in A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 36 Pewarnaan verteks merah, biru

dan kuning.

4. Pilih sebagai dan beri warna hijau.

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 37 Hasil pewarnaan graf .

27

Sehingga didapatkan suatu pewarnaan

minimum dengan 4 warna ( ) dan

clique yang disusun oleh , ,

dan .

Protein B

Pro

tein

A

1

2

3

4

5

2 3 4 5 61

Gambar 38 Clique maksimum graf .

Berdasar hasil tersebut, diketahui bahwa

clique-4 ( ) adalah clique

yang maksimum pada graf dan merupakan

solusi optimal bagi masalah CMO dengan

overlap = { , ,

, }.

Pro

tein

A

Protein B


A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

B5B7

Gambar 39 Solusi optimal graf .

Jika ditranformasikan kedalam bentuk graf

CMO, maka didapatkan gambar overlap yang

optimal sebagai berikut:

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

8

Protein A

Protein B

Gambar 40 Overlap optimal masalah CMO

berdasar Gambar 14.

VI SIMPULAN


pada protein dapat direpresentasikan ke dalam

suatu kasus pendefinisian graf dengan

menggunakan masalah clique maksimum

untuk mencari solusi optimalnya. Diawali

dengan mengurutkan susunan graf sesuai

dengan sifat khusus graf CMO dan verteks

tetangga. Selanjutnya dengan beberapa

langkah dicari clique maksimum yang

terbentuk dan optimal bagi masalah CMO.


pada karya ilmiah ini diterapkan pada dua

hipotetik protein, yaitu protein A dengan 8

asam amino dan protein B dengan 7 asam

amino. Solusi optimal yang didapatkan adalah

clique-4 yaitu graf yang terdiri atas verteks:

, , dan , atau

dengan overlap = { ,

, , }.

28

DAFTAR PUSTAKA

Campbell, J. B. Reece, L. G dan Mitchell.

2004. Biologi. Edisi kelima. Jilid 1.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Chartrand G, Oellermann OR. 1995. Applied

and Algorithmic Graph Theory. New

York: McGraw-Hill.

Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic

Graph Theory. London: CRC Pr.

Pardalos, P. M., J. Xue. 1994. The Maximum

Clique Problem. Global Optim. 4(3) 301–

328.

Strickland D.M. 2008. Teaching Note – Using

the Maximum Clique Problem to Motivate

Branch-and-Bound. INFORMS pp. 96-99.

Strickland D.M, Barnes E, Sokol J.S. 2005.

Optimal Protein Structure Alignment

Using Maximum Cliques. ABI/INFORM

Global pg. 389-402.

Vasudev C. 2006. Graph Theory with

Applications. New Delhi: New Age

International.

29

LAMPIRAN

30

Lampiran 1

Pembuktian Lemma 2

Diberikan protein A dan protein B, himpunan verteks bersesuaian dengan solusi fisibel

CMO jika dan hanya jika setiap pasangan verteks , bersesuaian dengan solusi fisibel

CMO.

Bukti :

→ Misalkan S adalah himpunan verteks di Np. Anggap bahwa terdapat dua verteks dan

sebagai pasangan yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas dan pembatasan

pengurutan dilanggar. Dengan kata lain, baik itu (1) dan menyaratkan asam amino pada

satu protein untuk diberikan alignment dengan lebih dari satu asam amino dalam protein lain,

(2) alignment yang terbentuk melanggar sifat pembatasan; yaitu dan . Dalam

kedua kasus, penambahan sisa verteks di tidak akan mengganti sifat ini, sehingga seluruh

himpunan juga akan takfisibel.

← Misalkan adalah himpunan verteks yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas

dan pembatasan pengurutan harus dilanggar. Sehingga himpunan tersebut harus berisi baik itu

(1) asam amino dalam satu protein yang diberi alignment dengan dua asam amino dan

dalam protein lain, atau (2) asam amino dalam satu protein yang diberikan

alignment dengan asam amino dalam protein lain. Pada kasus (1), dua verteks

dalam yang diberikan alignment pada dengan dan dengan adalah pasangan

yang takfisibel, dan pada kasus (2), verteks yang diberi alignment pada dengan dan

dengan adalah pasangan yang takfisibel.

Lampiran 2

Pembuktian Teorema 1

Diberikan suatu protein dengan

menyatakan contact map

dengan dan

menotasikan asam amino dari protein . Untuk setiap protein , didefinisikan

suatu lexicographic ordering yaitu contact

dalam diurutkan berdasarkan urutan

menaik dan urutan menaik . Jika graf disusun dengan cara tersebut, maka semua sisi

dalam akan berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau arah ini dinamakan “diagonal

tenggara”.

Bukti :

Diketahui bahwa istilah berikut adalah setara: tenggara dan baratlaut, timurlaut dan baratdaya,

utara dan selatan, serta timur dan barat. Berdasarkan hal tersebut terdapat empat kemungkinan arah

untuk sisi dalam : utara, timur, tenggara dan timur laut.

Suatu verteks dalam diwakili oleh

yang mengindikasikan bahwa

contact dalam protein A dipetakan ke contact dalam protein B (dan dengan demikian titik

akhir mereka sejajar :

). Untuk memudahkan, verteks ini dinotasikan dengan

. Suatu sisi dalam menunjukkan pemetaan serempak dari contact dan

dalam protein A ke contact dan dalam protein B. Sehingga tiap sisi dan akan

menjadi sisi tenggara. Kemudian akan ditunjukkan tidak ada sisi yang dapat mempunyai arah lain

ketika contact disusun berdasar teorema.

(1) Anggap bahwa adalah sisi utara. Selanjutnya dan mewakili contact yang

sama dalam protein B. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu

), baik itu

atau

. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar

pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein B dapat diberi alignment dengan dua asam

amino di protein A dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi utara di .

31

(2) Anggap bahwa adalah sisi timur. Selanjutnya dan mewakili contact yang

sama dalam protein A. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu

), baik itu

. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar

pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein A dapat diberi alignment dengan dua asam

amino di protein B dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi timur di .

(3) Anggap bahwa adalah sisi timurlaut. Kemudian pengurutan membutuhkan

dan . Sehingga baik itu

, atau

dan

. Sama halnya, baik itu

, atau

dan

. Sekarang pertimbangkan bahwa alignment tersirat oleh sisi

berikut:

(a) Jika

dan

, selanjutnya alignment di dengan

dan dengan

melanggar persyaratan pengurutan dari solusi yang fisibel. Persyaratan yang sama dilanggar

jika

,

,

dan

.

(b) Jika

,

dan

, selanjutnya alignment di dengan

dan dengan

melanggar persyaratan eksklusivitas dari solusi yang fisibel (baik itu

dan diberi

algnment dengan

). Persyaratan yang sama dilanggar jika

,

dan

.

Lampiran 3

Pembuktian Lemma 3

Tidak ada clique yang lebih besar dari clique- dapat memiliki verteks yang berada pada

diagonal tenggara yang berisikan verteks atau kurang.

Bukti :

Pertimbangkan tiap verteks dalam sebuah graf . Verteks dapat mempunyai sisi

yang menghubungkan hanya pada verteks strictly tenggara dan strictly baratlaut, yaitu verteks

dalam himpunan (tenggara) dan dalam himpunan

(baratlaut). Catat bahwa jika atau , himpunan tenggara akan

menjadi kosong dan jika atau , himpunan barat laut akan menjadi kosong.

Dikarenakan tidak terdapat sisi horizontal atau vertikal dalam , clique dapat berisikan paling

banyak satu verteks dari tiap baris atau kolom. Oleh karena itu, size dari clique yang berisikan

verteks adalah , yang bersesuaian dengan

kemungkinan verteks baratlaut terbanyak ditambah kemungkinan verteks baratdaya terbanyak,

ditambah verteks itu sendiri.

Penghitungan untuk setiap kemungkinan minimize, memberikan batas atas dalam size clique

sebagai berikut:

. Setelah disederhanakan, batas atas dalam clique terbesar berisikan

verteks dapat mempunyai paling banyak verteks,

yang secara pasti jumlah verteks dalam tenggara diagonal dari itu mengandung verteks .

Lampiran 4

Pembuktian Lemma 4

Diberikan sebuah graf CMO dan dengan menggunakan definisi dari , ..., dari (1)-(4)

diatas, hubungan berikut adalah benar : (a) , (b) , dan (c) .

Bukti :

a) Anggap bahwa verteks berada di tenggara diagonal dari , dengan demikian

berada di kiri bawah (tenggara) segitiga dari graf. Selanjutnya dan

dapat mempunyai tetangga hanya dalam kolom pertama dan baris terakhir.

Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal, warnai tetangga dari dalam

– – warna. Oleh karena itu, . Argumen yang sama

adalah benar untuk verteks dalam tenggara diagonal terakhir.

32

b) Anggap bahwa verteks . Selanjutnya, verteks memiliki tetangga atau

kurang. Walaupun setiap tetangga ditetapkan dengan warna berbeda, semua tetangga dapat

diwarnai menggunakan warna atau kurang. Oleh karena itu, .

c) Anggap bahwa verteks . Selanjutnya, tetangga verteks terletak pada

baris/kolom atau kurang. Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal di , warnai

tetangga dalam warna atau kurang dengan menggunakan satu warna untuk setiap baris

(atau kolom). Oleh karena itu, .

Lampiran 5

Posibilitas pasangan overlap fisibel untuk mencari jumlah berdasarkan Gambar 14.

1. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

2. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

3. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

4. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

5. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

6. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

33

7. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

8. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

9. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

10. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

11. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

12. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

13. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

14. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

34

15. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

16. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

17. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

18. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

19. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

20. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

21. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

22. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

35

23. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

24. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

25. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

26. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

27. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

28. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

29. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

30. = { , }.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

Protein B

Protein A

36

Berdasarkan beberapa posibilitas di atas,

maka didapatkan suatu graf penuh (graf )

yang disusun dari 30 verteks dan 30 sisi.

B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6 B5B7

A1A3

A1A6

A2A6

A3A6

A6A8

Protein B

Pro

tein

A

Lampiran 6

Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf .

Tabel 1 Derajat setiap verteks di graf .

Derajat Verteks

0 , , , , , 1 , , , , , 2 , , , , , , ,

, , 3 , , 4 , , 5 6 -

7

Lampiran 7

Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf .

Tabel 2 Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .

Baris Kolom Verteks

0 0 , , , , , 1 1 , , , , , 1 2 , , , , 2 1 2 2 , , , , 3 1 3 2 , 3 3 3 4 4 3 , ,

Documents

PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN … · 2 ABSTRAK . DIAN NUGRAHA.Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan Clique Maksimum. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS