Pengujian Hipotesis

Definisi

• Hipotesis adalah suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya, dan perlu dibuktikan; atau; dugaan yang sifatnya masih sementara

• Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya

• Pengujian hipotesis adalah suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu keputusan, yaitu keputusan untuk menerima atau menolak hipotesis itu

Prosedur Pengujian Hipotesis

• Menentukan Formulasi Hipotesis• Menentukan Taraf Keberartian (Significant

Level)• Pilih Uji Statistik yang Sesuai dan Tentukan

Daerah Kritisnya• Menentukan Nilai Uji Statistik• Membuat Kesimpulan

Formulasi Hipotesis

• Hipotesis Nol (H0)

adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan diuji

• Hipotesis Alternatif/Tandingan (H1 atau Ha)

adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol

Hipotesis Tandingan

• H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih besar daripada harga yang dihipotesiskan – pengujian satu sisi – pengujian sisi kanan

• H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil daripada harga yang dihipotesiskan – pengujian satu sisi – pengujian sisi kiri

• H1 menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang dihipotesiskan – pengujian dua sisi

H0 : θ = θ0

H1 : θ > θ0

H1 : θ < θ0 H1 : θ ≠ θ0

Uji Eka Arah dan Dwi Arah

• Pengujian eka arah adalah pengujian hipotesis di mana daerah kritisnya terletak pada satu bagian (sisi kanan saja atau sisi kiri saja)

• Pengujian dwi arah adalah pengujian hipotesis di mana daerah kritisnya terbagi menjadi 2, di sebelah kiri dan kanan dari daerah penerimaan

Taraf Keberartian

• Taraf Keberartian adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya

• Dilambangkan dengan α• Semakin tinggi α yang digunakan maka

semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji, padahal hipotesis nol benar

Daerah Kritis

Jenis2 Pengujian Hipotesis• Berdasarkan Jenis Parameternya

– Pengujian hipotesis tentang rata2– Pengujian hipotesis tentang proporsi– Pengujian hipotesis tentang varians

• Berdasarkan Jumlah Sampelnya– Pengujian hipotesis sampel besar– Pengujian hipotesis sampel kecil

• Berdasarkan Jenis Distribusinya– Pengujian hipotesis dengan distribusi Z– Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student)– Pengujian hipotesis dengan distribusi X2 (chi-kuadrat)– Pengujian hipotesis dengan distribusi F (F-ratio)

• Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya– Pengujian eka arah– Pengujian dwi arah

Uji Menyangkut Rataan

• Uji Statistiknya:– Simpangan baku populasi diketahui:

– Simpangan baku populasi tidak diketahui:n

XXZ

X

000

n

sX

s

Xt

X

00

Menggunakan Distribusi t

Dengan derajat kebebasan:V = n - 1

(Menggunakan DistribusiNormal Baku)

Contoh Soal 1

• Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukkan rata-rata usia mereka 71.8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8.9 tahun, apakah ini menunjukkan bahwa rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun?

1. H0 : µ = 70 tahun

2. H1 : µ > 70 tahun

3. α = 0.054. Daerah kritisnya z>1.6455. Nilai uji statistik dari data sampel:

6. Kesimpulan:Tolak H0. Rata-rata usia dewasa ini melebihi 70 tahun.

02.2

100

9.8708.71

z

Contoh Soal 2

• Sebuah perusahaan pembuat perlengkapan olahraga membuat tali pancing sintetik yang baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan simpangan baku 0.5 kg. Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan tandingan bahwa µ≠8 kg bila sampel acak 50 tali diuji dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian 0.01

1. H0 : µ = 8 kg

2. H1 : µ ≠ 8 kg

3. α = 0.014. Daerah kritisnya z < -2.575 dan z > 2.5755. Nilai uji statistiknya:

6. Kesimpulan:Tolak H0. Rata-rata daya tahan tidak 8 kg.

83.2505.0

88.7

z

Pengujian Hipotesis Beda Dua Rata2

• Untuk variansi diketahui:

• Untuk variansi tidak diketahui:

2

22

1

21021

0 21

21

)(

nn

dxxZ

xxxx

2

)1()1(

11

)(

21

2221

212

21

021

nn

nsnss

nns

dxxt p

p

Uji Pengamatan Berpasangan

nS

DT

d

D

Contoh Soal 3

• Percobaan dilakukan untuk memeriksa pengaruh obat X terhadap kadar peredaran endrogen dalam darah. Sampel darah rusa diambil segera setelah disuntikkan obat tersebut. 30 menit kemudian darah rusa tersebut diambil lagi. Kadar androgen pada waktu disuntik dan 30 menit setelah disuntik untuk 15 rusa adalah seperti pada tabel. Apakah kadar androgen berubah setelah ditunggu 30 menit? Anggap populasi normal. Gunakan taraf keberartian 0.05

Rusa Androgen Di

Waktu Suntikan 30 menit setelah suntikan

1 2.76 7.02 4.26

2 5.18 3.10 -2.08

3 2.68 5.44 2.76

4 3.05 3.99 0.94

5 4.10 5.21 1.11

6 7.05 10.26 3.21

7 6.60 13.91 7.31

8 4.79 18.53 13.74

9 7.39 7.91 0.52

10 7.30 4.85 -2.45

11 11.78 11.10 -0.68

12 3.90 3.74 -0.16

13 26.00 94.03 68.03

14 67.48 94.03 26.55

15 17.04 41.70 24.66

1. H0 : µ1 = µ2

2. H1 : µ1 ≠ µ2

3. α = 0.054. Daerah kritisnya t<-2.145 dan t>2.1455. Perhitungan:

6. Kesimpulan:H0 diterima. Tidak ada perbedaan dalam rataan kadar peredaran androgen

06.215474.18

0848.9

474.18848.9

t

Sd d

Uji Menyangkut Proporsi

)1( 00

00

PnP

nPXZ

Uji Hipotesis untuk Beda 2 Proporsi

21

21

2

22

1

11

21

210

11)1(

nn

XXP

n

XP

n

XP

nnPP

PPZ

Contoh Soal 5

• Suatu pemungutan suara akan dilakukan di antara penduduk kota M dan sekitarnya mengenai pendapat mereka tentang rencana pendirian gedung serba guna di tengah kota. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan antara proporsi penduduk kota dan sekitarnya yang menyetujui rencana tersebut, diambil sebuah sampel acak yang terdiri dari 200 penduduk kota dan 500 penduduk di sekitarnya. Apabila ternyata ada 120 penduduk kota dan 240 penduduk di sekitarnya yang setuju, apakah anda setuju jika dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih tinggi daripada proporsi penduduk di sekitarnya? Gunakan taraf keberartian 1%

• H0 : p1 = p2

• H1 : p1 > p2

• α = 1%• Daerah kritisnya: Z0.01 = 2.33, Z0 > 2.33• Uji Statistiknya:

• Kesimpulan:H0 ditolak. Proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana itu lebih besar daripada proporsi penduduk di sekitarnya

9.2

)49.0)(51.0(

48.06.0

51.0500200

24012048.0

500

2406.0

200

120

5001

20010

21

Z

ppp

Kesalahan Alpha dan Beta

• Galat Jenis I adalah penolakan hipotesis nol padahal hipotesis itu benar-- Peluang melakukan galat jenis I – taraf keberartian (Level of Significance, α)

• Galat Jenis II adalah penerimaan hipotesis nol padahal hipotesis tersebut salah

H0 Benar H0 SalahTerima

H0

Keputusan Benar

Galat Jenis II

Tolak H0

Galat Jenis I Keputusan Benar

Beberapa Sifat Penting Galat• Galat jenis I dan II berkaitan. Memperkecil peluang yang

satu, biasanya memperbesar peluang yang lainnya• Ukuran daerah kritis menunjukkan peluang melakukan

galat jenis I. Sehingga peluang melakukan galat jenis I selalu dapat diperkecil dengan cara memperkecil daerah kritis

• Menaikkan ukuran sampel, akan memperkecil α dan β secara serentak

• Bila hipotesis nol salah, β akan mencapai nilai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya dengan nilai yang dihipotesiskan, makin kecil pula nilai β

Kuasa Suatu Uji

• Adalah peluang menolak H0 bila ternyata H1 yang benar

• Dinotasikan dengan (1-β)

Kurva Ciri Operasi dan Kurva Kuasa

• Grafik β terhadap parameter (misalkan µ) disebut kurva ciri operasi

• Grafik (1-β) terhadap parameter (misalkan µ) disebut kurva kuasa.

• Bentuk kurva kuasa merupakan kebalikan dari kurva CO

• Berdasarkan pengalaman masa lalu, tinggi badan calon mahasiswa sebuah akademi didistribusikan secara normal dengan rata-rata 160 cm dan simpangan baku 20 cm. Instruktur ingin menguji pada taraf keberartian 5%, apakah rata-rata tinggi calon mahasiswa tahun ini di atas 160 cm. Untuk melakukan itu, dipilih sampel sebanyak 36 calon mahasiswa dan diperoleh rata-rata tinggi

Uji Kebaikan Suai(Goodness of Fit)

• Adalah uji untuk menentukan apakah suatu populasi mempunyai suatu distribusi teoritis tertentu

• Uji ini didasarkan atas baiknya kesesuaian yang ada antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dan frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan

k

i i

ii

e

eo

1

22

X2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya dihampiri amat dekat oleh distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = k-1oi : frekuensi amatanei : frekuensi harapan

• Bila frekuensi amatan dekat dengan harapan, maka nilai X2 akan kecil, menunjukkan kesesuaian yang baik

• Bila frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai X2 akan besar dan kesesuaian jelek

Contoh Soal:

• Seorang pemilik pasar swalayan menjual kopi dari 5 macam merek, yaitu merek A, B, C, D dan E. Kalau pA, pB, pC, pD dan pE masing-masing merupakan proporsi pembeli yang menyenangi/menyukai merek-merek A,B,C,D,E maka pemilik pasar swalayan tadi berpendapat bahwa:

• H0 : pA = pB = pC = pD = pE = 0.2 (dist. Probabilitas Seragam)

• H1 : proporsi tidak sama (dist. Probabilitas tidak seragam)

Merek Banyak Pembeli (f)A 210B 312C 170D 85E 223

Jumlah 1000

α = 0.05

• Kalau H0 benar maka banyaknya pembeli yang menyenangi/menyukai merek A,B,C,D,E akan sama, yaitu (0.2)(1000)=200 atau (1000)/5= 200, maka e1=e2=e3=e4=e5=200

4.136200

)200223(

200

)20085(

200

)200170(

200

)200312(

200

)200210(

)(

22222

22

i

ii

e

eo

α= 0.05, derajat kebebasan = k-1 = 5-1 = 4 χ20.05 = 9.488

• H0 ditolak. Berarti proporsi pembeli yang menyukai merek A, B, C, D, dan E tidak sama

Uji Kebebasan (Independensi)

• Merupakan pengujian untuk hipotesis bahwa dua peubah saling bebas

luruhanjumlahkese

mjumlahkoloxrjumlahlajuharapanfrek

)()(.

Perubahan Pajak Tingkat Pendapatan Total

Rendah Menengah Berada

Setuju 182 (200.9) 213 (209.9) 203 (187.2) 598

Tidak Setuju 154 (135.1) 138 (141.1) 110 (125.8) 402

Total 336 351 313 1000

Banyaknya harapan pemilih yang berpendapatan rendah dalam sampel yang Setuju perubahan pajak baru ditaksir sebesar:=(336/1000)(598/1000)(1000)=200.9

• H0 : pendapat pemilih mengenai perubahan pajak baru dan tingkat pendapatannya saling bebas

• H1 : pendapat pemilih mengenai perubahan pajak baru dan tingkat pendapatannya tidak saling bebas

• α= 0.05• Daerah kritis v = (b-1)(l-1)=(2-1)(3-1) = 2

χ20.05 = 5.991 χ2 > 5.991

• Perhitungan:

• Kesimpulan: Tolak H0. Pendapat pemilih mengenai perubahan pajak baru dan tingkat pendapatannya tidaklah bebas

85.78.125

)8.125110(

1.141

)1.141138(

1.135

)1.135154(

2.187

)2.187203(

9.209

)9.209213(

9.200

)9.200182(

222

2222

Uji Kehomogenan (Homogenitas)

• Merupakan uji hipotesis apakah proporsi populasi H0 dan H1 sama atau tidak

• H0 : untuk setiap proporsi sama

H1 : paling sedikit ada suatu proporsi yang

tidak sama

Contoh SoalUU Pengguguran

KandunganAffiliasi Politik

Demokrat Republik Independen

Setuju 82(85.6) 70(64.2) 62(64.2)

Menentang 93(88.8) 62(66.6) 67(66.6)

Abstain 25(25.6) 18(19.2) 21(19.2)

• H0 : p1 = p2 = p3

• H1 : p1, p2, p3 tidak semuanya sama• α= 0.05• Daerah kritis χ2 > 9.488 untuk v = 4 derajat

kebebasan• Perhitungan:

χ2 = 1.53• Kesimpulan:

Terima H0, proporsi yang setuju dengan pengguguran sama untuk setiap afiliasi politik

Daftar Pustaka

• Hasan, M. Iqbal, Pokok-pokok Materi Statistik 2: Statistik Inferensif, Penerbit Bumi Aksara, Edisi Kedua, 2010

• Susanty, Aries, Statistika Industri, Laboratorium Optimasi dan Perencanaan Sistem Industri, Program Studi Teknik Industri, Universitas Diponegoro, 2008

• Walpole, Ronald. E., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995