Kristal no.7/Oktober/1992 1

PENGUKURAN, PENGOLAHAN &ANALISA DATA EKSPERIMEN

Lokakarya Metodologi Penelitian Universitas Surabaya, 7-8 Juli 1992oleh : Sugata Pikatan

Eksperimen adalah kegiatan yang tak terpisahkan dengan istilah penelitian dibidang eksakta. Kegiatan ini meliputi tiga hal sekaligus yakni : pengukuran, pengolahandan analisa data. Ketiga hal ini terkait satu dengan lainnya demikian erat sehinggapembahasannya pun tidak dapat dipisahkan secara tegas. Sifat kemanunggalannya dapatdipahami melalui uraian-uraian dalam tulisan ini.

Mengapa eksperimen penting ? Eksperimen adalah kegiatan yang mengarah padapengujian suatu hipotesa teoritis. eksperimen adalah cara bertanya seorang ilmuwankepada alam. Hasil eksperimen merupakan jawaban yang diberikan oleh alam yang harusditafsirkan oleh ilmuwan sebagai dukungan atau tolakan terhadap hipotesa yangdiajukannya. Oleh sebab itu agar seorang ilmuwan mendapatkan jawaban yang baik(mudah ditafsirkan) tentunya ia perlu bagaimana cara bertanya dan cara menafsirkanjawaban yang baik dan benar.

Pengukuran adalah kegiatan pengumpulan data, sedangkan data sendiri adalahkumpulan jawaban yang diberikanalam. Kumpulan jawaban ini harus diolah dulu supayadapat tampil secara terintegrasi dan ilmiah. Tampilan hasil pengolahan inilah yangkemudian perlu diinterprestasikan melalui suatu analisa.

PENGUKURANKegiatan pengukuran memerlukan dua perangkat penting yaitu instrumen

(peralatan) sebagai perangkat kerasnya dan metoda pengukuran sebagai perangkatlunaknya. Keduanya digunakan secara serempak untuk mendapatkan data yang sebaik-baiknya.

Sebelum pembahasan tentang pengukuran dilanjutkan, ada baiknya kita mengetahuidulu watak-watak hasil pengulkuran (data) yang akan diperoleh. Data hasil pengukuranterhadap suatu besaran fisis tidak akan memberikan suatu nilai yang tepat. Hal inidisebabkan oleh banyak faktor antara lain keterbatasan jangkauan ukur alat yangdigunakan, kelemahan metoda pengukurannya, karakteristik alamiah besaran itu sendiri,dan lain-lain. Jadi data yang dapat disajikan nantinya hanyalah merupakan perkiraanterbaik tentang nilai besaran yang diukur. Hasil ukur biasanya ditampilkan dalam bentuk :

(x ±± s)dimana x adalah nilai perkiraan terbaiknya dan s adalah galat (error) ukurnya. Nilai ukuryang dapat diterima dengan demikian adalah antara ( x-s ) sampai dengan (x + s). Hasilpengukuran dikatakan sah hanya jika diserati dengan ketelitiannya (ditampilkan oleh galats).Pengukuran dapat dibagi menjadi tiga jenis menurut cara kita melakukannya, yaitu :

1. Pengukuran langsungPengukuran ini dilakukan dengan cara membandingkan langsung sesuatu yang

akan diukur dengan sebuah standar yang dipakai sebagai alat ukurnya.

Kristal no.7/Oktober/1992 2

Misalnya seseorang mengukur panjang seutas tali, ia akan membandingkan panjang tali itudengan mistar yang dimilikinya.

2. Pengukuran tidak langsungPengukuran ini terpaksa dilakukan karena berbagai macam sebab, antara lain

keterbatasan panca indera manusia sebagai sensor terhadap gejala alam yang akan diukur.Untuk melihat benda-benda mikroskop manusia perlu alat bantu yaitu mikroskop. Untukmengukur arus listrik manusia perlu mengubah dulu gejala listrik menjadi gejala mekanikjarum amperemeter.

3. Pengukuran dengan perhitunganPengukuran ini dilakukan berdasarkan pada hasil-hasil pengukuran yang dilakukan

sebelumnya. Hasil ukurnya didapat melalui suatu perhitungan data pengukuran langsungmaupun tak langsung.

Volume tabung dapat diukur langsung dengan gelas ukur, dan dapat juga dihitungdari hasil ukur diameter dan tingginya. Contoh lain adalah massa jenis suatu zat cair dapatdiukur dengan densimeter, dan dapat juga dihitung dengan mengukur lebih dulu massa danvolumenya.

Mengingat data yang dihasilkan pengukuran ini selalu mengandung ketidakpastiansebesar s, maka semua rancangan instrumen dan metoda pengukuran dimaksudkan untukmendapatkan nilai galat s yang sekecil-kecilnya. Seorang eksperimen yang menggunakanalat ukur dan metoda pengukuran yang tidak dirancangnya sendiri ttap mutlak harusmengetahui batasan-batasan apa saja yang dimilikinya terhadap hasil ukurnya nanti.

Perangkat keras pengukuran yang berupa peralatan ukur memiliki watak-watakyang mutlak diketahui seorang eksperimenter. Watak tersebut adalah :

o resolusi : tingkat kemampuan alat itu untuk membedakan ukuran terkecil. Misalmistar 30 cm-an memiliki resolusi orde mm, sedangkan sebuah mikrometer dapatmemiliki resolusi yang lebih tinggi, yaitu orde 1/1000 mm.

o akurasi : tingkat kemampuan alat itu untuk memberikan hasil ukur yangmendekati nilai yang sebenarnya. Jika panjang 10,0 cm diukur oleh sebuah mistarsebagai 9,9 cm, akurasi mistar hanyalah 1 %.

o presesi : tingkat kemampuan alat itu untuk memberikan hasil ukur yang sama pada saat pengulangan pengukuran dilakukan.

Alat yang beresolusi dan berpresisi tinggi belum tentu memiliki akurasi yang tinggipula. Idealnya di dalam sebuah eksperimen semua instrumen yang dipakai memilikiresolusi dan akurasi yang tinggi.

Tingkat resolusi dan akurasi sebuah alat ukur biasanya dapat dipelajari dalam bukumanualnya. Kadang-kadang tampilan alat itu sendiri sudah menunjukkan resolusinya,misalnya dilihat dari pembagian skala pada alat tersebut. Akurasinya biasanya dinyatakandalam prosen. Jika akurasinya bersifat linier bebas, akurasi alat dinyatakan dalam % f.s.(full-scale). Jika akurasinya bersifat linier proporsional, akurasi alat cukup dinyatakandalam % saja (berarti terhadap hasil ukurnya).

Kristal no.7/Oktober/1992 3

Metoda pengukuran ikut berperan dalam menentukan keberhasilan suatupengukuran. Metoda ini berkaitan dengan dua komponen yang saling menunjang, yaknisistem yang diukur (sebagai obyek) dan si pengukur sendiri (sebagai subyek). Padaumumnya pengukuran dilakukan dengan cara mengganggu sistem yang diukur, akibatnyahasil ukurnya tentu meleset dari nilai yang sebenarnya akan diukur. Contoh : pengukuransuhu suatu benda mau tidak mau harus dilakukan dengan cara mengambil sedikit panasdarinya untuk masukan termometer yang digunakan. Atau pengukuran arus listrikmenggunakan amperemeter, mau tak mau sebagian arus yang akan diukur harus ditarikmasuk ke dalam tahanan shunt-nya. Sifat obtek pengukuran bahwa ia harus diganggu initidak sulit untuk dikoreksi.

Kesalahan yang berasal dari subyek pengukuran tentu sama sekali tidakdikehendaki dan dapat dihindari yaitu dengan melakukan pengukuran itu secara hati-hati.Contoh : kesalahan paralaks, yaitu pembacaan skala alat ukur tidak secara tegak lurus,akan memberikan data yang meleset. Atau eksperimen lupa melakukan zero-offset tentumembuat semua hasil ukur terlau besar atau terlalu kecil.

Semua galat ukur yang timbul dari perangkat keras maupun perangkat lunakpengukuran dikategorikan pada satu jenis galat ukur yaitu : galat sistematis. Watak galatini yang terpenting adalah ia dapat dihilangkan (dilkoreksi) jika penyebabnya sudahdiketahui, tetapi sayangnya kehadirannya justru seringkali sulit dideteksi. Ia pandaibersembunyi. Hanya eksperimen berpengalamanlah yang seringkali dapat mencium adanyagalat sistematis ini. Kadang-kadang galat sistematis suatu eksperimen baru terdeteksisetelah ada hasil eksperimen lain yang pndekatannya berbeda.

Beberapa watak alat yang dapat menyebabkan timbulnya galat sistematis, dengansendirinya mempengaruhi akurasinya, antara lain adalah :

o histeresis : respons alat terhadap input yang meningkat berbeda dengan responsnya ketika inputnya menurun. Contoh: histeresis magnetik pada bahan- bahan feromagnetik.o damping : misalnya akibat efek gesekan zat alir. Di sini kecepatan alir ikut menetukan respons alat itu.o drifting : disebabkan perubahan sifat-sifat bahan dalam alat itu terhadap waktu (umurnya). Contoh : pegas akan mengalami deformasi tetap jika sudah sering dipakai.

Untuk minimisasi galat sistematik ini eksperimenter biasanya melakukan kalibrasiulang terhadap semua alat ukur yang digunakannya. Apabila kalibrasi ini tidak mungkindilaksanakan, diambil suatu kebijakan dengan menganggap galat ukurnya sekitar separosatuan terkecil yang terdapat pada alat ukur (batas resolusinya). Walaupun langkah iniriskan tetapi masih lebih baik daripada tidak mendapatkan galat ukur.

PENGOLAHAN DATADalam kegiatan pengolahan data hasil pengukuran konsentrasi terletak pada

perhitungan galat ukur s yang harus menyertai hasil ukur x. Galat ukur ternyata tidakhanya ditimbulkan oleh perangkat pengukuran sebagai galat sistematis, tetapi juga olehdinamika besaran maupun proses pengukurannya. Kata dinamika di sini dimaksudkan

Kristal no.7/Oktober/1992 4

untuk suatu keadaan yang tidak konstan. Galat yang timbul akibat gejala ini dikategorikandalam jenis galat rambang.

Ada dua hal penyebab dinamika besaran yang diukur :

1. Fluktuasi nilai besaran terhadap waktuTerdapat banyak sekali besaran yang berubah-ubah terhadap waktu, sehingga

pengukurannya tidak mungkin menghasilkan nilai tunggal. Contoh : tekanan dan suhuudara yang selalu berubah besarnya setiap saat. Bila tekanan udara merupakan salah satubesaran yang menentukan dalam eksperimen, pengukurannya harus dilakukan berulang-ulang, dari awal sampai akhir percobaan. Contoh lain adalah pengukuran tegngan listrikdari PLN, setiap saat besarnya berfluktuasi.

2. Formula ideal dalam perhitunganAda besaran misalnya luasan penampang suatu benda, tidak memiliki cara

pengukuran secara langsung maupun tak langsung. Luasan harus diukur melalui suatuperhitungan. Katakanlah penampang yang akan diukur adalah penampang seutas kawatyang berbentuk lingkaran, luasnya (L) dapat dihitung dengan mengukur diameter (D)kawat kemudian memasukkannya ke dalam formula : L = ¼ π D2.

Permasalahannya terletak pada asumsi kita yang menganggap bentuk penampangitu sebagai lingkaran sempurna (ideal), padahal kenyataannya tentu tidak demikian karenabentuk geometri sempurna tidak pernah ada. Asumsi tetap dapat diterapkan asalkan“diameter” kawat diukur secara berulang-ulang pada arah diametral yang berbeda. Rata-ratanya nanti kita pakai sebagai pendekatan terbaik “diameter” yang dapat digunakandalam formula luasan lingkaran diatas.

Jadi dinamika suatu besaran yang akan diukur menghendaki pengukuran yangberulang-ulang, agar nilai yang diharapkan sekaligus dengan galat ukurnya dapat didekatisemaksimal mungkin. Perhitungan rata-rata yang disinggung di atas dan juga nantiperhitungan galat ukurnya memerlukan suatu metoda untuk menghitungnya. Untuk tujuanperhitungan semacam ini perangkat metodanya sudah tersedia yaitu metoda statistika,sehingga galat yang timbul dari dinamika besaran disebut juga galat statistik.Perhitungan nilai rata-rata dari data pengukuran amat jelas, yaitu :

x xi l

N

i= ∑=

( / )1 Ν (1)

Penjumlahan dilakukan dari data pertama (i = 1) sampai data terakhir (i = N), dengan Nadalah cacah seluruh data. Untuk selanjutnya tanda sumasi ∑∑ menunjukkan penjumlahandengan i = 1 sampai dengan N.

Berbeda dengan perhitungan nilai rata-rata, perhitungan galat rambang suatupengukuran ternyata tidak sederhana. Pertama, kita harus tahu dulu watak besaran yangdiukur. Kemudian kita asumsikan tidak ada lagi galat sistematis, artinya semua galatsistematis diasumsikan sudah terkoreksi. Asumsi ini tentu saja tidak selalu benar, tetapidengan metoda ujian statistik nantinya asumsi ini dapat kita uji kebenarannya.

Kristal no.7/Oktober/1992 5

Ada dua jenis besaran yang perhitungan ralat rambangnya berbeda perlakuanstatistiknya. Kesamaan hanya terletak pada watak dinamikanya yang bersifat acak. keduajenis itu adalah :

a. besaran yang diukur dengan pencacahanContoh : deteksi radioaktivitas dilakukan dengan cara mencacah peluruhan yang

terjadi, misalnya dengan pencacah Geiger-Muller. Contoh lain adalah pencacahan cacahmolekul gas, cacah bintang dalam galaksi, dan lain-lain.Galat rambang yang timbul dari proses pencacahan ini kebolehjadiannya mengikuti

distribusi Poisson, sehingga galat ukurnya adalah : Ν dan hasil ukurnya menjadi :

Ν Ν±± . Ν adalah rata-rata pencacahan dalam beberapa selang waktu.

b. besaran yang diukur nilainyaSemua besaran yang tidak diukur melalui pencacahan termasuk golongan ini. Galat

rambang yang timbul dari pengukurannya memiliki kebolehjadian yang mengikuti distribusiGauss (normal). Jadi nilai terbaik pengukuran adalah rata-rata semua data yang diambil x,sedangkan galat ukur nilai terbaiknya adalah :

sx

N Nxi=

−−Σ Χ(

( )

)2

1

Dari persamaan (2) ini tampak bahwa semakin banyak data pengukuran berartisemakin kecil galatnya. Tetapi ini tidak berarti kita dapat menghilangkannya sama sekali.Kadang-kadang pengukuran suatu besaran hanya dilakukan sekali saja, hal ini disebabkanantara lain oleh terbatasnya resolusi alat ukurnya. Contohnya adalah pengukuran panjangseutas kawat logam, pengukuran dengan menggunakan mistar biasa menghambateksperimen mengetahui batas potongan pada ujung kawat ini secara mikroskopik tentutidak rata, tetapi mistar biasa tidak dapat “melihat”nya. Akibatnya, pengulanganpengukurannya akan sia-sia saja, sehingga pengukuran cukup dilakukan sekali. Tentu sajagalat ukurnya tidak dapat dihitung dari persamaan (2), galat ukurnya diasumsikandidominasi oleh galat sistematis, misalnya untuk mistar biasa dapat diambil 0,5 mm, yaituseparo satuan terkecilnya.

Khusus untuk pengukuran dengan perhitungan, galat yang timbul erupakanperpaduan dari galat-galat ukur besaran-besaran lain yang dipakai untuk menghitungnya.Contoh : pengukuran keliling dan luas sebuah meja berbentuk empat persegi panjangdilakukan dengan mengukur panjang dan lebar meja lebih dulu, misalnya :

( )p sp± dan ( )l sl±Galat sp dan sl akan berperanan dalam menentukan galat yang dimiliki keliling meja atau

luas meja. Proses galat ukur mempengaruhi galat hitung disebut perambatan galat.Sekarang akan dihitung berapa hasil hitung untuk keliling dan luas meja itu.

Keliling meja mewakili operasi penjumlahan dua besaran, sedangkan luas meja mewakilioperasi perkalian dua besaran.Keliling meja : K = 2 (p l s sp+ ± +) ( )2 1

Kristal no.7/Oktober/1992 6

= Κ Κ± s

sehingga s p s lsΚ = +2( )

Tampak bahwa operasi penjumlahan akan menyebabkan galat semua sukupenjumlahannya saling bergabung membentuk galat hasil julahnya. Secara umum, jika Y =ΣΣ Zi, Y dan Z adalah besaran-besaran berdimensi sama, maka galat-galatnya memilikihubungan :

sY = ΣΣ sZi (3)

Luas meja : L p l p s l s s s sl p p p l= ± + + +( . ) ( . . . )

Hasil kali s sp l. tentu merupakan bilangan yang sangat kecil sehingga dapat

diabaikan terhadap dua suku di depannya.

s p s l s

s p l s l s p

S S S

L l p

L l p

L l p

= +

= +

= +

. .

/ ( . ) / /

Agar tampak lebih kompak, untuk operasi perkalian galat s dapat digantikan olehgalat fraksional S, yaitu galat s dibagi dengan nilai ukurnya sendiri. Secara umum, jika Y =ΠΠ Zi maka galat fraksionalnya akan memiliki hubungan :

sY = ΣΣ SZi (4)

Persamaan (3) dan (4) sebenarnya mengandung asumsi bahwa galat setiapkomponen pengukurannya saling menunjang satu sama lain. Artinya jika sebuah komponenmemiliki galat positif (hasil ukur terlalu besar), maka galat komponen yang lain jugapositif. Peristiwa semacam ini sangant tak terbolehjadi, kecuali semua galat tersebutmemiliki dependensi satu sama lain melalui suatu fenomena lain. Jadi persamaan (3) dan(4) tetap boleh dipakai apabila galat-galatnya saling gayut. Kegayutan galat disebabkanantara lain oleh penggunaan alat ukur yang sama, contohnya pada pengukuran panjang danlebar meja di atas, sp dan s1 saling gayut jika pengukurannya dilakukan dengan mistar yangsama.

Bagaimana sekarang jika galat komponennya tidak saling gayut, katakanlah karenamenggunakanalat ukur yang berbeda. Untuk memahami kebolehjadian nilai galat dapatdipakai pengertian vektor. Vektor galat dapat digambarkan sebagai panah ke kanan +s danpanah ke kiri -s. Timbulnya galat ukur bersifat acak, sehingga kebolehjadian untuk bernilai+ s dan -s sama besar. Maka jika ada dua galat s1 dan s2 saling menjumlah, orientasi s2

terhadap s1 yang paling baik untuk menggambarkan sifat acaknya itu adalah saling tegaklurus, yaitu arah netral sehingga tidak mendukung maupun menentang galat yang lain.

Kristal no.7/Oktober/1992 7

Gambar 1. Orientasi galat saling bebas

Dari gambar 1 di atas jelaslah bahwa nilai s dapat dihitung melalui persamaan Pytagoras :s2 = (s1

2 + s22)

Penggunaan cara di atas dapat diperluas jika galat komponennya lebih daridua buah. Demikian pula jika operasi antar komponen besarannya merupakan perkalian,semua S digantikan oleh S. Persamaan (3) dan (4) digantikan oleh dua persamaan berikutjika galat-galatnya saling bebas yaitu :

sY2 = ΣΣ sZi

2 (5)sY

2 = ΣΣ SZi2 (6)

Kadang-kadang perhitungan melibatkan fungsi transendental seperti logaritma,eksponensial atau fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik, misalnya Y = f(x1,x2,x3,..)maka perhitungan galatnya adalah :

sY = ΣΣ [(∂f /∂Xi).sxi] , galat saling gayut (7)

sY2 = ΣΣ [(∂f / ∂Χi).sxi]

2 , galat saling bebas (8)

Persamaan (7) dan (8) adalah persamaan umum untuk galat, yaitu yang dapatditurunkan menjadi persamaan (3), (4), (5) dan (6). Hanya karena jarang dipakai, empatpersamaan yang pertama lebih dominan untuk diingat.

Contoh kasus :Seorang eksperimenter akan mengukur volume sehelai kertas. Alat yang akan

digunakan adalah jangka sorong untuk mengukur panjang (p) dan lebarnya (l), danmikrometer untuk mengukur tebalnya (t).Volume kertas : V = p.l.t.

Galat ukurnya : SV2 = (Sp + S1)

2 + St2

Perhatikan bahwa galat Sp dan S1 saling gayut karena pengukurannya menggunakanmistar yang sama. Sedangkan galat St berdiri bebas karena pengukurannya menggunakanmikrometer.

Kristal no.7/Oktober/1992 8

Pengukuran panjang, lebar dan tebal kertas dilakukan berulangkali di berbagaitempat pada kertas, hal ini disebabkan oleh pemakaian formula V = p.l.t, yakni volumebalok sempurna. Padahal ukuran kertas bagaimanapun tentu tidak ideal.

Seringkali eksperimen dilakukan dengan variasi salah satu besaran yang lainterhadap variasi tersebut. Besaran yang divariasi disebut sebagai variabel bebas, sedangkanbesaran yang merupakan respons disebut variabel respons. Ini penting untuk memeriksawatak kesebandingan dua besaran tersebut. Untuk maksud ini pengukuran harus dilakukanpada berbagai kondisi, dan menghasilkan beberapa set hasil ukur. Setiap set data berasaldari satu kondisi eksperimen (satu harga variabel bebas).

Ambil contoh pengukuran tebal kertas yang begitu tipisnya sehingga berada di luarjangkauan alat ukur yang ada. Bila terdapat banyak lembaran kertas sejenis itu, metodapengukurannya dapat diatur cara tak langsung , yaitu pengukuran dilakukan terhadap tebal20, 50, atau 100 lembar kertas. pengukuran tebal 20 lembar kertas memberikan satu setdata, demikian juga pengukuran terhadap 50 atau 100 lembar. Setiap set memberikan nilaiterbaik untuk tebal kertas sehelainya : (t si ti± ). Lalu dari tiga set data di atas berapa

hasil pengukuran terhadap tebal kertas tiap lembarnya ?Oleh karena tiap set data diambil dengan kondisi pengukuran yang berbeda, kita

tidak boleh merata-rata tiga nilai rata-rata itu begitu saja. Dalam teori statistik dikatakanketiga set data itu berasal dari populasi parental yang berbeda. Cara menghitung nilaiterbaik beserta galatnya dari ketiga set data itu dengan pembobotan pada setiap nilai rata-ratanya. Bobotnya dapat diambil dari kebalikan kuadrat galat rambang rata-rata setiap setdata :

t t s si ti ti= Σ Σ( / ) / ( / )2 21 (9)

1 12 2/ ( / )s st ti= Σ (10)

Persamaan (9) dan (10) sah digunakan bila ( )t tii S±± saling kompatibel, artinya

tidak saling menyangkal satu sama lain. Bila penyangkalan terjadi di antara ketiga set dataitu pastilah terdapat galat sistematis, bukan galat rambang lagi. Misalnya saja adakesalahan perhitungan cacah kertas pada salah satu set pengukuran, atau ada kertas-kertastak sejenis yang ikut diukur.

Cara lain untuk memperlakukan beberapa set data seperti ini akan dibahas dalamanalisa data di bawah, karena menyangkut pengkajian tentang hubungan kesebandinganantara variabel bebas dan variabel responsnya.

Sebagai catatan tambahan, pengukuran yang memiliki galat sistematis kecildikatakan sebagai pengukuran yang teliti (akurat), sedangkan pengukuran dengan galatrambang kecil dikatakan sebagai pengukuran yang tepat (presisi tinggi). Jadi pengukuranyang tepat (dilakukan dengan baik) belum tentu teliti (dekat dengan nilai sebenarnya).

ANALISA DATATerdapat dua tugas pokok dalam analisa data pengukuran, yaitu mencari

ketergantungan (korelasi) antara dua besaran fisis yang terkait dengan hipotesanya, danmengevaluasi normalitas distribusi kebolehjadian data yang diambil.1. Korelasi dan regresi linier

Kristal no.7/Oktober/1992 9

Kita mulai dari pencarian ketergantungan (fungsi) antar besaran pengukuran.Analisa yang paling berguna adalah regresi linier, karena linieritas merupakan hubunganyang paling sederhana antara dua besaran dan dapat dengan mudah dilihat dari grafiknya.Fungsi-fungsi yang tidak linier dapat pula didekati dengan fungsi linier. Tiap setpengukuran akan menghasilkan satu data (x,y) yang digambarkan sebagai sebuah titikpada grafiknya, sumbu y dimiliki oleh variabel respons dan sumbu x adalah variabelbebasnya.

Gambar 2. Regresi linier

Garis lurus terbaik yang dapat ditarik berbentuk :y = A + Bx

Untuk menghitung A dan B digunakan azas kuadrat terkecil, yaitu simpangan hasilpengukuran yi terhadap nilai prediksi garis tersebut harus sekecil-kecilnya. Asumsi yangdiberlakukan di sini sementara adalah variabel x bebas dari galat ukur dan variabel responsy adalah besaran yang diukur langsung/tak langsung, bukan hasil perhitungan. Hasilnyaadalah :

ΑΝ

ΒΝ

Ν

=∑ − ∑∑∑

− ∑∑

=− ∑∑

− ∑∑

x i xi xiyix x

x y x y

x x

i y

i i

i i i i

i i

2

2 2

2 2

11

12

( )

( )( )

( )

( )( )

Masing-masing memiliki galat sebesar :

S i i i

i i

y A B

X XΑ

Χ Χ

Ν Ν=

− −

− −

∑∑

∑∑

2 2

2 22

( )

( ) [ ( ) ](13)

S i i

i i

yΒ

Ν Α ΒΧ

Ν Ν Χ Χ=

− −

− −

∑∑∑

( )

( ) [ ( ) ]

2

2 22(14)

Bagaimana kita dapat yakin bahwa hubungan linier ini betul-betul ada ? Untukmeyakinkan adanya linier ini dihitunglah koefisien korelasi antar x dan y :

Kristal no.7/Oktober/1992 10

r i i i i

i i N yi yixy

N x y x y

N x x

=−

−

∑∑∑

− ∑∑∑∑

[ ]

[ ( ) ] [ ( ) ]

2

2 2 2 2(15)

Nilai rxy ada di antara 0 dan 1, nilai 0 berarti mutlak tidak ada ketergantungan antara x dany, sedangkan nilai 1 berarti terdapat linieritas sempurna antara x dan y. Tingkatkeyakinannya dapat dilihat pada tabel koefisien korelasi misalnya yang ada dalam Young(2).

Seandainya baik x maupun y tidak ada yang bebas galat, azas kuadrat terkecilharus diberlakukan di kedua sumbu, artinya selain persamaan y = A + Bx harus ditinjaupula persamaan x = A' + B'y (dengan asumsi y yang bebas galat). Jadi terdapat dua buahgaris lurus yang menjadi pendekatan terbaiknya, yang kemudian harus diwakili oleh sebuahgaris saja dengan menarik sebuah garis yang bebeda di antara kedua garis tersebut. Garisterbaik itu dapat saja berada di tengah-tengah y = A + Bx dan x = A' + B'y, jika memanggalat fraksional di x dan y setingkat (memiliki orde yang sama). Jika tidak, maka harusdilakukan pembobotan terlebih dahulu sesuai dengan tingkatan galat masing-masing.

Seringkali dalam merumuskan suatu persamaan fisis kita memberlakukan berbagaiasumsi sehingga sah saja melakukan pengabaian-pengabaian. Hal ini nanti akan tampakpada grafik yang dihasilkan. Linieritas hukum Ohm misalnya akan terbukti meleset jikajangkauan beda potensial listriknya amat besar. Kalau hal ini terjadi maka analisa datanyamasih dapat dilakukan brdasarkan pembatasan jangkauan yang memungkinkandiberlakukannya watak linieritas. Atau jika ingin lebih lengkap dan eksak untuk seluruhjangkauan eksperimen, dapat digunakan regresi dengan orde yang lebih tinggi.

Jika hubungan antara x dan y tidak linier, data pengukurannya masih dapatdianalisa dengan regresi linier setelah bentuk persamaannya dimodifikasi sekaligus denganredefinisi variabel respons dan atau variabel bebasnya. Analisa ini dengan sendirinyamengatakan bahwa variabel responsnya diperoleh melalui perhitungan, sehingga untukkeperluan ini persamaan-persamaan (11) sampai dengan (14) perlu dimodifikasi juga.Modifikasi dilakukan dengan menyisipkan pembobotan (wi) pada data yang dipakai dalamperhitungan. Berikut ini adalah hasil modifikasi tersebut :

( )( )

Α =∑∑∑∑

∑∑∑

−

−

w x i i i i wixiyi

w i i i i

i i w y w x

i w x w x

2

2 2(16)

( )( )

Β =∑ − ∑∑∑

− ∑∑∑

w w x y w x i i

w w x w x

i i i i i i w y

i i i i i2 2 (17)

dan galatnya ;

Kristal no.7/Oktober/1992 11

( )S

i i

i i i i i

w x

w w x w xΑ =

−

∑

∑∑∑

2

2 2(18)

( )S i

i wixi wixi

w

wΒ =

∑

− ∑∑∑ 2 2(19)

Bobot wi dapat didekati dengan persamaan berikut :

wi = [ df (yi) / dy]-2. Si-2 (20)

f(yi) adalah fungsi modifikasinya, sedangkan Si adalah galat yang dimiliki data yi

Modifikasi dengan pembobotan ini juga berlaku apabila pengambilan data dilakukandengan alat-alat ukur yang berbeda resolusinya. Juga untuk analisa dengan yi yangmerupakan hasil ukur melalui perhitungan. Untuk kedua kasus ini persamaan (20) tentusaja berubah menjadi :

wi = Si-2 (21)

2. Kajian Chi square (χχ2)Untuk menguji apakah distribusi kebolehjadian seluruh data yang diambil sesuai

dengan asumsi bahwa distribusinya bersifat normal (mengikuti distribusi Gauss),digunakan kajian Chi-square. Kajian ini berguna sekali untuk mendeteksi adanya galatsistematis yang belum terkoreksi sehingga mengakibatkan penyimpangan pada distribusinormalnya. Tentu saja untuk menghilangkan galat sistematis ini butuh penelitian lagidengan perbaikan-perbaikan agar penyebab galat tersebut dapat diketahui. Penyimpangannormalitas distribusi juga dapat disebabkan karena adanya kelompok-kelompok data yangmemiliki latar belakang pengukuran yang berbeda, hal ini dapat diatasi dengan memberikanpembobotan pada datanya. Jadi secara garis besar kajian ini berguna untuk menilai sahtidaknya perlakuan kita terhadap data di dalam pengolahannya dan bagus tidaknya fittingdata melalui analisa regresi di atas.Definisi χν

2 tereduksi pada regresi linier :

χχv2 =

1

22

Nw i xii y

−− −∑[ ) ]( Α Β (22)

N adalah cacah data, sedangkan ν = N-2 adalah derajat kebebasan setelah melakukanfitting data ke dua buah parameter A dan B.

Fitting akan semakin bagus jika χv2 mendekati angka 1 (<1,5), distribusi

kebolehjadiannya biasanya dapat dilihat pada tabel-tabel statistik, misalnya dalamBevington(3). Kebolehjadian χv

2 yang lebih besar daripada 0,5 menunjukkan kesahihanfitting yang dilakukan, yakni tidak menyalahkan asumsi normalitas distribusi kebolehjadianketidakpastian data pengukuran. Bila ternyata kebolehjadiannya kecil sekali maka seorangeksperimen harus segera tanggap bahwa kemungkinan besar dia sedang berhadapandengan galat sistematis yang belum dideteksinya.

Kristal no.7/Oktober/1992 12

KESIMPULANPengukuran, pengolahan serta analisa data dengan demikian merupakan

serangkaian kegiatan yang utuh. Data yang disodorkan tanpa pengetahuan tentang"sejarah" data itu, misalnya bagaimana alat ukurnya bekerja, tidak akan mampu berbicarabanyak. Seperti yang dijelaskan di depan, cara perlakuan terhadap data pengukurantergantung juga pada "sejarah" data itu. Oleh sebab itu seorang eksperimen harus dapatmelakukan serangkaian kegiatan itu sendiri, kecuali sejak awal dia sudah bekerja samadengan orang-orang yang nantinya hanya bertugas mengolah datanya berdasarkan "sejarah"data tersebut.

RUJUKAN :1. Rabinowicz, Ernest : An Introduction to Experimentation, Addison-Wesley

Publishing Company, Inc., 19702. Young, Hugh D. : Statistical Treatment of Experimental Data, McGraw-Hill Book

Company, Inc., 19623. Bevington, Philip R. : Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science,

McGraw-Hill, Inc., 19694. Sterrenburg, W.A. : Data Fitting, Lab. Fisika Dasar Universitas Gadjah Mada,

1987