Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al

análisis matemático

Dr. Ricardo Cantoral Uriza

Cinvestav, IPN

México

La investigación en Matemática Educativa

se ocupa, desde nuestro punto de vista, de analizar los fenómenos didácticos producidos cuando el saber matemático es escenificado en el sistema escolar, en la escuela, el aula, los programas, los textos, ...

La naturaleza social de nuestra actividad disciplinar exige de la consideración de distintos “puntos de vista”, lo que induce paradigmas

Tradiciones, paradigmas y escuelas

Entendemos que una escuela del pensamiento está en curso de constitución, cuando un colectivo humano acepta compartir y negociar significados, usos y explicaciones sobre las distintas nociones, conceptos, procedimientos, marcos teóricos y sistemas de validación

Las disciplina de investigación involucra a otras ...

Pedagogía

Sociología Epistemología

Semiótica

Psicología

Ciencia Cognitiva

Matemática Educativa

… resultados de investigaciónInnovaciones producto

de la investigación

Información Cuantitativa

Información Cualitativa

Perspectivas Teóricas

Inducen modificaciones de la

práctica docente

Permiten predecir fenómenos al interior del sistema didáctico

Modifican creencias acerca del sistema

didáctico

Objetivos Pragmáticos

Objetivos Científicos

Pregunta fundacional, AES

... Rediseñar el discurso matemático de la enseñanza de tal manera que enfrente realmente el problema de la masificación y no que la soslaye... habrá que hacer abstracciones de algunos de los

paradigmas del discurso matemático puro que tan caros son para muchos, tan caros que sacrifican la

comunicación...

¿Deserción o expulsión?

40

13

4

2té cn ico s

6T é cn ico m e d io

10

4

5lice n c ia d o s

9L ice n c ia tu ra

25B a ch ille ra to

1

2m a e s tro s

3N o rm a l

53S e cu n d a ria

100P rim a ria

Fracciones

Cálculo

Álgebra

Indicativos nacionales

Número de alumnos por nivel educativo en 1986 y en 1996

• Educación Básica: 21,685,100 en 198622,480,700 en 199624,000,000 en 2000

• Educación Media: 1,941,900 en 19862,438,700 en 19962,850,000 en 2000

• Educación Superior: 1,157,600 en 19861,522,000 en 19961,833,300 en 2000

0

5000000

1E+07

1.5E+07

2E+07

2.5E+07

1986 1996 2000

BMSS

Distribución de la matrícula por nivel de escolaridad

Estructura del sistema educativo

Estructura del sistema educativo nacional en sus ciclos primario, secundario y terciario

Distribución de tiempo escolar

11.50% 7.70%

30.80%

15.40%

34.60%

Ciencias básicas ymatemáticas 800 hrs.

Ciencias de la Ingeniería(Ing. Básica) 900 hrs.

Ingeniería Aplicada 400hrs.

Ciencias Sociales yHumanidades 300 hrs.

Otros cursos 200 hrs.

...en ingeniería se consideran cinco grupos básicos de materias que deberán ser cubiertos con un mínimo de horas totales de clase de teoría y laboratorio,

Estructura curricular clásica. Educación universitaria

• Ciencias Básicas Matemáticas, física, química

• Ciencias de la Ingeniería Mecánica, electromagnetismo, termodinámica, mecánica de fluidos...

• Cursos especializados

MATEMATICAS• Cálculo• Ecuaciones diferenciales• Algebra lineal• Análisis numérico• Probabilidad y estadística

Modelación matemática

Se espera que con el CÁLCULO

el estudiante se capacite en la modelación matemática y de este modo interprete un

conocimiento al seno de su mundo, de los conceptos físicos de la ingeniería.

Empero, la enseñanza tradicional

NO ES CONGRUENTEcon su objetivo de enseñanza

( ) 2 3f x x x f(x)

1 3

Una función es un correspondencia entre los elementos de un conjunto X y los ...

Las parejas en un baile

Construcción social

Este saber se ha constituido socialmente, en ámbitos no escolares y su introducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento.

Pensamiento y Lenguaje Variacional

Seguimos una aproximación sistémica, que llamamos socioepistemología, la cual nos permite tratar en forma articulada con las cuatro componentes de la construcción social del conocimiento:

• su naturaleza epistemológica, • la dimensión sociocultural , • los niveles de lo cognitivo, y • los modos de transmisión vía la enseñanza

PyLV

En este sentido, el pensamiento y el lenguaje variacional será entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la investigación y las prácticas sociales asociadas a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos

Modos de transmisiónModos de transmisiónvía la enseñanzavía la enseñanza

Plano cognitivoPlano cognitivo

NaturalezaNaturaleza

epistemológica epistemológica

DimensiónDimensiónsocioculturalsociocultural

P rog ram a de Inv estig ac ión, P yLV

E s tu d ios sob rela d id á c tica d e an tañ o

E n ve jec im ien tod e s itu ac ion es d e en señ an za

E s tu d ios sob reep is tem olog ía c rít ica

S itu ac ion es d eres ig n ificac ió n

R ed iseñ o d e l d iscu rsom atem á tico esc la r

E l tra tam in e to en con textofís ico , econ ó m ico , q u ím ico , e tc ....

D iseñ od e s itu ac ion es d id á c ticas

R ep resen tac ió n yp roceos cog n it ivos

N atu rleza d e l ap ren d iza jey p rocesos d e l p en sam ien to

P en sam ien to y len g u a je variac ion a l

Aproxim ación socioepistem ológ ica a la investigación en m atem ática educativa

Resultados del acercamiento:

El concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como fórmula y con ello la integración de dos dominios de representación: el álgebra y la geometría.

Se requiere una concepción de función en tanto objeto que permita que otro procedimiento actúe a su vez sobre él. A lo que se añade un manejo eficiente de formas gráficas extenso y rico en significados.

La enseñanza sobrevalora los aspectos formales y algorítmicos desprovistos de significado para el estudiante.

El conocimiento deviene estable y pertinente en la medida en que sea necesario en la resolución de tareas complejas socialmente valoradas.

Conclusiones de las diversas experiencias

Hemos constatado, que en el caso de la apropiación de un lenguaje gráfico como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, conciben entonces a la función como objeto y pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad

Significado y sentido¿Dónde es positiva f (x)?

Significado y sentido¿Dónde es positiva f ‘(x)?

Significado y sentido¿Dónde es positiva f ‘’(x)?

++ +

Significado y sentido¿Dónde es positiva f ‘’’(x)?

?

Ejemplos de dislexias escolares

• La enseñanza habitual del cálculo diferencial e integral, por ejemplo, logra que los estudiantes deriven, integren, calculen límites elementales sin que sean capaces de asignar un sentido más amplio a las nociones involucradas en su comprensión.

Enseñanza habitual

• la derivada se introduce al seno escolar como una medida de la inclinación de la recta tangente a una curva.

• El concepto de derivada se presenta en clase mediante una explicación que utiliza la pendiente de la recta tangente a los estudiantes de entre 16 y 18 años de edad. Eso presupone que la noción de pendiente, introducida a los 12 y 14 años haya adquirido una cierta estabilidad funcional.

¿Qué explicación uso en clase?

Derivada y teorema de tales

AB / BC = A’B’ / B’C

C

A

B

A’

B’

(f (x + h) - f (x) )/ h

“Derivada de una función”

y = f (x)

y = f ´ (x)

El discurso matemático escolar

• ¿Es 0.9999... igual a 1? 20%• ¿Es 9 / 10 + 9 / 100 + 9 / 1000 +...= 1?

40%• ¿Es lím 9 / 10n = 1?

80%• Preguntas planteadas a estudiantes universitarios

de diversos países que cursaban sus cursos de cálculo o análisis matemático

Un ejemplo de gestión de clase

• Problema: Sea V = ax2+ay2-2az2 el potencial eléctrico con a constante. Encuentra el campo eléctrico y el valor de a para que el trabajo W de llevar una carga q=2C del punto (0,0,2) al punto (0,0,0) sea –5105J

• Profesor: ¿Cuál es el trabajo?• Estudiante: W=FD• P: Pero no es un producto cruz...• E: Entonces W= F D

Ayer, hoy y ojalá no, mañana

• P: Pero la D... ¿Es grandota?, acuérdate que es una integral

• E: ¡Ah, sí!, W=F d• P: Pero se necesita el diferencial de longitud

¿no?• E: ¡Sí claro!, W=F ddl• P: Quítale una d y usa vectores• E: W=F dl

D’Alambert o L’Hôpital

• Una pregunta que nos interesa consiste en cuestionar sobre las razones que hacen que una definición, se estabilice entre profesores y estudiantes con el paso del tiempo y se torne en creencia colectiva. A qué se debe que unas ideas como la de D'Alambert dominen el discurso educativo, se desarrollen y enriquezcan mientras que otras, como la de L'Hôpital, mueran y desaparezcan.

Hipótesis socioepistemológica

• La derivada se estabiliza sólo hasta que sea desarrollada la noción de derivada sucesiva

((((f)’)’)’)’...

No habrá que entender como equivalentes la iteración como la sucesión

f, f’, f’’, f’’’, f’’’’, ...

Secuencia experimetal

• Dada f obtener f ' mediante el acercamiento socioepistemológico

• Dotar a f ' de un significado que le permita ser entendida a su vez como una nueva función.

• Dada f ' de algún modo, se busca construir f .

Actividad P&LV-12

• ¿Qué valores se deben asignar a los parámetros A, B y C para que la gráfica de la función cuadrática

y = Ax2 + Bx + C • sea tangente a la recta dada en el

punto que se te indica? • x + 2, en (0, 2)

Estilos de razonamiento

Regularidad lineal

• y = x2 + x + 2

• y = x + 2

• y = x2 + x + 2

Ricardo Cantoral

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