PROGRAM PENGAJIAN SISWAZAH

SME 6014

(TEACHING OF MATHEMATICS)

TUGASAN 1

(TAJUK : MISKONSEPSI DALAM MATEMATIK)

DISEDIAKAN OLEH :

SITI NAQUIAH BINTI AB.RAZAK

M20101000933

DISEDIAKAN UNTUK :

PROF. DR. MARZITA PUTEH

PEMARKAHAN

2

Isi Kandungan Muka Surat

1.0 Pengenalan 3

2.0 Miskonsepsi dalam Pengajaran dan Pembelajaran 3 - 5

2.1 Miskonsepsi dalam Topik Algebra 6 - 8

2.2 Miskonsepsi dalam Topik Geometri 9 - 11

2.3 Miskonsepsi dalam Topik Trigonometri 12

2.4 Miskonsepsi dalam Topik Statistik 13 - 17

2.5 Miskonsepsi dalam Topik Kebarangkalian 17 - 21

2.6 Miskonsepsi dalam Topik Kalkulus 21

3.0 Cara Mengatasi Miskonsepsi 22

4.0 Penutup 23

Rujukan 24 - 26

3

1.0 Pengenalan

Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat menyeluruh sifatnya. Ia

merangkumi semua aspek kehidupan, seperti membuat perhitungan, membuat

penilaian dan seterusnya membuat keputusan. Melalui proses penyelesaian masalah

seharian, manusia dikerah untuk mengeluarkan pendapat seterusnya memberikan

hujah terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil. Maka disinilah

peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat pertimbangan

yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.

Bagi memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal

manusia, ia seharusnya bermula dari peringkat kanak-kanak. Konsep matematik

terhadap alam sekelililng sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak

dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap

objek, terutama melalui deria sentuhan. Pendedahan awal kepada banyak bentuk

konkrit di sekelilig kanak-kanak sebenarnya mencetuskan pelbagai persepsi terhadap

alam sekeliling. Pelbagai konsep terbentuk di dalam minda kanak-kanak, yang boleh

bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi. Setiap dari

konsep matematik yang perlu dikuasai oleh kanak-kanak atau murid, pasti akan

berlaku salah faham konsep atau miskonsepsi.

2.0 Miskonsespi dalam Pengajaran dan Pembelajaran

Miskonsepsi berasal daripada perkataan Inggeris iaitu misconception. Menurut

Websters Third New International Dictionary (1996), conception bermaksud

kemampuan, fungsi atau proses membentuk idea, abstrak atau berkenaan pemahaman

maksud simbol yang mewakili idea atau abstraks. Mis bermaksud salah atau tidak.

Gabungan pengertian kedua-dua suku kata tersebut membentuk idea, abstrak atau

pemahaman yang salah. Halloun dan Hestenes (1985) mendefinasikan miskonsepsi

sebagai pengetahuan yang diturukan daripada pengalaman individu yang luas.

Pengetahuan tersebut bertentangan dengan teori saintifik.

4

Perkembangan kanak-kanak dalam bidang awal matematik atau dalam

mengenal angka, nombor dan membilang bukan berdasarkan konsep semua atau tiada

langsung (all or nothing), tetapi lebih berdasarkan konsep perkembangan beransur-

ansur yang melibatkan sesuatu penemuan dan pembinaan makna yang lebih mendalam

tentang angka dan konsep-konsep pengiraan (Baroody, 1987). Kanak-kanak belajar

nombor berdasarkan pengalaman mereka (Ginsburg, 1977). Walaupun pelbagai kajian

awal telah dijalankan mengenai perkembangan awal kanak-kanak dalam kebolehan

matematik tetapi masih tidak jelas sama ada pengetahuan ini pengetahuan konseptual

atau prosedural (Siegler, 1991;Gelmen et al.1978).

Menurut Subahan (1999), salah satu sumber miskonsepsi boleh wujud di

kalangan murid ialah daripada penerangan yang terlalu ringkas dan tidak lengkap.

Terdapat tiga sumber penyumbang kepada kewujudan miskonsepsi iaitu :

1. Idea daif yang berpunca daripada pengalaman harian dan bahasa yang mereka

gunakan.

2. Kesalahan konsep yang terbentuk semasa aktiviti pengajaran yang berpunca

daripada kefahaman yang tidak kukuh terhadap sesuatu konsep yang dijelaskan

oleh guru.

3. Pengajaran guru atau pensyarah yang tidak tepat atau salah.

Miskonsepsi dan kesalahan adalah perkara yang berbeza dalam pengajaran dan

pembelajaran matematik. Menurut Olivier (1989), beliau menyatakan kesalahan

merupakan jawapan yang salah kerana perancangan yang tidak tepat dan tidak

sistematik manakala miskonsepi merupakan faktor struktur kognitif yang

menyebabkan kesalahan itu berlaku. Menurut Li (2006) pula, kesalahan muncul secara

tidak stabil dalam konteks masalah yang berbeza manakala miskonsepsi adalah

struktur kognitif yang salah dan lebih stabil muncul dalam konteks masalah yang

berbeza.

Secara umumnya, murid-murid memahami sesuatu konsep tetapi terdapat

kesalahan dalam kiraan yang berlaku kerana kecuaian. Kesalahan biasanya berlaku

sekali atau kadang-kadang sahaja. Miskonsepi pula selalunya berlaku dengan kerap

kerana murid-murid tersalah membina idea sendiri atau tersalah konsep. Murid tidak

tahu mereka melakukan kesilapan kerana mereka menjawab soalan mengikut

5

kefahaman mereka yang sedia ada. Kesilapan ini akan dilakukan berulang-ulang

sehingga ada orang yang memperbetulkan konsep mereka. Masalah ini akan menjadi

lebih serius sekiranya guru tidak mengenalpasti faktor berlakunya miskonsepsi-

miskonsepsi dan berusaha untuk mengambil langkah bagi mengatasinya.

Miskonsepsi perlu diatasi supaya pengajaran adalah lebih berkesan apabila

salah faham konsep dikenal pasti, dicabar dan diselesaikan. Murid-murid menghadapi

kesukaran kognitif dalaman apabila beberapa idea, proses, atau peraturan luaran

konflik dengan skema mental mereka yang sedia ada. Penyelesaian konflik kognitif

melalui perbincangan dapat menjadikan pembelajaran lebih berkesan dan seimbang.

Sebagai seorang pendidik, miskonsepsi perlu diberi perhatian yang lebih terutama

kepada murid yang sering melalukan kesilapan yang berulang-ulang. Ini kerana murid

membina makna secara dalaman yang membina konsep baru dalam rangka kerja

mental yang sedia ada. Ada kemungkinan bahawa gambaran murid boleh menyimpang

dari yang dimaksudkan sekiranya ada pihak lain yang campur tangan. Sebahagian

besar murid berkongsi salah faham konsep yang sama dan melakukan kesilapan yang

berulang-ulang kali dalam pembelajaran.

Sebahagian murid tergolong dalam lemah matematik mungkin disebabkan oleh

kurang mahir membaca, menulis, melakukan latihan pengiraan dan bercakap. Dalam

matematik, masalah ini akan lebih ketara dengan adanya istilah matematik yang mana

sebahagiannya daripada mereka yang belum pernah mendengar dan lupa istilah yang

diberikan. Konsep matematik murid perlu diperkenalkan dengan pelbagai bentuk,

kaedah dan pendekatan. Murid haruslah diperkenalkan dengan pelbagai contoh

konkrit.

Penulisan ini akan memfokuskan kepada miskonsepsi kandungan matematik

yang dirangkumkan menjadi lima bidang iaitu komponen algebra, komponen

geometri, komponen trigonometri, komponen statistik dan kebarangkalian dan

kompenan kalkulus. Setiap komponen ini sangat penting untuk murid kuasai kerasa

setiap darinya mempunyai kaitan antara satu sama lain.

6

2.1 Miskonsepsi dalam Topik Algebra

Saripah Latipah (2000) mendapati pelajar tidak menguasai konsep asas Ungkapan

Algebra dengan baik dan ini menyebabkan berlakunya salah konsep dalam operasi

asas Algebra. Rosli (2000) juga mendapati pelajar melakukan kesilapan bagi aspek-

aspek tertentu dalam Ungkapan Algebra seperti mempermudahkan pecahan algebra,

pemfaktoran dan pengembangan dua ungkapan. Chan Siew Lian (1999) dalam

kajiannya ke atas pelajar aliran vokasional mendapati tahap pengetahuan dan

kefahaman pelajar terhadap tajuk operasi aljabar berada pada tahap yang rendah dan

ini menyebabkan berlakunya kesilapan salah konsep.

Terdapat beberapa miskonsepsi pelajar dalam topik algebra. Antaranya ialah:

i. Kesilapan pelajar dalam menentukan kembangan ungkapan algebra bagi

hasil darab suatu ungkapan dengan suatu sebutan

Contoh soalan 1 :

( )

Murid tidak mengembangkan ungkapan dengan nombor pecahan. Mereka

memberikan jawapan dalam bentuk satu pecahan. Selain itu, salah konsep

dalam ungkalapan algebra juga berlaku pada soalan ini di mana pelajar

telah menambah dua sebutan yang berbeza menjadi hasil darab dua anu.

Contoh miskonsepsi :

( )

( )

Contoh soalan 2 :

( )

Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah akibat kecuaian dan kesilapan

dalam operasi darab sebutan bertanda negatif yang melibatkan tanda

kurungan.

7

ii. Kesilapan dalam menentukan kembangan ungkapan algebra bagi hasil

darab dua ungkapan.

Contoh soalan 3 :

( )( )

Secara keseluruhannya, kesilapan muird dalam subtopik ini ialah kesilapan

dalam menambah dua sebutan yang serupa yang merupakan sebutan dalam

dua anu dan kesilapan murid dalam operasi darab nombor negatif yang

melibatkan tanda kurungan. Selain itu terdapat juga kesilapan dalam

operasi tambah sebutan bertanda negatif.

Contoh Miskonsepsi :

( )( )

Contoh Miskonsepsi :

( )( )

iii. Kesilapan pelajar dalam menukarkan ungkapan algebra yang mengandungi

dua sebutan kepada hasil darab satu sebutan dengan satu ungkapan.

Contoh soalan 4 :

Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah kesilapan dalam pemfaktoran

ungkapan algebra yang melibatkan proses mencari faktor sepunya bagi

sebutan dalam ungkapan algebra. Dalam pemfaktoran ungkapan algebra

pada subtopik ini, ia melibatkan pemfaktoran faktor sepunya yang terbesar

bagi pekali dan faktor sepunya bagi anu dalam ungkapan algebra.

Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah mereka tidak memfaktorkan

selengkapnya terhadap faktor sepunya terbesar bagi pekali pada sebutan

yang terdapat dalam ungkapan algebra yang diberikan.

8

iv. Kesilapan murid dalam menukarkan ungkapan algebra yang mengandungi

dua sebutan kepada hasil darab dua ungkapan.

Contoh soalan 5 :

Berdasarkan item yang terdapat dalam subtopik ini, kesilapan yang paling

tinggi yang dilakukan oleh murid ialah pada soalan 5. Item-item yang

terdapat dalam subtopik ini mengkehendaki pelajar menggunakan identiti

dalam ungkapan algebra iaitu ( )( ) Kesilapan muidr

dalam subtopik ini ialah mereka telah menggunakan identiti yang salah.

Contoh miskonsepsi :

( )

( )( )

9

2.2 Miskonsepsi dalam Topik Geometri

Kajian Gal dan Linchevski (2010) dan Van Hiele (1986) tentang miskonsepsi murid

terhadap geometri menunjukkan kanak-kanak lebih bergantung kepada prototaip

berbanding definisi secara lisan dalam mengenalpasti dan mengklasifikasikan bentuk.

Archavsky dan Goldenberg (2005) menyatakan interaksi antara definisi secara formal

dan imej gambarajah geometri secara mental seringkali bercanggah. Kajian Duval

(1998) mengenai miskonsepsi geometri menyatakan pengajaran geometri adalah lebih

kompleks daripada pengajaran operasi berangka atau algebra, maka ianya penting

untuk menggunakan alat visual dan multimedia di dalam kelas.

Terdapat beberapa contoh miskonsepsi pelajar dalam topik Geometri.

Antaranya ialah:

i. Mengenal pasti tapak (base) dan tinggi (height) segitiga

Murid mengandaikan garisan bawah sebagai tapak dan tinggi pula ialah

garisan keatas dari tapak. Cara untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah

guru perlu memberi peluang kepada pelajar mengenal pasti jenis-jenis segi

tiga yang mempunyai orientasi yang berbeza untuk menentukan Tapak

dan Tinggi setiap segi tiga. Guru juga perlu menerangkan perhubungan

di antara tapak dan tinggi iaitu berserenjang antara satu sama lain.

ii. Miskonsepsi konservasi

Murid mengandaikan rules of invariance yang diaplikasikan dalam

algebra adalah sama untuk bentuk geometri. Cara untuk mengatasi

miskonsepsi ini ialah guru perlu mendemostrasikan bentuk-bentuk maujud

yang berbeza yang mempunyai luas yang sama tetapi perimeter yang

berbeza. Murid juga perlu mengaplikasikan gelang getah untuk membina

segi empat yang mempunyai dimensi yang berbeza tetapi mempunyai

perimeter yang sama, kemudian bandingkan luas setiap bentuk segi empat

yang dihasilkan.

10

iii. Lebih besar ruang bemakna lebih besar sudut

Murid mempunyai ilusi persepsi diantara pusingan yang lebih besar dan

ruang yang lebih besar diantara dua garisan yang membentuk sudut. Cara

untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah murid boleh membezakan di antara

pusingan yang lebih besar dan ruang yang lebih besar antara dua

garisan yang membentuk sudut. Guru juga perlu menggalakkan pelajar

untuk mengukur saiz sudut menggunakan jangka sudut.

iv. Ciri-ciri bentuk

Murid gagal untuk mengenalpasti contoh-contoh bentuk lain yang tidak

sama dengan imej bentuk yang mereka gambarkan

Contoh miskonsespi :

Ciri-ciri segi tiga

Segi tiga mempunyai satu titik di atas dan dua titik di bawah

Bahagian bawah segi tiga adalah perimeter

Ciri-ciri segi empat

Segi empat adalah panjang

Segitiga mempunyai dua sisi yang panjang dan dua sisi lain yang

pendek

Cara untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah guru perlu mendedahkan

pelajar kepada contoh-contoh bentuk yang konkrit dan memperkenalkan

ciri-ciri bentuk yang betul. Manakala murid juga perlu didedahkan dengan

contoh bentuk yang pelbagai yang mempunyai saiz dan orientasi yang

berbeza.

v. Orientasi dan putaran bentuk

Murid gagal mengenalpasti bentuk apabila dipamerkan dalam pelbagai

posisi dan belum menguasai konsep ketekalan terhadap posisi objek. Cara

11

untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah guru perlu memperkenalkan topik

putaran untuk menunjukkan bahawa tiada perubahan yang berlaku dari

segi struktur dan bentuk. Murid juga perlu didedahkan dengan contoh

bentuk yang pelbagai yang mempunyai saiz dan orientasi yang berbeza.

vi. Garisan serenjang

Garis serenjang ialah garis yang membentuk sudut 90o apabila garisan

menegak dan mendatar berserenjang antara satu sama lain. Cara untuk

mengatasi miskonsepsi ini ialah murid perlu didedahkan untuk mengenal

pasti garisan serenjang. Guru juga perlu menunjukkan putaran garisan

berserenjang yang menghasilkan beberapa posisi yang berbeza.

vii. Garisan simetri

Murid mendapati lebih garisan simetri daripada yang benar-benar wujud.

Murid tidak dapat melihat secara jelas simetri yang dapat membahagi

sesuatu bentuk 3D. Cara mengatasi miskonsepsi ini ialah guru boleh

menggunakan teknik melipat kertas atau lebih dikenali sebagai paper

folding untuk menjelakan konsep garisan simetri.

12

2.3 Miskonsepsi dalam Topik Trigonometri

Matematik merupakan satu bidang ilmu yang sangat luas dan sangat banyak

kegunaannya dalam kehidupan seharian manusia. Salah satu cabang daripada

matematik yang sangat bermanfaat kepada manusia ialah trigonometri. Menyedari

akan betapa pentingnya cabang matematik yang satu ini, Kementerian Pelajaran

Malaysia (KPM) telah menetapkan bahawa pembelajaran bagi asas trigonometri

seharusnya bermula pada peringkat menengah rendah iaitu diperkenalkan untuk

pelajar tingkatan 3.

Konsep yang diajarkan bagi peringkat ini merupakan konsep yang sangat asas

dalam trigonometri iaitu seperti konsep empat sukuan, sebelahan, tentangan,

hipotenus, sinus, kosinus, tangen dan penggunaan sifir trigonometri yang asas. Selain

itu, bagi peringkat ini juga, sudut bagi pengiraan masalah trigonometri hanyalah di

antara julat 0o - 360

o.

Dalam subtopik ini murid kerap kali melakukan kesilapan dalam menentukan

garis sebelahan, tentangan dan hipotenus. Apabila hal ini berlaku, murid tidak dapat

mengaplikasikan penggunaan sinus, kosinus dan tangen seterusnya nilai sudut tidak

dapat ditentukan.

Bagi pelajar tingkatan 4, Trigonometri II diajarkan kepada mereka. Nilai bagi

tiga fungsi utama ini adalah berbeza dalam setiap sukuan tersebut. Hanya di dalam

sukuan pertama sahaja nilai adalah positif untuk semua fungsi tersebut. Selebihnya,

sukuan-sukuan lain akan memberikan sama ada nilai positif ataupun nilai negatif bagi

setiap fungsi. Dalam subtopik tersebut, murid akan melakukan miskonsepsi apabila

hendak menentukan nilai positif atau negatif bagi setiap fungsi dalam sukuan kedua

hingga sukuan ke empat.

Selain itu, pelajar juga didedahkan kepada dua unit penting dalam trigonometri

iaitu darjah dan radian. Setiap unit memberikan nilai yang berbeza walaupun asas

pengiraannya adalah sama. Pelajar juga diajar berkenaan cara untuk menukar unit

darjah kepada unit radian dan sebaliknya.

13

Murid masih lagi berada dalam situasi keliru bagaimana untuk menukarkan

unit dajah kepada radian dan sebaliknya. Mereka hanya menghafal algorithma semata-

mata, tanpa mengetahui bagaimana proses penukaran unit tersebut boleh berlaku.

2.4 Miskonsepsi dalam Topik Statistik

Fenomena kesukaran dan miskonsepsi dalam mata pelajaran matematik terutamanya

dalam Pengurusan Data merupakan suatu masalah yang seringkali dihadapi oleh

murid-murid di sekolah rendah. Permasalahan ini sering menjadi isu yang sentiasa

menjadi topik perbincangan antara pelbagai pihak termasuklah guru dan ibubapa.

Dalam subtopik statistik, miskonsepsi sering berlaku dikalangan murid semasa hendak

mengenalpasti jenis-jenis pembolehubah atau data-data yang terlibat. Penggunaan

istilah khusus berkaitan pembolehubah dan data seperti pembolehubah kualitatif,

pembolehubah kuantitatif, data kuantitatif dan data kualitatif boleh mengelirukan

murid.

Pembolehubah adalah ciri ahli-ahli populasi yang dikaji. Contoh

pembolehubah yang mengukur ciri populasi adalah umur, pendapatan, berat badan,

jantina, taraf perkahwinan, jumlah harta yang dimiliki dan sebagainya. Pembolehubah

kualitatif merupakan satu pembolehubah yang tidak dinyatakan dalam bentuk nombor.

Contohnya jantina, keturunan seseorang, taraf pendidikan, gred getah, gred koko dan

lain-lain. Pembolehubah kuantitatif pula merupakan pembolehubah yang dinyatakan

dalam bentuk nombor, contohnya adalah tinggi, berat badan seseorang, jumlah

pendapatan bulanan, bilangan kereta yang menggunakan kereta di lebuhraya dan

sebagainya. Pembolehubah kuantitatif pula boleh dibahagikan kepada dua kategori

iaitu pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah kuantitatif selanjar. Murid

dikesan keliru untuk membezakan dan menentukan pembolehubah-pembolehubah

tersebut.

Guru juga perlu mengingatkan murid yang bukan semua nombor atau angka

adalah data kuantitatif kerana ada juga data tidak memberikan makna apabila mencari

nilai min nombor tersebut atau disusun mengikut turutan nombor. Contohnya nombor

pekerja atau nombor matriks pelajar.

14

Contoh 1 : - nombor ini tidak memberikan sebarang makna jika mencari

nilai min nombor tersebut ataupun apabila disusun mengikut urutan nombor.

Guru juga boleh memberikan latihan yang pelbagai yang ada data-data dan

pembolehubah yang berbeza bagi memberikan pemahaman yang lebih jelas supaya

murid boleh membezakan jenis-jenis data dan pembolehubah.

Contoh 2 : Cikgu Zana telah mengukur tinggi dan berat murid-murid kelas Tahun

1.

Data : Kuantitatif ialah data selanjar kerana data tinggi dan berat

diperolehi dengan memerhati nilai pembolehubah tinggi dan berat.

Contoh 3 : Petugas SPR telah membuat bancian pengundi di Malaysia 5 tahun

sekali.

Data : Kuantitatif ialah data diskret kerana data diperoleh dengan

memerhati nilai pembolehubah bilangan pengundi di Malaysia.

Data yang banyak dan tidak teratur perlu dikumpulkan supaya lebih mudah

difahami. Oleh itu, pengumpulan data mengikut kelas-kelas akan memudahkan

pemahaman murid. Namun, miskonsepsi juga sering berlaku berkaitan selang kelas.

Bagi suatu kumpulan data yang besar, selang kelas perlu digunakan bagi

menguruskan data. Ada murid yang tidak tahu cara untuk mendapatkan selang kelas.

Kebiasaannya selang kelas yang mudah ialah 10. Murid-murid selalu beranggapan

yang selang kelas dimulakan dengan 0 bagi selang kelas yang pertama. Selain itu, ada

juga murid yang memasukkan satu data ke dalam lebih daripada satu kelas.

Contoh 4 : 10 - 20, 20 30, 30 40

Jika 20 diambil sebagai satu data, selang kelas yang manakah 20 akan

dimasukkan ? Ini adalah satu miskonsepsi yang perlu diperbetulkan kerana akan

mempengaruhi statistik yang mengelirukan.

15

Bagi mengatasi miskonsepsi berkaitan selang kelas, guru perlulah

menerangkan tatacara untuk mengumpulkan data ke dalam bentuk jadual mengikut

kategori-kategori tertentu atau kelas-kelas tertentu bagi memudahkan pemahaman

murid. Tegaskan kepada murid, selang kelas yang mudah digunakan ialah saiz 10.

Manakala bagi mencari selang kelas pertama dengan tepat, guru perlulah

mengaitkannya dengan menggunakan data minimum yang diberikan dalam suatu set

data serta mengaitkan data maksimum bagi mencari selang kelas yang terakhir dengan

betul.

Guru boleh membimbing murid dan bertindak sebagai fasilitator bagi

menjalankan aktiviti membina jadual kekerapan dalam kumpulan. Murid boleh

diberikan set soalan latihan yang pelbagai sebagai latih tubi untuk mengira selang

kelas bagi memberikan kefahaman yang jelas berkaitan penentuan kelas-kelas atau

selang kelas bagi suatu set data. Guru perlulah sentiasa membimbing murid.

Seterusnya, miskonsepsi dari segi kecenderungan memusat. Sukatan

Kecenderungan Memusat adalah ukuran purata yang menunjukkan ukuran pusat

sesuatu taburan data. Sukatan kecenderungan memusat menghasilkan maklumat yang

berkaitan dengan titik tengah pada sesuatu kumpulan nombor. Sukatan kecenderungan

memusat boleh dikira bagi data tak terkumpul dan juga data terkumpul.

Terdapat tiga pengukuran statistik yang digunakan bagi sukatan kecenderungan

memusat iaitu min, median dan mod.

i. Min ialah purata bagi semua nilai dalam populasi atau sampel.

ii. Median ialah titik tengah bagi sesuatu kumpulan nombor yang disusun

secara menaik. Jika bilangan data ganjil, median ialah nombor yang

ditengah. Contoh :

Data : 5, 3, 10, 7, 12

Susun semula secara menaik

3, 5, 7, 10, 12

Maka, Median = 7

Jika bilangan data adalah genap, median ialah purata dua nombor yang

terletak di tengah-tengah. Contoh :

Data : 5, 3, 10, 7, 14, 12

16

Susun semula secara menaik

3, 5, 7, 10, 12, 14

Jadi, Median = (7+10)/2 = 8.5

iii. Mod pula ialah kekerapan yang tertinggi. Bagi data terkumpul, mod adalah

titik tengah kelas mod. Terdapat dua cara untuk mengira mod iaitu dengan

formula dan kaedah histogram.

Miskonsepsi yang sering berlaku dalam pengiraan sukatan kecenderungan

memusat ialah berkaitan dengan min. Terdapat beberapa kesukaran yang dialami oleh

murid iaitu mereka tidak dapat mengenalpasti nilai yang tidak dinyatakan apabila

diberi nilai min bagi satu set data. Murid juga tidak dapat membina satu set data

apabila nilai min diberikan serta tidak dapat menggunakan konsep min untuk membuat

kesimpulan.

Berkaitan dengan miskonsepsi tidak dapat menggunakan konsep min untuk

membuat kesimpulan, murid tidak menggunakan KBKK (kemahiran berfikir kreatif

dan kritis) untuk menentukan jenis maklumat atau data yang diwakili serta bagaimana

maklumat yang diberi boleh digunakan untuk meramal atau membuat kesimpulan.

Sebaliknya mereka hanya mencari min sebagai matlamat akhir sesuatu masalah.

Bagi mengatasi miskonsepsi-miskonsepsi yang berlaku berkaitan sukatan

kecenderungan memusat ini, guru hendaklah membantu murid membina pemahaman

konsep melalui penggunaan objek-objek konkrit di sekeliling untuk mencari min

seperti pemadam, kerusi, meja, pensil dan sebagainya sebelum memperkenalkan

algoritma mengira min. Pembelajaran yang berlaku secara kontekstual ini membantu

murid menghubungkait pengetahuan yang dipelajari dengan pengalaman murid sehari-

hari dan menjadikan pembelajaran bermakna.

Guru juga digalakkan untuk menggunakan data-data yang relevan dengan

kehidupan murid sehari-hari seperti tinggi dan berat murid, belanja wang saku

sekolah, kehadiran sekolah dan lain-lain semasa memperkenalkan konsep pengiraan

min. Perkaitan antara pengalaman dan benda-benda di sekeliling murid dengan aktiviti

pembelajaran dilihat mampu memberikan pemahaman dan pembelajaran yang lebih

17

bermakna. Pengiraan algoritma boleh diaplikasikan secara latih tubi setelah murid

menguasai sesuatu konsep sukatan kecenderungan memusat.

2.5 Miskonsepsi dalam Topik Kebarangkalian

Kebarangkalian adalah salah satu tajuk dalam matematik. Kebarangkalian termasuk

dalam bidang perkaitan dalam matematik. Terdapat beberapa subtopik atau bahagian

yang mengelirukan dan menyekat kefahaman pelajar dalam tajuk kebarangkalian ini.

Bagi menyelesaikan masalah ini, guru sangat memainkan peranan penting untuk

memberi kefahaman yang berkesan kepada pelajar untuk memahami topik tersebut.

Kebarangkalian adalah kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan

yang akan atau telah berlaku. Teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam

bidang seperti statistik, matematik, kewangan, sains dan falsafah untuk mendapat

kesimpulan berkaitan kebarangkalian peristiwa terjadi dan mekanik dasar sistem

kompleks.

Kebarangkalian adalah topik ketujuh dalam Tingkatan Empat. Kebarangkalian

juga akan dipelajari oleh pelajar Tingkatan Lima iaitu sambungan dalam Tingkatan

Empat. Dalam topik kebarangkalian Tingkatan Empat, terbahagi kepada tiga subtopik

iaitu ruang sampel, peristiwa dan kebarangkalian dalam sesuatu peristiwa.

Ruang sampel adalah set semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji.

Dalam subtopik ruang sampel ini, murid perlulah menentukan sama ada suatu

kesudahan adalah kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji. Selain itu, murid juga

dapat menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji sama ada

secara aktiviti atau penaakulan. Murid juga mestilah dapat menentukan ruang sampel

sesuatu ujikaji dan dapat menulis ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.

Peristiwa pula adalah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu. Dalam

subtopik peristiwa ini, murid perlulah mahir dalam menyatakan unsur-unsur ruang

sampel yang memenuhi syarat tertentu. Selain itu, murid haruslah mahir dalam

mengenal pasti peristiwa yang memenuhi syarat yang diberi bagi sesuatu ruang

18

sampel. Murid juga akan diuji dalam menentukan sama ada sesuatu peristiwa adalah

mungkin bagi sesuatu ruang sampel.

Bagi subtopik yang terakhir dalam Tingkatan Empat, kebarangkalian suatu

peristiwa, subtopik ini melibatkan kedua-dua subtopik sebelumnya. Oleh itu, murid

haruslah memahami maksud peristiwa dan ruang sampel. Jika kedua-dua subtopik ini

tidak dikuasai oleh murid, maka muridr tidak akan memahami soalan yang diberikan

pada subtopik yang terakhir. Kebarangkalian suatu peristiwa sebagai nisbah bilangan

kali berlakunya peristiwa itu kepada bilangan cubaan yang cukup besar dalam sesuatu

ujikaji. Dalam subtopik ini pula, murid haruslah dapat menentukan nisbah bilangan

kali berlakunya sesuatu peristiwa kepada bilangan percubaan. Selain itu, murid juga

haruslah dapat menyatakan kebarangkalian sesuatu peristiwa daripada bilangan yang

cukup besar.

Bagi Tingkatan Lima pula, subtopik yang pertama adalah kebarangkalian

sesuatu peristiwa. Subtopik ini adalah kesinambungan dalam Kebarangkalian

Tingkatan Empat. Dalam subtopik ini, murid akan diajar tentang cara menentukan

kebarangkalian sesuatu peristiwa bagi ruang sampel yang semua kesudahannya semua

boleh jadi. Selain itu murid juga perlu menentukan jangkaan bilangan kesudahan bagi

sesuatu peristiwa apabila kebarangkalian peristiwa itu dan bilangan cubaan diketahui.

Murid juga didedahkan dengan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

kebarangkalian.

Subtopik yang kedua adalah kebarangkalian peristiwa pelengkap. Dalam

subtopik ini, pelajar perlu menyatakan pelengkap bagi sesuatu peristiwa dalam

perkataan dan tatatanda set. Selain itu, murid diuji dengan menyelesaikan

kebarangkalian peristiwa pelengkap.

Subtopik yang terakhir dalam Tingkatan Lima adalah kebarangkalian peristiwa

bergabung. Dalam subtopik ini, murid dikehendaki menyenaraikan kesudahan

peristiwa A atau B sebagai unsur set A B dan A dan B sebagai unsur A B. Selain

itu murid juga dikehendaki mahir dalam mencari kebarangkalian secara

menyenaraikan kesudahan peristiwa bergabung. Murid juga perlu memahami

kebarangkalian dengan mencari kebarangkalian peristiwa bergabung dengan hasil

19

tambah dan darab peristiwa yang bergabung. Kemudian, murid perlu mahir

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kebarangkalian.

Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh Lai Huang Ang & Masitah Shahrill

(2014) menyatakan terdapat empat miskonsepsi dalam topik kebarangkalian.

Antaranya ialah perwakilan, berat sebelah kebarangkalian sama, kepercayaan dan

kawalan manusia.

i. Miskonsepsi mengenai perwakilan

Kesilapan murid dalam membuat keputusan mengenai kesudahan yang

mungkin dalam suatu peristiwa adalah sama mengikut ciri-ciri sesuatu

peristiwa sebelumnya, di mana hal ini mencerminkan ciri-ciri utama proses di

mana ia dihasilkan. (Kahneman & Tversky, 1982). Contohnya dalam satu

lambungan syiling, murid menganggap bahawa peristiwa lambungan syiling

mesti mempunyai satu siri yang hampir sama bagi muka gambar kepala dan

muka angka ekor berbanding dengan satu siri yang mempunyai muka angka

ekor melebihi muka gambar kepala. Hakikanya, kedua-dua siri mempunyai

kebarangkalian yang sama.

ii. Miskonsepsi mengenai berat sebelah kebarangkalian sama

Kecenderungan yang sering dilakukan oleh murid dengan menentukan bahawa

semua kesudahan yang mungkin dalam semua peristiwa mempunyai

kebarangkalian yang sama (Lecoutre, 1984).

iii. Miskonsepsi mengenai kepercayaan

Berdasarkan kajian Truran (1994) menyatakan bahawa kanak-kanak

menganggap kesudahan yang mungkin daripada suatu peristiwa bergantung

pada suatu daya yang di luar kawalan mereka seperti angin dan nasib.

iv. Miskonsepsi mengenai kawalan manusia

Menurut Nicolson (2005), penyelidikan dijalankan untuk mengkaji keupayaan

kanak-kanak dalam menentukan tingkah laku penjana rawak seperti dadu,

syiling dan roda berputar. Hasil kajian menunjukkan bahawa segelintir kanak-

20

kanak menganggap bahawa keputusan yang mereka peroleh bergantung pada

cara seseorang mengendalikan alat-alat tersebut. Selain itu, pelbagai kajian

turut dijalankan dan mendapati bahawa terdapat tiga faktor yang menyebabkan

kesukaran murid dalam memahami topik kebarangkalian.

Pertama, murid mengalami masalah dalam memahami konsep nombor

nisbah dan argumentasi yang sering digunakan dalam pengiraan, membuat

laporan dan menginterpretasikan kebarangkalian (Behr et al., 1983). Hal ini

disebabkan murid sukar memahami konsep kebarangkalian yang mempunyai

kaitan dengan nombor pecahan, perpuluhan dan peratusan. Berdasarkan

keputusan laporan oleh National Assessment of Education Progress (NAEP) di

Amerika Syarikat mendapati bahawa pelajar yang lemah dalam menguasai

konsep nombor nisbah akan mempunyai kesulitan dalam pemahaman konsep

asas yang melibatkan pecahan, perpuluhan dan peratusan (Carpenter et al.,

1981; Carpenter et al., 1983).

Kesukaran yang kedua ialah murid sering melakukan kesalahan dalam

menyelesaikan masalah kebarangkalian disebabkan mereka tidak memahami

istilah atau bahasa yang digunakan (Hawkins et al., 1992). Sebagai contoh,

murid tidak memahami topik kebarangkalian akan menginterpretasikan

peristiwa itu sebagai kejadian, sedangkan dalam topik kebarangkalian peristiwa

itu merupakan keadaan yang harus memenuhi syarat-syarat tertentu.

Kesukaran terakhir ialah murid biasanya diberikan penjelasan yang

abstrak dan formal oleh guru ( Freudenthal, 1973). Hal ini jelas tidak dapat

membantu pemahaman murid itu memahami konsep kebarangkalian dengan

baik. Seterusnya murid hanya akan menghafal rumus dan pola penyelesaian

yang diajarkan oleh guru tanpa memahaminya (Kempthorne, 1980).

Umum mengetahui tajuk kebarangkalian adalah salah satu tajuk yang

paling tidak disukai oleh murid dalam matematik. Namun begitu kepentingan

tajuk tersebut kepada kehidupan harian tidak boleh dinafikan. Kebarangkalian

akan dipelajari oleh pelajar hingga ke peringkat yang lebih tinggi. Oleh itu,

kefahaman terhadap tajuk ini sangat penting kepada murid supaya pelajar dapat

21

menjawab soalan kebarangkalian dengan baik dalam peperiksaan dan

memahaminya dalam kehidupan seharian.

2.6 Miskonsepsi dalam Topik Kalkulus

Kajian lanjutan (Bezuidenhout, 2001; Cornu, 1991; Davis & Vinner, 1986; Tall, 1992;

Tall & Vinner, 1981; Williams, 1991) menujukkan miskonsepsi murid biasanya

berlaku apabila mereka mempelajari dan memahami konsep had secara informal.

Williams (1991) menyatakan bahawa konsep tentang had sering dikaitkan dengan isu-

isu seperti fungsi boleh mencapai hadnya, had adalah sempadan dan had merupakan

proses dinamik atau objek statik.

Miskonsepsi dalam konsep had disebabkan oleh beberapa sebab (Davis &

Vinner, 1986; Tall, 1992). Salah satu adalah pengaruh bahasa atau perkataan yang

akan menggangu murid dalam memahami konsep matematik. Contohnya frasa-frasa

tends to, approaches atau gets close to. Frasa-frasa ini akan menyebabkan murid

mempunyai tanggapan bahawa had ialah suatu nilai yang boleh dihampiri tetapi tidak

capai nilai tersebut.

Monaghan (1991) mengatakan miskonsepsi murid berkaitan dengan perkataan

had disebabkan oleh penggunaan perkataan had dalam kehidupan seharian. Murid

menghubungkan konsep had ini kepada had laju, had fizikal dan mental yang tidak

boleh terlebih. Jadi, murid menganggap had adalah sempadan sama ada sempadan atas

atau sempadan bawah (Cornu, 1991;Davis &Vinner, 1986; Frid, 1994).

Tall & Vinner (1981) menyatakan permulaan konsep had dibincangkan dalam

bentuk dinamik f(x) approaches c as x approaches a. Contohnya bagi

,

apabila nilai menjadi ketakterhingga, nilai had itu akan sama dengan sifar.

Miskonsepsi berlaku apabila murid menjelaskan bahawa nilai had itu akan

menghampiri sifar, tetap tidak akan sama degan nilai sifar. Dalam kes ini murid

menggambarkan had adalah proses dinamik, bukannya objek statik.

22

3.0 Cara Mengatasi Miskonsepsi

Walaubagaimanapun miskonsepsi masih boleh diatasi sekiranya guru dapat mengenal

pasti awal masalah murid yang kerap kali melalukan kesilapan dalam memahami

konsep matematik. Sebagai seorang guru, membantu murid-murid menangani masalah

miskonsepsi dalam matematik merupakan satu amanah dan tanggungjawab yang harus

dipikul oleh setiap individu itu. Kegagalan murid-murid dalam menyelesaikan masalah

matematik mungkin disebabkan oleh masalah miskonsepsi.

Oleh itu, pelbagai langkah yang boleh diambil oleh guru dalam mengatasi

miskonsepsi dalam matematik. Antara langkah untuk mengatasi masalah miskonsepi

ini, guru perlulah memberi penerangan dengan lebih jelas maksud setiap konsep

matematik yang perlu murid ketahui dan kuasai. Murid perlu diperkenalkan dengan

beberapa contoh yang konkrit kerana menurut seorang professor dan ahli psikologi

Robert Gagne mengatakan bahawa, pembelajaran konsep matematik yang berkesan

memerlukan beberapa teknik penyampaian iaitu :

i. Memberi berbagai-bagai contoh konkrit untuk membuat generalisasi

ii. Memberi contoh yang berbeza tetapi berkaitan supaya dapat membuat

perbezaan

iii. Memberi contoh-contoh yang tidak ada kaitan dengan konsep yang

diajarkan untuk membuat perbezaan dan generalisasi

iv. Memberi pelbagai jenis contoh matematik untuk memperolehi konsep

matematik yang tepat.

Menurut Nor Asmah (2000), pendekatan yang sesuai perlu dicari dan

digunakan. Refleksi ke atas pendekatan perlu dibuat dan perlu diulangi kitaran

sehingga membuahkan kejayaan. Persekitaran pembelajaran yang banyak membantu

serta menggalakkan pembelajaran matematik seterusnya mampu meningkatkan

kecenderungan murid-murid terhadap matematik perlu diberi pertimbangan

sewajarnya oleh guru-guru agar dapat menjana minda pelajar ke arah yang positif.

Antara kaedah pengajaran yang mampu membantu murid murid mengatasi masalah

miskonsepsi mereka ialah dengan menggalakkan mereka berkongsi dan berbincang

kerana ini mampu memperkembangkan interpretasi konsep matematik mereka.

23

4.0 Penutup

Berdasarkan kepada penerangan yang telah dihuraikan, pada hakikatnya guru-

guru mampu untuk mengurangkan kesalahan dan miskonsepsi yang biasa dihadapi

oleh murid-murid terutama ketika mereka mempelajari topik yang sukar dan perlu

menggunakan banyak konsep untuk menyelesaikan masalah matematik. Sebagai

seorang guru, tugas utama adalah untuk membantu dan membimbing murid-murid

yang mengalami pelbagai masalah pembelajaran, sekaligus menanam minat agar

mereka dapat belajar matematik dalam suasana yang menyeronokkan.

Menurut Ginsburg (1977), miskonsepsi lahir dari apa yang telah diajarkan.

Walaupun pelajaran yang diturunkan oleh mereka tersebut tidak logik dan salah, tetapi

dari segi perspektif kanak-kanak, ia sangat sesuai dan benar. Matematik merupakan

mata pelajaran yang kumulatif ataupun bertambah-tambah, maka kita mempelajari

sesuatu yang lalu dengan berpandukan pembelajaran masa lalu. Bagi sesetengah

pembelajaran yang terdahulu sepertimana yang digariskan dalam kurikulum,

miskonsepsi adalah betul. Kebanyakkan punca miskonsepsi adalah kerana generalisasi

melampau overgeneralization dalam pengetahuan sedia ada yang hanya tepat untuk

pembelajaran awal. Skema yang telah pun terbina dalam minda kanak-kanak sukar

untuk diubah.

Maka, sebagai seorang guru adalah menjadi tanggungjawab kita untuk

mengenalpasti masalah atau cabaran serta sentiasa berusaha mencari kaedah, teknik,

dan strategi yang sesuai dan menarik agar murid faham dan tidak menghadapi

kesukaran atau miskonsepsi dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik di mana

ini seterusnya dapat meningkatkan kemahiran penaakulan dalam diri setiap murid.

Cabaran-cabaran atau masalah ini harus ditangani dengan sebaik mungkin demi

memantapkan penguasaan modal insan negara dengan pengetahuan dan kemahiran

penaakulan yang tinggi bidang sains dan matematik yang mana ia menjadi pemangkin

kepada kemajuan sesebuah negara.

24

Rujukan

Archavsky and Goldenberg, 2005 N. Archavsky, P. Goldenberg Perceptions of a

quadrilateral in a dynamic environment in: D. Carraher, R. Nemirovsky (Eds.),

Medium and meaning: video papers in mathematics education research, Journal

of Research in Mathematics Education Monograph XIII [CD-ROM], National

Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA (2005)

Bezuidenhout, J. (2001). Limits and continuity: some conceptions of first-year

students. International Journal of Mathematical Education in Science and

echnology, 32(4), 487-500.

Carpenter , T. P., Lindquist, M. M., Matthews, W., & Silvver, E. (1983). Results of the

third NAEP mathematics assessment: Secondary school. Mathematics Teacher,

76, 652-659.

Carpenter, T. P., Corbitt, M.K.,& Kepner, H. S., Jr. (1981). What are the chances of

your students knowing probability? Mathematics Teacher , 74,342-345.

Chan Siew Lian (1999). Salah Konsep Matematik Di Lima Buah Sek. Men. Di Jajahan

Tumpat, Kelantan. Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.

Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 153-

166). Boston: Kluwer Academic Publishers.

Davis, R. B., & Vinner, S. (1986). The notion of limit: Some seemingly unavoidable

misconception stages. Journal of Mathematical Behavior, 5, 281-303.

Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana & V.

Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century:

An ICMI study (pp. 37-52), Dordrecht: Kluwer.

25

Gal and Linchevski, 2010 H. Gal, L. Linchevski To see or not to see: Analyzing

difficulties in geometry from the perspective of visual perception Education

Studies in Mathematics, 74 (2010), pp. 163183

Ginsburg, H. (1977). Childrens arithmetic: The learning process. New York: Litton

Educational Publishing Inc.

Hawkins, A., Joliffe, E, & Glickman, L. (1992). Teaching statistical concepts.

London:Longman.

Kahneman, D., Slovic, P., & Tversky, A. (1982). Judgment under uncertainity:

Heuristics and biases. Cambridge, UK: Cambridge UP.

Lecoutre, M. (1992). Cognitive models and problem spaces in purely random

situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Li, X. 2006. Cognitive Analysis Of Students Errors and Misconceptions In Variables,

Equations and Functions. Dissertation. Texas A&M University.

Monaghan, J. (1991). Problems with the language of limits. For the Learning of

Mathematics,11(3), 20-24.

Olivier, A. 1989. Handling Pupils Misconceptions. Pythagoras. 21, 9-19.

Rosli Dahlan (2000). Analisis Kesilapan Yang dilakukan Oleh Pelajar Tingkatan

Empat Dalam Menyelesaikan Masalah Berkaitan Ungkapan Algebra.

Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.

Saripah Latipah Syed Jaapar (2000). Satu Tinjauan Tentang Kefahaman

KonsepUngkapan Algebra Pelajar Tingkatan Dua dan Pola Kesilapan Yang

Dilakukan. Universiti Teknologi Malaysia. Sarjana Muda.

Siegler, R.S. 1991. In young childrens counting : Procedures precede principles.

Educational Psychology Review, 3(2): 127-135.

26

Subahan Mohd Meerah. 1999. Dampak penyelidikan pembelajaran sains terhadap

perubahan kurikulum. Universiti Kebangsaan Malaysia

Tall, D. (1990). Inconsistencies in the learning of calculus and analysis. Focus on

Learning Problems in Mathematics, 12(3&4), 49-63.

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics

with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in

Mathematics, 12(2), 151-169.

Van Hiele, P. M. (1959/1986). The child's thought and geometry. In D. Fuys, D.

Geddes, & R. Tishchler (Eds.), English translation of selected writings of Dina

van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele (pp. 243252).