PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU .persamaan diferensial parsial yang melibatkan turunan

i

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU

ARUS LALU LINTAS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 133114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

NUMERICAL SOLUTION TO A CONTINUOUS MODEL OF

TRAFFIC FLOWS

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :

Bernadetta Ambar Sulistiyawati

Student Number: 133114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SKRIPSI

PEi\YELESAIAI\ I\{UMERIS MODEL KOI\TINU

ARUS LALU LII\TAS

Oleh:

Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 133i14011

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

rfux/-4.,Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. Tanggal 2l Februari 2017

111

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SKRIPSI

PEI\YELESAIAN NUMERIS UNTUK MODEL KONTINU

ARUS LALU LINTAS

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 13311401I

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

Pada tanggal 28 Februari 2017

dan dinyatakan telah memenuhi symat

Ketua

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap

Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Sekretaris Febi Sanjay4 M.Sc.

Anggota Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

........4W..

da-fu&",

Yogyakart4 28 Februari 2017

Fakultas Sains dan Teknologi

Tanda Tangan

i' - ti,!\.r i:,;',:.'-: :;'-.

**" inl nbf*,rtr &t ..- '; iil! fJ;5\ lbL"YrWtffi$L/-,a't)

i.,Mungkasi, S.Si., M.Math. Sc., Ph.D.)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuatkarya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 28 Februai 2Al7

B ernadetta Ambar Sulistiyawati

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vi

MOTTO

Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan

kepadaku (Filipi 4:13)

Visi tanpa tindakan hanyalah sebuah mimpi. Tindakan tanpa visi

hanyalah membuang waktu. Visi dengan tindakan akan mengubah

dunia! (Joel Arthur Barker)

Sesuatu mungkin mendatangi mereka yang mau menunggu, namun

hanya didapatkan oleh mereka yang bersemangat mengejarnya

(Abraham Lincoln)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa

menyertaiku

Mama, Papa dan Adik tercinta yang selalu mendukungku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

viii

ABSTRAK

Arus lalu lintas dimodelkan dan diteliti dalam skripsi ini. Kemacetan

menjadi masalah lalu lintas yang sering terjadi di kota. Oleh karena itu, penulis

membahas model matematika yang berhubungan dengan arus lalu lintas.

Pembahasan mencakup bagaimana kondisi kepadatan lalu lintas yang dilihat dari

pergerakan kendaraan secara makro, bukan pegerakan setiap kendaraan.

Model matematika masalah arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial

parsial yang dapat ditulis dalam bentuk hukum konservasi. Model tersebut

diselesaikan dengan menggunakan teori linearisasi persamaan diferensial untuk

mencari solusi analitisnya. Selain itu, penulis akan menggunakan metode volume

hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk menyelesaikan model

tersebut secara numeris

Solusi analitis dan numeris akan disimulasikan dengan menggunakan

perangkat lunak MATLAB. Penelitian ini akan menguji metode mana yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas jika dibandingkan dengan

solusi analitisnya. Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dan

seberapa besar erornya. Semakin kecil nilai erornya maka semakin baik metode

numeris yang digunakan.

Kata kunci: arus lalu lintas, persamaan diferensial parsial, hukum kekekalan,

volume hingga, metode Lax-Friedrichs, sistem relaksasi Jin-Xin

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ix

ABSTRACT

A traffic flow is modeled and studied in this thesis. A traffic jam becomes the

problem that often occurs in a city. Therefore, the author discusses about the

mathematical models that is related to the traffic flow. It explores on traffic density

conditions seen from the macro movement of the vehicles, not each vehicles.

Mathematical model of traffic flow problem is in the form of partial

differential equations that could be written in the form of conservation laws. The

model is solved using linearization theory of differential equations to find analytical

solutions. In addition, the author uses Lax-Friedrichs finite volume method and Jin-

Xin relaxation system to solve the model numerically.

Analytical and numerical solutions to the model are simulated using

MATLAB software. This study examines the methods which could be used to solve

the traffic flow problem if it is compared with the analytical solution as the previous

solution. The results are analyzed by viewing the simulation outcomes along with

the errors. The smaller the errors, the better the numerical method that is used.

Keywords: traffic flow, partial differential equations, conservation laws, finite

volume, Lax-Friedrichs method, Jin-Xin relaxation system

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah

mencurahkan rahmat dan roh kudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan hambatan.

Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika

yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua dan adik yang telah membantu dan mendukung saya

selama proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras,

Ezra, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca,

Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi

masukan dan keceriaan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu

persatu. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.

8. Kakak-kakak, teman-teman dan adik-adik: Vincent, Kak Chandra, Kak

Happy, Arka, Monic, Kak Lia, Tessa, Vania, Cicil, Kak Arum, Kak Yohan,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Kak Tika, Kak Kristin, dan yang lainnya, terimakasih untuk semangat dan

dukungannya selama penulis berkuliah dan menulis skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam prosespenulisan skripsi ini.

Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan

mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih

banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulismengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis,

semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang

baik.

Yogyakarta, 28 Februai 2017

Bernadetta Ambar Sulistiawati

x1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH TINTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Bernadetta Ambar SulistiyawatiNomor Mahasiswa : 133114011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS

beserta perangkat yang