Upload
internet
View
104
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PEQ/COPPE/UFRJBruno F. Oechsler
Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do
Enxame de Partículas
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 2 / 13
1. Introdução e Objetivos
2. O Modelo Matemático de Lorenz
3. Formulação do Problema de Otimização
a. Determinação dos Expoentes de Lyapunov;
b. Caracterização do Espaço de Parâmetros;
4. Resultados
5. Conclusões e Próximas Etapas
Sumário
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 3 / 13
Introdução e Objetivos
Limitações das técnicas clássicas de continuação paramétrica (AUTO, 2009):−Análise de bifurcações de órbitas periódicas (aproximações
polinomiais);
−Identificação de soluções dinâmicas caóticas (infinidade de órbitas
periódicas instáveis imersas);
Necessidade de desenvolvimento de métodos alternativos:−Análise de fenômenos dinâmicos via o cálculo dos expoentes de
Lyapunov ;
−Acoplamento com técnicas de otimização;
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 4 / 13
O Modelo de Lorenz
Modelagem do movimento convectivo de camadas de fluido resultante de gradientes de temperatura:
yx
dt
dx
zxyxrdt
dy..
. .dz
z x ydt
Variáveis de estado:x é a intensidade do movimento do fluido;y e z estão relacionadas às variações de temperatura nas direções horizontal e vertical;
Parâmetros:, r σ e β estão relacionados com as propriedades do material e com a geometria da camada de fluido.
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 5 / 13
Expoentes de Lyapunov
Diagnóstico e quantificação de fenômenos dinâmicos
0log
1lim 2
i
i
ti p
tp
t
2
10 0 1
1log
nk
kn k
d t
t t d t
Espectro para Sistemas Contínuos 3-D:(+,0,-) : um atrator estranho;(0,0,-) : um toro;(0,-,-) : um ciclo limite;(-,-,-) : um ponto fixo.
p1(0)
p2(0)x0
p1(t)
p2(t)x(t)
d0
d(t)
t
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 6 / 13
Algoritmo de WOLF et al. (1985):−A evolução do centro da hiperesfera é acompanhada por uma
trajetória conhecida;
−Trajetórias de pontos na superfície da esfera são definidos pela ação
de equações linearizadas;
−Os eixos principais são definidos pela evolução das equações
linearizadas inicializadas por uma base de vetores ortonormais;
−Em sistemas caóticos, todo os vetores tendem para a direção de
maior crescimento (expoente de Lyapunov dominante);
−Reortonormalização de Gram-Schmidt para gerar uma nova base de
vetores alinhadas ao centro da esfera;
Expoentes de Lyapunov
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 7 / 13
Formulação do problema de otimização:(i) Soluções Caóticas
(ii) Soluções Estacionárias
(iii) Soluções Periódicas
Sujeito a:
O Problema de Otimização
1
min , ,1
a cS a c
e
yxdt
dx
zxyxrdt
dy..
. .dz
z x ydt
dA
dt
fA
x
9,5 10,5
0 100 r
2 3
1
min , ,1 a c
S a ce
min , , 1S a c e
2
10 0 1
1log
nk
kn k
d t
t t d t
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 8 / 13
Técnicas Numéricas Empregadas:−DASSL (integração numérica do sistema de equações diferenciais
ordinárias no domínio temporal);
−Otimização do Enxame de Partículas:
−Foram empregadas 20 partículas e 200 passos de otimização;
−Utilizou-se um fator de inércia w de 0,9 no início das iterações,
diminuindo-se este valor para 0,5 nas iterações finais;
−Utilizaram-se os valores de c1 e c2 equivalentes a 2,0.
O Problema de Otimização
1 1i i ip k p k k
1 1 2 21 ( ( )) ( )i i i i ik w k c r pbest k p k c r gbest k p k
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 9 / 13
Mapeamento Global de Soluções Caóticas
Resultados
10,2590r 99,4306b2,6589
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 10 / 13
Mapeamento Global de Soluções Periódicas
Resultados
9,78615r 92,72751b2,51869
,
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 11 / 13
Mapeamento Global de Soluções Estacionárias
Resultados,
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 12 / 13
Conclusões
− A metodologia mostrou-se eficiente no mapeamento de
fenômenos dinâmicos;
− A utilização de uma função objetivo contínua potencializa a
obtenção das regiões mais promissoras;
− A caracterização da trajetória dinâmica pelo expoente de
Lyapunov é uma estratégia rigorosa sob o ponto de vista
matemático;
− A possibilidade de quantificação dos fenômenos dinâmicos
permite a proposição de uma função objetivo contínua.
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 13 / 13
Obrigado pela atenção...
PEQ/COPPE/UFRJBruno F. Oechsler
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do
Enxame de Partículas