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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Percorso 2010: Introduzione alla LogicaProposizionale
Francesca Poggiolesi
Facolta di Medicina e Chirurgia
26 Agosto 2010, Firenze
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 1
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, non compra,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 2
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 2
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 2
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 2
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 2
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Sei un artista. Dunque:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Strategie differenti
Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a talitest:
I rispondere a caso,
I ragionare,
I applicare un metodo.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Strategie differenti
Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a talitest:
I rispondere a caso,
I ragionare,
I applicare un metodo.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Strategie differenti
Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a talitest:
I rispondere a caso,
I ragionare,
I applicare un metodo.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Strategie differenti
Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a talitest:
I rispondere a caso,
I ragionare,
I applicare un metodo.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Dal test alla logica
Logica come metodo
In questo corso cerchero di spiegarvi (brevemente) quella parte dilogica, detta proposizionale, che in questo contesto puo esserevista come il metodo per risolvere i tipi di domande sopra esposte.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati atomici
Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.
Esempi:
I piove,
I Paolo ama Francesca,
I Firenze e il capoluogo della Toscana.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati atomici
Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.
Esempi:
I piove,
I Paolo ama Francesca,
I Firenze e il capoluogo della Toscana.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati atomici
Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.
Esempi:
I piove,
I Paolo ama Francesca,
I Firenze e il capoluogo della Toscana.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati atomici
Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.
Esempi:
I piove,
I Paolo ama Francesca,
I Firenze e il capoluogo della Toscana.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati atomici
Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporreulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.
Esempi:
I piove,
I Paolo ama Francesca,
I Firenze e il capoluogo della Toscana.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati composti
Si dicono composti quegli enunciati che possono essere consideratiil risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciatiin enunciati.
Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Enunciati composti
Si dicono composti quegli enunciati che possono essere consideratiil risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciatiin enunciati.
Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: A
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: C
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: ¬
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: ¬ A
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: ¬ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Prima operazione: negazione
Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):
non piove
Anna non e sorella di Marco
4 non e un numero primo
Formalmente, abbiamo: ¬ C
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo: ∧
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo: A ∧ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo: C ∧ D
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo: E ∧ F
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Seconda operazione: congiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Maria e bella e (Maria e) ricca
2 e pari e 3 e dispari
nevica e fa freddo
nevica e nevica
Formalmente, abbiamo: E ∧ E
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo: ∨
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo: A ∨ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo: C ∨ D
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Terza operazione: disgiunzione
Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):
Piove o nevica
Carlo e pazzo o (Carlo e) bugiardo
il vincitore e Alberto o il vincitore e Alessandro
Formalmente, abbiamo: E ∨ F
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo: →
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo: A → B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo: C → D
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quarta operazione: implicazione
Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):
Se e domenica, allora i negozi sono chiusi
se piove, allora prendo l’ombrello
se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa
Formalmente, abbiamo: E → F
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo: ↔
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo: A ↔ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo: C ↔ D
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Quinta operazione: bicondizionale
Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):
I funghi nascono se, e solo se, la stagione e adatta
L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17
L’acquisto si fara se, e solo se, il prezzo non supera la nostradisponibilita
Formalmente, abbiamo: E ↔ F
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Riassumendo...
I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)
I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:¬,∧,∨,→,↔
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Riassumendo...
I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)
I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:¬,∧,∨,→,↔
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Riassumendo...
I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)
I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:¬,∧,∨,→,↔
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Da notare
I i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto suenunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Da notare
I i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto suenunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬ A → ( B ∧ C )
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬
A
→ (
B
∧
C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬ A
→ (
B
∧
C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬ A
→ (
B ∧ C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬ A →
(
B ∧ C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 1
Se Anna non e sorella di Marco, allora e amica di Lucia e cugina diMauro
¬ A → ( B ∧ C )
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬ A ∧ ( B → C )
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬
A
∧ (
B
→
C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬ A
∧ (
B
→
C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬ A ∧
(
B
→
C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬ A ∧
(
B → C
)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Esempio 2
Anna non e sorella di Marco e se e cugina di Giovanni allora eparente di Cristina
¬ A ∧ ( B → C )
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Da notare
I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressionisincategorematiche, che si lasciano pero assimilare aiconnettivi classici, e.g.
I Anna e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante siamalato. Equivalgono a ∧.
I Gianni sta male quando vola, 28 e pari perche e divisibile perdue. Equivalgono a →.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Da notare
I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressionisincategorematiche, che si lasciano pero assimilare aiconnettivi classici, e.g.
I Anna e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante siamalato. Equivalgono a ∧.
I Gianni sta male quando vola, 28 e pari perche e divisibile perdue. Equivalgono a →.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: formalizzazione
Da notare
I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressionisincategorematiche, che si lasciano pero assimilare aiconnettivi classici, e.g.
I Anna e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante siamalato. Equivalgono a ∧.
I Gianni sta male quando vola, 28 e pari perche e divisibile perdue. Equivalgono a →.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Domanda
Quand’e che un enunciato della forma “non piove” e vero?
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Domanda
Quand’e che un enunciato della forma “se piove, prendol’ombrello” e vero?
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Domanda
Come si fa a determinare la verita di un enunciato composto?
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Domanda
Rispettando i tre principi di determinatezza, bivalenza everofunzionalita, la risposta si articola nel modo seguente...
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Valori di verita
Assumiamo di denotare la verita con il numero 1, e la falsita con ilnumero 0.
Mostriamo le tavole di verita di ciascuno dei nostri connettivi.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Valori di verita
Assumiamo di denotare la verita con il numero 1, e la falsita con ilnumero 0.
Mostriamo le tavole di verita di ciascuno dei nostri connettivi.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A ¬ A
1 00 1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A
¬ A
1 00 1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A
¬ A
1
00 1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A
¬ A
1
0
0
1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A ¬ A
1
0
0
1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A ¬ A
1 00
1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A ¬ A
1 00 1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Negazione
A ¬ A
1 00 1
¬ A e vero (falso) se e solo se A e falso (vero)
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0 00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B
A ∧ B
1 1 11 0 00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B
A ∧ B
1 1
11 0 00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B
A ∧ B
1 1
1
1 0
00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B
A ∧ B
1 1
1
1 0
0
0 1
00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B
A ∧ B
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0
0
0 1
0
0 0
0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0 00 1
0
0 0
0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0 00 1 00 0
0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0 00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Congiunzione
A B A ∧ B
1 1 11 0 00 1 00 0 0
A ∧ B e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A e falso o B efalso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0 10 1 10 0 0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B
A ∨ B
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0
1
0 1
1
0 0
0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0 10 1
1
0 0
0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0 10 1 10 0
0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0 10 1 10 0 0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Disgiunzione
A B A ∨ B
1 1 11 0 10 1 10 0 0
A ∨ B e vero (falso) se e solo se A e vero o B e vero (A e B sonoentrambi falsi).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0 00 1 10 0 1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B
A → B
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0
0
0 1
1
0 0
1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0 00 1
1
0 0
1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0 00 1 10 0
1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0 00 1 10 0 1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Implicazione
A B A → B
1 1 11 0 00 1 10 0 1
A → B e vero (falso) se e solo se A e falso o B e vero (A e vero eB e falso).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0 00 1 00 0 1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B
A ↔ B
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0
0
0 1
0
0 0
1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0 00 1
0
0 0
1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0 00 1 00 0
1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0 00 1 00 0 1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tavole di verita. Bicondizionale
A B A ↔ B
1 1 11 0 00 1 00 0 1
A ↔ B e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore diverita (A e B hanno valori di verita distinti).
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 1
Prendiamo l’enunciato “oggi piove e fa freddo”
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 1
Sappiamo che si formalizza con: A ∧ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 1
Supponiamo che qualcuno ci chieda se da questo enunciato seguenecessariamente che “piove”
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 1
Formalizziamo anche tale domanda: A ∧ B → A?
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 1
Facciamo la tavola di verita di A ∧ B → A
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
Prima di cominciare a fare la tavola di verita di A ∧ B → A, unaosservazione importante
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
Quando si fa la tavola di verita di enunciati contenenti piu di unconnettivo, bisogna stabilire qual e il connettivo principale.
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
In A ∧ B → A il connettivo principale e →.
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A
∧1
B
→2
A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A
∧1
B
→2
A
1
1
1
1
11
0
0
1
10
0
1
1
00
0
0
1
0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1
1
1
1
11
0
0
1
10
0
1
1
00
0
0
1
0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1
1
11 0 0
1
10 0 1
1
00 0 0
1
0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Esempio 2
A ∧1 B →2 A
1 1 1 1 11 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 0
La risposta e affermativa: da “piove e fa freddo” seguenecessariamente che “piove”
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tautologie
La tautologie sono quegli enunciati composti il cui valore di veritae sempre 1
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tautologie
Ad esempio:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tautologie
A → A ∨ B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tautologie
A → (B → A) a fortiori
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Tautologie
¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) De Morgan I
¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) De Morgan II
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Ritorniamo al nostro test
Se e vero che “chi disprezza, compra,” sara necessariamente veraanche una delle affermazioni seguenti:
I chi non disprezza, non compra,
I chi non compra, non disprezza,
I chi non compra, disprezza,
I chi non disprezza, compra,
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Prendiamo l’enunciato “chi disprezza, compra”
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Sappiamo che si formalizza con: A → B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Controlliamo se da questo enunciato segue necessariamente laprima delle nostre opzioni: “chi non compra, non disprezza,” ossia:¬B → ¬A
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Formalizziamo tale domanda: (A → B) → (¬B → ¬A)?
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
A questo punto abbiamo due opzioni:
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
1. Sappiamo che (A → B) → (¬B → ¬A) e (o non e) unatautologia e diamo direttamente la nostra risposta
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
2. Non ci ricordiamo se (A → B) → (¬B → ¬A) e una tautologiaoppure no, dunque facciamo la tavola di verita
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B) → (¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B) → (¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B)
(¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B)
(¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B)
(¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B)
(¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
(A → B)
(¬B → ¬A)
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
Mettiamo in pratica quanto abbiamo appena detto.
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A
→
B
→ ¬
B
→ ¬
A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A
→
B
→ ¬
B
→ ¬
A
1
1
1
1 0
1
1 0
11
0
0
1 1
0
0 0
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1
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1
0
1 1
0
1 1
0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1
1
1
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10
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Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1
1 0
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0 0
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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
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1
0 1
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1
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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1
1
0 1
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Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1
1
0 1
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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1
1
0 1 1 0 11 0 0
1
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1
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1
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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1
1
0 1 1 0 11 0 0
1
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1
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1
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Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Analisi de test
A → B → ¬ B → ¬ A
1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0
La risposta e affermativa: da “chi disprezza, compra” seguenecessariamente che “chi non compra, non disprezza”
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Secondo esempio di test
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Secondo esempio di test
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Secondo esempio di test
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Secondo esempio di test
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Secondo esempio di test
Non si da il caso che Anna e bella e simpatica. O,equivalentemente...
I Anna e bella e simpatica,
I se Anna non e bella, allora non e simpatica,
I non si da il caso che Anna non e bella ne simpatica,
I Anna non e bella o non e simpatica.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Prendiamo l’enunciato “Non si da il caso che Anna e bella esimpatica”
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Applichiamo il nostro metodo...
Sappiamo che si formalizza con: ¬(A ∧ B)
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
Questa volta dobbiamo controllare che:
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B)
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B)e equiva-lente con
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ Anna e bellae simpatica
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ A ∧ B
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ se Anna none bella, al-lora non esimpatica
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ ¬A → ¬B
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Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ non si dail caso cheAnna non ebella ne sim-patica
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ ¬(¬A∧¬B)
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ Anna non ebella o non esimpatica
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
De Morgan!
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Logica proposizionale: tavole di verita
Applichiamo il nostro metodo...
La risposta e affermativa: “Non si da il caso che Anna e bella esimpatica” e equivalente a “Anna non e bella o non e simpatica”
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Logica proposizionale: tavole di verita
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale
Logica proposizionale: tavole di verita
Alcuni esempi di test 3
Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.Dunque se sei un artista:
I hai talento,
I non hai talento,
I non e possibile inferire alcuna conclusione,
I non sei artista e hai talento.
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Logica proposizionale: tavole di verita
Hai capito?
Da fare a casa....
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Bibliografia
I A. Cantini e P. Minari, Introduzione alla logica, Le MonnierUniversita, Firenze, 2009.