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PERFIL DE VELOCIDADE EM UMA TUBULAÇÃO

INTRODUÇÃO:

”Sabemos peremptoriamente que o calculo da velocidade média ou o seu coadjuvante, fator de velocidade FV, é o grande vilão da Pitometria.” Os maiores erros em uma medição de escoamento a ele estão associados.

A Pitometria é uma prática comum nas Empresas concessionárias que tratam, distribuem e fornecem serviços de água potável e saneamento básico. Na metodologia da Pitometria, o operador adquire medições da pressão diferencial pontual através do tubo de Pitot ao longo do diâmetro de uma tubulação cujo escoamento se deseja quantificar e, a partir dos pontos aquisitados, traça e estuda o perfil da velocidade ali encontrado.

Na Pitometria, o elemento primário para a medição da pressão e a vazão é o tubo de Pitot. No mercado interno ou externo, existem vários tipos e modelos de Pitot. Focaremos nesse estudo no mais comum em uso nas Empresas de Saneamento, qual seja o tubo de Pitot Cole.

A tecnologia envolvendo o uso do tubo de Pitot Cole, contendo tabelas para sua utilização nas medições e levantamento de um perfil de velocidades e consequente medição do escoamento, foi introduzida pela “The Cole Pitometer Rod Meter” em 1922 através da publicação pela “Carlies, Macy & Co., Inc. New York. Nessa publicação, se explica todo processo do manuseio do Pitot, desde sua introdução na tubulação em carga, sua movimentação e o levantamento do perfil de velocidade com o fim da medição quantitativa do escoamento.

Na metodologia explicada e exemplificada, o operador da época adquiria apenas medições da pressão diferencial gerada pelo Pito de Pitot com auxilio de um tubo de vidro, na forma de “U” contendo um liquido denominado fluido Pitométrico qual seja: Tetrabromoetano, densidade 3.00, Tetracloreto de Carbono, densidade 1,60, fluidos tais que diluído quando necessário, com benzeno, se conseguia outras densidades menores e o Mercúrio, densidade 13,56.

Atualmente, com o advento da eletrônica moderna, tais líquidos ou fluidos Pitométrico foram abolidos ou proibidos pelo Ministério do Trabalho por razões de sua toxidade, passando então a ser usado as Maletas Eletrônicas. Com ela se mede, calcula e registra a pressão diferencial gerada pelo Pitot, e ainda a pressão dinâmica da rede no processo de escoamento, oferecendo na operação maior segurança, praticidade, eficiência e rapidez nas medições.

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Perfil de velocidade em uma tubulação:

Em uma tubulação, têm-se apenas na prática, dois tipos de escoamento: Escoamento laminar e Escoamento turbulento. Escoamento laminar é aquele onde a velocidade do fluido esta no intervalo de 0 a +/- 0,025 m/s, compreendendo um número de Reynolds na faixa de +/- 2500. Nesse intervalo de velocidade o fluido agua escoa tranquilo, sem agitação, com suas moléculas presas umas as outras pelo efeito da viscosidade. Nesse caso, particular, dificilmente encontrado nas redes de escoamento, senão em laboratório de vazão, o perfil de velocidades tem sua característica própria, variando apenas na dependência do coeficiente de rugosidade da tubulação, denominado fator C, fator de atrito ou rugosidade. Com a variação do fator C, de um valor menor, por exemplo, fator C igual a 70, ou seja, tubulação muito incrustada, onde nessas condições, tem-se a presença de um perfil bem alongado, comparando-o com o segundo caso, onde a tubulação esteja menos incrustada, por exemplo, fator C 130, onde o perfil será bem menos alongado parabolicamente.

Numa tubulação, o perfil de velocidade quando desenvolvido, em regime laminar, é semelhante a um cone bem delineado e pontudo. Já no regime turbulento, seu formato ou característica é menos aguçado, ou seja, mais rombudo e, dependendo do diâmetro, os vetores velocidades próximo ao centro tende a ter o mesmo comprimento ou módulo de velocidade semelhante.

Vamos fazer um ensaio a partir de um modelo simples de como se distribui a velocidade ao longo de um corte transversal em uma tubulação. O modelo é uma parábola com velocidade máxima no centro da tubulação e nula junto as suas paredes internas. A equação perfeita, nessa hipótese, é uma parábola no plano cartesiano, portanto, V(x) = - Vc. X²/R² + Vc, que atende as condições de contorno. Essa parábola é representativa, aplicando-se apenas e tão somente a um escoamento laminar, com Velocidade nula para x = +/-R e velocidade máximo para x = 0, figura 01.

Fig. 01 – Gráfico de um perfil teórico (parábola)

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Não existindo rugosidade na tubulação, ou seja, tubulação ideal, sem atrito, o perfil de velocidade seria um retângulo onde todas as velocidades internas seriam iguais, figura 02. Nesse caso particular de tubulação ideal, o perfil de velocidades tanto é valido para o escoamento laminar como turbulento.

Fig. 02 – Gráfico de um perfil teórico ideal

Média das velocidades:

Existe uma velocidade média, a qual seria a soma aritmética modal de todos os vetores velocidades tomado sob a parábola, dividido pela soma de seus números ou vetores, o que justifica como sendo a área sob o gráfico da figura 01 dividido pela sua base. Assim temos:

Vm = 1R∫0

R

V ( x )dx

Vm = 1R∫0

R

V ( x )dx= 1R∫0

R

¿¿¿ x² + Vc).dx. Resolvendo essa equação

= [1R

(−Vc3 R2

x3+Vc . x )¿ R0 = 1R (−Vc R33 R2

+Vc . R)+C→Vm=23Vc+C

Então, Vm = 2/3 Vc + C.

Vm = velocidade média (m/s)Vc = velocidade central (m/s)R = raio do circulo ou da tubulação (m)X = variável de 0 ate R. (m)C = constante de integraçãoQ = vazão (m³/s)L = metro

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FV=fator de velocidade

Como informação adicional básica, podemos deduzir que a área debaixo da

parábola da figura 01 é; A=2.∑i=0

R

ѵi=2.(ѵ 1+ѵ 2+ѵ3+……ѵn) n→∞, que é em

ultima analise a integral da curva.

Conhecendo os módulos vetoriais, nesse caso particular seria o valor das velocidades levantadas pela Pitometria pontual, quanto mais pontos levantados (ѵi¿ ,melhor a aproximação da curva parabólica, logo Vm = A/n. Por outro lado, se pensarmos em círculos concêntricos ou centroides de mesma área, as vazões seriam maiores nas centroides mais próximas do centro do que nas centroides mais afastadas, pois nas proximidades das paredes internas da tubulação, a velocidade ali, tende para zero, logo a vazão ali tende a zero. Por outro lado, para se ter uma melhor aproximação no calculo da vazão turbulenta pela medição pontual, é desejável levantar os pontos de velocidade na posição vertical e na posição horizontal extraindo-se a média das duas posições levantadas.

Demonstrado esta que a velocidade media da parábola simétrica em uma tubulação com escoamento laminar é na verdade, Vm = 2/3 Vc. Por outro lado, a velocidade média verdadeira em um escoamento é: Vm = Q/π.R², igualando

Q/π. R² = 2/3. Vc, logo

Q = π.R².2/3.Vc. Esse seria também o caso, parábola ideal.

O posicionamento do vetor velocidade media na parábola ideal simétrica conforme figura 03, agora em análise, é: substituindo na equação inicial, 2/3.Vc = - Vc. X²/R² + Vc, nos mostra que x = +/- R/√3 = +/- 0,58R, ou seja, a velocidade media esta a mais ou menos 0,58% de raio R para cada lado a partir eixo vertical de simetria da parábola.

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Fig. 03 – Localização da velocidade media num escoamento laminar

A maneira mais razoável, segura e útil sobe todos os aspectos da incerteza para se encontrar ou calcular a velocidade média é aquela anteriormente mencionada, Q = Vm.πR ² ou Vm = Q/πR ².Nesse conceito, temos que estar de posse da vazão Q para encontrarmos a velocidade média numa tubulação. Como não a temos, a solução é, com o tubo de Pitot Cole, levantarmos o perfil de velocidade medindo cada ponto do vetor velocidade ao longo dos espaçamentos iguais sobre o diâmetro da tubulação e matematicamente calcular a velocidade media Vm. Quanto maior for a quantidade de pontos levantados para o perfil, maior será seu delineamento e consequente sua certeza no traçado da curva.

Em face da polemica instituída por parte de algumas Empresas de Saneamento que adota a pratica, introduzida e instituída em 1922 pela Pitometer, onde normalmente levantam-se onze pontos de medição do perfil e, através de gráficos, previamente xerocados e tabelados, o operador calcula a velocidade média e consequentemente o FV. Esse procedimento, manual, é moroso e às vezes, sujeito a erros. Diante desse impasse em torno do levantamento da velocidade pontual, calculo da velocidade média, e o consequente cálculo do “FV”, anexo A, livro Pitometer, instituímos o calculo automático dentro de um programa residente na Maleta Eletrônica atual, baseado na figura 01. Porem, demonstrado esta que a “média das velocidades”, não é igual a “velocidade media”. Então, vamos tentar demonstrar na pratica das medições qual dos dois postulados melhor atente e mais se aproxima da medição real do escoamento.

Velocidade média:

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Fig. 04 – Velocidade em segmento de área infinitesimal

Na figura 04, a uma distancia “x” qualquer, a partir do centro da tubulação, toma-se um anel de largura infinitesimal “dx”. A área desse anel vale, dA = 2πxdx . A vazão “dQ” que atravessa esse anel é o produto da área do anel vezes a velocidade do escoamento que por ele passa, portanto,

dQ = VdA = V(x).2π . xdx .

A vazão total que atravessa a tubulação é, dessa forma, a integral de,

dQ = 2π∫0

R

V ( x ) . xdx .ComoV ( x )=−VcR2

x2+Vc .

Substituindo na integral segue,

dQ = 2π.∫0

R

¿¿x² + Vc).x.dx Q = 2π.[−Vc x4

4 R2+ 1/2Vc.x²]

R0 + C

= 2π.(−Vc .R4

4 R2+ 12Vc

.R ² ¿+C=π (−Vc2 R2+Vc R2)+C

Q = π (−VcR ²+2Vc R2)2

+C = π .Vc . R2

2+C

Como, Vm = Q/πR ² segue

Vm = = π (−VcR ²+2Vc R2)2

/¿ πR ² então Vm = ½.Vc

Resolvendo a equação acima, chegamos à solução que Vm = Vc/2, ou seja, a velocidade media é igual à metade da velocidade central que é muito diferente de Vm = 2/3 Vc, no caso anterior. Da mesma forma podemos calcular a posição “x” em relação ao centro onde se encontra a velocidade media Vm.

½ Vc = - Vc. x²/R² + Vc ou x = +/- R/√2= 0,707R.

Veja na figura abaixo onde se situa a velocidade média e compare com a figura 03. Tal posicionamento, de 2/3.Vc e 1/2.Vc, em relação ao centro teríamos x = 0,577R e x = 0,707R. Agora, partindo da superfície para dentro da tubulação temos que a media das velocidades, assim como a velocidade media

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estará localizadas respectivamente em, Vm = 0,210D e Vm = 0,1465D. Sabemos que na pratica das medições em campo, a velocidade media ou a media das velocidades em um perfil turbulento bem desenvolvido esta a +/- 1/8 ou a 7/8D, o que corresponde a 0,125 ou 0,875D das margens internas do tubo. Como podemos observar, aqui estamos nos referindo a um perfil turbulento, enquanto anteriormente, falávamos de maneira controversa, pois o perfil era laminar. Qual das duas velocidades médias encontrada no estudo de um perfil laminar é a mais correta ou representativa para ser usada numa medição da vazão “Q”?. Por outro lado, não vamos nesse primeiro instante medir e calcular o perfil na vazão laminar, pois nessa condição de velocidade muito baixa, o erro pode ser comprometedor na pesquisa, por estarmos falando em uma velocidade cujo número de Reynolds esta abaixo de +/- 2500. Dai todo cuidado e muita atenção nas medições deve ser observado. Posteriormente, associaremos para o levantamento e medição de o perfil laminar, a tecnologia especial do Magnético de Inserção, juntamente com a tecnologia do tubo de Pitot Cole.

Na prática, respondendo a varias duvidas e questionamentos, por parte das Empresas, vamos levantar e medir uma vazão turbulenta, num tubo de PVC, de 0,15m de diâmetro interno, com incrustação severa no primeiro trecho de +/- 4 metros de comprimento e no mesmo tubo, em trecho subsequente, de +/- 4 metros com parede completamente lisa e, comparar os resultados praticos.

Voltando a figura 01, com a equação, Vm = 1R∫0

R

V ( x )dx= 1R∫0

R

¿¿¿ x² + Vc)dx

=2/3Vc+C, podemos inferir que se o raio do tubo quando tende a zero, a velocidade media tende para uma constante de valor “C”, constante de integração, em ultima analise é Vm = C. Da mesma forma, raio tendendo para um valor muito grande, a equação também tende para Vm = C. Representando graficamente tal afirmação, chegamos a conclusão que existe uma curva com dois extremos máximos “Vm” tendendo a 1,0 e um mínimo que é Vm = 2/3Vc.

A figura 05 nos dá uma ideia dessa curva, a qual pode ser denominada, como curva da banheira e, figura 06 a representatividade da curva do perfil de velocidade em grandes diâmetros. Para grandes diâmetros, a curva da figura 06, tanto vale para perfil laminar quanto para perfil turbulento.

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Fig. 05 Curva com variação do diâmetro. (banheira)

Fig. 06 – Perfil de velocidade numa tubulação com diâmetro muito grande.

A figura 06, nos mostra que para um diâmetro muito grande, o perfil de velocidade após o total desenvolvimento da camada limite e no consequente desenvolvimento do perfil, a velocidade partindo da camada limite desenvolvida em direção ao centro, se torna constante, exibindo o que podemos chamar de uma reta sobre a qual o FV tende para um valor 1,00. FV é a relação entre Vm e Vc. Na pratica, aduzimos que um diâmetro acima de dois metros já pode ser considerado como muito grande.

Na representatividade da figura 05, curva da banheira, tanto a média das velocidades, fig.03 quanto à velocidade média, fig.04, nos leva a mesma representação, diferente apenas quanto ao valor mínimo qual seja a velocidade média “Vm”.

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Vm =2/R².∫0

R

¿¿+Vc.x)dx = Vc2 + C. Quando R tende a zero, Vm = 0 +C ou,

quando R tende a um valor muito grande, Vm = 0 + C.

A equação analisada, V(x) = - Vc. X²/R² + Vc, é uma parábola perfeita, que se aplica tão somente para o caso de um escoamento perfeito ou laminar em uma tubulação, cujo diâmetro não se sabe ao certo seu valor. Todavia, poderemos considera-lo, intuitivamente, como tendo um diâmetro entre 100 a 150 milímetros, fig. 05.

Considerando o escoamento agora turbulento, a equação acima, não se aplica, portanto, a equação da nova curva de um perfil turbulento deve ser modelada. No livro mecânica dos fluidos, capitulo 8, parte B, escoamento em dutos, dos autores Fox & Macdonald, afirma-se: “Para escoamento turbulento, somos forçados a recorrer a dados experimentais”. De fato, deparamos a partir desse enunciado, um problema verdadeiro, crucial que só a prática pode equaciona-lo, pois variáveis vão ocorrer de modo aleatório, como exemplo maior a rugosidade ou incrustação. Por outro lado, Fox & Mcdonald enuncia empiricamente, no mesmo capitulo que:

FV = VmVc = 2n2

(n+1 ) .(2n+1)onden=−1,7+1,8. logReVc . Formula essa que tem

particularidade muito especifica, que no uso prático não atende como regra para a maioria dos casos de vazão.

Em um escoamento laminar, o completo desenvolvimento do perfil de velocidades acontece depois que o fluxo já caminhou por uma distancia L= 0,06.Re.D, segundo Fox & Mcdonald, capitulo 8, Tal distancia “L” pode atingir, até aproximadamente 140 diâmetros. Já no escoamento turbulento, o perfil de velocidade se desenvolve mais rapidamente, alcançando seu pleno desenvolvimento, teoricamente, a partir de dados experimentais segundo os mesmos autores, entre ou dentro de 25 a 40 diâmetros de comprimento. Por outro lado, no Manual de Hidráulica do ilustre cientista e professor, Azevedo Netto, diz “A medida que o escoamento vai se processando ao longo da tubulação, as partículas mais próximas das paredes vão sendo retardadas, enquanto que as mais centrais vão tendo o seu movimento acelerado até que seja atingido o perfil de equilíbrio (parábola)”, como se vê na figura 01. A distancia necessária para se atingir na pratica as condições de equilíbrio, no escoamento laminar, pode ser estimada pela relação: L = 0,58.Re.D e geralmente supera 50 diâmetros. “manual de hidráulica cap. 08, pagina 175” autor, Azevedo Netto. Acredito que na formula acima citada, onde se lê 0,58 deve ser 0,058, portanto, existe erro de impressão no livro. Ainda do mesmo autor, Azevedo Netto, “No caso do escoamento turbulento, o equilíbrio se estabelece a uma distancia muito menor, a cerca de 10 a 30

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diâmetros da entrada no encanamento”. A fórmula empírica para esse caso é, segundo Azevedo Netto: L = 0,8.ℜ0,25 .D . Já os cientistas portugueses, Luiz Antônio Oliveira e Antônio Gameiro Lopes, no livro Mecânica dos Fluidos, capitulo 6, afirma que no regime turbulento, para (Re > 2300), L = 4,4.ℜ1 /6 . D . Por outro lado, a Pitometer Co., numa de suas publicações, conforme anexo B, declara que o perfil turbulento estará plenamente desenvolvido ou em equilíbrio com cerca de 15 a 20 diâmetros de comprimento retilíneo. Como podemos notar, o estudo da formação do perfil é muito divergente de autor para autor, dando-nos a entender que finalmente cada caso é um caso, onde a solução para o desenvolvimento dos perfis turbulentos ou não, é particular e de caráter estritamente prático.

Na pratica de laboratório, onde vamos realizar a experiência de medição do escoamento turbulento, com alta e baixa rugosidade, é uma tubulação de 150 milímetros de diâmetro interno. Usando a formula acima de Azevedo Netto, o perfil estará completamente desenvolvido a partir do comprimento L= 2,6 metros, o que corresponde a 17 diâmetros de tubulação. Tanto na tubulação a montante, quanto em sequencia à jusante, será instalado “tap” a 20 diâmetros do inicio do escoamento. O levantamento do perfil, assim como a medição da vazão e sua totalização será comparada com o medidor padrão magnético, instalado na parte inferior da Bancada, em série numa rede de 150 milímetros, conforme foto apresentada na figura 07.

Fig. 07 – Foto da Bancada para realização das experiências

Conclusões e Resultados Obtidos:

Padrão:

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Magnético carretel de 150 mmFabricante Isoil - ItáliaCalibrado InmetroVazão instantânea = Totalização 45 minutos = Tubulação incrustada:Fator C = FV = Vazão instantânea = Totalização de 45 minutos = Erro em relação a totalização do padrão =

Tubulação Lisa:Fator C =FV = Vazão instantânea = Totalização de 45 minutos = Erro em relação a totalização do padrão =

Anexos:

Anexo A – Mapa e metodologia do calculo de Vm e FV, Petometer ano 1922.

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Anexo B – Seleção do Ponto de medição segundo a Petometer.

Bibliografia:

Azevedo Netto – Manual de Hidráulica Editora Edgard Blücher Ltda. SP

Fox & McDonald – Introdução à Mecânica dos Fluidos – 5ª EdiçãoLTC Livros Técnicos e Científicos Editora

Luís Adriano Oliveira & António Gameiro LopesMecânica dos Fluídos – 4ª EdiçãoLIDEL – Edições Técnicas

L. K. Spink – Principles and Practice of Flow Meter EngineeringThe Foxboro CompanyFoxboro, Massachusetts, U.S.A.

Matthias Altendorf e outros - Flow HandbookENDRESS + HAUSER – www.endress.com

Geraldo Lamon – Pitometria e MacromediçãoLAMON PRODUTOS LTDA. – 2º edição