32
12 Periode wiskunde Rijen, reeksen en logaritmen. Door Gino van Houtem, docent: Mariëlle

periode wiskunde

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Periode wiskunde in het 4e jaar van de havo op het blvs maastricht.

Citation preview

Page 1: periode wiskunde

12

Periode wiskundeRijen, reeksen en logaritmen.

Door Gino van Houtem, docent: Mariëlle

Page 2: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

InhoudsopgaveVoorwoord................................................................................................................................2

1.1 Rijen en reeksen..................................................................................................................3

1.2 Toren van Hanoi..................................................................................................................4

1.3 Rekenkundige rijen............................................................................................................. 5

1.4 De somrij van een RR..........................................................................................................7

1.5 Rekenkundige rijen van hogere orde..................................................................................9

1.6 Meetkundige rijen.............................................................................................................10

1.7 De somrij van een MR.......................................................................................................11

1.8 Diversen........................................................................................................................... 12

1.9 stripverhaal.......................................................................................................................15

2.1 machten............................................................................................................................ 16

2.2 logaritmen.........................................................................................................................18

2.3 Rekenen met logaritmen...................................................................................................19

2.4 Werken met het tabellen boek.........................................................................................21

Oefeningen............................................................................................................................. 22

Formuleblad............................................................................................................................24

Nawoord................................................................................................................................. 25

Page 3: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Voorwoord. Deze periode gaat over rijen, reeksen en logaritmen. In deze periode gaan we zien hoe we een term berekenen bij verschillende soorten rijen en wat de somrij is. We leren meer over machten en maken kennis met logaritmen en wat je hiermee kunt.

Vorige periode was stage, ik heb deze periode als erg leuk ervaren maar had mijn schrift niet op orde. Dit wil ik deze periode anders hebben. Dit ga ik doen door alles meteen uit te typen waardoor ik enorm veel tijd bespaar en niet in tijdnood kom en dus alles op tijd af heb.

Ook wil ik nu ik tijd over heb meer aandacht besteden aan de lay out van mijn schrift. Zo wil ik door kleur en ruimtes in te voegen het schrift luchtiger laten ogen en pretiger maken om naar te kijken. Ook wil ik duidelijk onderscheid maken in hoofdstukken en paragraven wat in het vorige schrift niet zo lekker liep.

Page 4: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.1 Rijen en reeksen1,2,3,4,5,6,7,8

2,4,6,8,10,12,14,16

2,7,12,17,22,27,32,37

2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41

Getallenrij: rij met getallen die een bepaalde regelmaat vertonen. De rijen zijn soms te beschrijven met een formule maar niet altijd. De getallen en de getallenrij noemen we termen.

81,27,9,3,1,1/3,1/9

Driehoeksgetallen.

Hoeveel puntjes zitten er in de 20ste driehoek?

Antwoord:210

T5= 5+4+3+2+1T4= 4+3+2+1Tn= n+n-1+n-2+n-3 enz. T100=100+99+98+97 enz.

T100=5050Laatste bij eerste optellen = 101 een na laatste plus 2e bij elkaar optellen is 101, je kunt dat 50 keer doen dus doe je gewoon: 50x 101= 5050.

Page 5: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.2 Toren van Hanoi. Edouard Lucas (1842-1891)was een wiskundige die werkte op het Lycée Saint – Louis. Hanoi

is de hoofdstad van Vietnam, een exotisch en afgelegen land toentertijd dat een Franse kolonie was.

Hij vond de oplossing van het volgende probleem:

In de grote tempel van Benares, zegt hij, rust onder de koepel die het middelpunt van de wereld aangeeft, een koperen plaat waar drie diamanten naalden in zijn vastgeklonken, die elk een el hoog zijn en zo dik als een bij. Op één van deze naalden plaatste god destijds de schepping vierenzestig schijven van zuiver goud: de grootste schijf ruiste op de koperen plaat en de andere schijven werden steeds kleiner en kleiner tot aan de bovenste schijf. Dit is de toren van Brahma. Dag en nacht zijn de priesters onophoudelijk bezig de schijven van de ene diamanten naald naar de andere over te brengen volgens de vaste en onveranderlijke wetten van Brahma, die voorschrijven dat de dienstdoende priester nooit meer als een schijf tegelijk mag verplaatsen en dat hij deze schijf zo op een naald dient te plaatsen dat er geen kleinere schijf onder ligt. Als de vierenzestig schijven op die manier van de naald waar god ze bij de schepping op heeft geplaats naar een van de andere naalden is overgebracht, zullen toren, tempel en brahmanen allemaal tot stof verschrompelen en de wereld met een donderklap verdwijnen.

Vraag: hoeveel verplaatsingen zijn ervoor nodig om de vierenzestig schijven, volgens de wetten van Brahma, van de ene naar de andere naald over te brengen?

Oplossing: de principes zijn hetzelfde, ongeacht het aantal schijven. Neem voor het gemak even aan dat er maar acht schijven verplaatst hoeven te worden, en wel van pin A naar pin B. Nummer de schijven dan 1 tot 8, begin bij de bovenste. De eenvoudigste regels zijn:

1. Verplaats een schijf met een oneven nummer, als deze voor de eerste keer pin a afgehaald wordt , altijd naar pin C en verplaats een schijf met een even nummer als deze voor de eerste keer van pin A afgehaald word naar pin B.

2. Verplaats schijf 1 om de twee zetten, schijf 2 om de vier zetten, schijf 3 om de acht zetten enzovoort. Als we ons aan deze regels houden zal de reeks voor 8 schijven zo beginnen: 1c, 2b, 1b. (de eerste twee schijven zijn nu naar pin b overgebracht, het geen het vraagstuk zou hebben opgelost als er maar 2 schijven waren geweest).

Page 6: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.3 Rekenkundige rijen. T1 T2 T3 T4 T5 T62 6 10 14 18 22

+4 +4 +4 +4 +4 +4

T2=t1+4T3=t2+4T4=t3+4

Recursieve formule: “terugverwijzen”. Hiermee kan je de volgende term berekenen als je de vorige weet. Tn=t(n-1)+4 met T1=2T5=T(5-1)+4T5=T4+4T5=14+14=18

Directe: hierbij hoef je niet de vorige per se te kennen. T2=2+4T3=2+8T4=2+12T5=2+16 enz.

T1 T2 T3 T45 7 9 11

Recursief: Tn=T(n-1)+2 met T1=5Direct: Tn= 5+2(n-1)Bereken t5 met recursieve formule: T5=T(5-1)+2=>T5=T4+2=>T5=11+2=13Bereken T10 met directe formule: T10= 5+2(10-1)=5+2x9=5+18=23

T1 T2 T3 T428 26 24 22

Recursief: Tn=T(n-1) -2 met T1=28Direct: Tn=28-2(n-1) Bereken t5 met recursieve formule:T5=T(5-1)-2=>T5=T4-2=>T5=22-2=20Bereken T10 met directe formule:T10=28-2(10-1)=28-2x9=28-18=10

T1 T2 T3 T47 17 27 37

Page 7: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Recursief: Tn=T(n-1)+10 met T1=7Direct: 7+10(n-1) Bereken t5 met recursieve formule:T5=T(5-1)+10=>T5=T4+10=>T5=37+10=47Bereken T10 met directe formule: T10= 7+10x9=7+90=97

T1 T2 T3 T412 15 18 21

Recursieve formule: T(n-1) +3 met T1=12Directe formule: 12+3(n-1)Bereken t5 met recursieve formule: T5=T4+3=21+3=24Bereken T10 met directe formule: T20=12+3x19=12+57=69

T1 T2 T3 T47 10 13 16

Recursieve formule: T(n-1) +3 met T1=7Directe formule: 7+3(n-1)Bereken t5 met recursieve formule: T5=T4+3=16+3=19Bereken T10 met directe formule: T20=7+3x19=7+57=64

T1 T2 T3 T48 12 16 20

Recursieve formule: T(n-1) +4 met T1=8Directe formule: 8+4(n-1)Bereken t5 met recursieve formule: T5=T4+4=8+4=24Bereken T10 met directe formule: T20=8+4x19=8+76=84

Teken een cirkel met een diameter van 12 cm.

Verdeel deze in 24 gelijke segmenten. Teken vanaf boven naar beneden zowel links als rechtsom onderstaande rij.

Page 8: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.4 De somrij van een RR. T1 T2 T3 T4 T51 2 3 4 5

We hebben al gezien dat voor driehoeksgetallen geldt: Tn= 1/2n(n+1)

1, 2, 3 , 50100, 99 , 98 , 51 +101+101+101+101

Carl Friedreich gauss: 50 x 101= 5050 maar geldt dit altijd bij een RR?

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T75 10 15 20 25 30 35

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S75 5+10=15 15+15=30 30+20=50 50+25=75 75+30=105 ? 140

5, 10, 15 , …..100, 95 , 90, ..... +105+ 105+ 105 ……

Hoeveel termen zijn er: in dit geval 20.

Sn=0,5n(t1+tn)

Dus S20=0,5x20(5+100)=1050

T1 T2 T3 T4-25 -21 -17 -13

Bereken T5, T25 en S45.

T5= T4+4=-13+4=-9

T25= -25+4x24=-25+96=71

S45=0,5x45(-25+t45)= 22,5(-25+176)= 22,5x(-25+151)= 2835

Page 9: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

T1 T2 T3 T4-8 -18 -28 -38

T5=-8-10(5-1)=-8-10x4=-8-40=-48

T10= -8-10(10-1)=-8-10x9=-8-90=-98

S15= 0,5x15(-8+t15)= 7,5(-8-148)= 7,5x-156= -1170

T1 T2 T3 T49 4 -1 -6

T5=9-5(5-1)=9-5x4=9-20= -11

T12= 9-5(12-1)=9-5x11=9-55= -46

S34= 0,5x34(9+t34)=17(9-156)=17x-147= -2499

Page 10: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.5 Rekenkundige rijen van hogere orde.

1 2 6 15 31 56 92 141 1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 2 2 2 2 2 4e orde.

1 4 9 17 29 46 69 99 3 5 8 12 17 23 30 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 4e orde.

10 5 1 4 23 70 160 311 -5 -4 3 19 47 90 151 1 7 16 28 43 61 6 9 12 15 18 3 3 3 3 5e orde.

Page 11: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.6 Meetkundige rijen.

Meetkundige rijen: het quotiënt van 2 opeenvolgende termen is constant. Deze constante verhouding noemen we de rede: R

T1 T2 T3 T41 2 4 6

X2 X2 X2 X2

T1=1

T2=t1xR=4x2=8

T3= T2xR=2x2=4 ofwel T1xRxR=T1xR2

T10=T1xR9

Recursieve formule van een MR: Tn=R x t(n-1) met T1=

Directe formule van een MR: Tn=T1xR(n-1)

Opdrachten: Bepaal de T4, T6.

T1 T2 T33 6 12

T4= 2xt(3-1)=2xt3=2x12=24

T6= 3x2(6-1)=3x25=96

T1 T2 T32 -10 50T4=-5xT3=-5x50= -250

T6= 2xR(6-1)= 2x(-5)5= -6250

Page 12: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.7 De somrij van een MR. T1 T2 T3 T4 T51 3 9 27 81

S1 S2 S3 S4 S51 4 13 40 121

Wat is de regelmaat:

Geld alleen voor deze rij: Officieel: S3=0,5(t4-1) Dus: Sn=1: (R-1)(t(n+1)-t1)S4=0,5(t5-1)

S12=1: (3-1)(T(12-1)-T1=>S12=0,5(t13-1)=2,3x1013

Page 13: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.8 Diversen.De convergerende rij.

Maak af:

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T1016 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1016 24 28 30 31 31,5 31,75 31,875 31,9375 31,96875

De directe formule: Tn=16x(0,5)n-1

MR.

Vul verder in:

T1 T2 T3 T4 T5 T6100 50 25 12,5 6,25 3,125Tn= 100x(0,5)n-1

Page 14: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Alternerende rij

Een alternerende rij is een Mr waarbij R een negatief getal is.

T1 T2 T3 T4 T53 -6 12 -24 48

x-2 x-2 x-2 x-2 x-2

De termen zijn dan om en om positief/negatief.

Harmonische rij

Je weet wat de volgende term wordt maar er is geen formule voor als in de RR of MR. Voorbeeld:

T1 T2 T3 T4 T51 ½ 1/3 ¼ 1/5

De rij van Fibonacci

Het konijnen probleem. Er is een konijnenpaar dat zich na 2 maanden begint voort te planten. Zij krijgen daarbij elke maand twee jongen van verschillend geslacht. Deze jongen beginnen zich ook na 2 maanden voort te planten en krijgen dan ook elke maand twee jongen etc. Hoeveel konijnen zijn er in na 12 maanden in totaal?

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178, 288

Recursieve formule: Tn=T(n-2)+T(n-1)

Directe formule:

Rij van Fibonacci.

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T101 1 2 3 5 8 13 21 34 55Enz…..

Ofwel: T3=T1+T2T4=T2+T3T5=T3+T4Enz…..

Page 15: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Gulden snede slak.

-Relatie met de rij van Fibonacci.

Phi=1,61 afgebeeld als:

Start met een vierkant van 10 x 10 cm. Deel dit door -> 6,2 x 6,2 cm.-> deel dit door -> 3,8

x 3,8 cm.

Page 16: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

1.9 stripverhaal

Page 17: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

2.1 machten34=3x3x3x3=813 noemen we het grondgetal. 4 de exponent81 de macht

32x32=3x3x3x3x3=35 Dus 32x33=32+3=35

32 33

33:32=3x3x3:3x3=31 dus 33:32=33-2=31 ofwel 3

(32)3=3x3 x 3x3 x 3x3= 36 dus(32)3=32x3=36

1) a3x a5= a8

2) a7x a8= a15

3) a2x a3= a5

4) a8 : a2= a6

5) a8 : a6= a2

6) a9: a3= a6

7) (a2)4= a8

8) (a4)2= a8

9) (a3)3= a9

Gebroken exponenten.

=3 want 32=9 en 32=3

Wanneer we 3 schrijven als een macht van 9 krijgen we 91/2. We controleren of dit klopt door beide kanten te kwadrateren. (91/2)2=32

91/2x2= 32

9=9Dus het klopt.

Hetzelfde geld voor =2 neem beide kanten tot de derde macht en kijk of het klopt.

Page 18: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

=81/3

(81/3)3=(2)3

91/3x3= 23

8=2x2x28=8

Schrijf 2 als een macht van 16antwoord: => 161/4=2

Schrijf 3 als een macht van 27antwoord: => 271/3=3

Schrijf 5 als een macht van 125antwoord: => 1251/3=5

Negatieve exponenten.

t-3 t-2 t-1 T0 T1 T2 T3 T4 T51/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 322-3 2-2 2-1 20 21 22 23 24 25

Een negatieve exponent geeft een breuk, geen negatief getal!!!

2-3=1/23=1/8

Afspraak: a-p=1/ap

a0=1

Werk de negatieve exponent weg.

a-2= 1/a2

7-2= 1/72= 1/49

20-1= 1/201= 1/20

(1/2)-3= 1-3/2-3= 13/23= 8

(3/7)-1= 3-1/7-1= 7/3= 2 1/3

Page 19: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

2.2 logaritmen

t-4 t-3 t-2 t-1 T0 T1 T2 T3 T4 T51/16 1/8 ¼ ½ 1 2 4 8 16 32Wanneer de r gelijk is aan t1, dan spreken we over een logaritmische rij. Want met een logoritme kunnen we de exponent uitrekenen.

2x=4 We kunnen dit berekenen met de 2log4 te nemen. -> 4 is t2 in de rij=>t2 22=4

2x=1/16 2log1/16 te nemen. ->1/16 is t-4 in de rij =>t-4 2-4=1/16

3log243=5 want 35=243

4log16=2

2log1/8= -3

4log64= 3

3log1/9= -2

8log1= 0

3log1/3= -1

5log = 1/2

5log = 1 ½

= 5 = 51x51/2= 53/2

t-2 t-1 T0 T1 T2¼ ½ 1 2 4-2 -1 0 1 2Rij 3 = exponent

Wanneer je in de MR 1 term verder gaat neemt de exponent met 1 toe. In de MR van 2: verdubbel de macht, dan neemt de exponent met 1 toe.

2log3 = 1,5852log6= 2,5852log12= 3,5852log1,5=0.585

Page 20: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

2.3 Rekenen met logaritmen. glog A + glog B = glog A x B

glog A - glog B = glog A / B

glog Ab= B x glogA

glogA=

Voorbeelden:

2log2 + 2log4=2log2x4

2log8-2log4= 2log8/4want: 3-2=1

2log24= 4want: 4x2log2= 4x1=4

We schrijven geen 10logX maar gewoon logX

10log100= Log100=2

Rekenmaschine:

Log 1000= 3

2log25= =4,64

Werk de negatieve exponent weg:

b-3= 1/b3

c-4= 1/c4

2-5= 1/25

2-3= 1/23

(1/2)-1= 1-1/2-1=2/1=2

(1/4)-2= 1-2/4-2=42/12=16

5-4= 1/54

Page 21: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

5-1= 1/51

Bereken:

3log3= 1

3log9= 3

1/2log1/8= 3

2log1/16= -4

7log1= 0

7log(1/7)= -1

7log =1/2

Gegeven = 2log5=2, 322Bereken:

2log10= 3, 322

2log 20= 4, 322

2log 2,5= 1, 322

2log 1/5=2log5-1=-1x2log5= -2, 322

Werk de negatieve exponent weg.

( )-3=(81/2)-3=8-1,5=1/81,5

(3/4)-2= 42/32

(5a/3b)-A= (3b)q/(5a)A

(3 2)-2= 1/p4/3

Page 22: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

2.4 Werken met het tabellen boek.

log 43,25 = 1,6339743geeft 1,432geeft ,63….5 geeft 397

log52,76= 1,72230

log5,242 + log3, 715= logXBereken X.

0,71950+0,56996=1,28946

X=19,48

Log25,36 + log34,25= log XBereken X

1,40415 + 1,53466= 2,93881

X=868,6

Page 23: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Oefeningen. MR.

T1 T2 T3 T4 T53 9 27 81 243Geef de directe en recursieve formule van MR.

Recursieve formule: Tn= R x t(n-1) met T1=

Directe formule: Tn=T1xR(n-1)

Bereken:

T6: 3 x t(6-1)= 3 x t5=3 x 243= 729

T15: 3 x 3(15-1)=3 x 314= 14348907

RR.

T1 T2 T3 T4 T53 6 9 12 15

Geef de directe en recursieve formule van RR.

Recursieve formule: Tn=T(n-1)+Verschil met T1

Directe formule: Tn= t1+verschil (n-1)

Bereken:

T6: T(6-1)+3=T5+3=15+3=18

T15: 3+3(15-1)=3+3x14= 45

S12: 0,5x12(3+T12)= 0,5x12(3+36)=6x39=234

MR.

T1 T2 T3 T41 4 16 64Geef: Directe formule, Recursieve formule, T7, T10, T12. Recursieve formule: Tn= R x t(n-1) met T1=Directe formule: Tn=T1xR(n-1)

T7=1 x 4(7-1)=1x46=4096

Page 24: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

T10=1 x 4(10-1)=1x49=262144

S12=1: (4-1) (t (12+1)-t1) =1:3(T13-1) =1/3(16777216-1) = 5592405

RR.

T1 T2 T3 T4 T5 T6-6 -4 -2 0 2 4

Geef: Directe formule, Recursieve formule, T7, T10, T12.

Recursieve formule: Tn=T(n-1)+Verschil met T1

Directe formule: Tn= t1+verschil (n-1)

T7=t6+2=>T7=4+2=6

T10=-6+2(10-1)=-6+18=12

S12=0,5x12(-6+t12)=>0,5x12(-6+16)=60

Page 25: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Formuleblad. De rekenkundige rij (RR).

Recursieve formule: Tn=(n-1)+Verschil met T1

Directe formule: Tn= t1+verschil (n-1)

Somrij formule: Sn=0,5n(t1+tn)

De meetkundige rij (MR)

Recursieve formule: Tn= R x t(n-1) met T1=

Directe formule: Tn=T1xR(n-1)

Sn=1: (R-1)(t(n+1)-t1)

Rekenregels

1) Ap x Aq =Ap+q

2) Ap/Aq =Aap-q

3) (Ap)q= Apq

4) A1/2=

5) = A1/p

6) p q = Aq/p

7) A-p = 1/Ap

8) A0=1

Page 26: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

Nawoord. Deze periode heb ik meer geleerd over rijen en reeksen in de zin van dat ik formules heb geleerd waardoor ik alles tussen bijvoorbeeld t4 4n t11 kan overslaan en toch t 11 kan berekenen. Ik heb geleerd wat een somrij is (hoewel ik het nut er nog niet helemaal van inzie). Maar ik heb ook geleerd dat wiskundeschriften niet zo makkelijk zijn bij te houden op een laptop als ik dacht en dat ik toch meer tijd kwijt was dan gedacht.

Over mijn doelen ben ik dit keer best tevreden. Ik had als doelstelling vooral om mijn schrift netter, geordender en overzichtelijk te maken. En natuurlijk het goed bijhouden en op tijd inleveren van mijn huiswerk. Ik heb naar mijn mening deze doelen gehaald.

De volgende periode word kunstgeschiedenis, ik weet niet wat ik van deze periode moet verwachten maar hoop het beste.

Ik vond dit een leuke periode.

Page 27: periode wiskunde

26Periode wiskunde, rijen en logaritmen.

A)

T1 T2 T3 T4 T53 12 256 1024

B)

T1 T2 T3 T4 T5-2 6 -18 54 -162

C) Tn= 3x4(n-1)

D) Tn= -2x-3(n-1)haakjes!E) Tn= 4 x t(n-1)F) Tn= -3 x t(n-1)

S1 S2 S3 S4 S53 19 83 339 1363H)

S1 S2 S3 S4 S5-2 4 -14 40 -122I)3X4(18-1)=3X417=5,2e10 wetenschappelijke notatie!j)-2x-3(19-1)=-2x-318=-7,7e7K) 1: (4-1)(t(12+1)-3)=1: 3(t13-3)= 1,9e-8L) 1: (-3-1)(t(13+1)--2)=1:4(t14+2)= 3,1e-10

T1 T2 T3 T4 T53 1 -1 -3 -5T10= 3-2(10-1)=3-2x9=3-18=-15

S15= 0,5x15(3+t15)= 7,5(3-25)=7,5x-22= -165