Permutaciones y CombinacionesObjetivo de Aprendizaje Usar el Principio Fundamental de Conteo para calcular permutaciones y combinaciones.IntroduccinAlgunas situaciones de probabilidad implican mltiples eventos. Cuando uno de los eventos afecta a otros, se llaman eventos dependientes. Por ejemplo, cuando objetos son escogidos de una lista o grupo y no son devueltos, la primera eleccin reduce las opciones para futuras elecciones.Existen dos maneras de ordenar o combinar resultados de eventos dependientes. Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos. Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no.Eventos DependientesDos eventos son dependientes si el estado original de la situacin cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.Los eventos dependientes ocurren cuando una accin elimina un resultado posible, y el resultado no es devuelto antes de que suceda una segunda accin.A esto se le llama eleccin sin devolucin.

Una forma de saber si eventos son dependientes o independientes es encontrar si un resultado eliminado es devuelto (hacindolos independientes) o no devuelto (hacindolos dependientes). Aqu hay algunos ejemplos.SituacinEventosPor qu los eventos son dependientes

En una fiesta, sacas cuatro papelitos con nombres de invitados para formar un equipo de 4 personas. Cul es la probabilidad de que John, Perna, Tosho, y Lee quedarn en el mismo equipo?Sacar el nombre de JohnSacar el nombre de PernaSacar el nombre de Tosho Sacar el nombre de LeeUna vez que sacas un nombre, no lo pones de nuevo en el conjunto de nombres de donde lo sacaste. Cada vez, hay un nombre menos en el espacio muestral, y (si el evento contina ocurriendo) un nombre menos en el espacio de eventos. La probabilidad de que un evento suceda cambia con cada nueva sacada.

Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Te quedas la canica y luego sacas otra. Cul es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar la canica verde?La primera sacada es roja.La segunda sacada es verde.Estos eventos son dependientes porque no devuelves la primera canica que sacaste. Quedan menos canicas en el espacio muestral, por lo que la probabilidad de sacar una canica verde es distinta para la segunda sacada que para la primera.

Sacas dos cartas de un mazo estndar de 52 cartas. (En un mazo estndar, cada carta tiene un palo corazones, picas, diamantes, o trboles y un rango As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina y Rey. Cul es la probabilidad de que ambas cartas sean 2s?Una carta es un 2.Otra carta es un 2.Como se sacan 2 cartas, la probabilidad de que le primera sea 2 es diferente de la probabilidad de que la segunda sea 2. (Menos cartas de donde escoger resulta en un espacio muestral ms pequeo.)

Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafs, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo tirar a la cama y saca otro. Elige el enunciado que mejor describe esta situacin.A) Los eventos son dependientes, porque Beth no elimina ninguno de los resultados.B) Los eventos son dependientes, porque el resultado eliminado es devuelto despus de cada intento.C) Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto.Mostrar/Ocultar la RespuestaA) Incorrecto. Cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Despus del primer intento, quedan slo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de a . Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto.B) Incorrecto. Si los resultado eliminados fueran devueltos, los eventos seran independientes porque sus probabilidades no cambiaran. En cambio, cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Despus del primer intento, quedan slo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de a . Los eventos son dependientes, porque un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto.C) Correcto. Cada vez, Beth toma uno de los resultados y lo deja fuera. Despus del primer intento, quedan slo 9 pares de calcetines, por lo que la probabilidad de sacar un par blanco cambia de a

Permutaciones y CombinacionesUna cosa que sabemos sobre situaciones que implican eventos dependientes es que una accin elimina resultados posibles de acciones futuras. Hay otro factor importante que considera sobre los resultados de eventos dependientes: Cmo estn organizados? Debemos hacer una lista, anotando el orden en que ocurren, o slo los amontonamos juntos ignorando el orden?Considera los tres ejemplos anteriores, y piensa si el orden importa:SituacinEventosImporta el orden?

En una fiesta, sacas cuatro papelitos con nombres de invitados para formar un equipo de 4 personas. Cul es la probabilidad de que John, Perna, Tosho, y Lee quedarn en el mismo equipo?Sacar el nombre de JohnSacar el nombre de PernaSacar el nombre de Tosho Sacar el nombre de Lee El orden no importa. Esas cuatro personas estarn en el mismo equipo as saques a John, Perna, Tosho, y luego Lee, o Perna, Tosho, Lee, y al final John.

Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Te quedas la canica y luego sacas otra. Cul es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar la canica verde?La primera sacada es roja.La segunda sacada es verde.El orden es importante. Sacar una canica verde y luego una roja no es un resultado aceptable en esta situacin

Sacas dos cartas de un mazo estndar de 52 cartas. (En un mazo estndar, cada carta tiene un palo corazones, picas, diamantes, o trboles y un rango As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jota, Reina, o Rey. Cul es la probabilidad de que ambas cartas sean 2s?Una carta es un 2.Otra carta es un 2.El orden no importa. El resultado se satisface ya sea que saques el 2 de corazones y el 2 de picas, o el 2 de picas y luego el 2 de corazones.

En situaciones que crean grupos de objetos (como personas, canicas, o cartas), necesitamos saber si su orden importa o no. De lo contrario no podemos encontrar los espacios muestral y de eventos.Considera el ejemplo del equipo. En el espacio muestral, el resultado John, Perna, Tosho, Lee es el mismo que el resultado Perna, Lee, John, Tosho no hay diferencia entre los equipos creados, aunque los nombres de los miembros hayan sido mencionados en un orden distinto. Por otro lado, supongamos que la primera persona sacada debe ser la que lance un globo lleno de agua, la segunda tiene que atraparlo, la tercera es quien lo revienta (si an sigue intacto), y la cuarta es quien trata de colectar el agua en un vaso. Si John es un lanzador terrible pero Perna es buena lanzando, sera mejor para el equipo que saliera Perna, Lee, John, Tosho (para que Perna lance a Lee) que John, Perna, Tosho, Lee (John lance a Perna). El orden importara.Ejemplo

ProblemaUna bolsa contiene 5 canicas, de color blanco, rojo, azul, prpura y verde. Encuentra el tamao del espacio muestral si sacas dos canicas, sin devolverlas, de dos maneras: 1) El orden importa. 2) El orden no importa.

Primera sacada

WRBPG

Enlistar las posibilidades de la primer sacada, usamos slo las iniciales de los colores (como son todas distintas)

Primera sacada

WRBPG

Segunda sacadaWRWBWPWGW

RWRBRPRGR

BWBRBPBGB

PWPRPBPGP

GWGRGBGPG

Espacio muestral (el orden importa): {RW, BW, PW, GW, WR, BR, PR, GR, WB, RB, PB, GB, WP, RP, BP, GP, WG, RG, BG, PG}Ahora suma la segunda sacada. Como primero vamos a pensar cuando el orden importa, slo aade la segunda sacada despus de la primera. Recuerda que esto es sin reemplazo, por lo que no puedes repetir un color.

Espacio muestral (el orden no importa): {RW, BW, PW, GW, BR, PR, GR, PB, GB, GP}Ahora, cul es la diferencia cuando el orden no importa? WR y RW son el mismo resultado, al igual que WB y BW, etc. En este diagrama, cada resultado est relacionado con su resultado equivalente. Como slo necesitas uno de cada par, quedan la mitad de las soluciones

SolucinCuando el orden importa, el espacio muestral tiene 20 resultados.Cuando el orden no importa, el espacio muestral tiene 10 resultados.

Cuando formamos grupos en los que el orden no importa, los grupos se llaman combinaciones. Cuando formamos grupos en los que el orden s importa, los grupos se llaman permutaciones. Recuerda con permutaciones, posicin (orden) importa.Tamao de Muestra y el Principio Fundamental de ConteoComo la muestra y el tamao del evento es lo que usamos para encontrar probabilidades, es til saber exactamente cuntas combinaciones o permutaciones son posibles. Esta es una forma de pensar en ello, usando el Principio Fundamental de Conteo, que dice que el nmero de resultados en un espacio muestral es el producto del nmero de resultados para cada elemento. Empecemos con las permutaciones, cuando el orden importa. Supongamos que tenemos n objetos de donde escoger (n canicas en la bolsa, o n invitados en una fiesta, por ejemplo). La primera sacada tiene una opcin de n objetos Para cada uno de esos n objetos, existen n 1 opciones para la segunda sacada. Usando el Principio Fundamental de Conteo, es significa que hay n (n 1) resultados para escoger dos cosas. Ahora, para esos n (n 1) resultados, se puede tener una tercera opcin de los n 2 objetos que restan. Usando de nuevo el Principio Fundamental de Conteo, hay n (n 1) (n 2) resultados posibles para 3 sacadas. Ves a dnde va esto? Nota que el ltimo factor resta uno menos que el nmero total de objetos elegidos. Para encontrar el nmero de opciones para sacar el k-simo objeto, multiplica los resultados anteriores por n (k 1). Otra forma de escribir n (k 1) es n k + 1.PermutacionesCuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el nmero de permutaciones es

El smbolo "..." significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que se contine multiplicando por el siguiente nmero completo menor, por n k + 1.

Para las combinaciones, el orden no importa. Cmo cambia esto el nmero de resultados? El nmero de permutaciones que se vuelven la misma cuando el orden ya no importa es el nmero de maneras distintas de arreglar objetos en un grupo.Piensa en un grupo de 3 letras. ABC. En una permutacin, ABC y CAB son resultados distintos, pero en una combinacin, estos resultados son el mismo. Cuntas maneras diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? Es decir, cuntas permutaciones hay para este grupo en particular?ABC ACBBAC BCACAB CBAExisten 6 maneras de ordenar estas letras. Lo que estamos haciendo es encontrando el nmero de permutaciones de 3 objetos cuando elegimos los 3 (n = 3 y k = 3). Entonces, usando la frmula proporcionada arriba, existen 3 2 1 = 6 resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.En el ejemplo de las canicas, tenamos 2 objetos en cada grupo, entonces para cada par de canicas, haba 2 1, o 2, maneras de ordenarlas. Slo necesitbamos una para cada par, por lo que el nmero de combinaciones ere el nmero de permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como existen 6 maneras de ordenar 3 objetos, cuando encontramos las combinaciones de tres slo necesitbamos una representativa para esas 6 formas. Podemos dividir el nmero de permutaciones entre 6 y obtener el nmero de combinaciones.Esto es vlido en general: Para encontrar el nmero de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, dividir el nmero de permutaciones de escoger k de n objetos entre el nmero de permutaciones para escoger k de k objetos.CombinacionesCuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el nmero de combinaciones es el nmero de permutaciones para k de n objetos dividido entre el nmero de permutaciones para escoger k de k objetos:

Tamao de Muestra y FactorialesExiste una forma ms fcil de escribir frmulas de permutaciones y combinaciones, usando una idea llamada factoriales. Un factorial es el producto de todos los nmeros completos desde 1 hasta un nmero dado. El smbolo ! despus de un nmero es usado para representar este producto, Por ejemplo, 3! = 3 2 1, y 7! = 7 6 5 4 3 2 1. Entonces, en general, n! = n (n 1) 2 1. Nota especial: 0! se define como 1.La frmula del nmero de permutaciones empieza como n!, pero termina con (n k + 1) en lugar de 1. Necesitamos eliminar los factores de (n k) a 1 del producto. Podemos hacer eso dividiendo entre (n k)!

Entonces, para las combinaciones, dividimos el resultado entre k (k 1) 2 1, o k.Usando FactorialesCuando escogemos k de n objetos, podemos usar las siguientes frmulas:Nmero de permutaciones = Nmero de combinaciones =

Muchas calculadoras tienen la tecla o el comando factorial (!). Para encontrar el nmero de permutaciones de escoger 20 de 24 objetos, teclear 24! 4! es ms rpido y fcil que 24 23 23 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5. (Aunque, si slo se hacen 4 elecciones, sera ms fcil teclear 24 23 22 21.)Probemos estas frmulas en un problema. Primero, usaremos el Principio Fundamental de Conteo. Ejemplo

ProblemaUna organizacin de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros sern escogidos al azar para una entrevista con el peridico de la escuela sobre el grupo. Cuntos grupos de 4 personas son posibles?

combinacinPrimero decidir si esta situacin es una permutacin o una combinacinNo existe ninguna razn para que una persona sea considerada distinta de otra, por lo que esto es una combinacin.

Existen 30 posibilidades para la primera sacada. Luego 29 posibilidades para la segunda persona, 28 para la tercera, y 27 para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo dice que debemos multiplicar estos resultados para obtener el nmero de posibilidades

Sin embargo, ese producto nos da el nmero de permutaciones, cuando el orden importa. Necesitamos tomar todos los posibles arreglos de 4 personas en particular y usar slo una representacin de cada uno.Para cuatro personas, existen 4 opciones para enlistar a la primera, 3 para la segunda, 2 para la tercera, y slo 1 opcin para la cuarta. El Principio Fundamental de Conteo nos dice cuntas veces un grupo de 4 personas aparecer en la lista de permutacionesDividir entre el producto que resulta del Principio Fundamental de Conteo

SolucinExisten 27,405 posibles grupos diferentes de 4 personas a partir de 30 miembros!

Ahora resolveremos el mismo problema con la frmula factorial:Ejemplo

ProblemaUna organizacin de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros sern escogidos al azar para una entrevista con el peridico de la escuela sobre el grupo. Cuntos grupos de 4 personas son posibles?

combinacinPrimero decidir si esta situacin es una permutacin o una combinacinNo existe ninguna razn para que una persona sea considerada distinta de otra, por lo que esto es una combinacin.

La frmula factorial para las combinaciones es . En este caso, estamos escogiendo 4 de 30 miembros, entonces n = 30 y k = 4.

SolucinExisten 27,405 posibles grupos diferentes de 4 personas a partir de 30 miembros!

Ambos mtodos producen la misma respuesta.Un grupo de 8 amigos estn jugando un juego de mesa en el cual los jugadores compiten para llegar primero a la ltima casilla de un tablero. Los amigos van a reconocer al primer, segundo y tercer lugar. Cuntas maneras diferentes hay de que los 8 amigos tomen esos lugares?A) 6B) 56C) 336D) 40,320Mostrar/Ocultar la RespuestaA) Incorrecto. Este es el nmero de maneras en las que tres personas pueden aparecer en el primer, segundo y tercer lugar. (Es decir, es el nmero de permutaciones de 3 personas tomando 3 cada vez.) Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 7 6, o 336.B) Incorrecto. Este es el nmero de maneras en las que tres personas pueden aparecen en el grupo de ganadores, pero ignora quin es primer, quien es segundo y quien es tercer lugar. (Es decir, es el nmero de combinaciones de 8 personas tomado 3 cada vez) cuando el orden no importa. En este caso, el orden importa, porque cada lugar tiene un significado distinto a los otros dos lugares. ) Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 7 6, o 336.C) Correcto. Este es el nmero de permutaciones (el orden importa) de 8 personas tomadas 3 cada vez. Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 7 6, o 336.D) Incorrecto. Probablemente calculaste 8! (es decir, n!) y olvidaste que tenas que dividir entre 5! (o (n k)!). Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 7 6, o 336.

SumarioDos (o ms) eventos son dependientes si la probabilidad de un evento cambia cuando el xito de otro evento es determinado. Esto pasa normalmente cuando una accin aleatoria para un evento elimina un resultado posible y el resultado no se devuelve antes de que suceda la accin del siguiente evento. Para encontrar los espacios muestral y de eventos en estas situaciones, considera si los eventos implican permutaciones (el orden importa) o combinaciones (el orden no importa). Existen dos formas de calcular los espacios muestral y de eventos sin tener que enlistarlos todos, con el Principio Fundamental de Conteo y con frmulas factoriales. El Principio Fundamental de Conteo nos permite encontrar el nmero de permutaciones y combinaciones como sigue:Cuando escogemos k de n objetos, el nmero de permutaciones es Cuando escogemos k de n objetos, el nmero de combinaciones es Las frmulas factoriales calculan permutaciones y combinaciones de esta manera:Cuando escogemos k de n objetos, el nmero de permutaciones = Cuando escogemos k de n objetos, el nmero de combinaciones=