26
Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut. Contoh: = = = Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Contoh: A, B =konstanta sembarang = Contoh: Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi Solusi: dari persamaan diatas PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU PD order satu PD order dua PD order tiga 1 PD order 2)

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

  • Upload
    ngoliem

  • View
    275

  • Download
    8

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Definisi:

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.

Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam

persamaan tersebut.

Contoh:

���

��� � � − �����������������������= ��

�����

��� � ������� − ��������= ��

�� �

���� �

��

��� �� − ������= �� ����

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh: ��� − ������� � ��������� A, B =konstanta sembarang

��

��− ������� � �������

���

���− � ������� � �������

���

��� − ��������= ����

��� � � − ���������

Contoh:

Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi � − � ��

Solusi: � − � ��

�− � � �� ��

� ���

��− � � �� �� − � �

��

dari persamaan diatas

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

PD order satu�

PD order dua�

PD order tiga�

1

�PD order 2)�

Page 2: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

�− � � ��������= � − � �� � ��

���

��− � �

��� � ��

��− � �

� � �

�−

� � � � �

�−

�� � �

���

��− �� � ������������= ��

Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk � − �� � � ��

Solusi:

� − �� � � ��

��

��− ��� � �

���

���− ������= ��� −

���

���

Substitusi ���= ���

��− �

���

��� � ��

� −��

��� �

���

���

� − ���

���

���� ��

��

��� �

���

����

����−��

���

���� �

��

��� ��

���

���

� � − ���

���

��

���

���

Catatan:

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.

2

PD order 1

Page 3: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan

dengan integrasi sederhana

Catatan selanjutnya ��

�� ditulis y ’

���

��� ditulis y “

Contoh:

�� − �� � � �� � �

� − � ��� � � �� � � ��� − �� � �� � � �� � �

� − �� � �� � � �� � �

Contoh:

��� − �� � � �

�� − �� � ��

������= � − � ���� �

�� ��

�� −�

��� � � �� � � �

Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan ��� − ����= �� −�

� − � ��

�� �� − � � �� �� − �� �� � �

Masukkan nilai � − ����= � − �

� − �� �� � ����= � − �

� � − �� �� � �

Metode 2: Dengan pemisahan variabel

Bila persamaan yang diberikan berbentuk �� − ���� ��� variabel � di sisi kanan

menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh: �� −��

�������= �� � � ��� − ����

3

Page 4: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

� �� � � ��� − � �����

��

�� � − �� � �

Contoh: �

�� − �� � � ��� � ��

�� � ���� − �� � � �

��

�� � ���� − � �� � � ����������=����� � � � − � �

��

�� �

Contoh: �� −������

����� � ���= ���� −������

������

�� −���� � ��

���� � ��������= �

� � �

���� −

�� � ��

����

�� � �

���� − �

�� � ��

��������= �� �

�� ��� � �� − � ���� �

�� ��

� �� � � ��� − � ��� � �� � � �

� �� � ��

�− �

�� �� � � �

Contoh: �� −���

������= �

����� −

���

��

� � ��� − �

���

�� � � � − �� � � �

Contoh: ���� −����

���

��� � � ��� −�� � �

���������= ��� ��� � ���� − � �� �

�� ���

= ����

��

��

�−

��

�� �� � � �

4

Page 5: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Contoh: �������� �� − �� � ���� � ��

� � ���� −

� � ��

������������= ��� �

� � ��� �� − � �

� � ��

�������� ���

����� � ��� − �� ����� � �

PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI � − ��

Contoh: �� −����

��

Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor

x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu�� − �� si , dimana v

adalah fungsi dari x.

Bila � − �� didefinisikan, maka

��

��− ��� � �

��

�������= �

��

��− � � �

��

��

Sehingga

� � ��

��−

� � ���

��−

� � ��

�� � �������� →�������� �����

� � ���

��−

� � ��

�����= ��

��

��−

� � ��

�� � −

� � �� � ��

�−

� � �

�����

���

��−

� � �

������= ��

� � ��� − �

���

� ���� � � � − �� � � � − �� � � �� �

�� � � �� − ���� ������ − ������= � −�

� ��� ��

��

− ������= ���� � ��� − �� �

Catatan: �� −�����

���� →������������ �

Substitusi � − �� = ���

��− � � �

��

��

5

Page 6: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

�� � ��

��−

�� � ����

���−

� � � �

� � ���

��−

� � � �

���������= ��

��

��− �

� � � �

�� � −

� � � � � ��

�−

���

��−

�����= ���� −

�������= �� ��� − �

��������

��

�− �� � � ���������= �

���

��� − �� � � �

�� − ������ � � ��

Catatan: �� −������ �

�������� →������������ �

Substitusi � − �� = ���

��− � � �

��

��

��� � �� �

�� � ���−

���� � �� ���

�� � ����−

�� � �� �

� � ��

� � ���

��−

�� � �� �

� � �������= ��

��

��−

�� � �� �

� � ��� �

���

��−

�� � �� � � � � ���

� � ��−

� � ��

� � ��

���

��−

����

�����������= ��

����

���� �� − ��

���

��� � � ��� − �� � � � − �� � � �� �

� � �� − ��

Karena

� − �������= � −�

��

��

��− ��������= �� � � � − �� �

Contoh: ��� � ����� − ��

�� −��

��� � ����������������� − �������

6

Page 7: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

� − �������= ���

��− � � �

��

��

��

�� � ��−

���

�� � ����−

� � � �

� � ���

��−

� � � �����= �

��

��−

� � � �� � −

� � � � ��

� � � �

���

��−

���

� � � �����= � �

� � � �

��� �� − � �

���

� ���� ��

�� �� − � �� � � ��������=

����

�� �� � − � �� � � �� �

�� � � �� � � �� � −�

��� ���������� � − � �� ��

�� ��� −�

�����������= ������ − ���= � −

�� �� −��

��������������= ��� �� �� − ��

Keujudan dan Ketunggalan

Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam

banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan

dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik

yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat

mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu

ujud? Sebagai contoh PD, ����� � �� � � − � tidak mempunyai penyelesaikan real,

karena ruas kiri selalu positif,

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah

�� − � ������ � � ���

Bila kita ketahui nilai �� pada saat ��, atau

����� − �� � � � ����

Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan

bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian

yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.

7

Page 8: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL

(MNA) atau Initial Value Problem.

PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi

Tinjau persamaan ��� �� − ��

Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

= kalikan kedua sisi dengan ��

�� ���� ��� �� − ��� �� − ��

Merupakan turunan dari �� ��

����� �� �− �� �������= ��� �� − � �� �� −

��

�� �

� � − ��

�� �� ���

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk ��� �� − ���persamaan ini disebut

persamaan linear orde pertama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi

yang selalu berbentuk � ��� . Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil

kali.

Dari contoh sebelumnya ��� �� − �����P = 5

� ��� − �����= faktor integrasinya adalah �� .

Contoh: ��� � − ����= ���� �� − � (P=-1; Q=x)

Factor integrasi � ��� ���= �� ��� − � � �� − � �

Jadi factor integrasi = � ��

Kalikan kedua sisi dengan ��

= � � ����� �� � � − �� � �

��� � ����− �� � � ��= �� � � − � �� � ���

8

Page 9: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.

� ���� − ��� � � ���

�� � � − ��� � ��� � � ��� − ��� � � � � � � �

� − �� � � � �� �

Tinjau ����� �� − � ; dimana P&Q fungsi dari x

Faktor integral − �� − � ���

����� � ��� � ��� � ��� − �� � ���

Turunan dari �� � ���

����� � ��� �− �� � ��� �����

�� � ��� − � �� � ��� ��

� − �� − � �������

Definisi Dasar Logaritma

����������− ������ � �� � − ������ − ��

�� � − � � �� ���� − ������� �� − ���� �

�� �����− ����� � �� � − ������ � − ��� −�

Contoh: ����� �� − � ��

Solusi: bagi kedua sisi dengan x

����

�� − ���������= ���� ��� − �

� − ��

��� − � �

Gunakan rumus ���� − � �������

9

�= diintegralkan terhadap x�

Page 10: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

�� − � ��� − � ���

�� − �� �� � − �� ���− ��� −

��

���

��− � � �

���� − � �

��� − � �� � � �

Contoh: ��� ������� − �����

Selesaikan persamaan diferensial tersebut

��� ������� − �����������= ��� ��� − �

� − ������� − �����

�� − � ��� − � �������� − �����������

�� − �� �����− �����

���� − � �����������= ������� − �� ��������������

������� − ��

������ � �����= �� −

������ �

�����

� −�

������ � ����� ���

Contoh: Selesaikan PD berikut

�� � � ���� � − �� � �� �

Solusi: Bagi kedua sisi dengan � � �

����

� � ��� − �� � � ���������= � −

� � ��� − �� � � �

�� − � ��� − ��

������ − ������ � − � � �

���� − � ������������= ���� � � � − � �� � � ��� � � ���

���� � � � − � �� � � ���� −�� � � ��

�� �

� −�� � � ��

��

� � �

Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut

10

Page 11: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

���� �� − � �

Solusi: �

���� �� − � � ����= ������ ���������� ������

����

�� − �� ������= � − �

��� − ��

� ��� − � ��

��� − � � �� �

�� − � ��� − �� �� � − �� ���− ��� −

��

���� − � ������������= ���

��− � ��

���� − � ����

���

��−

��� � �����������= � −

��

�� �� �

Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem

��� ��� − ������������ − �

Solusi: ��� ��� − ��������= � − � ���� − �

�� − � ��� − � � ���� − ���

���� − � ������� − � �� �����

�� �� �− � �� �� �

�� − ��

� �� �

� �

� − ��

��

�� � �������= � − ��

�� �� ��

���� − ���������= � − ��

�� �� � ������= ��� −

� − ��

��

� ��

Contoh: selesaikan PD berikut:

�� � � ����� �� − �

Solusi: kita bagi kedua sisi � � � �

11

Page 12: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

����

� � � �� −

� � � ����������= � −

��

� � � ��� −

� � � �

� ��� − ���

� � � ��� −

����� � ���

�� − ��

�������� − ���������� − �� � � ��

��

���� − � �����������������= ��� � � � � − ��

� � � �� � � � ��� − �

� � � � ���

��� � � � � − ����� � � �

Contoh: selesaikan persamaan �� � ����� � − �� � ��� � jika diketahui � − ��

untuk � − �

Solusi: �� � ����� � − �� � ��� � bagi kedua sisi � � �

����

� � �� − �� � ������� − �

� � ��� − �� � ���

� ��� − ���

� � ��� − ����� � ��

�� − �������� − ���������− �� � ���� −

� � �

��

� � �− � �� � ���

� � ��� − � �� � ���� −

�� � ���

�� ������

= � −�� � ���

�� � �� � ��

� − ��� − �������= �� −�

�� ��� = � − �����

�� − �� � ��� � ��� � ��

PERSAMAAN BERNOULLI

Persamaan Bernoulli:

��� ��� − ��� � P & Q fungsi dari x

Bagi kedua sisi dengan �� �

12

Page 13: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

��� ��� ������ − ��� � � �� �

Masukkan � − � ��� ��=��

��− �� � � ������ �

��

��

Jika persamaan (1) dikalikan dengan �� � � � menjadi

�� � � ���� ��� �� � � ������ − �� � � ���

��

��� �� � − � � ; dimana �� ��� � adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat

diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.

�Contoh:

Selesaikan ��

��� � − �� ��

Solusi: bagi kedua sisi dengan ��� didapat ��� ��

��� ��� − �� � � ���

Bila � − � ��� − ���� − ���

� − � �� �����=��

��−

��

�����

��− � ��� �

��

��

��

��− ���� �

��

��

Maka persamaan (*) menjadi

���

��� � − �� �����= �

��

��� � − � ��

��

��� � − � �� �������= �� ������ �����

��

��� �� − �

� − ��� − � �� ����= ����������� ���������������→���� �→���

�� − � ��� − � �� − �

���� − � ������������= �� � − � � �� � ���

�� � − � � �� − �� � ������→ ���� − � �� ������� �� � � − �� � ����

= � − �

���

Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal

13

Page 14: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

� − �

�������= ������→������ −

����� −

������ �

��

��������

��−

�� � � � � � �

�� � �� �−

�� � � ��

�� � � ��

��

��− � �

�� ��

�� � � ��

��

��− � � �� �

�����

− � � �� ���

��

��� � − �� ��� ��������= sesuai dengan soal

Contoh: selesaikan persamaan berikut

��� � ����

��− �������

Solusi: =�solusi dasar ��

��� �� − �� �

Bagi kedua sisi dengan �� �� � menghasilkan ��

���

�� −

�� ������

�� ���

Bagi kedua sisi dengan ��

�����

���

���� −

������

��� � � ���

Misal � − � ��� − ��� ����=��

��−

��

���

��

��− ��� �� ��

��

Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka

��� ����

���

���� −

�����

������=

��

���

�� −

�����

��

Selesaikan persamaan dengan metode ���� −�

��� −

������

��

�� − � ��� − ���

�� − ��� � − �� �� − ��

���� − � ������������= ��� � − �������

���� ��

��� � − � ��������� − ������� � ����

Karena � − � �� � maka ��� �� − �������� � ����

14

Page 15: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

��

��− �������� � �������= � � −

��

�������� � �

� �� −��

�������� � �

Contoh: selesaikan � � �� ���

��− ��� � ��� �

Solusi: bagi kedua sisi dengan � ��

��

���

��� − �

�����

��� � merupakan bentuk dasar

��

��� �� − �� �

Bagi kedua sisi dengan ��

��� ���

���

����� − �

�� � ��

������������������ − ���� − ���

��

��−

��

�����

��− ����� �

��

��

Kalikan ��� dengan ������=

����� ���

���

���� − �� � � ������=

��

���

��� − � � �

Selesaikan dengan factor integral; � −�

��� − � � �

�� − � ��� − ���

�� − �� � − �

���� − � ������������= ��� − � �� � � �� �� − � ��� � ����

��� −��

��

��

�� ��� karena � − � ��

��� �� −��

��

��

�� ���������=

��−

��� � �� � �

��� − ��

�� −��

��� � �� � � �

15

Page 16: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Aplikasi PDB Order Satu

��� Masalah Dalam Mekanik

Misal �x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama

waktu �t maka kecepatan rata�rata dide�nisikan

vr ��x

�t�

xB � xAtB � tA

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v � lim���

vr � lim�t��

�x

�t

v �dx

dt�m�dt��

v �dv

dt�m�dt��

Hukum ����� �Hukum Newton I� Hukum ini juga disebut hukum Kelemba�

man Newton yang berbunyi� setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam

atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya�gaya yang

bekerja pada benda itu

16

Page 17: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Hukum ����� �Hukum Newton II� Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus �sebanding� dengan besar

gaya itu dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu Se�

cara matematis dapat ditulis sebagai a � F�m atau F � ma dimana F adalah

gaya dan m suatu massa

Analog dengan hukum Newton II ini gerak jatuh bebas suatu benda dengan

berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W � mg�

F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a � g sehingga bisa kita tulis

mg � W

ma � F

mdv

dt� F

mdv

dx

dx

dt� F

mvdv

dx� F

adalah model dari PDB order satu

Contoh ����� Benda dengan berat � newton dijatuhkan dari suatu ketinggian

tertentu� yang bearawal dari keadaan diam� Jika kecepatan benda jatuh itu v�

dan kecepatan gravitasi bumi adalah g � ��m�dt�� serta gaya gesek udara adalah

��v� Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu�

17

Page 18: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Penyelesaian ����� Hukum newton mengatakan F � ma atauP

F � ma

Dalam hal ini f� � W � � newton �gaya kebawah� dan F� �gaya gesek udara

� ��v �gaya keatas� sehingga

mdv

dt� F� � F�

��

dv

dt� �� �v

�� �vdv �

��

�dt

Karena benda berawal dari keadaan diam maka v��� � � sehingga model PDB

sekarang adalah

�� �vdv �

��

�dt

v��� � �

Integralkan kedua ruasnya didapat

��

�ln��� �v� � c� �

��

�t� c�

ln��� �v� � ��

�t� c�

��� �v� � e��

�t�c�

�v � �Ce��

�t � �

v ��

���� Ce�

�t�

Dengan memasukkan nilai awal v��� � � maka c � � sehingga ekspresi kecepatan

adalah

v�t� � �� �e��

�t�

Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v�t� kedalam v � dxdt

18

Page 19: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

sehingga model PDB sekarang adalalah

dx

dt� �� �e�

�t

x��� � �

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu

adalah

x�t� � �t��

�e�

�t �

��� Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t

maka perubahan �bertambah�pertumbuhan atau berkurang�peluruhan� yang

disimbulkan dengan dQdt

berbanding lurus dengan kuantitas Q dengan kata lain

dQ

dt� rQ pertumbuhan

dQ

dt� �rQ peluruhan

����� Pertumbuhan Populasi

Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t k adalah konstanta proportionalitas

atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy

dt� ky

y�t�� � y�

19

Page 20: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Selanjutnya bila k berubah�ubah maka dapat kita ganti dengan h�y� yang dapat

dipilih h�y� � r � ay maka model pertumbuhan menjadi dydt� �r � ay�y

dy

dt� r���

y

K�y dimana K �

r

a

y�t�� � y�

PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik Solusi

kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar

��

-3

-2

-10123

y(x)

-1

-0.5

0.5

11.5

22.5

x

Asymptotic solution

Gambar ��� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi

Contoh ����� Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx

dt�

���x�

�����x�

Bila tahun ���� jumlah populasinya ������� maka

�� berapa besar populasi tahaun ����

�� tahun berapa jumlah populasi akan menjadi �� tahun ����

� berapa jumlah populasi terbesar untuk t � ����

20

Page 21: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Penyelesaian ����� Bila tahun ���� jumlah populasi ��� ��� maka dapat dikatakan

x������ � ���� ��� sehingga model PDB sekarang adalah

dx

dt�

���x�

�����x�

x�t�� � x�

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah

������x� ������x�dx � dt

Integralkan kedua ruasnya

Z�

������x��� ������x�dx �

Zdt

���

Z�

x�

������

�� ������xdx �

Zdt

����ln x� ln��� ������x�

�� c� � t� c�

lnx

�� ������x�

t

���� c�

x

�� ������x� e

t

����c�

x

�� ������x� ce

t

���

x �ce

t

���

� � ������cet

���

Terapkan nilai awal x������ � ���� ��� didapat c � �����

e����sehingga

x�t� ����

� � �e����t��������

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut

� jumlah populasi tahun ���� artinya t � ���� Substitusikan nilai t ini

kedalam persamaan �� didapat x � ���� ��� Dengan demikian jumlah

populasi tahun ���� adalah ��� ��� orang

21

Page 22: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

� jumlah populasi �� tahun ���� berarti x � ���� ��� Substitusikan nilai

x ini kedalam persamaan �� didapat t � ���� Dengan demikian jumlah

populasi akan dua kali lipat tahun ���� dicapai pada tahun ����

� Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas �t��� berarti

x � limt��

���

� � �e����t����

x � limt��

���

� � �e���et����

x � ��� � �� ���� ���

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter�

batas adalah satu juta orang

����� Peluruhan Radioaktif

Contoh ����� Radioaktif isotop Thorium�� meluruh pada tingkat yang seband�

ing dengan jumlah isotop� Jika ��� mg dari material meluruh menjadi ���� mg

dalam satu minggu� maka

�� tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu

�� tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari

jumlah semula�

Penyelesaian ����� Gunakan rumus peluruhan MisalQ jumlah isotop Thorium�

��� maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah

dQ

dt� �rQ

Q��� � ���

22

Page 23: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh

Q�t� � ���e�rt

Kemudian terapkan sarat kedua yakni dalam satu minggu �� hari� isotop men�

jadi ���� mg artinya Q��� � ����� mg akan didapat nilai r sedemikian hingga

ekspresi jumlah terhadap waktu �hari� adalah

Q�t� � ���e��������t�

Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan�

pertanyaan diatas �Teruskan sebagai latihan�

��� Hukun Pendinginan Newton

Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan

sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya Dengan

demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka

proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan

dx

dt� k�x� xs�� k � �

dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan

Contoh ����� Suatu benda dengan suhu ��oC diletakkan diruangan yang bersuhu

��oC pada saat t � �� Dalam waktu � menit suhu benda tersebut menjadi ��oC�

maka

�� tentukan fungsi suhu pada saat tertentu

�� tentukan besarnya suhu benda pada �� menit terakhir

23

Page 24: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

� kapan suhu menjadi ��oC

Penyelesaian ����� Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses

pendinginan dapat ditulis sebagai

dx

dt� k�x� ���

x��� � �� dan x��� � ��

Solusi dari persamaan itu adalah

ln�x� ��� � c� � kt� c�

�x� ��� � cekt

x � �� � cekt

Masukkan nilai awal maka nilai c � �� sehingga persamaan menjadi

x � �� � ��ekt

Dan masukkan kondisi kedua didapat

ek ����

� �

sehingga ekspresi terakhir menjadi

x�t� � �� � �����

� t

Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini

��� Campuran

Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam

suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu�

ran lain dengan konsentrasi berbeda Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada

24

Page 25: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

saat tertentu maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQdt Kemudian

bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang

keluar dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju

jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ

dt� IN � OUT

K= L literQ(0) = Q_0 gram

v =r liter/mink =s gram/liter

v =r liter/min

Gambar ��� Proses campuran dalam tangki

Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN � kv � sr gram�liter

OUT �Q

Kv �

Qr

Lgram�liter

Contoh �����

Suatu tangki mula�mula berisi ��� liter larutan yang mengandung ��� gram garam�

Larutan �lain yang mengandung garam dengan konsentrasi � gram�liter masuk

kedalam tangki dengan laju liter�menit dan bercampur dengan sempurna� ke�

mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju liter�menit�

�� Formulasikan masalah nilai awal tersebut

25

Page 26: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU - …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/PD_ORDER_1_.pdf · Persamaan diferensial adalah ... PERSAMAAN HOMOGEN ... Persamaan diatas dapat dinyatakan

�� Tentukan jumlah garam Q setiap saat�

Penyelesaian ����� Formula campuran adalah

dQ

dt� IN �OUT�

Diketahui s � � gram�liter� r � � liter�menit� L � ��� liter dan Q��� � ���

didapat

IN � kv � s gram�liter � r liter�menit � � gram�liter

OUT �Q

Kv �

Q

Kgram�liter � r liter�menit �

�Q

���gram�liter

Sehingga

� Model PDBnya adalah

dQ

dt� ��

�Q

���� ��

Q

��

Q��� � ���

� Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat

Q�t� � ���� ���e�t��

26