APLIKASI

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

Disusun Oleh:

Lindawati (070823)

Tia Anita (070786)

FKIP Matematika

5B

UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA

SERANG

2009

1

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

Persamaaan Diferensial Legendre adalah persamaan diferensial orde ke dua.

(1) (1)

Yang dapat ditulis;

(2) (2)

Format di atas adalah suatu kasus khusus yang disebut " persamaan diferensial legendre yang

dihubungkan" sesuai dengan kasus m=0. Persamaan diferensial Legendre Telah teratur poin

Tunggal di persamaan diferensial Legendre mempunyai poin-poin bentuk tunggal reguler pada, -

1, dan, 1, dan .

Jika variabel digantikan oleh , Maka persamaan diferensial Legendre menjadi;

(3) (3)

Diturunkan di bawah ini untuk kasust ( ).

Karena Legendre adalah suatu persamaan diferensial orde kedua persamaan diferensial

biasa, , itu memiliki dua solusi independen linear. Solusi A solution yang biasa di

titik-titik yang terbatas disebut fungsi Legendre jenis pertama, sementara solusi

yang singular adalah tunggal di disebut fungsi Legendre jenis kedua. Jikafungsi

2

legendre adalah bilangan bulat, fungsi jenis pertama polinom tereduksi menjadi dikenal

sebagai polinomial Legendre.

Persamaan diferensial Legendre dapat dipecahkan dengan menggunakan metode

Frobenius dengan membuat serangkaian ekspansi dengan .

(4) (4) (5) (5) (6) (6)

Memasukkan,

(7) (7)

(8) (8)

(9) (9)

(10) (10)

(11) (11)

3

Maka setiap istilah harus lenyap dan;

(12) (12) (13) (13) (14) (14)

Oleh karena itu,

(15) (15) (16) (16) (17) (17) (18) (18) (19) (19)

Sehingga solusinya,

(20) (20)

Demikian pula, solusinya

4

(21) (21)

Jika suatu bilangan bulat, rangkaian menurunkan polynomial derajat tingkat dengan

genap kuasa-kuasa x dan rangkaian berbeda. Jika adalah suatu bilangan bulat aneh,

rangkaian menurunkan sekedar polynomial derajat tingkat dengan kuasa-kuasa x

yang lain dan rangkaian berbeda. Solusi yang umum untuk suatu bilangan bulat

kemudian adalah yang diberi oleh Legendre polynomials.

(22) (22) (23) (23)

Di mana dipilih sehingga menghasilkan normalisasi dan adalah

sebuah fungsi HIPERGEOMETRIS.

Terkait persamaan diferensial Legendre;

(24) (24)

Yang dapat ditulis

(25) (25)

(Abramowitz dan Stegun 1972; Zwillinger 1997, hal 124). Solusi untuk persamaan

ini disebut polinomial Legendre yang terkait (jika sebuah bilangan bulat), atau yang

terkait fungsi Legendre jenis pertama (jika bukan bilangan bulat). Solusi lengkapnya

adalah;

5

(26) (26)

Di mana adalah sebuah fungsi Legendre jenis kedua.

Persamaan diferensial Legendre Yang dihubungkan sering ditulis dalam suatu

format yang diperoleh dengan pengaturan . Isi identitas Yang mengisi

identitas;

(27) (27) (28) (28) (29) (29) (30) (30)

ke (◇) kemudian memberikan

(31) (31) (32) (32)

Moon dan Spencer (1961, hal. 155)

(33)

6

(33)

Fungsi gelombang Legendre (Zwillinger 1997, hal 124).

FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA

Berhubunga dengan fungsi Legendre jenis pertama adalah solusi bagi persamaan

diferensial Legendre yang teratur pada titik asal untuk bilangan bulat dan bilangan

real, fungsi Legendre jenis pertama disederhanakan menjadi polinom yang disebut

polinom Legendre. Yang terkait fungsi Legendre jenis pertama diberikan oleh

Mathematica perintah LegendreP [n, m, z], dan fungsi tidak terkait oleh LegendreP [n, z].

FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA

7

Solusi kedua ke persamaan diferensial Legendre. Fungsi Legendre yang kedua

mencukupi hubungan perulangan sebagai polynomials Legendre. Fungsi Legendre jenis

Kedua, implementasi dalam Matematika sebagai LegendreQ [ l , x ]. Yang pertama

adalah

(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (

8

4)

Yang terkait fungsi Legendre jenis kedua solusi kedua terkait persamaan

diferensial Legendre, dan dilaksanakan di Mathematica sebagai LegendreQ [l, m, x]

memiliki turunan dari 0.

(5) (5)

(Abramowitz dan Stegun 1972, hal 334). Turunan Logaritmanya adalah

(6) (6)

DEFINISI LAIN:

Dari sumber lain diperoleh;

Persamaan diferensial yang Legendre adalah urutan kedua persamaan diferensial biasa

(ODE) yang dapat ditulis sebagai:

atau yang dapat ditulis juga sebagai:

9

Di mana adalah operator Legendre:

Kami menggunakan metode Frobenius untuk memecahkan persamaan di wilayah

.Kita mulai dengan menetapkan parameter metode Frobenius p dalam nol.

, ,

, ,

. .

Mengganti istilah-istilah ini ke dalam persamaan asli, diperoleh;

. .

Jadi ,

Dan secara umum,

. .

10

Rangkaian ini menyatu ketika

Oleh karena itu solusi rangkaian harus dipotong dengan memilih:

.

POLINOMIAL LEGENDRE

Dalam matematika, fungsi Legendre adalah solusi untuk persamaan diferensial

Legendre punya:

Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre. Ini persamaan diferensial biasa yang

sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis lainnya. Secara khusus, hal itu terjadi

ketika menyelesaikan persamaan Laplace (dan berhubungan dengan persamaan

diferensial parsial) dalam koordinat bola.

persamaan diferensial Legendre yang dapat diselesaikan menggunakan standar seri

kekuatan metode. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = ± 1 , secara umum,

serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x | <1. Jika n adalah

bilangan bulat, solusi P n (x) yang teratur pada x = 1 adalah juga teratur pada x = -1, dan

seri untuk solusi ini berakhir (yaitu adalah polinomial).

Solusi untuk n = 0, 1, 2, ... (Dengan normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom urutan

dari polinomial ortogonal disebut polinomial Legendre. Setiap Legendre polinom P n (x)

adalah n derajat polinomial th. Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues

'rumus:

11

P n sering didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi:

. .

Dalam fisika, fungsi pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipol

Definisi Rekursif

Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi

. .

untuk pertama dua polinomial Legendre. Untuk mendapatkan pengertian lebih lanjut

langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1) dibedakan dengan

terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan

. .

Menggantikan hasil bagi akar kuadrat dengan definisi dalam (1), dan menyamakan

koefisien t kekuasaan dalam hasil ekspansi memberikan Bonnet's rekursi rumus

Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P 0 dan P 1, memungkinkan polinomial

Legendre dapat dihasilkan secara rekursif.

The orthogonality properti (Sifat orthogonal)

Sifat penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan

dengan produk L 2 batin pada interval -1 ≤ x ≤ 1:

12

(di mana mn menunjukkan δ Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0

sebaliknya). Bahkan, alternatif turunan dari polinomial Legendre adalah dengan

melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial (1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan

produk batin ini. Alasan untuk properti orthogonality ini adalah bahwa persamaan

diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturm-masalah, dan karenanya

mereka eigenfunctions

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika

Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie

Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor X dan X ‘masing-masing dan γ adalah sudut

antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi

dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan

menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan

ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan.

Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi,

, Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan

variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada

sudut azimuthal).

13

Di mana adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan

sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

dan . harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah .

Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Legendre Polinomial juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah

sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi

pembangkit untuk polinomial Legendre.

Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang

terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang

potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

14

di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan

untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik

pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam

polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah

dasar dari interior multipole ekspansi.

15