-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
1/29
PERSAMAAN DIFFERENS
Redaman
SARI WIDAYANITEGUH JATI PRIYONO
PRASETYO INDRA SASMITOYULIANISA
M. TSABIT BUNYANI KING
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
2/29
PENGANTAR
Persamaan umum : " + + = 0
Kondisi Jika Solusi
Underdamped (redaman yangkecil/terkontrol)
< 4 Persamaan karakterkompleks
Critically damped (redaman yangkritis)
= 4 Persamaan karakterkembar
Over damped (redaman yangberlebihan)
> 4 Persamaan karakterberbeda
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
3/29
Getaran lama kelamaan amplitudonya makin kecil sehingga
getterhenti akibat tenaga getaran diserap oleh gesekan seperti
gam
ini :
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
4/29
SOAL
" + + = sin
= 0 ; =1
4; = 1; = 1
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
5/29
SOLUSI UMUM UNTUK C = 0
Soal " + + = sin
berarti tidak terdapat redaman, sehingga persamaa
Menjadi :
+
+
= 0
+
= 0
+
+ = 0
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
6/29
(LANJUTAN)
Dimana : Frekuensi sudut = =
Maka
+
= 0
+ = 0
Mencari solusi menggunakan persamaan karakteristik =
Sehingga solusi untuk persamaan tersebut
=
l cos +
l sin
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
7/29
(LANJUTAN)
+ = 0 mempunyai persamaan karakteristik +
+ = 0 =
,=
, = 0 ,= l i l = 0 ; =
Jadi, persamaan differensial mempunyai solusi :
= cos + sin
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
8/29
SOLUSI PARTIKULAR UNTUK C = 0
Soal " + + = sin
berarti tidak terdapat redaman, sehingga persamaan m
" + = sin
Kita misalkan solusi partikular :
Y(t) = At sin t + Bt cos t
Y(t) = A sin t + At cos t + B cos t Bt sin t
Y(t) = A cos t + A cos t At sin t B sin t B sin t B
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
9/29
Lalu disubstitusikan kedalam persamaan : " + = sin A cos t + A
cos t At sin t B sin t B sin t Bt cos t + At sin t + Bt cos t
2A cos t 2 B sin t = sin t , maka :
2 B sin t = sin t
- 2 B = 1
B = -
A = 0
Maka solusi partikular :
Y(t) = At sin t + Bt cos t
Y(t) = -
t cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
10/29
Jadi, didapatkan solusi :
= cos + sin
t cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
11/29
SOLUSI UMUM UNTUK C =
Maka persamaan :
+
+ = 0
Menjadi :
+
+
=
Karena =
maka
+
+
= 0
+
+ = 0
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
12/29
(LANJUTAN)
+
+ = 0 mempunyai persamaan karakteristik +
+1
4 + 1 = 0 ,=
1
4
1
4
4
2
,=
4 , =
63
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
13/29
(LANJUTAN)
,=
7
l =
; =
7
Jadi, persamaan differensial mempunyai solusi :
=
cos3
8 7 +
sin3
8 7
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
14/29
SOLUSI PARTIKULAR UNTUK C =
Soal " + + = sin
" +1
4 + = sin
Kita misalkan solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = A cos t B sin t
Y(t) = -A sin t B cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
15/29
Lalu disubstitusikan kedalam persamaan : " +
+ = sin
-A sin t B cos t +
(A cos t B sin t ) + A sin t + B cos t = sin t
A cos t
B sin t = sin t
Maka
B sin t = sin t
B = -4 ; A = 0
Maka solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = -4 cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
16/29
Jadi, didapatkan solusi :
=
cos
7 +
sin
7 - 4 cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
17/29
SOLUSI UMUM UNTUK C = 1
Maka persamaan :
+
+ = 0
Menjadi :
+ c
+
= 0
Karena =
maka
+ 1
+
= 0
+ 1
+ = 0
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
18/29
(LANJUTAN)
+ + = 0 mempunyai persamaan karakteristik +
+ + 1 = 0 ,=1 1 4
2
,=
1 4 ,=
3 , =
, = l i l =
; =
3
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
19/29
SOLUSI UNTUK C = 1
Jadi, persamaan differensial mempunyai solusi :
=
cos1
2 3 +
sin1
2 3
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
20/29
SOLUSI PARTIKULAR UNTUK C = 1
Soal " + + = sin " + + = sin
Kita misalkan solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = A cos t B sin t
Y(t) = -A sin t B cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
21/29
Lalu disubstitusikan kedalam persamaan : " + + = sin
-A sin t B cos t +A cos t B sin t + A sin t + B cos t = sin
t
A cos t B sin t = sin t
Maka B sin t = sin t
B = -1 ; A = 0
Maka solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = - cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
22/29
Jadi, didapatkan solusi :
=
cos
3 +
sin
3 c
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
23/29
SOLUSI UMUM UNTUK C = -1
Maka persamaan :
+ = 0
Menjadi :
- c
+
= 0
Karena =
maka
- 1
+
= 0
- 1
+ = 0
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
24/29
(LANJUTAN)
+
+ = 0 mempunyai persamaan karakteristik +
+ 1 = 0 ,=1 1 4
2
,=
1 4 ,=
3 , =
, = l i l =
; =
3
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
25/29
SOLUSI UNTUK C = -1
Jadi, persamaan differensial mempunyai solusi :
=
cos1
2 3 +
sin1
2 3
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
26/29
SOLUSI PARTIKULAR UNTUK C = -1
Soal " + + = sin " + = sin
Kita misalkan solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = A cos t B sin t
Y(t) = -A sin t B cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
27/29
Lalu disubstitusikan kedalam persamaan : " + = sin
-A sin t B cos t - A cos t + B sin t + A sin t + B cos t = sin
t
-A cos t + B sin t = sin t
Maka B sin t = sin t
B = 1 ; A = 0Maka solusi partikular :
Y(t) = A sin t + B cos t
Y(t) = cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
28/29
Jadi, didapatkan solusi :
= =
cos
3 +
sin
3 + cos t
-
7/23/2019 Persamaan Differensial - Redaman Ppt
29/29
SELESAI
TERIMA KASIH
