PERSAMAAN DOFERENSIAL BIASA

PERSAMAANDIFFERENSIAL

BIASAMATEMATIKA III

Faigiziduhu Bu'ulölö

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BIASA MATEMATIKA III

Faigiziduhu Bu'ulölö

2016

USU Press

Art Design, Publishing & Printing

Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU Jl.

Universitas No. 9 Medan 20155, Indonesia

Telp. 061-8213737; Fax 061-8213737

usupress.usu.ac.id

© USU Press 2016

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang

memperbanyak menyalin, merekam sebagian atau seluruh bagian

buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertulis dari

penerbit.

ISBN 979 458 899 7

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Persamaan Differensial Biasa / Faigiziduhu Bu'ulölö--Medan:

USU Press 2016.

vi, 107 p. ; ilus.: 14 cm

Bibliografi

ISBN: 979-458-899-7

iii

KATA PENGANTAR

Persamaan Differensial menjadi salah satu ilmu dalam

matematika yang memegang peranan penting dalam

menyelesaiakan soal-soal sulit dalam bidang fisika, ekonomi,

engineering, kimia bahkan bisnis. Berdasarkan pengamatan dan

pengalaman penulis ketika memberikan kuliah Persamaan

Differensial (Matematika III), ditambah dengan memperhatikan

informasi, saran, dan keluhan-keluhan para mahasiswa selama

kuliah, penulis berusaha untuk menguraikan materi buku ini

sesederhana mungkin. Berbagai kesulitan mahasiswa tersebut,

maka buku ini dibuat dengan tujuan untuk dapat membantu

para mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah

matematika khususnya matematika III atau lanjutan dari

matematika dasar di universitas.

Persamaan differensial yang dibahas dalam edisi

pertama ini hanya sebatas persamaan differensial biasa dan

dengan koefisian konstan untuk persamaan differensial derajat

dua, sehingga materi yang disajikan hanya mencakup persamaan

differensial dengan perubah terpisah, bentuk homogen, bentuk

exaxt, faktor pengintegralan, persamaan differensial linier

tingkat satu dan teknik penyelesaian persamaan differensial

derajat dua.

Penyusun menyadari bahwa buku ini masih banyak

kekurangan-kekurangan yang pada dasarnya disebabkan oleh

keterbatasan kemampuan penyusun dalam bidang matematika.

Karena itu penulis sangat berterima kasih atas saran dan kritik

para pembaca, agar dapat melengkapi dan memperbaiki isi buku

ini pada edisi berikutnya.

iv

Bagi mahasiswa matematika yang memperdalam aplikasi

penyelesaian persamaan differensial, saat ini telah muncul

komputer-komputer kecepatan-tinggi yang murah telah

menyajikan teknik-teknik baru untuk menyelesaikan persamaan

differensial, sehingga dapat memodelkan dan menyelesaikan

soal-soal rumit yang memperkenalkan sistem-sistem persamaan

differensial.

Penulis berterima kasih kepada semua pihak yang telah

memberikan kontribusi dalam pembuatan buku Persamaan

Differensial ini dan juga kepada USU Press yang telah bersedia

menerbitkan buku ini dengan segala kekurangannya, sehingga

dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga buku ini dapat

menambah khasanah literatur ilmu pengetahuan, khususnya

dalam bidang Persamaan Differensial Biasa dan bermanfaat

kepada para peminat matematika.

Penulis

v

D A F T A R I S I

Halaman KATA PENGANTAR iii DAFTAR ISI v BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 Pengertian 1 1.1.1 Model Persamaan Differensial 2 1.1.2 Definisi 4 1.1.3

1.1.4 Notasi Penyelesaian Persamaan Differensial

5 6

1.1.4 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Diferensia

7

1.2 Persamaan Differeensial dari Suatu Relasi 8 Soal-soal 10 BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL 11 2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu 12 2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah

Terpisah 12

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah Dapat Dipisahkan

17

Soal-soal 24 2.2 Persamaan Differensial Homogen 25 2.3 Perdamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke

Bentuk Homogen 28

Soal-soal 32 BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU 33 3.1 Persamaan Differensial Exact 33 3.2 Faktor Pengintegralan 37 3.2.1 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 38 3.2.2 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 39 Soal-soal 45

vi

3.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu 46 3.4 Persamaan Differensial Bernoulli 49 Soal-soal 53 BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

DERAJAT DUA 54

4.1 Persamaan Differensial Tingkat Satu Derajat Dua 54 4.1.1 Penyelesaian ke- 54 4.1.2 Penyelesaian ke- 57 4.1.3 Penyelesaian ke- 61 Soal-soal 63 4.2 Persamaan Differensial CLAIRAUT DAN PD

d’ALEMBERT 64

4.2.1 Persamaan Differensial CLAIRAUT 64 4.2.2 Persamaan Differensial d’ALEMBERT 66 4.3 Penyelesaian Singular 69 Soal-soal 71 BAB V PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA 72 5.1 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua 72 5.2 Persamaan Differensial Linier Tereduksi Tingkat

Dua dengan Koefisien Konstan 74

Soal-soal 79 5.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua

Lengkap 79

5.3.1 Cara Operator D 80 5.3.2 Cara Variasi Parameter 83 Kumpulan Soal Penyelesaian 89 Soal Tambahan 102 DAFTAR PUSTAKA 107

Persamaan Differensial Biasa

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Pengertian

Persamaan differensial merupakan konsep matematika

sangat penting dalam matematika terapan (aplikasi matematika)

dalam berbagai disiplin ilmu yang lain. Berbagai hukum ataupun

gejala fisika dapat diterangkan dengan persamaan differensial.

Demikian juga dalam berbagai masalah teknik, misalnya masalah

vibrasi, masalah rangkaian listrik, dalam masalah ekonomi,

misalnya penentuan biaya total untuk produksi suatu barang

serta juga dalam berbagai masalah geometri dapat dijelaskan

dengan bentuk persamaan differensial. Model matematika yang

bisa diselesaiakan dengan persamaan differensial erat

hubungannya dengan rumus-rumus integral dan teknik integrasi

yang telah dipelajari dalam matematika dasar atau kalkulus.


2

1.1.1 Model Persamaan Differensial

1. Bidang Fisika

Persamaan differensial mampu menjelaskan suatu

dalil atau hukum ke dalam model matematis.

Misalnya:

a. Masalah desintegrasi zat radio aktif

Dalam suatu saat tertentu suatu zat radio aktif

mulai meluruh kecepatan peluruhannya

dinyatakan sebanding dengan zat yang ada pada

saat itu.

Misalnya:

menyatakan jumlah zat pada saat t, di mana t

menyatakan waktu

menyatakan kecepatan perubahan kecepa-

tan dari pada saat t

Hukum desintegrasi dinyatakan oleh persamaan oleh

persamaan differensial , di mana konstanta

positip.

Penyelesaian dari persamaan differensial ini adalah

di mana menunjukan jumlah zat

pada awal peluruhan.


3

Masalah Gerak

Misalkan suatu benda bergerak dengan kecepatan

yang dinyatakan oleh persamaan:

Persamaan lintasan dari benda tersebut

dinyatakan oleh persamaan differensial yaitu:

2. Masalah Pertumbuhan

Persamaan differensial bisa menjelaskan masalah

pertumbuhan populasi manusia, hewan, ataupun

bakteri serta makhluk yang lain. Misalkan akan

menerangkan populasi bakteri di mana kecepatan

pertumbuhan dinyatakan dengan jumlah bakteri yang

ada. Hukum pertumbuhan populasi bakteri dapat

dinyatakan oleh:

di mana: = jumlah bakteri pada saat

= konstanta pertumbuhan

= menyatakan waktu


4

Dari kedua contoh di atas, dapat memberikan gambaran

tentang munculnya suatu persamaan differensial, serta

peranannya dalam menyelesaikan persoalan.

Suatu persamaan differensial biasa dinyatakan oleh ,

jadi fungsi terdiri dalam .

1.1.2 Definisi

Persamaan Differensial (PD) adalah sebuah persamaan

yang mengandung paling sedikit satu turunan atau satu

differensial dari suatu fungsi.

Persamaan Differensial digolongkan menjadi dua bagian

yaitu:

a. Persamaan Differensial Biasa (PDB) yaitu PD yang

mengandung hanya satu perubah bebas .

Misalnya :

di mana : adalah perubah bebas dan

adalah perubah tidak bebas

Artinya bahwa jika persamaan differensial hanya

mengandung satu (1) perubah dan fungsi turunan biasa,

maka persamaan disebut persamaan differensial biasa


5

b. Persamaan Differensial Parsial (PDP) yaitu PD yang

mengandung lebih dari satu perubah bebas

.

Misalnya:

1.

2.

3.

di mana : adalah perubah bebas

adalah perubah tidak bebas

Artinya bahwa jika fungsi pada persamaan tersebut

terdiri dari dua perubah atau lebih, maka dikatakan

sebagai persamaan differensial parsial.

1.1.3 Notasi

Ekspresi matematis sering

kali digunakan untuk menuliskan, masing-masing, turunan

pertama, kedua, ketiga, keempat, ... , ke-n dari terhadap

perubah bebas yang dimaksudkan. Jadi, dilambangkan

,

... ,

. Untuk perubah bebas yang lain,


6

misalnya perubah ditulis turunan pertama

, perubah

turunan kedua ditulis

.

Dalam materi mata kuliah III yang akan dipelajari hanya

menyelesaikan persamaan-persamaan Differensial biasa yang

elementer.

1.1.4 Penyelesaian Persamaan Differensial

Penyelesaian dari persamaan differensial dalam fungsi

yang tidak diketahui dan perubah bebas pada interval , adalah

fungsi yang memenuhi persamaan differensial secara

identik untuk semua dalam

Contoh

Apakah di mana dan

adalah konstanta sembarang, merupakan penyelesaian

dari

Dengan mencari turunan , maka akan diperoleh:


7

Sehingga:

Jadi, memenuhi

persamaan differensial yang dimaksud untuk semua nilai

sehingga merupakan penyelesaian pada interval

.

1.1.5 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Differensial

Seperti pada persamaan dalam aljabar, kita kenal

persamaan linier dan persamaan kuadrat. Dalam persamaan

differensial kita kenal ordo dari persamaan differensial yang

didasarkan pada turunan tertinggi dari fungsi dalam persamaan

tersebut. Jadi, jika turunan yang tertinggi yang terdapat dalam

persamaan adalah tingkat n, maka PD itu disebut PD tingkat n

(ordo n). Jika persamaan itu seluruhnya terukur dan bulat dalam

turunan-turunan itu, maka pangkat tertinggi dari turunan

tertinggi dalam persamaan itu disebut derajat (tingkat atau

pangkat) PD itu. Jadi bila dua persamaan differensial dapat

dianggap sebagai suatu polinom, maka tingkat dari persamaan

differensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan

tertinggi.


8

Contoh :

1.

disebut PD tingkat 1 dan derajat 1.

2.


3.


Jadi bila dua persamaan differensial dapat dianggap sebagai

suatu polinom, maka tingkat dari persamaan differensial

ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan yang tertinggi.

1.2 Persamaan Differensial dari Suatu Relasi

Persamaan umum dari garis-garis lengkung datar adalah

, di mana parameter-

parameter. PD dari relasi ini diperoleh dengan mengeliminasikan

parameter-parameternya dari persamaan semula dengan

persamaan turunan-turunannya. Jika relasinya mengandung satu

parameter, maka dicari turunannya sampai turunan pertama.

Jika mengandung dua parameter, maka diturunkan dua kali dan

jika relasinya mengandung n parameter, maka diturunkan

sampai turunan ke-n selanjutnya dieliminasi.


9

Soal dan Penyelesaian

1. Carilah PD dari himpunan parabola-parabola

Penyelesaian:

,

PD-nya didapat dengan mengeliminasi k dari

Jadi PD dari himpunan parabola-parabola tersebut adalah:

xdx

dyxy

212

21

2 Carilah PD dari himpunan parabola-parabola

Penyelesaian:

diturunkan sampai turunan ke-2


10

Karena turunan ke-2 tidak memuat parameter a dan b,

maka penyelesaian PD-nya adalah:

0

2

2

2

dx

dy

dx

ydy

Soal-Soal:

Carilah persamaan-persamaan Differensialnya yang

penyelesaian umumnya adalah:

1. 4.

2. 5.

3. 6.


11

BAB II

PENYELESAIAN PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

Penyelesaian Persamaan Differensial adalah suatu hubungan

antara perubah-perubah tanpa turunan-turunan dan yang

memenuhi PD tersebut.

Contoh : adalah penyelesaian dari

karena dengan substitusi

memenuhi PD.

Penyelesaian Umum dari suatu PD adalah yang memuat

konstanta-konstanta essensial

sembarang yang banyaknya sama

dengan tingkat dari PD itu.

Penyelesaian Partikulir dari suatu PD adalah

penyelesaian yang diperoleh dari

penyelesaian umum dengan


12

memberi harga tertentu pada

konstanta-konstanta sembarang.

Penyelesaian Singular adalah penyelesaian yang

memenuhi PD tanpa konstanta-

konstanta sembarang tetapi bukan

penyelesaian khusus.

2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu

Bentuk Umum : ),( yxfdx

dy

atau (2.1)

Untuk mencari Penyelesaian Umum Persamaan

Differensial (PUPD) dari (2.1) dibedakan beberapa

menurut keadaan sebagai berikut :

2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah Terpisah

Bentuk umum:

(2.2)

Jika bentuk (2.2) diintegralkan diperoleh:


13

Dengan menyelesaikan bentuk integral pada kedua ruas di atas,

maka diperoleh penyelesaian


Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:

1.

Penyelesaian:

1kydyxdx

2. 012

1

2 2

dy

yy

ydx

x

x

Penyelesaian:

Dengan mengintegralkan masing-masing:

*

dx

x

xdx

x

x

2

2)2(

2

=

dx

x 2

21

=


14

**

12

)12(

12

12

2

21

2 yy

yyddy

yy

y

=

Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

3. 06

3

1

22

dy

yy

ydx

x

x

Penyelesaian:

12 6

3

1

2kdy

yy

ydx

x

x

*

dx

x

x

1

2

Misalkan:

Jadi:

dx

x

x

1

2 =

du

u

u 2)1(

=

=

=

**

dy

yy

ydy

yy

y

)3)(2(

3

6

32


15

Dengan menggunakan teknik integral, maka

)3()2()3)(2(

3

y

B

y

A

yy

y

Selanjutnya kita cari nilai A dan B

Untuk:

236

351

56

2 y

dy

y

dydy

yy

y

Jadi PUPD:

;

4. 02232 22

yy

dy

xx

dx

Penyelesaian:

*

2)1(32 22 x

dx

xx

dx

Misalkan : dtdxtx 221


16

didapat

2

1

xt

222 12

1

)1(2

2

2)1( t

dt

t

dt

x

dx

2

1tan

2

1tan

2

1

xarctarc

**

3)1(22 22 y

dy

yy

dy

3)1(22 22 y

dy

yy

dy

Misalkan : dtdyty 331

didapat 3

1

yt

13

1

)1(3

3

3)1( 222 t

dt

t

dt

y

dy

31

31ln

32

1

1

1ln

32

1

y

y

t

t

Jadi PUPD:


17

ky

yxarc

31

31ln

32

1

2

1tan

2

1

2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah dapat

Dipisahkan

Bentuknya umum:

(2.3)

Dengan membagi persamaan (2.3) oleh , maka

diperoleh persamaan (2.4) berikut:

0)(

)(

)(

)(

2

1

2

1 dyyg

ygdx

xf

xf (2.4)

PD (2.4) disebut PD dengan perubah terpisah dan selanjutnya

diselesaikan sesuai langkah pada (2.1.1).


Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:

1.

Penyelesaian:

Persamaan PD dibagi oleh: ,

maka diproleh:

0)2(

)4(

)3(

dy

y

ydx

x

x


18

kLndy

y

ydx

x

x

)2(

)4(

)3(

kLndy

ydx

x 2

61

3

31

Jadi PUPD:

2.

Penyelesaian:

Persamaan PD dibagi oleh: ,

maka diperoleh:

082

4

3 22

dy

yy

ydx

x

x

12

2

21

)2)(4(

4

3

)3(kLndy

yy

y

x

xd

*

)3(

3

)3( 2

21

2

2

21 xLn

x

xd


19

**

dy

y

B

y

Ady

yy

y)

24(

)2)(4(

4

Dengan menggunakan teknik integral fungsi rasional,

maka didapat:

Seterusnya kita cari nilai A dan B

Untuk :

dy

y

B

y

Ady

yy

y)

24(

)2)(4(

4

=

2431

34

y

dy

y

dy

Jadi PUPD:

3.

Penyelesaian:


20

kdy

yy

ydx

xx

x

64

32

42

322

**

..(a)

**

Misalkan : dtdxtx 331

3

1

xt

)(...3

1tan

tan13)1(

4

3

4

3

4

23

4

2

bx

arc

tarct

dt

x

dx

***

#


21

... (c)

##

Misalkan : dtdyty 552

5

2

yt

...(d)

Dengan menggunakan rumus umum dari:

maka hasil integral (d) dapat ditulis:

...(e)

Jadi PUPD : (a) + (b) + (c) + (e) =k


22

Aplikasi Persamaan Differensial

1. Bidang Fisika

Contoh

Suatu rangkaian listrik sederhana, yang terdiri dari suatu

resistor, inductance dan sumber yang mempunyai

electromotive force. Gambar 2.1

Menurut hukum Kirchoff berlaku:

(i) Jika :

Andaikan

maka penyelesaian umum dari

persamaan differensial ini adalah:

Gambar 2.1


23

(ii) Jika maka penyelesaian umum

akan berbentuk:

2. Di Bidang Kimia

Suatu zat kimia dapat dilarutkan dalam air, di mana

banyaknya zat terlarut persatuan waktu (kecepatan

reaksi) berbanding lurus dengan hasil kali banyak zat

yang tidak larut dengan selisih antara konsentrasi larutan

tersebut. Dalam suatu larutan jenuh setiap 100 gram

larutan terlarut 50 gr zat tersebut, dan jika 30 gr zat

dicampur dengan 100 gram air ternyata 10 gram zat

terlarut dalam 2 jam. Berapa gramkah zat yang terlarut

setelah 10 jam.

Penyelesaian:

= menyatakan waktu

= jumlah jam terlarut pada saat

= perubahan zat terlarut persatuan waktu

Maka diperoleh

, sedangkan konsentrasi

larutan jenuh adalah

.


24

Persamaan ini dapat diubah menjadi:

Soal-soal : Carilah PUPD dari persamaan berikut ini :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. dy=0

9.

10.

11.


25

2.2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

Bentuk persamaan differensial:

(2.5)

Persamaan Differensial (PD) disebut PD Homogen, jika

dan adalah fungsi-fungsi homogen dan berderajat sama.

Dengan substitusi pada (2.5) maka

persamaan differensial homogen itu diubah menjadi PD dengan

perubah terpisah yaitu:

(2.6)

PD (2.6) disebut persamaan differensial dengan perubah terpisah


Carilah PUPD dari persamaan berikut

1.

Penyelesaian:

Misalkan

Dengan membagi oleh: ,

maka diperoleh:


26

01

22

dv

v

v

x

dx

122 1

2

1kdv

vv

v

x

dx

*

;

Misalkan

Jadi PUPD:

2.

Penyelesaian:

Misalkan


27

Kemudian dibagi dengan didapat:

Jadi PUPD:

3. (x + 2y) dx + (2x – y) dy = 0

Pernyelesaian:

Misalkan : y = vx dy = v dx + x dv

(x + 2vx) dx + (2x – vx) (v dx + x dv) = 0

(x + 2vx + 2vx – v2 x) dx + (2 x2 – v x2) dv = 0

x (1 + 4v – v2) dx + x2 (2 – v) dv = 0

12ln

41

2kdv

vv

v

x

dx

1

2

21

12

2

21

ln41lnln

ln41

)41(ln

kvvx

kvv

vvdx


28

Jadi PUPD:

2.3 Persamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk

Homogen

Bentuk Umum:

(2.7)

1. Jika c = r = 0, maka PD (6) disebut PD Homogen

2. Jika aq – bp = 0 , maka penyelesaiannya adalah :

Misalkan u = ax + by du = a dx + b dy

Dengan substitusi ke PD (2.7), maka diperoleh PD

dengan perubah terpisah.

3. Jika aq – bp ≠ 0, maka penyelesaiannya adalah:

Misalkan u = ax + by + c du = a dx + b dy

v = px + qy + r dv = p dx + q dy

Kemudian gunakan eliminasi untuk mendapatkan dx dan

dy, selanjutnya substitusi pada PD (2.7), maka diperoleh

PD homogen



1. (x + y – 2) dx + (3x + 3y – 1) dy = 0


29

Penyelesaian:

Karena aq – bp = 0, maka dimisalkan:

u = x + y du = dx + dy

dy = du – dx

(u – 2) dx + (3u – 1)(du – dx) = 0

(u – 3u - 1) dx + (3u – 1) du = 0

1

12

13kdu

u

udx

x –

1

25

23

12

)12(kdu

u

u

x –

125

23

12k

u

dudu

145

23 )12( kuLnux

Jadi PUPD:

145

23 }1)(2{)( kyxLnyxx

2x + 6y -5 Ln (2x + 2y + 1 ) = k ; k = 4k1

2. (2x – y + 1) dx + (x + 2y – 2) dy = 0

Penyelesaian :

Misalkan u = 2x – y + 1 du = 2 dx – dy

v = x + 2y – 2 dv = dx + 2 dy

Dengan eliminasi didapat : dx = 51 (2 du + dv)


30

dy = 51 (2 dv – du)

Substitusi pada soal mula-mula:

u. 51 (2 du + dv) + v.

51 (2 dv – du) = 0

(2u – v) du + (u + 2v) dv = 0

Misalkan v = zu dv = z du + u dz

(2u – zu)du + (u + 2zu)(z du + u dz) = 0

(2u + 2z2.u) du + (u2 + 2z.u2) dz = 0

u(2 + 2z2) du + u2(1 + 2z) dz = 0

12 )1(2

12kLndz

z

z

u

du

Ln u +

)1(2)1(2

222 z

dzdz

z

z = Ln k1

* )1(1

)1(

)1(2

2 2

21

2

2

21

2

zLnz

zddz

z

z

** 1221

z

dz ; Misalkan z = tan z2 = tan2

dz = sec2 d

dd

z

dz21

2

2

21

221

1tan

sec

1

Jadi PUPD: Ln u + ½ Ln (z2 + 1) + ½ arc tan z = Ln k1


31

Ln u2 + Ln (z2 +1) + Ln earc tan z = Ln k12

Ln (v2 + u2).earc tan v/u = Ln k12

2

1

22

12tan

22;2212 kkkeyxyx yx

yxarc

3. (2x – 5y + 3) dx - (2x + 4y – 6) dy = 0

Penyelesaian:

aq – bp ≠ 0, Jadi misalkan:

u = 2x – 5y + 3 du = 2dx – 5dy

v = 2x + 4y – 6 dv = 2dx + 4dy

Dengan eliminasi diperoleh:

dx =181 (4du + 5dv) dan dy =

91 (dv – du)

u. 181 (4du + 5dv) – v.

91 (dv – du) = 0

(4u + 2v) du + (5u – 2v) dv = 0

Misalkan v = zu dv = z du + u dz

(4u + 2zu) du + (5u - 2zu)(z du + u dz) = 0

u.(4 + 7z – 2 z2) du + u2.(5 - 2z) dz = 0

12 472

52kLndz

zz

z

u

du

131

)4(

1

)12(

4kLndz

zzuLn

Jadi PUPD:


32

Ln u + 2/3 Ln (2z + 1) + 1/3 Ln (z - 4) = Ln k1

Ln u3.{(2z + 1)2.(z - 4)} = 3

1kLn

3

1

2

3 ;4

.2

kkku

uv

u

uvu

{2(2x + 4y – 6) + (2x – 5y + 3)}2.{(2x + 4y –63)- 4(2x – 5y + 3)} = 3

1k

(6x + 3y - 9}2{-6x + 24y - 18} = 3

1k

9(2x + y – 3)2.6(4y – x –3 ) = 3

1k

(2x + y – 3)2.(4y – x – 3) = k ; k = 3

1541 k

Soal-soal

Carilah PUPD dari persamaan berikut ini:

1.

2. –

3.

4.

5. – –

6. –

7. ( – – –

8. – –

9. – –

10.


33

BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

TINGKAT SATU

3.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT

Persamaan Differensial

(3.1)

Persamaan differensial (3.1) disebut exact jika ada fungsi

, sehingga Differensial total:

Syrata perlu dan syarat cukup agar persamaan

merupakan PD exact adalah: x

N

y

M

Penyelesaian Umum dari PD Ecaxt adalah

di mana ),(),( yxNx

NdanyxM

y

M

Dari kedua hubungan ini dapat dicari sebagai berikut:

Dari ),( yxMy

M

, maka


34

F(x,y) = )(),( ydxyxM

(y) dapat dicari dengan mengingat bahwa

),( yxNy

F

Demikian juga dapat dicari dengan memulai dari

),( yxNx

N

maka

F(x,y) = )(),( xdyyxN

(x) dapat dicari dengan mengingat bahwa

),( yxMx

F

Perhatian : Dalam hal integrasi terhadap , maka variabel

dianggap konstan dan berlaku sebaliknya.



1.

Penyelesaian:

– 1

y

M

– 1

x

N


35

Jadi : x

N

y

M

= 1 Exact

PUPD :

F(x,y) = )()3( 2 ydxxy

= –

),( yxNy

F

Diturunkan terhadap , maka dianggap konstan

–

’(y) = - 4y

Jadi PUPD:

Atau : PUPD :

= )()4( xdyyx

= –

),( yxMx

F

Diturunkan terhadap x, maka y dianggap konstan


36

Jadi PUPD:

Catatan: Hasil akhir selalu sama

2. – – –

Penyelesaian:

–

yxy

M610

– –

xyy

F106

Jadi: x

N

y

M

= 6y – 10x Ecact

PUPD : F(x,y) = k

F(x,y) = )()3106( 22 ydxyxyx

= 2x3 – 5x2y + 3xy2+ (y)

),( yxNy

F


37

– 5 x2 + 6xy + ’(y) = 6xy – 5x2 – 3y2

’(y) = - 3y2

Jadi PUPD: 2x3 – 5x2y + 3xy2 - y3 = k

3.2 FAKTOR-FAKTOR PENGINTEGRALAN

Bentuk Persamaan Differensial (PD):

,

pada umumnya tidak exact, berarti x

N

y

M

.

Maka suatu fungsi (umumnya fungsi dari dan ) yang

mempunyai sifat bahwa menjadi exact.

Jadi dinamakan faktor pengintegralan dari PD, sehingga PD

yang baru memenuhi syarat:

x

VN

y

VM

)()(

(3.1)

Dengan melakukan turunan parsial terhadap persamaan (3.1),

maka diperoleh:

x

NV

x

VN

y

MV

y

VM

(3.2)


38

Selanjutnya ditinjau dua macam fungsi secara khusus:

3.2.1 Faktor Pengintegral Fungsi dari saja

Maka 0

y

Vdan

dx

dV

x

V,

sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi :

x

NV

dx

dVN

y

MV

Jadi:

Karena V = f(x), maka N

NM xy juga hanya merupakan fungsi

dari x saja yang dinamakan dengan h(x).

Jadi dxxhVLndxxhV

dV)()(

Sehingga faktor pengintegral adalah

dxxh

eV)(

Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)

sehingga didapat:

(3.2)

Kemudian PD (3.2) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:


39

3.2.2 Faktor Pengintegral Fungsi dari saja

Maka 0

x

Vdan

dy

dV

y

V ,

sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi:

x

NV

y

MV

dy

dVM

Jadi dyM

MN

V

dV yx

Karena V = f(y), maka M

MN yx juga hanya merupakan fungsi

dari y saja yang dinamakan dengan g(y).

Jadi dyygVLndyygV

dV)()(

Sehingga faktor pengintegral adalah

dyyg

eV)(

Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)

sehingga didapat:

(3.3)

Kemudian PD (3.3) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:


40


Carilah PUPD dari persamaan berikut ini :

1.

Penyelesaian:

M(x,y) = x2 + x – y My = - 1

N(x,y) = x Nx = 1

Jadi My ≠ Nx tidak exact

h(x) = xxN

NM xy 211

;

x

dxdxxh

eeV

2)(

= e- 2 Ln x V =

01

)1

1(2

dyx

dxx

y

x

Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact

Ternyata

exact

F(x,y) = k

F(x,y) =

)(

11

2ydx

x

y

x


41

),( yxNy

F

+ ’(y) =

’(y) = 0 (y) = 0

Jadi PUPD:

2.

Penyelesaian:

M(x,y) = 2xy My = 2x

N(x,y) = y2 - 3x2 Nx = -6x


g(x) = yxy

xx

M

MN yx 4

2

26


42

0312

4

2

23

dy

y

x

ydx

y

x


Ternyata

exact

F(x,y) = )(2

3ydx

y

x

= 3

2

y

x + (y)

),( yxNy

F

4

2

3y

x + ’(y) =

4

2

23

1

y

x

y

’(y) = y

yy

1)(

12

Jadi PUPD: 3

2

y

x

y

1 = k


43

3.

Penyelesaian:

M(x,y) = x + x2 + y2 My = 2y

N(x,y) = xy Nx = y


h(x) = xxy

yy

N

NM xy 12

x

dxdxxh

eeV)(

0)( 2232 dyyxdxxyxx


Ternyata

exact

),( yxNy

F


44

’(y) = 0 (y) = 0

Jadi PUPD:

4.

Penyelesaian :

M(x,y) = xy3 My = 3xy2

N(x,y) = – (1 – x2y2) Nx = 2xy2


01 22

dyyx

ydxxy


Ternyata

exact


45

),( yxNy

F

Jadi PUPD:

Soal-soal:

Carilah PUPD dari persamaan berikut ini

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


46

3.3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU

Bentuk Umum:

+ P(x) y = Q(x) (3.3)

Penyelesaian:

Persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai :

{P(x) y – Q(x)} dx + dy = 0 (3.4)

di mana M = P(x) y – Q(x) dan N = 1

0;)(

x

NNxP

y

MM xy

Karena )(0)(

xPN

xP

N

NM xy

hanya tergantung pada perubah saja, maka

dxxP

eV)(

adalah faktor pengintegral.

Faktor pengintegral ini digandakan pada PD (3.3), sehingga dapat

ditulis menjadi :

dxxPdxxP

exQyxPdx

dye

)()(

).()( (3.5)

PD (3.5) dapat ditulis sebagai turunan dari :

dxxPdxxP

eQYedx

d )()(

.. (3.6)

Dengan mengintegralkan kedua ruas PD (3.6), maka diperoleh

penyelesaian umum persamaan differensial:


47

PUPD: kdxeQYedxxPdxxP )()(

.. (3.7)


Carilah PUPD dari persamaan berikut ini

1.

– y = e 2x

Penyelesaian:

P = - 1 ; Q = e 2x

xdx

eeV

Model PUPD adalah:

PUPD:

2.

...(a)

Penyelesaian:

PD (a) dibagi dengan cos x diperoleh persamaan baru

menjadi :


48

...(b)

Dari persamaan (b) diketahui bahwa:

Faktor integral:

Jadi PUPD:

PUPD:

3.

; jika untuk

Penyelesaian:

Bagi PD dengan x diperoleh persamaan baru

menjadi :

Faktor integral:


49

Jadi PUPD:

PUPD:

Selanjutnya: jika untuk

PUPD Partikulir adalah:

3.4 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI

Bentuk Umum:

; dan (3.8)

Penyelesaian:

PD (3.8) baik ruas kiri maupun ruas kanan sama dibagi dengan

, maka diperoleh:

(3.9)

Dengan substitusi


50

Dicari turunan terhadap didapat:

(3.10)

Persamaan (3.10) disubstitusikan pada persamaan (3.8),

sehingga PD berubah menjadi:

(3.11)

PD (3.11) disebut Persamaan Differensial Linier Tingkat

Satu.



1.

...(a)

Penyelesaian:

Dengan membagi semua suku oleh , maka PD (a)

menjadi:

...(b)

Misalkan

Dengan substitusi (b) pada PD (a), maka didapat:

...(c)


51

Persamaan (c) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu

Dari persamaan (c) diperoleh: ;

Faktor Pengintegral :

Jadi PUPD:

...(d)

Penyelesaian ruas kanan digunakan metode

penyelesaian penyelesaian Integral Parsial, maka

didapatkan:

Ambil

Atau

2.

...(e)

Penyelesaian:

Persamaan (e) dibagi dengan , maka dapat ditulis

menjadi:

Misalkan


52

...(f)

Dengan substitusi (f) pada PD (e), maka didapat:

...(g)

Persamaan (g) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu

Dari persamaan (g) diperoleh: P(x) =-2 tan x dan

Q(x) = -2 sec x

Faktor Pengintegral:

Jadi PUPD:

Penyelesaian ruas kanan, maka didapatkan:

Ambil


53

Soal-soal


1.

2.

3.

4.

5.

6.


54

BAB IV


TINGKAT SATU DERAJAT DUA

4.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT

DUA

Bentuk Umum:

(4.1)

di mana:

Penyelesaian PD (4.1) diselesaikan dengan 3 (tiga) cara:

4.1.1 Penyelesaian ke – p

Pandanglah persamaan PD (4.1) merupakan persamaan

kuadrat dalam p dan dapat difaktorkan secara linier sehingga PD-

(4.1) dapat ditulis menjadi :

(p – F1)(p – F2) = 0

di mana dan adalah fungsi dari dan .

Jadi penyelesaiannya adalah: dan atau

dan


55

yaitu dua buah PD tingkat satu dan derajat satu yang

penyelesaiannya berbentuk:

dan (4.2)

Penyelesaian Umum dari PD (4.1) diperoleh dengan

menggandakan penyelesaian dari PD (4.2) yaitu:

PUPD:


Selesaikan Persamaan Differensial berikut:

1. ...(a)

Penyelesaian:

Bagilah ruas kiri persamaan (a) dengan sehingga

diperoleh:

...(b)

Persamaan (b) diuraikan dalam p:

(i)

Atau


56

(ii)

Atau

Jadi PUPD adalah: :

2. 03.2.2

2 x

ypypx

Penyelesaian:

Bagilah ruas kiri dengan sehingga diperoleh:

Kita uraikan menjadi:

(i)


57

(ii)

Jadi PUPD adalah: :

4.1.2 Penyelesaian ke – y

Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:

(4.3)

Persamaan (4.3) diturunkan ke x terdapat, maka didapat:

(4.4)

Jadi bentuk (4.4) dinyatakan sebagai

yang

merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan

Derajat Satu.

Andaikan penyelesaian PD

adalah

(4.5)


58

Eliminasi dari (4.4) dan (4.5) didapat penyelesaian umum PD,

dan jika eliminasi tidak mungkin maka x dan y masing-masing

dinyatakan sebagai fungsi dari p. Perhatikan bahwa di samping

keadaan hal ini mungkin masih didapat penyelesaian singular.


Carilah penyelesaian PD berikut:

1. ... (a)

Penyelesaian :

PD (a) diturunkan terhadap , terdapat:

...(b)

Persamaan (b) dipenuhi jika:

atau ...(c)

Dari

terdapat ... (d)

Eliminasi dari (a) dan (d) didapat penyelesaian

umum:

Kemudian eliminasi dari (a) dan (c):


59

Maka didapat penyelesaian singular:

2. ...(i)

Penyelesaian :

Persamaan (i) diturunkan terhadap didapat:

...(ii)

Persamaan (ii) merupakan Persamaan Differensial

Linier Tingkat Satu.

Faktor pengintegral pdp

ev 2

1

2

1


60

Maka PUPD adalah:

Ruas kanan diselesaikan dengan bentuk integral

parsial, maka diperoleh:

dan

4.1.3 Penyelesaian ke – x

Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:

(4.6)

Selanjutnya persamaan (4.6) diturunkan terhadap diperoleh:

),,(.1

dy

dppyF

y

p

p

f

y

f

pdy

dx

(4.7)


61

Jadi bentuk (4.7) dinyatakan sebagai

yang

merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan

Derajat Satu.

Andaikan penyelesaian PD

adalah:

(4.8)

Eliminasi dari (4.6) dan (4.8) didapat penyelesaian umum PD,

dan jika eliminasi tidak mungkin maka dan masing-masing

dinyatakan sebagai fungsi dari parameter .

Perhatikan bahwa di samping keadaan ini mungkin masih

didapat penyelesaian singular.


Selesaikan –

Penyelesaian :

PD dibawa ke bentuk

...(iii)

Persamaan (iii) diturunkan terhadap terdapat:

Ingat:

dan


62

Atau

...(iv)

Persamaan (iv) dapat dipenuhi jika:

Dari

Atau

...(v)

Eliminasi dari (iii) dan (v) didapat penyelesaian umum

Kemudian eliminasi dari (iii) dan


63

Maka didapat penyelesaian umum persamaan

differensial singular adalah:

Soas-Soal

Selesaikan PD berikut :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4.2 PD. CLAIRAUT dan PD. d’ ALEMBERT

4.2.1 PD. Clairaut

Bentuk Umum:

(4.9)

di mana:

Persamaan (4.9) diturunkan terhadap diperoleh:


64

atau

(4.10)

Persamaan (4.10) dipenuhi jika

atau

Dari

Terdapat: (4.11)

Eliminasi dari (4.9) dan (4.11) didapat penyelesaian

umum:

(4.12)

Persamaan (4.12) merupakan himpunan garis-garis kurus.

Selanjutnya eliminasi dari: dan ,

maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh

Selesaikan

Penyelesaian :

... (i)

Diturunkan terhadap diproleh:


65

...(ii)

Persamaan (ii) dipenuhi jika

Dari dari

... (a)

atau

... (b)

Eliminasi dari (a) pada persamaan (i) terdapat

Penyelesaian Umum:

Selanjutnya eliminasi dari (b) dan (i) terdapat:

Penyelesaian Umum Singular:

4.2.2 PD. d’ Alembert

Bentuk Umum:

(4.13)

Persamaan (4.13) diturunkan terhadap diperoleh:

(4.14)


66

atau

(4.15)

Persamaan (4.15) merupakan Persamaan Differensial Linier

Tingkat Satu.

Andaikan penyelesaian umum (4.15) adalah:

(4.16)

Eliminasi p dari (4.13) dan (4.16) didapat Penyelesaian Umum

PD semula. Selain PUPD yang diperoleh ini mungkin juga masih

terdapat penyelesaian singilar.

Contoh

Selesaikan

Penyelesaian:

Persamaan dapat ditulis sebagai:

...(a)

Persamaan (a) diturunkan terhadap ke , diperoleh:


67

...(b)

Persamaan (b) dipenuhi jika:

Dari

(*)

Untuk:

(i)

(ii)


68

Dari (i) dan (ii) didapat:

Jadi:

(**)

Hasi (*) + (**) diperoleh:

...(c)

Dari (c) didapat:

Eliminasi dari (a) dan (c) didapat penyelesaian umum:

Lakukan perkalian silang, kemudian kedua ruas

kuadratkan, maka diperoleh:

PUPD:

Dari

Selanjutnya eliminasi dari:


69

Didapat penyelesaian singular:

yang memenuhi PD dan bukan merupakan penyelesaian

khusus.

4.3 PENYELESAIAN SINGULAR

Andaikan Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

(4.17)

di mana:

adalah: (4.18)

maka selubung (envelope) dari berkas garis lengkung (4.18) juga

merupakan penyelesaian dari (4.17) dan ini merupakan

penyelesaian singular.

Selubung dari didapat dengan eliminasi

dari:

1. dan

atau

2. Eliminasi dari PD: dan

Perhatikan bahwa penyelesaian singular harus memenuhi

Persamaan Differensial.


70

Contoh

1. Carilah penyelesaian singular dari

Penyelesaian :

Ini adalah PD Clairaut dengan penyelesaian umum

Jadi – –

dan

Eliminasi k dari kedua persamaan tersebut didapat

penyelesaian singular:

2. Carilah penyelesaian singular dari

Penyelesaian:

– –

Eliminasi dari kedua persamaan tersebut didapat:


71

Ternyata hasil ini tidak memenuhi PD. Jadi penyelesaian

singular tidak ada.

Soal-Soal

Carilah penyelesaian umum dari:

1. – –

2. –

3. –

Carilah penyelesaian singular dari:

1. 3.

2.


72

BAB V


TINGKAT DUA

5.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA

Suatu persamaan differensial tingkat dua disebut linier,

apabila dapat dituliskan dalam bentuk:

Bentuk Umum:

QyPdx

dyP

dx

ydP 212

2

0 (5.1)

di mana P0 , P1 , P2 , Q adalah fungsi dari x atau bilangan

konstan. Perkataan linier di sini diartikan karena persamaan (5.1)

hanya mengandung faktor linier/berpangkat satu dari

Jika P0 , P1 , P2 semuanya bilangan konstan, maka PD

(5.1) disebut PD Linier Tingkat Dua dengan koefisien konstan.

Jika Q 0, maka disebut PD Lengkap

Jika Q = 0, maka PD (5.1) berbentuk:

0212

2

0 yPdx

dyP

dx

ydP (5.2)


73

disebut Persamaan Differensial Tereduksi.

Penyelesaian:

Jika penyelesaian dari (5.2) dan konstan

sembarang maka juga penyelesaian.

Jika penyelesaian-penyelesaian dari (5.2)

maka:

juga penyelesaian.

Himpunan penyelesaian- penyelesaian:

Dari PD (5.2) disebut tak bebas linier jika terdapat konstanta

dan yang keduanya tidak nol, sehingga:

Apabila tidak demikian himpunan penyelesaian disebut tidak

linier.

Contoh

1. Fungsi dan adalah tak bebas linier, sebab

terdapat konstanta dan yang keduanya tidak

nol sehingga:

,

Misalnya:

2. Fungsi dan adalah bebas linier sebab:

Jika dan hanya jika


74

Syarat perlu dan cukup agar bebas linier adalah:

Jika adalah dua penyelesaian bebas linier

dari PD (5.2) maka Penyelesaian Umum Tereduksi adalah :

(5.3)

di mana dan adalah konstanta sembarang.

Persamaan lengkap PD (5.1) mempunyai penyelesaian umum

di mana:

adalah Penyelesaian Umum Persamaan Differensial

Tereduksi

adalah Penyelesaian Khusus dari Persamaan

Differensial Lengkap.

5.2 PD Linier Tereduksi Tingkat Dua dengan Koefisien

Konstan

Perhatikan suatu persamaan differensial

Bentuk Umum:

0212

2

0 yPdx

dyP

dx

ydP (5.4)


75

di mana P0 0 , P1 , P2 adalah bilangan konstan riil. Persamaan

(5.4) disebut persamaan differensial tingkat (ordo) dua dengan

koefisien konstan.

Substitusi (m = konstan)

pada PD (5.4) diperoleh:

(5.5)

dan disebut persamaan karakteristik dari PD.

PD (5.5) dapat diuraikan menjadi :

(5.6)

sehingga akar-akar karakteristiknya adalah yang

mana dapat dibedakan menjadi 3 keadaan sebagai berikut:

1. Jika dan keduanya nyata (riil), maka

Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

(5.6)

2. Jika dan keduanya nyata (riil), maka

Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

(5.7)


76

3. Jika (kompleks sekawan)

maka Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:

(5.8)


Carilah Penyelesaian Umum dari persamaan Differensial berikut:

1.

Penyelesaian:

Persamaan karakteristik:

Akar-akar karakteristik:

Jadi PUPD Tereduksi:

2.

Penyelesaian :





77

3.

Penyelesaian :




4.

Penyelesaian:


2

24

2

2016412

im



5.

Penyelesaian:



78

2

31

2

41112

im



6.

di mana untuk dan

Penyelesaian:




Untuk dan

,

Maka didapat:

..(i)


79

..(ii)

Eliminasi antara (i) dan (ii), diperoleh:

Jadi Penyelesaian PD yang memenuhi syarat batas di

atas adalah:

Soal-soal

1.

2.

3.

4.

5.

6.

5.3 Persamaan Differensial Tingkat Dua Lengkap

Bentuk Umum:

(5.9)

di mana dan konstanta-konstanta nyata


80

5.3.1 CARA OPERATOR D

Jika untuk dan ditulis

dan

atau di mana

. Jadi di sini adalah suatu

operator yang bekerja pada maka bentuk persamaan

differensial atau persamaan (5.9)

berubah menjadi:

atau (5.10)

Jika , maka PUPD persamaan (5.10)

memiliki Penyelesaian Lengkap (PL) adalah: dan

Penyelesaian Tereduksi (PR) adalah:

Andaikan dapat diuraikan menjadi

, di mana dan adalah akar-akar

karakteristik.

Untuk menentukan penyelesaian PD (5.10) harus

dipahami beberapa sifat berikut:

a. Sifat-sifat

1.

2.

3.


81

Catatan:

Jika dan yang dimaksudkan

dengan , maka:

4.

5.

6.

7.

b. Mencari Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap

Cara Operator

Dengan notasi

dimaksudkan bahwa:

Ini berarti PD tingkat satu yang mempunyai penyelesaian

umum :

Maka Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap (PPPL)

dari adalah berbentuk:

Untuk persamaan Differensial maka

bentuk simbolis PPPL adalah:


82

dengan beberapa kemungkinan berikut:

1. Jika , maka penyelesaian partikulir:


3. Jika maka penyelesaian partikulir:

diperderetkan menurut deret pangkat

dalam sampai dengan suku ke saja.

4. Jika , maka adalah bagian riil

dari:

ditulis dengan:

Kita ingat Rumus Euler:

5. Jika maka adalah bagian

imaginer dari:

ditulis dengan:


83


Catatan:

1.

2.

3.

4.

5.3.2 Cara Variasi Parameter

P.L. :

P.R. :

Jika PUPR : , maka

PPPL :

di mana dan dapat dicari dari:


84


Selesaikan PD berikut ini:

1.

Penyelesaian:

Persamaan tereduksi (PR):

PUPR :

; ternyata maka

penyelesaian partikulir PPPL adalah:

Jadi PUPL:

2.

Penyelesaian:


85


PUPR :

; ternyata maka

penyelesaian partikulir PPPL adalah:

; ingat:

Penyelesaian faktor integral

Jadi PUPL:

3.

Penyelesaian :

–



86

PUPR :

fungsi polinom berderajat dua, maka

penyelesaian partikulir PPPL adalah :

Untuk

diperderetkan menurut

deret pangkat sampai derajat dua sesuai pangkat

polinom, sehingga didapat:

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor

Integral:

Jadi PUPL:


87

4.

Penyelesaian:



Ingat dari bentuk: , maka

PUPR:

, penyelesaian partikulir:

PPPL :

Jadi PUPL:

5.

Penyelesaian:


88


Akar-akar tereduksi:

PUPR:

, maka penyelesaian partikulir:

Diselesaikan dengan menggunakan faktor integral:

;

; selanjutnya

(Penyelesaian berikutnya dengan integral parsial)

Jadi PUPL:


89

Selanjutnya dapat disederhanakan:

Kumpulan Soal Penyelesaian

1.

Penyelesaian:


– –

Akar-akar karakteristik :

PUPR :


Dicari turunan pertama dan kedua dari fungsi


90

;

Jadi PUPL:

2.

Penyelesaian:



PUPR:


Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi

;


91

Jadi PUPL:

3.

Penyelesaian:



PUPR:


Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi

;


92

Jadi PUPL:

4.

Penyelesaian:



Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor

Integral:


93

PUPD:

5.

Penyelesaian:


=

PUPD:


94

Cara lain:

6.

Penyelesaian:


PUPD:

Cara lain:


95

PUPD:

7.

Penyelesaian:

P(x) = tan x ; Q(x) = e – 2x ; n = 2

)(.)1(.)()1( xQnzxPndx

dz

xezxdx

dz 2.tan

x

e

ee

xLn

dxxdxxP

cos

cos

tan)(

Rumus : kdxexQzedxxPdxxP )()(

.)(.

kdxxezx x cos..cos 2

Misalkan : u = cos x du = - sin x


96

dv = e – 2x v = - ½ e – 2x

dxxeexdxxe xxx sin..coscos. 2

212

212

Misalkan : u = sin x du = cos x

dv = e – 2x

PUPD:

8.

Penyelesaian:

Persamaan PD dibagi dengan: , maka

diperoleh PD perubah terpisah yaitu:


97

kdyy

y

x

dxx

dyy

y

x

dxx

23

12

1

023

12

1

2

2

kdy

y

yxnl

23

)23()1( 3

732

2

21

Maka Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:

kynlyxnl )23()1(97

322

21

Atau

9.

Penyelesaian :

0)22()13( dyyxdxyx ... (1)

PD (1) merupakan persamaan differensial yang dapat

dirubah ke PD homogen.

Di mana , maka

Misalkan : u = 3x – y + 1 du = 3 dx – dy

v = x + 2y – 2 dv = dx + 2 dy

Dengan eliminasi didapat:


98

Substitusi pada persamaan (1) diperoleh:

1/7 u (2du + dv) + 1/7 v (3dv – du) = 0

(2u – v) du + (u + 3v) dv = 0 ...(2)

Persamaan (2) adalah PD homogen

Misalkan : v = zu dv = z du + u dz

(2u – zu) du + (u + 3zu) (z du + u dz) = 0

2u + 3z2 u du + (u2 + 3u2 z) dz = 0

u (2 + 3z2) du + u2 (1 + 3z) dz = 0

032

312

dz

z

z

u

du

122ln

3232

3k

z

dz

z

dzz

u

du

12

3

6

12

21 lntan)32(lnln kzarczu

2

121

3122 ln6tan6)32(ln kzarczu

2

121

3122 ln;6tan6)32(ln kkkarcvu

uv

Jadi PUPD:

karcyxyxyx

yx

13

22

21

3122

tan6223132ln


99

10. ...(1)

Penyelesaian:

PD dengan perubah yang dapat dipisahkan, maka PD (1)

dibagi oleh: sehingga didapat:

...(2)

Diintegralkan kedua ruas

13

(2 3)ln

4 2y

x dx dyk

x x e

*3

(2 3) (2 3)

( 2)( 24

x dx x dx

x x xx x

2 3

( 2)( 2) 2 2

x A B C

x x x x x x

Tentukan nilai A, B, dan C

Untuk

Untuk

Untuk

3 714 8 8

(2 3)

( 2)( 2) 2 2

x dx dx dx dx

x x x x x x


100

6

3 71 84 8 8 7

( 2)ln ln ( 2) ln ( 2) ln

( 2)

x xx x x

x

**2y

dy

e

Misalkan:

dan

( 2)2y

dy du

u ue

1

( 2) 2

A B

u u u u

Atau

Kemudian ditentukan nilai A dan B

Untuk

Untuk

1 12 2

( 2) ( 2)

du du du

u u u u

1 12 2ln ( 2) lnu u

1 12 2ln ln ( 2) ln

2

yy y

y

ee e

e


101

Jadi PUPD : 6

87

( 2)ln

( 2)

x x

x

1ln ln

2

y

y

ek

e

6 4

8

17 4

( 2);

( 2) ( 2)

y

y

x x ek k k

x e


102

Soal-Soal Tambahan

1.

Ans.

Atau:

2.

Ans.

3.

Ans. PUPD:

4.

Ans. PUPD:

5.

Ans. PUPD:

Ans. PUPD :


103

6.

Ans. PUPD:

7.

Ans. PUPL:

8.

Ans. PUPL:

9.

Ans. PUPL:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.


104

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.


105

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.


106

57.

58.


107

D A F T A R P U S T A K A

George B. Thomas, JR, Calculus, Massashusetts Institute of Thechnology, Fourth Eddition 1976

N. Piskunov, Differential and Integral Calculus, Fourth Eddition 1978

Richard Bronson & Gambriel, Persamaan Differensial, Edisi Ketiga, Penerbit Erlangga, 2007

Richard Courant & Fritz John, Introduction to Calculus & Analysis, New York University, Volume 4, 1980

Shaum’s, Theori and Problems of Advanced Calculus, Rensseler Polytechnic Institute, Decdember 1962

MATEMATIKA III

Faigiziduhu Bu'ulölö lahir di Lölöwa'u Nias pada 18 Desember 1953. Lulus SR 1965 di Lölöwa'u, lulus SMEP Negeri 1969 di Gunungsitoli, lulus SMA BNKP Swasta Bersubsidi 1972 di Gunungsitoli, lulus S1 Matematika 1979 FMIPA USU Medan, lulus S2 Matematika Sekolah Pascasarjana USU 2005 dan lulus S3 Program Doktor Matematika FMIPA USU 2014.

Sejak tahun 1980 telah menjadi dosen di FMIPA USU sampai sekarang dengan Jabatan Lektor Kepala dan Pangkat Akademik Pembina Utama Muda/IV c.

Tahun 1983 sampai 1984 mengikuti pendidikan Penelitian Operasional di Universite de Lille di Perancis. Mata kuliah yang di ampu antara lain: Program Linier, Pengantar Teori Peluang, Statistika Dasar, Persamaan Differensial Biasa dan Aktuaria.

9 789794 588994 00009

ISBN 979-458-899-7

Documents

PERSAMAAN DOFERENSIAL BIASA