Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika

5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika

1/58

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah

persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah

seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah persamaan

konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih

fungsi keadaan yang berhubungan dengan materi, seperti temperatur, tekanan,

volumedan energi dalam. Persamaan keadaan berguna dalam menggambarkan

sifat-sifat fluida, campuran fluida,padatan,dan bahkan bagian dalambintang.

Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah

dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan

paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal, yang cukup

akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur

tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tidak akurat pada tekanan yangmakin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam

memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. amun demikian, sejumlah

persamaan keadaan yang lebih akurat telah dikembangkan untuk berbagai

macam gas dan cairan. Saat ini, tidak ada persamaan keadaan tunggal yang

dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat semua !at pada semua kondisi.

1.2 Rumusan Masalah

". #agaimana mengetahui persamaan keadaan $

%. #agaimana mengetahui persamaan keadaan gas sempurna$

&. #agaimana mengetahui persamaan keadaan gas nyata$

'. #agaimana mengetahui ketetapan gas (an der )aals$

5. #agaimana hukum bersesuaian$

*. #agaimana turunan parsial +panggu$

. #agaimana penerapan turunan parsial pada system termodinamika$

. #agaimana koefisien muai kubik dan ketermampatan$

/. #agaimana diferensial eksak$

"0. #agaimana hubungan lain turunan parsial$

1.3 Tujuan

Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page 1
http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Termodinamikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_keadaan&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Temperaturhttp://id.wikipedia.org/wiki/Tekananhttp://id.wikipedia.org/wiki/Volumehttp://id.wikipedia.org/wiki/Energi_dalamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Fluidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Padathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum_gas_ideal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Termodinamikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_keadaan&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Temperaturhttp://id.wikipedia.org/wiki/Tekananhttp://id.wikipedia.org/wiki/Volumehttp://id.wikipedia.org/wiki/Energi_dalamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Fluidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Padathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum_gas_ideal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika


2/58

". 1enjelaskan pesrsamaan keadaan.

%. 1enjelaskan persamaan keadaan gas sempurna.

&. 1enjelaskan persamaan gas nyata.'. 1enjelaskan tetapan gas (an der )aals.

2. 1enjelaskan hukum keadaan bersesuaian.

*. 1enjelaskan turunan parsial +panggu.

. 1enjelaskan penerapan turunan parsial pada system termodinamika.

. 1enjelaskan koefisien muai kubik dan ketermampatan.

/. 1enjelaskan diferensial eksak.

"0. 1enjelaskan hubungan lain turunan parsial.

BAB II

PERAMAAN !EADAAN

2.1Persamaan !ea"aan

Persamaan keadaan suatu sistem ialah hubungan antara variabel-variabel

keadaan atau koordinat termodinamik sistem itu pada suatu keadaan seimbang.

3eadaan setimbang suatu sistem yang terdiri atas sejumlah gas, ditentukan oleh

tekanannya +p, volumenya +(, suhunya +T, dan massanya +m. #esaran-besaran

seperti inilah yang disebut variabel keadaan atau koordinat termodinamik. 4adi

persamaan keadaan sistem ini secara umum adalah5

+%-"



3/58

4ika yang diketahui bukan jumlah massanya melainkan jumlah molnya +n,

maka persamaan keadaan itu secara umum adalah5

+%-%

6ntuk satu mol gas persamaan keadaannya menjadi

+%-&

2.2 Persamaan!ea"aan #as em$urna %I"eal&

Persamaan keadaan gas sempurna seperti yang sudah diketahui

sebelumnya yaitu5

6ntuk satu mol

+%-'a

6ntuk n mol

+%-'b

6ntuk m kg

+%-'c

3eterangan5

1 7 bobot molekul 7 massa tiap " mol gas

8 7tetapan gas umum untuk " mol

Dengan5

8 7 0,0%"atm mol-"3-"

8 7 ,&"'& 4 mol-"3-" +S9

8 7 ,&"'&: "0&4 mol-"3-" +13S

8 7 ,&"'& : "0erg mol-"3-" +;


4/58

Tahun "& (ander )aals, seorang fisikawan bangsa #elanda

menjabarkan persamaan berikut, untuk melukiskan keadaan gas nyata.

+%-2a

+%-2b

Pers. +%-2a berlaku untuk " mol gas dan Pers. +%-2b untuk n mol gas.

Sementara untuk a dan b adalah tetapan, yang disebut tetapan Van der Waals,

tetapi nilainya berbeda untuk gas yang berbeda, sehingga sering pula disebut

sebagai tetapan gas individual +individual gas constant. Pada tabel "."a

diperlihatkan nilai kedua tetapan ini untuk beberapa macam gas.

4ika volume gas besar sekali, maka a=(%dan b dalam kedua persamaan di

atas dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan

untuk gas sempurna.

Persamaan bentuk lain ialah yang disebut persamaan virial.

+%-*

>, #, ;, ...adalah fungsi suhu dan disebut koefisien virial. 6ntuk gas sempurna >

7 8T dan # 7 ; 7 D 7 ....... 7 0. Persamaan (an der )aals pun dapat ditulis dalam

bentuk virial. Persamaan +%-2a dapat diubah menjadi

Dengan rumus binomial

4adi dalam bentuk virial persamaan (an der )aals menjadi



5/58

Dalam hal ini maka5 > 7 8T? # 7 8Tb @ a? ; 7 8Tb % dan seterusnya.

Persamaan #eattie @ #ridgeman sangat cocok dengan hasil eksperimen

untuk kawasan p, (, dan T yang luas. Persamaan ini adalah modifikasi dari

persamaan virial.

+%-

+%-

+%-/

+%-

"0

>o, a, #o, b, dan ; adalah tetapan yang berbeda nilainya untuk gas yang berbeda.

Tabel3-1.tetapan a dan b dalam persamaan Van der Waals untuk beberapa

macam gas

Aat a +4.m&.3 mol-% b +m&.3 mol-"

Be

B%

C%

;C%

B%C

Bg

&,'' : "0&

%',0

"&,00

&**,00

20,00

%/%,00

0,0%&'

0,0%**

0,0&"

0,0'%/

0,0&"/

0,0022

2.( B)"ang $*+*T #as em$urna

4ika variabel p, (, dan T dari persamaan keadaan gas sempurna dilukiskan

pada tiga sumbu saling tegak lurus, maka terbentuklah bidang p-(-T atau keadaan

gas sempurna. #idang ini berbentuk paraboloid hiperbolik, seperti terlihat pada


6/58

Gambar 2-1.Bidang p-V-T gas sempurna

Tiap keadaan seimbang bersangkutan dengan sebuah titik pada bidang ini.

Suatu proses kuastitatik dinyatakan oleh sebuah garis pada bidang tersebut.

Proyeksi perpotongan bidang p-(-T dengan bidang-bidang datar yang tegak lurus

sumbu T pada bidang p-( adalah proses isotermal dan grafiknya berupa hiperbola

sama sisi +


7/58

Gambar2-. Proses isobarik

2., B)"ang $*+*T #as N'ata

Sifat-sifat gas nyata menyimpang dari sifat-sifat gas sempurna. 1olekul-

molekul gas sempurna tidak tarik-menarik dan tidak mempunyai volume.

1olekul-molekul gas nyata tarik-menarik serta mempunyai volume.


8/58

di titik c semua uap telah menjadi cair. Pemampatan selanjutnya akan diikuti oleh

kenaikan tekanan yang besar, karena cairan sukar sekali dimampatkan. Dalam

proses pencairan atau kondensasi ini tentu saja energi panas perlu dikeluarkan dari

sistem.

4ika proses ini diadakan pada suhu yang lebih tinggi +T%ET", maka garis

koeksistensi b-c menjadi lebih pendek dan pada suhu tertentu, yang disebut suhu

kritis +Tk, garis koeksistensi ini menjadi nol +titik b berimpit dengan titik c.

Tekanan yang bersangkutan dengan suhu kritis ini disebut tekanan kritis +pk dan

volume +(k.

Di atas suhu kritis gas nyata tak dapatdicairkan dengan cara pemampatan.

Di sini gas sejati mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam kawasan yang agak

luas.

Suatu !at nyata!real subtance" dapat berada dalam fase gas pada suhu

yang cukup tinggi dan tekanan rendah. Pada suhu rendah dan tekanan tinggi dapat

terjadi transisi ke fase cair dan padat. 3arena itu bidang p-(-T gas nyata hanyalah

merupakan bagian dari bidang p-(-T !at nyata. Dalam hal ini perlu dibedakan

adanya dua macam !at nyata, yaitu !at yang menguncup dan mengembang ketika

membeku. ;ontoh jenis pertama adalah ;C% dan yang kedua air seperti yang

terlukis pada


9/58

Diperlihatkan pula suatu garis yang disebut garis tripel, tempat ketiga fase

dapat berada bersama. Seperti pada gambar sempurna, maka tiap garis pada

bidang p-(-T ini menyatakan proses kuasistatik yang mungkin terjadi. Semua

irisan dengan bidang-bidang datar tegak lurus sumbu T, menyatakan proses

isotermal.


10/58


11/58

berlawanan. 4ika proses pemanpatan isotermal dilakaukan pada suhu yang lebih

tinggi, kawasan cair-uap menjadi lebih pendek dan pada suhu kritis menjadi nol.

9ni berarti bahwa volume jenis !at cair jenuh sama dengan volume jenis uap

jenuh.

3oeksistensi antara fase padat dan uap mungkin pula terjadi, yaitu pada

tekanan yang cukup tinggi. (olume jenis cairan jenuh dan uap jenuh pada suhu

kritis disebut volume jenis kritis +vk dan tekanan yang bersangkutan disebut

tekanan kritis +pk.

Tabel %-& Tetapan kritis

Aat Tk+3 Pk+pa v +m& =kmol

Belium '

Belium &

Bidrogen

itrogen

Cksigen

>monia

Greon "%

3arbon dioksida

Sulful dioksida

>ir

3arbon disulfida

2,%2

&,&'

&&,&'

"%*,%0

"2',0

'02,20

&',0

&0',0

'&0,0

*','0

22%,00

","*

","2

"%,0

&&,*0

20,%0

""",00

&/,0

&,00

,0

%0/,00

,00

0,02

0,0%*

0,0*20

0,0/0"

0,00

0,0%2

0,%"0

0,0/'0

0,"%%0

0,02*0

0,"00

4ika suhu gas pada tekanan tertentu lebih tinggi dari suhu jenuh pada

tekanan ini, maka dikatakan bahwa gas itu super panas +superheated dan disebut

uap superpanas atau adipanas +superheated vapour.


12/58

suhu dan tekanan sama. 9ni tidak mengesampingkan kemungkinan adanya titik

kritis semacam itu pada tekanan yang sangat tinggi.

Gase cair tak dapat berada pada suhu yang lebih rendah dari titik tripel,

atau pada tekanan yang lebih rendah dari tekanan pada titik tripel. 4ika lebih

rendah dari tekanan pada titik tripel, !at hanya dapat berada pada fase padat dan

uap saja. Transisi dari yang satu kepada yang lain berlangsung pada suhu

sublimasi, Ts. Dalam hal air, dapat terjadi peristiwa yang disebut anomali. >ir

dapat berada dalam fase cair walaupun suhunya lebih rendah daripada titik tripel.

2.-. Persamaan !ea"aan )stem La)n

>sas termodinamika berlaku umum tidak terbatas pada gas, ccairan dan

!at padat di bawah tyekanan hidristatis yang seragam atau homogeny. (ariable-

variabel intensif dan ekstensif yang bersangkutan mungkin berbeda, namun suhu

sistem selalu merupakan sifat termodinamik yang mendasar.

Ditinjau dari sebuah batang atau kawat yang mengalami tegangan. Panjang

kawat atau batang ini*, , dan T adalah persamaan keadaan kawat tersebut. 4ika

kawat meregang tidak melampaui batas elastisitas, dan jika suhu tidak terlalu jauh

dari suhu acuan Ta , maka persamaan kawat adalah5

7 o + " H H I +T @ T0 +%-

"'

o7 panjang kawat tanpa tegangan pada suhu T0

J 7 modulus Joung +modulus regangan isothermal

> 7 luas penampang kawat

I 7 koefisien muai linear

Pada contoh adalah variable intensif dan variabel ekstensif.

1omen magnetik 1 dari suatu !at paramagnetik yang terdapat ddalam

medan magnetik seragam dengan intensitas , adalah tergantung pada maupun

suhu T. kecuali pada suhu yang sangat rendah dan di dalam medan magnetik yang



13/58

besar, maka momen magnetik dapat dinyatakan dengan ketepatan yang cukup

oleh persamaan5

1 7 ;c +%-"2

;c 7 tetapan yang nilainya tergantung pada jenis !at dan disebut tetapan

;urie. Persamaan ini dikenal sebagai hukum ;urie. >dalah variabel intensif dan

1 variabel ekstensif.

1omen dwikutubPsuatu dielektrik di dalam medan listrik luar + dapat

dinyatakan dalam persamaan5

P 7 +a H + +%-"*

apisan permukaan suatu cairan dapat pula dianggap sebagai sistem

termodinamika, meskipun bukan sistem yang tertutup. Sebab jika luas permukaan

dari sejumlah massa cairan berubah, maka molekul-molekulnya pindah dari cairan

ke permukaan atau sebaliknya. (ariabel yang penting adalah tegangan permukaan,

yang dapat didefinisikan sebagai kakas per satuan panjang byang ditimbulkan

oleh lapisan itu pada perbatasannya. (ariabel ekstensif yang bersangkutan adalah

luas lapiasan permukaan. Tegangan permukaan nini tak tergantung pada luas

lapisan dan hanya tergantung pada suhu. 6ntuk semua cairan, tegangan muka

menurun dengan kenaikan suhu dan menjadi nol pada suhu kritis. Secara

pendekatan, tegangan permukaan dapat dinyatakan oleh persamaan5

7 o + +%-"

o 7 tegangan muka pada suhu

Sistem termodinamika lain yang sangat penting dalam kimia fisika adalah

sel elektrolitik. (ariabel intensifnya adalah muatan, yang nilai mutlaknya tidak

penting, melainkan besar muatan yang mengalir melewati suatu titik dalam

rangkaian yang sebanding dengan jumlah mol yang bereaksi dalam sel dalam

proses tsb. Tegangan gerak elektrik ini dapat dinyatakan sebagai5



14/58

7 %0 H +t - %0K H +t - %0K % H +t - %0K & +%-"

(ariabel t menyatakan suhu dalam K;, %07 tge pada %0 K; , dan , ,

adalah tetapan yang bergantung pada jenis !at yang membentuk sel.

2. Teta$an #as +an "er /aals


15/58

+ H +v / b 70T

Selanjutnya dapat disusun menjadi

v&@ + b H H v - 7 0 +%-"/

Pers. +%-"/, adalah persamaan derajat tiga dalam v, jadi mempunyai tiga

akar v", v%, v&. Pada suhu kritis Tk, ketiga akar berimpit dan tekanan yang

bersangkutan adalah tekanan kritis pk. 4adi persamaan

v&@ + b H H v - 7 0 +%-%0

mempunyai tiga akar nyata yang sam yaitu vk. >kan tetapi persamaan derajat tiga

dalam vyang ketiga akarnya sama dengan vkadalah juga

+v / vk &7 v3@ &vk v

2H & - 7 0 +%-%"

Persamaan +%-%0 dan +%-%" adalah identik, sehingga koefisien yangbersangkutan dapat disamakan.

9. &vk7 b H

99. 7

999. 7

Dari ketiga persamaan ini dapat diperoleh

vk 7 &b 7 +%-%%

Tk 7 7 8 +%-%&



16/58

1enurut persamaan +%-%& sebelah kanan, 7 7 %,*

Basil percobaan untuk beberapa gas adalah sbb.

Be 7 &,"& ;C% 7 &,'/

B% 7 &,0& ;*B*7 &,*

1enurut persamaan +%-%% sebelah kiri, 7 &, dan hasil percobaan untuk

beberapa gas adalah

> 7 ",'" ;C%7 ",*

B% 7 %,0 C% 7 ",/

Persamaan +%-%% dan +%-%& dapat juga dijabarkan dengan mengingat

bahwa isoterm kritis dalam, diagram p-v di titik kritis mempunyai titik belok

dengan garis singgung mendatar, sehingga

L MT7 0 dan L MT 7 0

Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi

p 7 -

4adi, L MT 7 - H dan L MT 7 -

4ika T 7 Tk dan v 7 vk , maka kedua persamaan di atas 7 0, sehingga diperoleh

7 dan 7

#ila persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua akan diperoleh hasil

7 atau vk 7 &b



17/58

4ika hasil ini dimasukkan pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh

Tk7

Selanjutnya dengan perantaraan persamaan keadaannya akan diperoleh

pk7

2.0 D)agrampv-p #as +an Der /aals uhu B'le

Persamaan (an der )aals dapat di ubah menjadi

+%-%'

Dari persamaan ini maka tampak bahwa pv adalah fungsi dari v. >kan

tetapi karena v sendiri adalah juga fungsi p, maka dapat disimpulkan bahwa pv

juga p. Diagram pv-p untuk gas (an der waals terlukis seperti pada


18/58

mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam kawasan yang agak luas. 9soterm

pada suu yang lebih tinggi dari suhu #oyle segera mendeki mulai dari p 7 0. #agi

gas (an der )aals dapat dibuktikan bahwa titik-titik minimum isoterm-isoterm itu


19/58

>tau

4ika ruas kiri dan kanan dikalikan denganpv% , diperoleh

>tau

+%-%

Pers. +%-% adalah persamaan derajat dua dalampv$dan grafinya berupa

para bola, dan parabola ini merupakan tempat kedudukan semua titik minimum

paga grafik pv-p. Pers. +%-% dapat diubah menjadi persamaan lain yang

berbentukp !pv".

6ntuk p 7 0 maka pv 7 0 dan . 4adi parabola itu memotong sumbu pv

pada titik 0 dan a=b. Tititk pncaknya dapat diperoleh dengan menghitung dan

disamakan dengan nol.



20/58

#ila nilai untuk pv ini dimasukkan ke dalam persamaan p 7 f+pv yang

tertera di atas maka akan diperoleh

4adi koordinat titik puncaknya, P, adalah

9soterm #oyle mempunyai titik minimum pada p 7 0. 6ntuk p 7 0, maka v

7 , sebab pv mempunyai nilai terhingga. Cleh karena itu maka dan

Pers. +&-%2 menjadi 8T7a=b. 4adi suhu #oyle

+%-%

2. Hukum !ea"aan Bersesua)an

+The aw of ;orresponding States

Semua gas sempurna sifatnya sama, yaitu mengikuti satu hukum gas

sempurna pv0Tyang tidak menggantung tetapan individual. #idang keadaan

semua gas sempurna berimpit. 4ika dua dari tiga besaran p, v dan T untuk berbagai

gas sama, maka yang ketiga pun sama.


21/58

yang menyatakan bahwa sifat semua gas nyata juga sama asalkan tekanan, volume

dan suhu dinyatakan dalam tekanan tereduksi , volume tereduksip vvk

dan suhu tereduksi Tn TTk. Dalam besaran-besaran tereduksi ini, maka semua

gas nyata mengikuti persamaan keadaan f+ 7 0 yang tidak lagi mengandung

tetapan pribadi. 4adi bidang keadaan tereduksi semua gas nyata berimpit. 4ika dia

dari tiga besaran sama untuk berbagai gas, maka yang ketiga pun

sama. 6ntuk gas (an der )aals, maka f+ dapat dijabarkan seperti di bawah

ini.

4iika dimasukkan kedalam persamaan (an der waals, diperoleh

yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

+%-%/

Persamaan ini tidak lagi mengandung tetapan individual dan berlaku untuk

semua !at. Bukum keadaan bersesuaian berlaku lebih luas dan lebih tepat dari

pada persamaan (an der )eaals. Bukum keadaan bersamaan berlaku pula untuk

gas-gas yang bukangas (an der waals. 4adi untuk semua gas berlaku f+ 7 0



22/58

yaitu persamaan keadaan tereduksi, yang tidak lagiiii mengandung tetapan

individual, meskipun bentuknya lain dari Pers.+%-%/

2.14 D)agram +an "er /aals uhu B'le Tere"uks)

Telah dijabarkan persamaan keadaan (an der )aals terenduksi, yaitu

Persamaan ini dapat diubah bentuknya menjadi

Selanjutnya ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan

+%-&0


23/58

Dari rumus +%-%/

Dari kedua persamaan terakhir ini diperoleh

3edua ruas dikaitkan dengan memberikan

atau

+%-&"

Persamaan +%-&" melukiskan suatu parabola yang memotong sumbu

di titik 0 dan / sedangkan puncaknya di titik +' . 6ntuk membuktikan hal ini,

terlebih dahulu Pers. +%-&" diubah menjadi bentuk , yaitu

+%-&"

Perpotongan suatu grafik dengan sumbu berarti , sehingga dari

persamaan terakhir ini diperoleh



24/58

Jang menghasilkan

Syarat maksimum ialah sehingga

Dan ini menghasilkan

#ila hasil ini dimasukkan ke dalam Pers. +%-&"a akan diperoleh

Suhu #oyle tereduksi

9sotera tereduksi kritis

6ntuk , maka dari Pers.+%-%/

4adi isoterm adalah garis lurus dengan koefisien arah



25/58

2.11 5nth*6nth sal

%-". #erapakah tekanan yang ditumbulkan oleh & gram gas nitrogen di dalam

bejana yang volumenya 2 liter pada suhu "o;$ Diketahui bobot molekul nitrogen

% yang dianggap sebagai gas sempurna. ya tekananlah jawaban dalam satuan

atmosfer das pascal.

Penyelesaian

8umus diubah menjadi , selanjutnya nilai-nilai yang

diketahui dimasukkan. 4adi

p %/0 3 7 0,2" atm

6ntuk menyatakan jawaban dalam pascal dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu

yang pertama hanya dengan mengalihkan jawaban di atas dengan faktor

konversinya dan yang kedua dengan merubah dahulu semua satuan yang diketahui

menjadi satuan S9.

;ara pertama



26/58

Dari hasil di atas, p 7 0,2" atm 7 0,2" : ",0"& %2 : "02Pa

;ara kedua

47 & g 7 & : "0-& kg,47 % : "0-&kg mol-&, V7 2:"0-& m&

T 7 %/0 3 dan 8 7 ,&"' 4 mol-"3-", sehingga

P 7

>tau

%-%. Sebuah bejana volume % liter dilengkapi dengan kran, berisi gas oksigen pada

suhu &00 3 dan tekanan " atm. Sistem dipanasi hingga suhunya menjadi '00 3

dengan kran lalu ditutup dan bejana dibiarkan mending kembali sampai suhu

semula. +a #erapakah tekanan akhir$ +b #erapa gram oksegin yang masih

terdapat dalam bejana$

Penyelesaian +lihat


27/58

Pada proses dari keadaan +" ke adaaan +% sistem dipanaskan degan kran tetap

terbuka. 9ni berarti bahwa tekanan tetap sama dengan tekanan udara luar yaitu "

atm. (olume bejana karena dipanaskan tentunya kan bertambah, tetapi perubahan

volume itu pastilah jauh lebih kecil dari angka % liter, sehingga boleh diabaikan.

Dengan pula setelah mendingkan kembali volume tetap % liter. 3eadaan +% dan

+& mempunyai masa yang sama, sebab pada waktu mandingin kran di tutup. Pada

keadaan +% dan +& berlaku

3alau persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua dengan mengingat

bahwa , maka hasilnya adalah

4adi

6ntuk mencari massa yang masih terdapat dalam bejana kita dapat menghitung

dari keadaan +% atau +&, yaitu keadaan setelah kran ditutup. 1isalkan dari

keadaan +&, yang dapat diubah menjadi .

4adi

m



28/58

BAB III

PERAMAAN !EADAAN

3.1 Turunan Pars)al %Panggu&

Persamaan keadaan suatu sistem , misalnya untuk sistem yang

terdiri atas satu mol gas, secara umum adalah 5 f

3arena variable-variabel +peubah-peubah itu dihubungkan oleh satu

persamaan, maka hanya dua dari tiga variable +peubah itu adalah variable bebas

+tak gayut dan yang ketiga adalah variabel tak bebas +gayut. 4ika dua dari ketiga

variabel itu diketahui maka yang ketiga dapat dihitung. Satu variabel merupakan

fungsi dari dua variabel yang lain. 4adi dapat dipilih

f ? f ? f

Secara umum, untuk sembarang sistem, hubungan ketiga variabel itu 5

f +&-"

1isalkan dipilih 5 f atau . 1enurut matematika 5

+&-%



29/58

>tau

+&-&

atau mempunyai arti bahwa fungsi tersebut diturunkan terhadap dengan

menganggap sebagai tetapan, dan atau berarti bahwa fungsi itu diturunkan

terhadap dengan menganggap sebagai tetapan. ;ara penulisan seperti yang

tertera pada pers. +&-% dan +&-& adalah cara yang biasa digunakan dalam bidang

matematika. Dalam termodinamika cara penulisannya agak berbeda, yaitu bahwa

variabel yang dianggap sebagai tetapan dicantumkan sebagai indeks.

4adi 5

+&-'

>tau

+&-2

Tentu saja juga dapat dianggap sebagai fungsi dan , sehingga 5

+&-*

4ika pers.+&-* dimasukkan ke dalam pers.+&-2 diperoleh 5



30/58

Jang dapat disusun menjadi 5

Dalam pers.+> ini sebagai variabel bebas adalah dan , karena itu boleh

diberi nilai atau diberi perubahan nilai berapapun. 4ika dan , maka

ruas kanan menjadi nol sehingga ruas kiri pu harus sama dengan nol, sebab ini

adalah suatu persamaan. Tetapi , jadi faktor dalam kurung di ruas kiri

haruslah sama dengan nol, sehingga 5

>tau

>tau

+&-

4ika dari pers.+> di atas dan , maka ruas kiri 7 0 sehingga

ruas kanan pun harus 7 0. Tetapi karena maka 5



31/58

>tau

>tau

+&-

8umus +&- sering dinamakan sebagai rumus -". 8umus ini dapat pula diubah

menjadi 5

Dengan menggunakan rumus +&-, maka persamaan di atas dapat diubah lagi

menjadi 5

+&-/

8umus-rumus +&- sampai dengan +&-/ dapat diterapkan pada system ,

seperti persamaan keadaan gas sempurna ataupun gas (an der waals. 4adi 5

+&-"0



32/58

+&-""

+&-"%

8umus +&-"0 mudah diingat bila dianalogikan misalnya dengan bilangan

&=2 yang sama dengan . Sementara itu tampaknya rumus +&-"" lebih sulit

untuk diingat. amun dengan membayangkan bahwa ketiga variabel dan

sebagai tiga titik yang terletak pada sebuah lingkaran dengan jarak yang sama,

maka rumus itu mudah dituliskan. 4ika factor pertama dalam kurung di ruas kiri

adalah , maka letakkanlah di puncak, di sebelah kiri bawah dan di

sebelah kanan bawah. 6ntuk memperoleh factor kedua, putarlah lingkaran itu

sekeliling sumbu di pusatnya sesuai dengan arah putaran jarum jam, sehingga di

puncak, di kiri bawah dan di kanan bawah. Gactor kedua menjadi .

Selanjutnya untuk memperoleh factor ketiga, lingkaran diputar lagi sesuai dengan

arah perputaran jarum jam, sehingga di atas, di sebelah kiri bawah dan di

sebelah kanan bawah. Gactor ketiga menjadi .

6ntuk menuliskan rumus +&-"%, perlu diingat bahwa turunan parsial itu

dipecah menjadi dua buah turunan parsial, yang pertama sebagai pembilang



33/58

+numerator dan yang kedua sebagai penyebut +denominator. Jang diturunkan

+didiferensialkan baik pada pembilang atau pun penyebut adalah variabel yang di

luar kurung atau yang dianggap sebagai tetapan pada ruas kiri. Dalam rumus +&-

"% variabel yang di luar kurung adalah . 3emudian diferensialkanlah terhadap

dua variabel lain di ruas kiri secara bersilang. 4adi untuk pembilang

didiferensialkan terhadap dan untuk penyebut didiferensialkan terhadap .

Dengan mengingat cara-cara seperti tersebut di atas itu maka variasi ketiga

rumus itu mudah dibuat. 1isalnya 5

+&-"0a

+&-""a

+&-"%a

+&-"0b

+&-""b



34/58

+&-"%b

+&-

"0c

+&-

""c

+&-

"%c

Suatu variabel tertentu pada variabel-variabel takgayut yang lain,

seringkali tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, contohnya ialah variabel v

+volume pada persamaan (an der )aals tidak dapat dibuat eksplisit. 6ntuk

menghitung turunan parsial dari variabel ini harus digunakan rumus seperti +&-"0

atau +&-"%. amun, jika tiga atau lebih variabel tidak dapat dibuat eksplisit, maka

kedua rumus tersebut tidak dapat digunakan.

1isalkan secara umum5 f+N, J, A 7 0, didiferensialkan menjadi

4ika A tidak berubah atau dA 7 0, maka



35/58

atau

+&-

"&a

+&-

"&b

+&-

"&c

4ika diterapkanpada sistem f+p, v, T 7 0, diperoleh

+&-

"'a

+&-

"'b



36/58

+&-

"'c

3.2 Penera$an Turunan Pars)al $a"a )stem Term")nam)ka

1isalnya untuk gasd sempurna yang persamaan keadaannya5 pv 7 8T.

+>

+#

Tampak bahwa persamaan +# adalah kebalikan dari persamaan +>,

sesuai dengan rumus +&-"0. 8umus +&-"" dapat pula diuji kebenarannya dengan

cara5

>pabila ketiganya dikalikan, maka hasilnya sama dengan -", sesuai rumus

+&-"". Denganj cara yang sama dapat pula diuji kebenaran rumus +&-"%.

8umus +&-"% dapat mengubah persamaan (an der )aals menjadi5



37/58

4adi

Persoalan ini juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus +&-"'b,

yang lebih bersifat umum daripada rumus +&-"%, sebab variabel itu boleh eksplisit

boleh pula tidak. Secara lebih umum persamaan (an der )aals dapat ditulis

menjadi

f+p,v,T 7 0

atau

Dan sesuai dengan rumus +&-"'b, maka

Disederhanakan menjadi

3.3 !e7)s)en Mua) !u8)k "an !etermam$atan

3oefisien muai kubik suatu !at didefinisikan sebagai



38/58

+&-

"2

+&-

"*

(ariabel ( dalam rumus +&-"2 adalah volume total, sedangkan v dalam

rumus +&-"* adalah volume jenis, yaituvolume per kg atau volume per mol.

adalah perubahan volume !at disebabkan karena suhunya berubah

dengan . 6ntuk gas sempurna , sehingga

6ntuk gas (an der )aals, telah dihitung di atas , sehingga

+&-

"

atau

+&-

"



39/58

Dari definisi tersebut, satuan adalah 3-".

4ika suatu sistem menjalani proses isobarik yang kecil, misalkan keadaan

awal ditentukan oleh suhu T dan volume ( dan keadaan akhir ditentukan oleh

suhu T H dT dan volume ( H d(, keduanya pada tekanan yang sama.

3oefisien muai volume dapat ditulis sebagai

+&-

"/

atau

+&-

%0

4adi, koefisien muai volume dapat dinyatakan sebagai nilai limit dari

perubahan volume fraksional atau per satuan perubahan suhu pada tekanan

tetap. 3oefisien muai volume rata-rata di dalam selang suhu tertentu antara T"

dan T% didefinisikan sebagai

+&-

%"

Pada umumya koefisien muai volume adalah fungsi suhu dan tekanan.

Ternyata koefisien ini mendekati nol ketika suhunya mendekati 03. Tabel tentang



40/58

sifat-sifat !at biasanya mencantumkan juga koefisien linier I !at padat yang

dihubungkan dengan O oleh persamaan

O 7 &I +&-%%

3etermampatan isotermal5 suatu !at didefinisikan sebagai5

+&-

%&

atau

+&-

%'

Tanda negatif mengingatkan bahwa volume selalu berkurang dengan

kenaikan tekanan. 4adi negatif, sehingga5 menjadi positif. Satuan5 dalam

S9 adalah Pa-"atau m%=.

6ntuk gas sempurnapv 0Tatau . 4adi

atau

+&-

%2



41/58

3etermampatan rata-rata didefinisikan sebagai

+&-

%*

6ntik gas (an der )aals, karena v tak dapat dibuat eksplisit, maka untuk

menghitungnya perlu digunakan rumus +&-"0atau +&-"% atau rumus yang lebih

umum yaitu rumus +&-"'b. hasilnya yaitu

+&-

%

6tuk !at cair dan !at padat, O dan 5 tak dapat ditentukan daripersamaan

keadaannya, tetapi harus dengan eksperimen. Ternyata keduanya dalah fungsi dari

tekanan dan suhu. 4adi

Ditinjau suatu sistem p-(-T dan dipilih ( 7 (+p,T. 4ika dideferensialkan

diperoleh

+&-

%

atau

+&-

%/



42/58

4ika O dan5diketahui sebagai fungsi suhu dan tekanan, maka persamaan

keadaannya dapat ditentukan dnegan pengintegralan. 1isalkan untuk gas pada

tekanan rendah telah dikemukakan jik dimasukkan pada

persamaan +&-%/, diperoleh

atau

4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan, akan diperoleh5

atau

4ika tetapan itu diketahui sama dengan n8, maka persamaan itu adalah

persamaan keadaan gas sempurna. 4ika persamaan +&-%/ diintegralkan dari suatu

keadaan +po, (o, To ke keadaan lain +p, (, T, maka diperoleh

4ika suhu dan tekanan berubah, perubahan volume !at cair dan !at padat

adalah kecil bila suhu dan tekanan berubah, karena itu secara pendekatan ( dapat



43/58

dianggap tetap dan sama dengan (o. Sementara itu O dan5adalah bilangan kecil

dan juga dapat dianggap tetap, sehingga hasil integral persamaan tersebut adalah

+&-

&0

4adi, dengan mengukuir O dan 5 ditambah dengan apa yang diketahui

tentang nilai pada keadaan acuan, maka cukuplah untuk menentukan

persamaan keadaan !at cair dan padat secara pendekatan.

3.( D)7erens)al Eksak

4ika variabel-variabel N, J dan A terdapat hubungan A 7 f+N, J, sehingga

dapat diturunkan

atau

dengan

1aka apabila A dan turunan-turunannya malr +kontinu lagipula dipenuhi

hubungan



44/58

+&-

&"

dA disebut diferensial eksak.

>gar pembahasan ini lebih bersifat umum, yaitu meliputi lebih dari & variabel,

maka fungsi yang akan ditinjau adalah

+6$ 7$ 8$ '$ V$ W$ . . . 7 0 +&-&%

Dari hubungan ini dapat dipilih misalnya

W W+6$ 7$ 8$ '$ V$ . . . +&-&&

#ila dideferensialkan, maka hasilnya adalah

dW7 J, A, . . .d6H N, A,. . .d7H . . . .

&'

atau

dW 4dNH9 dJ HPdA H . . . .

&2

#ila : demikian pula turunan-turunannya malar, lagi pula dipenuhi hubungan

N, A,. 7 J, A,... ? N, J,7 J, A,

N, J,7 N, A, dst.

1aka dW disebut diferensial eksak. Selanjutnya



45/58

N, A,7 A, 6,7 A, 6,

J, A,7 N, A,7 A, 6,

4adi

A, 6, 7 A, 6,

&*

9ni berarti bahwa nilai turunan parsial kedua campuran tidak tergantung

pada urutan pendiferensialan. Dalam matematika diketahui bahwa jika suatu

diferensial eksak diintegralkan, maka hasilnya hanya tergantung pada batas

integral awal dan akhir saja, tidak tergantung pada jalan yang dilalui. Cleh karenaitu apabila diintegralkan melalui lintasan yang tertutup +keadaan akhir kembali

kekeadaan awal, maka hasilnya sama dengan nol. Di dalam termodinamika

variabel-variabel sepertip$ V dan T adalah fungsi keadaan. ilainya ditentukan

oleh keadaan system. Pada tiap keadaan seimbang ketiga variabel itu mempunyai

nilai tertentu. Diferensialnya adalah diferensial eksak, sebab kalau diintegralkan

hasilnya hanya ditentukan oleh keadaan awal dan keadaan akhir saja. 3ecuali

besaran keadaan atau fungsi keadaan, di dalam termodinamika terdapat pula

besaran yang bukan fungsi keadaan, misalnya bahan yang akan diberi lambang ;

dan juga besaran kerja yang akan diberi lambang W. Dalam suatu sistem yang

seimbang tak dapat ditanyakan berapa besar nilai ; dan W nya. Pengertian kedua

besaran tersebut hanya timbul pada suatu proses atau perubahan sistem dari satu

keadaan kekeadaan yang lain. Diferensialnya bukan diferensial eksak, sebab kalau

diintegralkan nilainya tergantung juga pada jalan yang dilalui, kecuali tergantung

pada keadaan awal dan akhir. Dengan perkataan lain nilainya tergantung pada



46/58

jenis prosesnya. ambang d; dan dWbukan berarti diferensial dari fungsi ; dan

W, melainkan hanyalah sejumlah kecil bahan dan sejumlah kecil kerja yang

diperlukan atau yang timbul pada suatu proses tak terhingga kecil.

6ntuk membedakan kedua jenis diferensial ini, akan digunakan lambang d

untuk diferensial eksak dan Q untuk diferensial tak eksak. 1isalnya5 dp$ dV$dT$

Rpabila fungsi itu lebih sederhana, misalnya hanya terdiri atas dua

variabel tak gayut saja, maka hubungan yang diperoleh juga lebih sederhana.

1isalnya kalau+N, J, A 7 0, atau A 7 A+N, J, maka

dA 7 dN H dJ +&-&/

atau

dA 7 1 +N, J d6H +N, J d7 +&-'0

sehingga persyaratan agar d8 eksak adalah



47/58

7 +&-'"

Suatu diferensial tak eksak, apabila dibagi dengan suatu fungsi dari salah

satu variabel tak gayut atau yang disebut penyebut pengintegralkan +integrating

denominator, dapat berubah menjadi diferensial eksak, sebab

atau " -". Tetapi bila d8 dibagi dengan N%sebagai integrating denominator,

maka hasilnya +namakan dW menjadi diferensial eksak. 4adi dW7 d6 -

d7$ maka dW adalah diferensial eksak, sebab bila diterapkan persyaratan seperti

pada Pers +&-'", hasilnya adalah "=N%7 "=N%. >pabila d87 7 d6 6 d7$ maka

diferensial ini adalah eksak pula.

3., Hu8ungan La)n TurunanPars)al

Telah diketahui bahwa tenaga dakhil u adalah fungsi keadaan dan untuk

gas variabel yang menentukan keadaan sistem adalah p$ V dan T. Secara umum

namakanlah variabel keadaan itu :, y dan !. 4di u 7 u+:, y, !. Tetapi karena

variabel-variabel itu dihubungan oleh satu persamaan, yaitu persamaan

keadaannya, maka hanya dua variabel saja yang tak gayut. Dapat kita pilih

misalnya u 7 u+:,y.

du 7 d: H dy +&-'%

Tetapi : adalah fungsi y dan !, sehingga perubahan : adalah



48/58

d: 7 dy H d! +&-'&

1asukkan Pers. +'-'& ke dalam Pers. +'-'%. 3ita akan memperoleh

du 7 H dy

atau

du 7 dy H H d!

Tetapi sebagai fungsi y dan !, maka perubahan u adalah juga

du 7 dy H d!

3edua persamaan yang terakhir ini adalah identik, sehingga

7 +&-''

7 H +&-'2

8umus +&-'' mudah diingat bila dianalogikan dengan misalnya bilangan

2=* yang sama dengan +2=%+%=*, jadi pembilang dan penyebut dibagi dengan

bilangan yang sama, sementara itu variabel yang dianggap konstan tetapsaja

+dalam rumus ialah 7. 8umus +&-'2 lebih sulit untuk diingat. Pada ruas kanan

terdapat dua suku, dengan suku pertama terdiri atas dua faktor dalam kurung dan

suku kedua terdiri atas satu faktor saja dalam kurung. Dua faktor yang terdapat



49/58

pada suku pertama sama seperti pada rumus +&-'' tetapi variabel yang dianggap

tetap diambilkan dari apa yang tertulis di bawah garis pembagi pada ruas kiri

+7 dan8. Suku kedua sama seperti ruas kiri, tetapi variabel yang dianggap tetap

adalah variabel yang belum terpakai +6.

#ila diterapkan dalam sistemp-v-T$ akan diperoleh

7 +&-''a

7 H +&-

'2a

7 +&-

''b

7 H +&-

'2b

7 +&-

''c

7 H +&-

'2c

3.- 5nth*5nth al



50/58

&-" +a #uktikanlah bahwa 7 . 6jilah kebenaran pernyataan di +a dengan

menerapkannya pada +b gas sempurna dan +c gas (an der )aals.

Penyelesaian

+a Dari rumus yang sudah dibicarakan di atas,

7 7 - 7

+b Telah didapatkan untuk gas sempurna, = 7 dan : 7 . 4adi 7 .

Sementara itu 7 yang tentu saja sama dengan .

4adi pernyataan di +a benar untuk gas sempurna.

+c 6ntuk gas (an der )aals,

=7 dan : 7

4adi

7

Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi

p - sehingga

7 . Tampaklah bahwa pernyataan di +a pun

benar untuk gas (an der )aals.



51/58

&-% ;arilah untuk gas (an der )aals5 +a , +b dengan

menggunakan hasil yang diperoleh dari , +c . +d 6jilah

kebenaran rumus @ " dengan menghitung hasil kali +a, +b dan +c soal ini.

Penyelesaian

Persaaan (an der )aals dapat ditulis5 p - , jadi

+a 7 - H 7

+b 7 7

7

4adi

7

+c 7

+d Perkalian ketiga hasil ini memberikan

7

7 -"

4adi rumus -" juga benar bila diterapkan pada gas (an der )aals.



52/58

&-& #ila volume v adalah salah satu variabel di dalam sistempvT gas sempurna,

buktikanlah bahwa integral dv dari keadaan > kekeadaan # melalui dua jalan yang

berbeda +>-# dan +>-;-# memberikan hasil yang sama. ihat gambar +'-" di

bawah ini.

Penyelesaian

Persamaan keadaan gas sempurna5pv 0T

dv7 dTH dP7 dT- dP +>

Persamaan garis >-# adalah

7

atau

T +p - p" T1 +#

sehingga

dT7 dP +;

Pers. +> dapat diubah menjadi

dv7 +p dT / T dP +D


T

T2

T1

# p1

p2

$

%

&

p

'. 41


53/58

4ika Pers. +# dan +; dimasukkan kedalam Pers. +D diperoleh

dv7 dp

7 dp

7 dp

dv 8 d +F

#ila Pers. +F ini diintegralkan dari keadaan " kekeadaan %, diperoleh

7 Rv7 8

9ni dapat disederhanakan menjadi



54/58

9nilah perubahan nilai v jika langsung melalui garis lurus dari > ke #. Sekarang

nilai perubahan v jika proses melalui garis >-; +proses isotermal dan melalui

garis ;-# +proses isobarik. Dari persamaan

Diperoleh

4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan dari keadaan " ke keadaan %

diperoleh

9ni akan menghasilkan

yatalah bahwa persamaan G dan < sama. 4afi integral dvtidak tergantung pada

jalan yang dilalui, melainkan hanya pada keadaan awal dan akhir saja. Dengan

perkataan lain, v adalah fungsi keadaan dan diferensialnya adalah diferensial

eksak.

&-' #uktikanlah bahwa koefisien muai kubik = suatu !at padat isotrop sama

dengan & kali koefisien muai liniernya.

#ukti



55/58

6ntuk sebuah batang yang tidak mengalami tegangan, hubungan panjang pada

suhu T dan T0adalah

6ntuk !at padat, jika panjang, lebar dan tingginya adalah " , % dan & ,

hubungan volumenya adalah

>tau

Sebab menurut matematika untuk Q ", maka +" H Qn7 " H nQ.

Rv 7 v @ v07 &I v0RT, atau . Dalam keadaan lima menit dan

tanpa tekanan,

;ara lain

>tau



56/58

&-2 #uktikanlah bahwa koefisien muai volume dapat dinyatakan sebagai

Dan keterampilan isotermal dapat dinyatakan sebagai

#esaran U adalah massa jenis atau kebalikan volume jenis v

#ukti

&-* Persamaan suatu gas secara pendekataan dinyatakan sebagai

#uktikanlah bahwa

#ukti

Dari persamaan keadaannya dapat ditulis

4adi



57/58

&- #uktikanlah bahwa 5

#ukti

3arena dv adalah diferensial eksak, maka berlakulah

>tau

&- Suatu !at mempunyai nilai dan dengan a dan b tetapan.

+a #uktikanlah bahwa keadaannya



58/58

+b 4ika pada p0dan suhu T0, volume jenis v0, tentukanlah ;.

Penyelesaian

(a)

4adi

#ila diintegralkan

Dan persamaan keadaannya

+b Dari data diatas, maka

DA9TAR PUTA!A

isika untuk A4 ?elas 6C. 4akarta5 Frlangga

8esnick, Balliday. "/.>isika edisi ?etiga @ilid 1.4akarta5 Frlangga

Soedojo, Peter. "//. (as-a(as Clmu >isika. Jogyakarta5

Documents

Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika