PERCOBAAN II

PERSAMAAN NON-LINEAR METODE TERTUTUP

(BISEKSI DAN REGULA FALSI)

A. Tujuan

Menentukan salah satu akar riil dari suatu fungsi non linear satu variable

menggunakan metode biseksi dan regula falsi.

B. Dasar Teori

Biseksi

Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan memilih dua

tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua tebakan awal x0 dan x1 yang

cukup dekat dengan akar di mana nilai f(x0) dan nilai f(x1) berlawanan tanda.

Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a)

dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik,

suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :

f(a) . f(b) < 0

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas

di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Algoritma Metode Biseksi :

1. Mendefinisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya

2. Menentukan nilai a dan b

3. Menentukan torelansi e dan iterasi maksimum N

4. Menghitung f(a) dan f(b)

5. Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak proses

dilanjutkan.

6. Menghitung :

7. Menghitung f(xr)

8. Bila f(xr).f(a)<0 maka b=xr dan f(b)=f(xr), bila tidak a=xr dan f(a)=f(xr)

9. Jika |b-a|<e atau iterasi>iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar =

xr, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Regula Falsi

Metode regula falsi ini dibuat untuk memperbaiki metode bagidua yaitu untuk

mempercepat kekonvergenan metode bagidua. Prosedur metode posisi palsu mulai

dengan memilih dua tebakan awal yaitu x0 dan x1 di mana nilai fungsinya pada kedua

tebakan awal ini berbeda tanda. Hubungkan kedua titik yaitu (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1))

dengan garis lurus, dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis

titik perpotongan dengan x2.

Jika f(x2) dan f(x0) berlawanan tanda maka gantikan x1 dengan x2. Kemudian

gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik (x0, f(x0)) dengan (x2, f(x2))

untuk menentukan titik perpotongan yang baru. Tetapi f(x2) dan f(x0) tidak berbeda tanda

maka gantikan x0 dengan x2, kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.

Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

Algoritma Metode Regula Falsi :

1. Mendefinisikan fungsi f(x)

2. Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)

3. Menentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (N)

4. Menghitung Fa = f(a) dan Fb = f(b)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau error > e

•

• Hitung Fx = f(x)

• Hitung error = |Fx|

• Jika Fx.Fa <0 maka b = xr dan Fb = Fxr jika tidak a = xr dan Fa = Fxr.

6. Akar persamaan adalah xr.

C. Listing Program

Fungsi

Metode Biseksi

Metode Regula Falsi

D. Algoritma

Metode Biseksi

Metode Regula Falsi

E. Tugas

1. Tentukan nilai dari x pada kasus diatas menggunakan metode biseksi!

2. Selesaikan problem diatas menggunakan metode regula falsi!

3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula falsi!

F. Jawab

1. Fungsi Casson Fluid

Listing program menggunakan metode biseksi

2. Listing program menggunakan metode regula falsi

3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula falsi

a. Metode Biseksi

• Kelebihan

Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau dengan kata lain

selalu konvergen.

• Kelemahan

1. Jika terdapat beberapa akar pada interval yang diberikan maka hanya ada satu

akar yang dapat ditemukan.

2. Hanya dapat diselesaikan apabila ada akar persamaan pada interval yang

diberikan.

3. Memiliki proses iterasi yang banyak sehingga mengakibatkan proses

penyelesaian yang semakin lama. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar

atau solusi yang dicari dekat sekali dengan batas interval yang digunakan.

b. Metode Regula Falsi

• Kelebihan

Kepastian dalam pencapaian nilai konvergen.

• Kelemahan

1. Untuk menemukan nilai yang konvergen dibutuhkan waktu yang relative

lambat.

2. Hanya salah satu ujung titik interval (x0 atau x1) yang bergerak menuju akar

dan yang lain selalu tetap untuk setiap iterasi [nilai bersifat mutlak].

G. Output Program

Casson Fluid Menggunakan Metode Biseksi

Casson Fluid Menggunakan Metode Regula Falsi

Daftar Pustaka

Munir R, 2003,”Metode Numerik”, Informatika Bandung.