Persamaan Tiga Momen

Embed Size (px)

Citation preview

MODUL 2

-1-

MODUL 2 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN

2.1. Judul : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN UNTUK MENYELESAIKAN TERTENTU STRUKTUR STATIS TIDAK

Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan memahami bagaimanakah metoda Persamaan Tiga Momen itu dan langkah-langkah apakah yang dikerjakan untuk menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu.

Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa selain dapat memahami metoda Persamaan Tiga Momen juga dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) struktur tersebut dengan menggunakan metoda Persamaan Tiga Momen.

3.2. Pendahuluan Pada metoda Consistent Deformation yang telah kita bahas pada modul 2, kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada suatu struktur statis tidak tertentu. Dengan menghilangkan gaya kelebihan yang ada, struktur dijadikan statis tertentu. Akibat beban yang ada dan akibat gaya kelebihan sebagai beban dihitung deformasi dari struktur statis tertentu tersebut. Dengan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun persamaan Consistent Deformation. Dengan persamaan consistent

deformation yang tersusun gaya-gaya kelebihan dapat dihitung, gaya-gaya yang lain dapat dicari dengan persamaan keseimbangan statis. Metoda Consistent Deformation dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda Persamaan Tiga Momen yang

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-2-

akan kita bahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak tertentu. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : a). Keseimbangan : jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( M Ti = 0 ).i =1 n

b). Kestabilan : rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama besar dan arahnya (T1 = T2 = T3) Contoh : Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku, maka syarat : keseimbangan Kestabilan P MT1 T MT3 3 MT2 MT1 + MT2 + MT3 = 0

T1 = T2 = T3

T1

T3

T21

Gambar 3.1. Keseimbangan titik simpul

2 Metoda Persamaan Tiga Momen, memakai momen-momen batang

sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi ) pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-3-

Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j (m + 2f + 2 h + r) Dimana : n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = joint, titik simpul termasuk perletakan m = member, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = fixed, jumlah perletakan jepit. h = hinge, jumlah perletakan sendi. r = rol, jumlah perletakan rol. Apabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang. Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada, dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu : (1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. (2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya. Dan kalau ada variabel perlu persamaan keseimbangan struktur.

3.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metode Persamaan Tiga Momen . Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metoda Persamaan Tiga momen urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sbb : Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan , dengan rumus : n = 2j- (m+2f+2h+R) Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang. Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-4-

Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar . i i L Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang. i ij ji L Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momenmomen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momenmomen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang () kalau ada goyangan. Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar maupun arahnya . Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam , maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam.Metoda Persamaan Tiga Momen

j j

j j ij = ji = L

MODUL 2

-5-

Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan. Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau sebaliknya . Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-). Kalau ada variable pergoyangan () maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan free body diagram dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan terbalik. Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiaptiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-6-

Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda persamaan tiga momen 1. q = 1 t/m EI A 6m MA MB B 6m EI EI C 2m MC =4 tm P = 1 t D A BA BC A B C D B C P=1t D Balok diatas tiga tumpuan, A jepit, B dan C rol. Dengan beban seperti tergambar : n = 2j-(m+2f+ 2h+2) n = 2x3 (2+2x1+2x0+2) n=0 ( Tidak ada penggoyangan ) Pemisalan momen batang: MCDb). Permisalan arah momen batang

a). Balok statis tidak tertentu

= (q )l2 + P x 2 =1/2 (1)2 + 1 x 2 = 4 tm

MC = 0 MC = 4 tm MB = 0

MCB = 4 TM

MBA + MBC =0

c). Permisalan garis elastis

MBA = - MBC (sama besar, berlawanan arah, MB ) A jepit, ada MA

Gambar 3.2.

Variable yang ada : MA dan MB. Berarti ada dua buah variable. Pemisalan garis elastis. Salah satu batang dimisalkan dulu , misalnya batang AB melendut ke bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. Menyusun persamaan : Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan. - Dari persamaan keseimbangan momen, telah dipenuhi dari pemisalan arah momen batang - Dari persamaan rotasi batang-batang : A jepit Titik BMetoda Persamaan Tiga Momen

AB = 0 BA= BC

(1) (2)

MODUL 2

-7-

Dari dua persamaan tersebut , MA dan MB dapat dihitung, setelah momen momen batang didapat, dengan perhitungan free body diagram bidang momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat digambarkan. P1=1t q = 1 t/m C EI EI D EI E EI 4m B 4m 1m Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar n = 2 j (m + 2 f + 2 f + 2) = 2 x 4 (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0) n= 1 ada sebuah bentuk pergoyangan. Gambar pergoyangan Batang AC, A sendi berarti C hanya bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu batang AC. Misalkan C berpindah ke C sebesar kekanan. Batang CD tidak berubah panjang, D juga bergerak kekanan sebesar ke D. untuk batang BD keadaannya sama seperti batang AC. B

2.

P2=2t

A

a). Portal statis tidak tertentu C C D D

A b). Gambar pengoyangan

Batang-batang AC dan BD akibat pergoyangan berotasi searah jarum jam.

C P2=2t MC

MC

MDC

MDE = 1,5 tm P1=1t D Pemisahan momen batang. E MDB MDE = (1) 1 + 1 x 1 = 1,5 tm Titik C, MCA = MCD sama besar berlawan arah (MC) Titik D, ada MDB, MDC dan MDE = 1,5 tm

A

B c). Pemisahan Momen Batang

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-8-

C CA

CD

DCD

E DB

Variabel yang ada : , MC, MDB, MDC Pemisahan gambar garis elastis. Batang CD dimisalkan melendut kebawah, berarti CD searah jarum jam sedangkan DC berlawan arah jarum jam.

A d). Pemisahan garis elastis Gambar 3.3.

B

Maka untuk batang AC, CA searah jarum jam, sedangkan untuk batang DB, DB berlawanan arah jarum jam.

Menyusun persamaan : Karena ada 4 variabel (, MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan. - Dari persamaan keseimbangan momen. MD = 0 MDB + MDC MDE = 0 CA = CD DB = DC (1)

- Dari rotasi titik simpul Titik C Titik D (2) (3)

- Karena ada variabel , maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4) Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC, MDB, MDC dan dapat dihitung. Setelah momen-momen bahwa didapat, dengan perhitungan free body diagram, bidang Momen (M), gaya Lintang (D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan.

3.3.1. Rumus Rotasi Batang Setelah mempelajari langkah-langkah yang perlu dilakukan pada

penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda Persamaan Tiga Momen, disana kita harus menyusun persamaan rotasi batang-batang. Untuk itu kita perlu mengetahui perumusan besarnya rotasi batang yang terjadi akibat pembebanan dan momen-momen batang.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-9-

Dari mata kuliah Mekanika Bahan yaitu dengan

metoda-metoda yang

pernah kita pelajari seperti metoda unit load ataupun metoda momen area, kita dapat menghitung besar dan menentukan arah rotasi batang dengan perumusan sebagai berikut : ij i EI L ij EI i L b). akibat beban terpusat ditengah bentang. M ij L 3 EI M ij L 6 EI ji j PL2 ij = ji = 16 EI ji j ij = ji = ql 3 24 EI

Mij i ij EI L ji j

ij =

; ji =

c). akibat momen Mij

Mij i ij L d). akibat momen Mji i ij

ji

ij = j

M ji L 6 EI

; ji =

M ji L 3 EI

j ji

ij = ji =

L

L

ji

e). akibat pergoyangan Gambar 3.4.Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-10-

Untuk akibat beban-beban yang lain rotasi batang dapat dihitung dengan metodametoda yang pernah didapat dari mata kuliah Mekanika Bahan seperti metoda unit load ataupun metoda momen area

3.4.

Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu dengan Metoda Persamaan Tiga Momen Dari pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa konsep dari metoda

Persamaan Tiga Momen adalah memakai momen-momen batang sebagai variabel dan akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sebanyak variabel yang ada. Persamaan-persamaan tersebut akan disusun berdasarkan persyaratan keseimbangan momen dan rotasi dari batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul. Kalau dua batang bertemu pada satu titik simpul, maka dari persamaan rotasi batang-batang tersebut harus sama besar, akan didapatkan sebuah persamaan yang mengandung tiga momen. Dari sanalah nama metoda Persamaan Tiga Momen diambil.

3.4.1. Contoh-Contoh Penyelesaian 1.A q = 1 t/m 1,5 EI 6m B P1 = 4t 2 EI C 6m P2 = 1,5 t EI D 2m

Suatu balok statis tidak tertentu diatas 3 tumpuan, A perletakan jepit B dan C perletakan rol dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. Hitung

a). Balok statis tidak tentu dengan pembebanannya

momen-momen

batangnya

dengan

metoda Persamaan Tiga Momen dan gambarkan bidang M, D dan N nya.MA q = 1 t/m A 1,5 EI 6m B MB MC = 3 tm P2 = 1,5 t P1 = 4t 2 EI C 6m EI 2m D

Penyelesaian : n = 2j (m + 2f + 2h + 2) = 2 x 3 (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) n=0 tidak ada pergoyangannya.

b). Gambar permisalan momenmomen batang

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-11-

BC BA A 6m B 6m C 2m D

Permisalan Momen Batang MCD = 1,5 x 2 = 3 tm Titik C

MC = 0 MB = 0

MCB = MCD

= MC = 3 tm Titik B MBA = MBC

c). Gambar permisalan garis elastis

= MB A jepit ada MA Permisalan garis elastis

Variabel yang ada : MA dan MB Persamaan : 1. A jepit : AB = 0M A L AB M B .L AB q L AB 3 + =0 3 EI AB 6 EI AB 24 EI AB M A .6 M B .6 1(6) 3 + =0 3(1,5EI) 6(1,5EI) 24 (1,5EI) 2 MA + MB = 9 2. Titik simpul B : BA = BC

BA = BC

berlawanan arah jarum jam

x 1,5 EI

(1)

M L M .L PL M A L AB M B .L AB 2 L AB 3 + = + B BC + C BC - 1 BC 6 EI AB 3 EI AB 24 EI AB 3 EI BC 6 EI BC 16 EI BC M A .6 M B .6 M B .6 1 ( 6) 3 3x 6 4(6) + =+ + 6 (1,5 EI) 3 (1,5EI) 24 (1,5 EI) 3 (2EI) 3 (2EI) 16 (2EI) MA + 3,5 MB = 13,5 (2) (1) 2 x (2) - 6 MB = -18 MB = + 3 tm (arah benar) (2) MA + 3,5 MB = 13,5 MA + 3,5 x 3 = 13,5 MB = 13,5 10,5 = + 3 tm (arah benar). x 1,5 EI

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-12-

MA=3 tm

q = 1t/m

MB=3 tm 2t

P1 = 4t

MC=3 tm

P2 = 1,5 t D

A

3t

3t

B

2t

C

1,5 t

d). Free body diagram 3t 2t + A 3m 3m B 3t 3m 3m e). Bidang Gaya Lintang (D) 3 tm A + 1,5 tm e). Bidang Momen (M) Gambar 3.5 P1 = 4t 2EI B P2 = 3t Suatu portal dengan ukuran dan A EI C EI D 2m 2m 1m pembebanan seperti tergambar. A perletakan rol dan D perletakan jepit. 3m Hitung momen-momen batangnya 3 tm B + 3 tm C 3 tm D + C 2t 2m + D 1,5t

dengan metoda Persamaan Tiga Momen dan Gambar bidang M, D dan N-nya.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-13-

a). Portal statis tidak tertentuC C A A B B Penyelesaian : n = 2 j (m + 2f + 2h + ) = 2 x 3 (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1 ada pergoyangan !. D b). Gambar pergoyangan 4t MCB 3t A MBA C B MBD MDB D c). Gambar permisalan momen batang B A BA C BD Gambar pergoyangan A bergerak ke A sebesar B bergerak ke B sebesar Batang BD berotasi searah jarum jam

Permisalan Momen Batang MBC = 3 x 1 = 3 tm MBA ; MBD;

MDB

Permisalan Garis Elastis BA = BD ( Varibel yang ada : MBA, MBD, MDB dan Persamaan : 1). MB = 0 MBA MBC MBD = 0 MBA = MBD + 3 2). D jepit DB = 0 (1) )

D d). Gambar permisalan garis elastis

M BD . L BD M DB . L BD + + =0 6 EI BD 3EI BD L BDM BD . 3 M DB . 3 + + = 0 3 M BD + 6 M DB + 2 EI = 0 6 EI 3 EI 3 (2)

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-14-

3). BA = BD-

-

M BA . L BA P1L BA M BD . L BD M DB . L BD + = + 3 EI BA 16 EI BA 3 EI BD 6 EI BD L BD

M BA .4 M .3 M . 6 4(4) + = BD + DB 3(2EI) 16 (2EI) 3 EI 6 EI 3 4 MBA + 6 MBD + 3MDB 2 EI-12 = 0 (3)

4). Persamaan Keseimbangan Struktur 4t A MBA MBD 3m D Substitusi (4) ke (2) Substitusi (1) dan (4) ke (3) MDB HD = 0 9 MBD + 2 EI = 0 13 MBD 2 EI = 0 22 MBD =0+

3t MBC = 3 tm B C

A rol H=0

HA = 0 HA + HD = 0 HD = 0

Batang BD : MB = 0HD x 3 + MDB MBD = 0 MBD = MDB (4)

MBD = 0 (4) (1) MDB = 0 MBA = + 3 tm

4t

MBA = 3 tm MBC = 3 tm B 2,75 t 3t

3t C

A 1,25 t

D 5,75 t

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-15-

e). Free Body Diagram

3 tm 1,25 t B A D 5,75 t 4m f). Bidang N 1m 2m 2m 1m 2m 2m 1m D C A + B C 2,75 t 2,5 tm D 3m 3t A + B C

g). Bidang D Gambar 3.6

h). Bidang M

3.4.2. Soal Latihan 1). P1 = 0,5t q = 1 t/m A EI 2m B EI 6m C 4m 2 EI 4m D P2 = 3t Suatu balok statis tidak

tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. B dan C perletakan rol,

sedangkan A jepit.

Ditanyakan : - hitung momen-momen batang dengan metoda Persamaan Tiga Momen - Gambar bidang M, D dan N-nya. 2). q = 1 t/m B C EI EI A 4mMetoda Persamaan Tiga Momen

Suatu portal statis tidak tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. A perletakan jepit dan C sendi. 4m Ditanyakan : Hitung momen-momen batang dengan metoda Persamaan Tiga Momen Gambar bidang M, D dan N-nya.

MODUL 2

-16-

3). 1t A EI 2m B EI 5m 4t EI C 4m

Suatu balok tangga statis tidak tertentu dengan ukuran dan beban seperti D 3 m tergambar. B perletakan rol dan D jepit. Ditanyakan : - Hitung momen-momen batang dengan metoda Persamaan Tiga Momen. - Gambar bidang M, D dan N-nya.

4). P1= 4t A 2 EI B EI E 4m 4m 6m 2m q = 1 t/m P2 = 1t Suatu portal statis tidak 2 EI P3 = 2t C EI D 2m 2m tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. A perletakan jepit, C rol dan E sendi.

Ditanyakan : - Hitung momen-momen batang dengan metoda Persamaan Tiga Momen. - Gambar bidang M, D, dan N-nya.

3.4.3. Rangkuman Momen-momen batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku haruslah dalam keseimbangan. Berarti jumlah momen-momen batang yang bertemu pada suatu titik simpul sama dengan nol. MTi = 0i =1 n

MT1 + MT2 + + MTn = 0

Batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung secara kaku akan berotasi secara serentak. Berarti rotasi batang-batang

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-17-

yang bertemu pada suatu titik simpul mempunyai arah dan besar yang sama. T1 = T2 = T3 = .= Tn Variabel yang dipakai dalam metoda Persamaan Tiga Momen adalah momen batang dan kalau ada pergoyangan. Untuk menghitung variable-variabel tersebut, disusun persamaanpersamaan sejumlah varibel yang ada. Persamaan-persamaan ini akan disusun dari : Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Rotasi perletakan jepit sama dengan nol. Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar. Kalau ada variable , perlu persamaan keseimbangan struktur.

3.4.4. Penutup Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut :

1). P1 = 0,5 t q = 1 t/m MB = 3 tm MC = 3 tm A EI B EI C

P2 = 3t MD = 3 tm MBA = MBC = MB = 3 tm 2 EI D MBCB = MCD = MC = 3 tm MDC = 3 tm

2m

6m

4m

4m

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-18-

q = 1 t/m 2). BEI 8 MB = tm 7

C

MA =

4 tm 7 8 tm 7

MBA = MBC = MB =

4mEI MA = 4 tm 7 4m

A

3).P1 = 1t MB = 2 tm

MD = 5,676 tm P2 = 4t EI D 3m MBA = MBC = MB = 2 tm MCB = MCD = MC = 4,86 tm MD = 5,676 tm

A EI 2m

B

EI 5m

C

MC = 4,846 tm 4m

4).MA

P1 = 4t MBA 2 EI B

P2 = 1t MBD q = 1 t /m M C EI MBE EI E P3 = 2t C D EI MA = 4 tm MBA = 4 tm MBE = 1,5 tm 6m 2m MCB = MCD = 4 tm

A

2m

2 m MBC = 2,5 tm

4m

4m

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-19-

3.4.5. Daftar Pustaka 1. Chu Kia Wang Statically Indeterminate Structures. Mc GrawHill, Book Company, INC. 2. Kinney, J.S. Indeterminate Structural Analysis, Addison-Wesley Publishing Co. 3.4.6. Senarai Metoda Persamaan Tiga Momen memakai momen-momen batang sebagai varibel. Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar. Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable , dan persamaan tambahan keseimbangan struktur.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-20-

3.5.

Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan Perletakan dengan metoda Persamaan Tiga Momen Seperti yang telah kita bahas pada metoda Consistent Deformation,

pada struktur statis tidak tertentu akibat terjadinya perbedaan penurunan perletakan akan menimbulkan gaya-gaya dalam yang cukup besar. Pada metoda Persamaan Tiga Momen, langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan sama seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja pada akibat penurunan perletakan, langkah pertama harus digambarkan pergoyangan struktur akibat adanya penurunan perletakan yang terjadi, setelah itu langkah-langkah yang dikerjakan sama dengan urutan langkah-langkah yang dikerjakan pada akibat beban luar. Jadi kalau struktur kita mempunyai pergoyangan dimana n > 0, maka akan ada gambar pergoyangan akibat penurunan perletakan dan gambar pergoyangan natural karena struktur kita dapat bergoyang secara natural.

3.5.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan 1). Sebuah balok statis tidak tertentu dengan A EI B L=6m a). Balok statis tidak tertentu perletakan A jepit dan B rol. Bentang balok L = 6 m. Balok dari beton dengan ukuran penampang 40 x 60 cm, E beton = 2 x 105 kg/cm2. Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar B A 2 cm B = 2 cm, hitung momen batang balok tersebut dan gambar bidang M, D dan N-nya. Penyelesaian : Gambar pergoyangan B b). Pergoyangan akibat B turun B = 2 cmMetoda Persamaan Tiga Momen

akibat B

turun

B = 2 cm. Tentukan arah putaran rotasi batang (AB )

MODUL 2

-21-

MA n = 2 j (m + 2f + 2h + r) A EI B L=6m c). Permisalan momen batang = 2 x 2 (1 + 2 x 1 + 2 x 0+ 1) = 0 Tidak ada goyangan Permisalan momen batang MA MB = 0 (rol) , BA

Variabel MA AB A L=6m d). Permisalan garis elastis BA B Permisalan garis elastis AB

Persamaan :

A jepit AB 0 MAL 2 M A .6 =0 =0 600 3 EI L 3EI MA = +EI (arah momen benar) 600

Balok Beton : I = 1 (40) 60 3 = 720.000 cm 4 12

E = 2 x 105 kg/cm2 EI = 2 x 105 x 720.000 kg cm2 = 144 x 109 kg cm2 EI = 14.400 t m2 MA = + (satuan disesuaikan L dalam meter).

14.400 = + 24 tm 600

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-22-

24 tm A 4t e). Free body diagram 4t MB = 0 B VA =M A 24 = = 4t L 6 ()

V=0

VA+ VB = 0 VB = -VA = - 4t ()

4t A

+

4t B

Bidang D :

AB 0 x 6 m Dx = VA = + 4t x = 0 DA = 4t x = 6 DB = 4t Bidang M :

f). Bidang gaya lintang (D)

24 tm A g). Bidang momen (M) B

AB 0 x 6 m Mx = -MA + VA . x =-24 + 4 x x = 0 MA = -24 tm x = 6 MB = -24 + 4 x 6 = 0 tm

Gambar 3.7. 2). BC Suatu portal dengan perletakan A jepit dan B rol balok dan kalau dari beton EI 4m dengan ukuran penampang 30 x 40cm,E beton = 2x105 kg/cm2. Kalau A turun 2cm,hitung momen-momen batang dan A 4m a). Portal statis tidak tertentu gambarkan bidang M,D dan N nya.

EI

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-23-

B 2cm B

C

Penyelesaian Gambarkan pergoyangan akibat A turun 2 cm.

BCn =2j - (m + 2f + 2h + r) = 2 x 3 - (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1 ada pergoyangan

A 2cm A b). Pergoyangan akibat A turun 1 cm

Gambar pergoyangan (natural). Misalkan C bergerak kekanan sebesar . B akan bergerak ke kanan ke B sebesar juga.

AB dan BAPermisalan Momen Batang

B B C

MA

; MBA = MBC = MB

Variable : MA, MB, dan

C

Permisalan garis elastis

AB

; BA = BC

A c). Pergoyangan naturalMB B

BC

C

Balok / kolom beton : BAMB

Ix = ABA d). Pemisalan momen batang dan garis elastisMetoda Persamaan Tiga Momen

1 (30) 403 = 160.000 cm4 12

EIx = 2 x 105 x 160.000 = 32 x 109 kg/cm2 MA = 3200 tm2

MODUL 2

-24-

Persamaan : 1). AB = 0 (A jepit)

M A L AB M B L AB M .4 M .4 + =0 A + B =0 3 EI AB 6 EI AB L AB 3 EI 6 EI 43 4 M A + 2 M B EI = 0 4 2). BA = BC (1)

M A L AB M B L AB + + = 6 EI AB 3 EI AB L AB

M B L BC B M . 4 M . 4 M .4 2 A + B + = B 3 EI BC L BC 6 EI 3 EI 4 3EI 4002MA +8MB + 3 3EI EI = (2) 4 200

3). Keseimbangan MB C rol HC = 0 H = 0 HA = 0

HA + HC = 0MB

Batang AB MAHA = 0

M B = 0 HA . 4 - M A + M B = 0MA = MB (3)

(1) + (2) Substitusikan (3) ke (a) MA = -

6 MA + 10 MB = 6 MA + 10 MA = -

3 EI 200 3 EI 200

(a)

3 EI , dengan EI = 3200 tm2 3200

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-25-

3 tm B 3/4 t C 3/4 t 3 tm 3/4 t MA = 3 x 3200 = 3 tm 3200

MB = MA = - 3 tm (arah terbalik)

A

3 tm 3/4 t

e). Free Body DiagramB B 3/4 t 3 tm + + 3 tm + C

C

A

3/4 t g). Bidang D Gambar 3.8

A

3 tm h). Bidang M

f). Bidang N

3.5.2. Soal Latihan 1).Suatu balok statis tidak tertentu, A perletakan A, B dan C rol. Balok A EI B 6m 4m EI beton, dengan ukuran penampang C 30 x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg / cm2. Kalau terjadi penurunan di B 2 cm, hitung momen-momen batang dengan metoda persamaan tiga momen. Dan gambarkan bidang M, D dan N-nya.

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-26-

2). B Suatu portal statis tidak tertentu dengan EI C perletakan A jepit dan C sendi. Balok dan kolom beton dengan ukuran EI 4m penampang 30 x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg/cm2. Kalau C turun 2 cm, hitung momen-momen batang dengan metoda persamaan tiga A 4m momen dan gambar bidang M, D dan Nnya.

D 3). 3m EI

Suatu

balok

tangga,

dengan

perletakan B rol, dan D jepit. Balok beton dengan ukuran penampang 30 x 50 cm kg/cm2 Kalau perletakan B turun sebesar

A

EI 2m

B

EI 5m

C 4m

2

cm,

hitung

momen-momen

batang dengan metoda persamaan tiga momen dan gambar bidang M, D dan N-nya.

3.5.3. Rangkuman Pada penyelesaian struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan dengan metoda Persamaan Tiga Momen, pertama kali yang dikerjakan adalah menggambar bentuk pergoyangan struktur akibat penurunan perletakan yang terjadi, dan menentukan arah rotasi batang-batang akibat penurunan perletakan tersebut.

3.5.4. Penutup Untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut :

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-27-

1). MA =10,98 tm A EI 6m MB =11,293 tm EI 4m EI = 3200 tm2 C Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.

B

2).

MB = 6,856 tm B EI C EI = 3200 tm2 Momen-momen batang perletakan C turun 2 cm. EI MA = 3,428 tm A 4m 4m akibat

3).

MD =3,834 tm D EI = 6250 tm2 MC = 2,13 tm EI 3 m Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.

A

EI 2m

B

EI 5m

C 4m

3.5.5. Daftar Pustaka 1. Chu Kia Wang, Statically Indeterminate Structures, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc. 2. Kinney, J.S. Indeterminate Structural Analysis, Addison-Wesley Publishing Co.Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 2

-28-

3.5.6. Senarai Metoda Persamaan Tiga Momen memakai momen-momen batang sebagai varibel. Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar. Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable , dan persamaan tambahan keseimbangan struktur.

Metoda Persamaan Tiga Momen