ALGEBRA LINEAL

roj

+ 4x, + 3xn* + 3xro +

x.st * x$

lsl*f$

< 800< 500< 700

=Q=Q= 600

= 900

= 500

npaa de alfombras

fi$Ht+?$l_+*Fffilif ii,ri.u.,:.1,

',,

r1

ltE$ilig$$fffi[$;i+.ii'lll

ili:il+,,li,,liii

:iiiiiiijillili ri r:!,r* :: :r:i:i1:::i::: : rt

::..,i:l l: ili:flli ,i ' ::1..: i:l

lt'r .',

ru,,Iltjli

F. SOLER, F. MOLINA, L. ROJAS 527

Modelo general de programacin lineal para el problema de transbordo

8.8 PERT / CPMEn la actualidad las empresas tienen que planear, desarrollar y reahzatel seguimiento

paso a paso de un gran nmero de proyectos; la complejidad de estos proyectos hacenecesaria la utilizacin de tcnicas como PERT y CPM, cuyo significado corresponde a:

PERT: Program Evaluation and Review Technique (Tcnica de evaluacin y revisinde programas)

CPM: Critical Path Method ( Mtodo de la ruta crtica)En Ia realizacin de un proyeclo se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:

. Tiempo de terminacin del proyecto

. Fechas de iqicio y terminacin de cada actividad

. Costo total del proyectoCosto de realizacin de cada actividadRecursos indispensables para realizar una actividad

En los siguientes problemas trataremos los dos primeros aspectos, as como la solu.cin del problema utilizando el programa computacional Win QBS

a

t

528 ALGEBRA LINEAL

EjemploPara introducir un nuevo producto al mercado se va a realzat una encuesta estads-

tica. A continuacin se prosenta ia lista de actividades a realizar con sus respectivosempos

A continuacin realizamos la red del proyecto utilizando nodos y arcos.

Cada nodo representa el punto de inicio o terminacin de una actividad y cada arcorepresenta una actividad.

O-i*C -i*O j- e,e+@

.:tt-j: . -r..r3i,,.ri.r. i:.r.: ..1::..i

iili;,li! {,hr1 rrrl: :rrllli:ti i::r.ii' ; r:.r. il 'l::lrl!:i ll.!41!l:l!::::illl.:l!:::lll:llrll

:fire:igin!:iiiliti?l ::jt;iLf ni1:;iliiilil:;11;:

, : .:;' r(.j r, ; ..' ri ,: l:i:llllir -' .: . ;. :.iiiliii i! ifii I i:iriir:r!r:i l! +rrrr::rr:1t::,r::j:::l

F. soLER, r. Md_u.q. I

Nodoa(

Tiempos pr

Los tiempos pen ia red al lado d

[PI, PT]

Para calcuiar I. En el caso de

de iniciacin ttiempo prxin

/ tiempoproxi\ terminacin

ALGEBRA, LINEAL

: una encuesta estads-r con sus respectivos

.os y arcos.

Ia actividad y cada arco

*--*CID\

F. SOLER, F. MOLINA, L. ROJAS s29

o{--*gi

Nodo de inicio de laactividad A

YNodo de terminacin de

la actividad A.V

Arco que representa laactividad A

VTiempo estimado de duracin de la

actividad A

Tiempos prximos

Los tiempos prximos de iniciacin (PI) y prximo de terminacin @T), se colocanla red al lado de cada actividad utilizando la notacin:

lPt, PTII L---* Prximo de iniciacinI=-'- Prximo de rerminacin

Para calcular los tiempos prximos de las actividades del proyecto procederemos as:

En el caso de la actividad A, como no hay predecesor inmediato, el tiempo prximode iniciacin es 0 (Cero) y coirio la actividad tiene un tiempo estimado de 8 das, eltiempo prximo de terminacin es 8.

( m:*r* * ) = ( :lffi:T'fri:" -

. (ff.T.i.1'"x'mod" )

-.:sL..;.. _

530 ALGEBRA LINEAL

En la red tenemos la siguiente representacin:

lPI, PTI

^

e [0'8] -

fl

La actividad B se puede iniciar despus de terminar la actividad A, como A se termi-na el da 8 despus de iniciar el proyecto, entonces el tiempo prximo de iniciacin deB es el da 8 y dado que B tiene un tiempo estimado de reaiizacin de 2 das, se tieneque el tiempo prximo de terminacin de B es 8 + 2 = 10 das

En la red se representa as:

Tiempo prximo de terminacin de B

PT"=q+PI"PT"=2+8=10

F. SOLER, F. MOLINA, L.

. LaactividadD A, como eI tienms prximo drde 4 das, por lr

PTr=tD+PtPTo=4+8=

o#

La actividad Itiempo ms prriniciacin de I

o#

La actividad C se inicia luego de termina la actividad A, dado que A se termina el da8, entonces el tiempo ms prmo de iniciacin de C es el da 8. La actividad C tieneun tiempo estimado de 3 das, por lo tanto el tiempo ms prximo de tenninacin de Ces 8 + 3 = 11 das

PI"8=11

Grficamente tenemos :

PI" Tiempo prximo de iniciacin de B

i PT" Tiempo prximo de terminacin de CYPI" Tiempoprximo de iniciacin de C

A [0,'8]__-+

8

PT" = t" ..PT"-3+

cpo#'@

t8,101a

V

)ALGEBRA LD{EAL

rd A, como A se termi-ximo de iniciacin de.cin de 2das, se tiene;

Ce terminacin de B

niciacin de B

que A se tennina el da8. La actividad C tieneno de terminacin de C

de terminacin de C

niciacin de C

F. SOLER, F. MOLINA, L. ROJAS

. La actividad D al igual que B y C se puede iniciar cuando se ha realizado Ia actividadA, como el tiempo ms prximo de terminacin de A es el da S, entonces el tiempoms prximo de iniciacin de D es el da 8. La actividad D tiene un tiempo estimadode 4 das, por lo tanto el tiempo ms prximo de terminacin de D es 8 + 4= 12PT"=to+PIoPTo= 4+8=12

4 , +! tto Tiempo prximo de terminacin de DIro ,,"** prximo de iniciacin de D

La actividad E se inicia cuando ya se ha realizado la actividad B, la cual tiene untiempo ms prximo de terminacin de 10 das, por 1o tanto el tiempo ms prximo deiniciacin de E es el da l0 y ffe = t, + P\

PT"=5+10=15

PIr: Tiempo prximo deiniciacindeD

t V P\, Tiempo prximoE [10,15] de terminacin de D

53r

o+cSe

B [8,10]

B t8,101

532 ALGEBRA LINEAL

' La actividad F tiene como predecesor inmediato a C, la cual tiene un tiempo msprximo de terminacin de 11 das, por 1o tanto el tiempo ms prximo de iniciacin deFes el da 11 y PT. = h + PIF

PTr=3+11=14En el diagrama de red tenemos:

Con la actividad G tenemos un comportamiento un poco diferente a los anteriores, yaque esta actividad se puede iniciar cuando ya se han realizado las actividades E, F yD, las cuales tienen tiempos prximos de terminacin de ls, r4y lz dasrespecva-mente;porlo tanto el tiempo ms prximo de iniciacin de G es el da 15, el mayor delos tiempos ms prximos de terminacin de E, F y D. El tiempo ms prximo deiniciacin de G no puede ser por ejemplo er da L}puesto qo"

"rt" da apenas se ha

realizado la actividad D, pero no se han terminado ls actividaes E v F. Tenemos lasiguiente regla general:

E [10,Se selecciona el mayor

B 18,101 [10,15]

[11,[E],

F. SOLER, F. MoIINA, L. R

a

El tiempo ms prr

Como no hay rnsred completa con todlas siguiente figura:

A [0,8]

--+8

Los tiempos lejardebajo de cada arco,

(LI, LT)I'l

Para evaluar losnodo final hasta el ir

1) Como el proyectterminacin de lesmado de la acactividad G es 2

ALCEBRA LINEAL F. SOLER. F. MOLINA. L. ROJAS s33

\+el

I tiene un tiempo msximo de iniciacin de

:nte a los anteriores, yar las actividades E, F y4y 12 das respectiva-s el da 15, el mayor de:mpo ms prxirno dee este da apenas se haldes E y F. Tenemos la

elmayor

El tiempo ms prximo de terminacin de G es pTo = to * ploPTo=6+15=21

Como no hay ms actividades, el tiempo de realizacin del proyecto es de 21 das. Lared completa con todos los tiempos prximos de iniciacin y terminacin, se present enlas siguiente figura:

Los tiempos lejanos de iniciacin LI y lejano de terminacin LT, se colocan en la reddebajo de cada arco, utilizando la siguiente notacin:

(LI, LT)l- Lejano de terminacinLejano de iniciacin

Para evaluar los tiempos lejanos de las actividades del proyecto, procedemos delnodo final hasta ol inicial de la siguiente fonna:

1) Como elproyecto se termina eIda?l con la actividad G, el tiempo ms prximo determinacin de la actividad G de no todo LTo es er da zr y dado que el tiempoestimado de la actividad G es 6 das entonces el tiempo ms lejano de iniciacin de laactividadGes2l-6=15

B [8,10] [10,15]

-,.,i+*@:._

534 ALGEBRA LINEAL

Grficamente tenemos :

G [15,21](15, 2t)| + (LT) Tiempo lejano de terminacin de G (LI) Tiempo iejano de iniciacin de G

2) Paratemrinarelproyectoelda21,lomistardequesepuedeiniciarlaactividadGeselda15, por io tanto lo nus tarde que se pueden terminar las actividades E, F y D que precedena G es el dfa 15, calculemos los tiempos lejanos deiniciacin en la siguiente tabla:

Grcamente tenemos:

5 (10,15)^_,,

F [11,14]O#-O G [15,21] A->

16')6 (1s,21) v

F. SOLER, F. MOL.INA, L. RO

3) El tiempo iejano drde su predecesor J

El tiempo lejano dt

4) Para Ia actividad (lejano de iniciaciEl tiempo lejano d

Al representa los

A t0,8l

-'>

8

5) La actividad A pr8,9y 11 respectivA es el da 8 corrque si, por ejemp.actividad B en el

Tenemos la siguitactividad:

/ ri"*po lejano c\ iniciacin

.*,,

t8,121

(11,ls)^.*j

E [10,1s]

AI:GEBRA LINEAL

e terrninacin de Griacin de G

laactividadGes el daE, Fy D queprecedenguiente tabla:

t5,2tlL5,21)^..-.r

f l'.":o:*anode\ mrculcron

o#5

Tiempo lejano determinacin

LIr=11"-1,L\ = 19 -2=8

Tiempoesti- \mado de B I

F. SOLER, F. MOLINA, L, ROJAS s35

3) El tiempo lejano de iniciacin de E es 10 por io tanto el tiempo lejano de terminacinde su predecesor B es 10.

El tiempo lejano de iniciacin de B es:

)=(

4) Para la actividad C el tiempo lejano de terminacines L2que conesponde al tiempolejano de iniciacin de F.El tiempo lejano de iniciacin de L es: LI" = LT" - t"

LI.=12-3=9Al representar los pasos 3) y 4) en la red tenemos:

[8,10] E [l0,1s]s (10,15)

^._.r

e+fih@+##o:ffi@2 (8,10)

._,,

._,,

D [8,12]

.'-,,

4 (11,15)^-..,j

5) La actividad A precede a las actividades B, C y D con tiempos lejanos de iniciacin8, 9 y 11 respectivamente, por lo tanto lo ms lejos que se puede terminar la actividadA es el da 8 correspondiente al menor de los tiempos de iniciacin de B, c y D yaque si, por ejemplo la actividad A terminara el da 9 entonces no se podra iniciar laactividad B en el da 8.

Tenemos la siguiente regla general para el tiempo ms lejano de terminacin de unaactividad:

-.ii*

536 ALGEBRA LINEAL F. SOLER, F. MOLINA, L.

ALCEBRA LINEAL F. SOLER. F. MOLINA. L. ROJAS 537

:i ii.;Li: ;i';i; ::;:l;-,:i5 ; :' r :11jr1 1i;iilfi:l r]rl:;t 1ri ir j

,. iilFjlli:4Uix.*,1ri'riliiiirlilitili,li'ili'1i,i",:ii

Resumimos los tiempos calculados en el siguiente cronograma de actividades: tabla8.29

Las actividades en la Ruta crtica son: A -

B -

E -

G

El tiempo de terminacin del proyecto es 20 das

\ G [15,21];)/ 6 ('15ii2f}

,..::.*G'-.... *

538 ALGEBRA LINEAL F. SOLER, F. MOLINA, L.

i##li$mrii$irri! t iiiiiiiiii,:iilrir tiiiriiiiii.l:i!;?.1:$:!!

,ffiffiffitiriiili.f illIiitl,.,llili iii

,t:..i,ili,:lli.::i,:ili': :l,tl,,i:;l,:,1: il;;r.iit.t

riiiiiliil.ii ti:;

:t tiii"';i",, r ;',r.ef iirLp1l,il gii,1r:Sj,.;,',El,ilrHrli ;:r j tiil: .1 lrilil: r1r;1i:11 il,,ill i i.,:ll:::.,,i,,,.,i.'il:li:li,:rl :. ,,',., :l; :;r rri,1; iI ilr'.:. ,ri,;::; rt,:,i:ii

.Ii:i rjliI iiLf lrlrif jlil,ltij::i.,:tiliilir._::

ffi*=*'*ffi,;.t.: l':,1;i. .,' l:.,,1,r:: : ." , t ,' ..:: ,:'. ,,', ': ,'.,1t:;:i.;, i.t:. ,,,:, i tt li'::;j ii ,r:.,1,, :1i1.,.:1,.

',

l..iil'lr,i. : :r-:-j;" t lll:::i I;',.':

liffiili..-,.'',F#l|i: ,i ffi

ffiffiffiffii,g.i-i.',,;.,,'li.li;

ffi Hffiffiffi

Ejemplo: la sigrsores inmediatos y Icrtica y el tiempo d

La red del proyt

A

fiL

4

N

F

Clculo de la r

1) Tiempos prxim

f tempoproxi\ terminacin

7. ALGEBRA LINEAL F. SOLER, F. MOLINA. L. ROJAS 539

Ejemplo: la siguiente tabla muestra las actividades de un proyecto con sus predece-sores inmediatos y los tiempos estimados. Reaiice la red del proyecto, determine la rutacrtica y el tiempo de terminacin del proyecto

La red del proyecto se presenta a continuacin:

CIculo de la ruta crtica

I) Tiempos prximos: Se calculan de izquierda a derecha desde el nodo I hasta el nodo 7./n"-pop'0.*"*)

= ( *ff;" ) + (rr.,".1'"-*"0")\terminacin PT=t+PI

D -A.--3---------+(,\re

.\+-----@

At-lAB(r-I

II"t4

c\N

6

-6F

H3--\

c_

2

' 540 ALCEBRA LINEAL

D [3,9]:.3--l> ,.1

H [8,11]\y3 \\

2) Tiempos leianos: se calculan de derecha a izquierda desde el nodo Z hasta el nodo 1,teniendo en cuenta el tiempo de terminacin del proyecto que es de 12 das

*:JjI;j,l--.Rutacrfca2 (I0,t2j

F. SOLER, F. MOLINA, L.

l1fil$s'1rgi-s,,-,iii

!aq)

q)(l

La0

orU

"r;i6[ii1'l::1r:';:; 1::*::::, :. r li:-ri;::;:t'#rriili:,i;1.,&+il.rr.::i.{.ir'..r1::

4 (6, l0)

.ALGEBRA LINEAI F. SOLER, F. MOLINA, L. ROJAS 541

rn6t

F

a()

ICE

)

Loo

rU

lo 7 hasta el nodo 1,s de 12 das

Ruta crtica

1l

\o

,3/

1l

\o

1-2)

c+rJt(\

C)4El

vc)Oh!nl)e.lJ

otsnb=a.

'e>Y

cg c)4-J I]

rr, ili:lii:!i:, Lr!

r.: r;Er.&:. - ..iii:.i iliiriini{.i+}; !n'ia

;;it+:irgfJ ala li:iillllllllill:ll:il:: .. ; ,. - -1 ri:li,:'!'i 1r r :, , ,: r,iii r r ::ivr:r ''. .:.i:- : . .. l.1 l'r. Y,l:,: :

,^ ,, ,4,,i,i:lii:. ii:A li, ii,,, ,rri,r. r:.^t' ri,,-:i,i:i-:l::,ii

+ll,illiiii:'iLi. r:;!iirii::r. !ril!ll:illrd:l :l: :ili'.: . . ,.!fit ':r.:t..i :':{l3t:F!: : : :.i.:.:.l::rHB";tr'li di=i!'igr,:t t ;,i* ::!Iigtr:i,:i:i 1 ;lir ii-itj:rr:.ii4rii!t]l iiiiriiii:,i:if i;,jt

rffF j.;Fiiiiffi{.

itlf ir.!:rt14t::rl,::i;

iii^"iid.X.i i*i1rl-11r*i-j*4:)r rr::l

:i!!:r:lHI *!illl

r;ili,,.i i rt,iitlii.iIti&ti!trr:;r:;rii,r ,'lSiiJii:,ii

i:i.jir:illiij;rrii,iirll;{rti,1'