Pertemuan 1-ok.docx

Embed Size (px)

Citation preview

Pengantar Graf

Pertemuan I Ketepatan dalam menuliskan definisi perentang Ketepatan dalam menyajikan semua subgraf perentang dari suatu graf Ketepatan menghitung banyaknya pohon perentang dari sebarang graf Mengetahui kaitan antara teorema Cayley dengan Teorema Matriks pohon Kedisiplinan dan Kerjasama tim Kemutahiran referensi yang digunakan

Graf PerentangKONSEP-KONSEP DASAR GRAF Definisi 1. Graf G adalah Pasangan himpunan (V,E) dimana adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut simpul dan adalah himpunan pasangan tak berurut (bisa kosong) dari elemen berlainan dari yang disebut sebagai sisi.

Istilah lain untuk simpul adalah titik atau vertex atau node. Sedangkan sisi biasa juga disebut busur atau garis atau edge.

Graf yang hanya mempunyai 1 simpul disebut graf trivial. Jadi graf nontrivial mempunyai paling sedikit 2 simpul.

Graf dapat juga didefinisikan sebagai:himpunan sisi dan simpul yang banyaknya berhingga dan sisi-sisinya menghubungkan sebagian atau keseluruhan pasangan dari simpul-simpulnya.

Sebuah graf direpresentasikan dalam sebuah gambar/diagram, dimana simpul dilambangkan dengan noktah, lingkaran atau titik tebal yang ditandai dengan angka atau huruf, sedangkan sisi dilambangkan dengan ruas garis atau kurva (berarah atau tidak berarah) yang menghubungkan pasangan simpul.

Contoh:Sebuah graf dengan himpunan simpul dan himpunan sisi yang diberikan sebagai berikut:

dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1atau

Gambar 2

Himpunan simpul dari G dinotasikan dengan sedangkan himpunan sisi dari G dinotasikan dengan .

Definisi OrderOrder dari graf G, dinotasikan dengan adalah banyaknya unsur dari

Definisi UkuranUkuran (size) dari G, dinotasikan dengan adalah banyaknya unsur

Definisi Kesamaan Dua GrafDua graf dan dikatakan sama jika dan . Dalam hal ini, ditulis:

Sisi uv disebut sisi berarah jika terdapat aliran dari simpul u ke simpul v yang ditandai dengan garis berarah dengan anak panah menunjuk ke v. Dalam hal seperti ini, simpul u disebut simpul awal, pangkal atau sumber (source), sedangkan simpul v disebut simpul ujung, akhir, tujuan atau terminal. Jika tidak terdapat aliran dari u ke v atau dari v ke u maka sisi uv disebut sisi tidak berarah. Untuk sisi tak berarah uv, kedua simpul u dan v merupakan simpul ujung.

Ilustrasi mengenai hal ini dapat dilihat pada Gambar 3 beriku ini:

Gambar 3.

Graf yang terdiri dari sisi-sisi berarah selanjutnya disebut digraf.

Sebuah sisi yang menghubungkan titik ujung yang sama disebut loop. Dua atau lebih sisi yang menghubungan pasangan simpul yang sama disebut sisi ganda (multiple edge).

Contoh Gambar 4.

Definisi Graf Sederhana:Graf sederhana adalah graf tak berarah yang tidak memuat loop atau sisi ganda.

Jadi (c) pada Gambar 4. merupakan graf sederhana.

Beberapa buku menggunakan terminology graf untuk menyatakan graf yang tidak memuat loop ataupun sisi ganda. Namun dalam pembahasan ini, tetap ditegaskan sebagai graf sederhana.

Pada beberapa kasus yang dimodelkan dalam graf, kadang-kadang diperlukan untuk menggambarkan hubungan antara simpul-simpul tidak hanya sebagai sebuah garis, sehingga graf sederhana tidak mungkin lagi digunakan. Dalam hal ini, perlu didefinisikan graf yang memuat sisi-sisi ganda, yang dikenal sebagai multigraf. Definisi Multigraf.

Sebuah multigraf G(V,E) adalah graf yang terdiri dari himpunan simpul V, himpunan sisi E dan fungsi f dari E ke himpunan . Untuk membedakan dengan notasi graf, multigraf biasanya dinotasikan dengan

Dari definisi di atas, keberadaan loop tidak diperbolehkan pada multigraf.

Contoh:

Sebuah multigraf dengan himpunan simpul , himpunan sisi dan fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut: digambarkan sebagai berikut:

Gambar 5Definisi pseudograf

Pseudograf adalah graf yang terdiri dari himpunan simpul V, himpunan sisi E dan fungsi f dari E ke himpunan . Dengan kata lain pseudograf adalah graf atau multigraf yang boleh memuat loop.

Contoh pseudografMisalkan dengan

dan

Gambar 6

DERAJAT SIMPULMisalkan adalah graf sederhana. Jika adalah sisi yang menghubungkan simpul u dan v maka sisi ditulis atau . Dalam hal ini, sisi dikatakan menghubungkan simpul u dan v.

Definisi: adjacency, incidency. Jika untuk maka simpul dan dikatakan bertetangga (adjacent) di G.Dalam hal ini, sisi dikatakan berdekatan (inciden) dengan simpul u (atau simpul v)

Misalkan . Jika sisi dan berdekatan dengan maka sisi dan sisi dikatakan bertetangga.

Definisi Derajat simpul.Misalkan adalah sebuah graf sederhana dan Derajat dari simpul u adalah banyaknya sisi yang berdekatan/berinsidensi dengan simpul u. Pada simpul u yang berdekatan dengan sisi e=uu, maka derajat u adalah 2, karena setiap loop menyumbang derajat sebesar 2 pada simpulnya.Derajat simpul u dinotasikan dengan deg(u) (asal kata degree)

Penentuan derajat simpul dilakukan dengan sangan mudah, yaitu dengan menghitung banyaknya sisi (atau garis) yang menyentuh simpul tersebut. Simpul berderajat 0 disebut simpul terisolasi, Simpul berderajat 1 disebut pendant (tergantung), titik ujung atau daun (leaf). Simpul berderajat ganjil disebut simpul ganjil dan simpul berderajat genap disebut simpul genap.

Perhatikan graf berikut ini:

Perhatikan kembali Gambar 6. Berapakah

Definisi Derajat Minimum dan derajat maksimum Derajat minimum dari G, dinotasikan dengan adalah derajat terkecil dari simpul-simpul G, atau

Derajat maksimum dari G, dinotasikan dengan adalah derajat terbesar dari simpul-simpul G, atau

Jika G graf sederhana berorde dan adalah simpul sebarang dari G, maka berlaku hubungan:

Definisi: Graf RegulerSebuah graf dikatakan jika setiap simpulnya berderajat .

Dengan kata lain, graf G adalah regular-k jika Graf disebut dinotasikan dengan . Graf disebut dan dinotasikan dengan Graf disebut dan dinotasikan dengan pada notasi dan menyatakan banyaknya simpul.Contoh graf regular berorde-4:

Teorema:Misalakan dan adalah bilangan bulat dengan . Terdapat graf regular-r berorde- jika dan hanya jika paling sedikit satu di antara dan genap.

LATIHAN:1. Perhatikan graf dibawah ini!a. Tentukan himpunan simpul-simpul G!b. Tentukan himpunan sisi-sisi G!c. Apakah G sebuah graf sederhana?d. Apakah G sebuah graf multigraf?e. Apakah G sebuah graf pseudograf?f. Apakah terdapat simpul pendant?g. Apakah terdapat simpul terisolasi?h. Tentukan deg(e), deg(g)!i. Tentukan order n(G) dan ukuran m(G)!j. Hitung jumlah derajat semua simpul G!

2. (SEMUA MHS) Gambarkan sebuah graf G. Jawab pertanyaan-pertanyaan pada no.1. Khusus pertanyaan i dan j, cari kaitan antara m(G) dan jawaban j dengan membandingkan jawaban anda dengan jawaban beberapa teman anda!(Hasil yang kalian peroleh dikenal sebagai Teorema Handshaking)3. Gambarkan semua graf regular berorde-5 dan 6

4.

Teorema Handshaking (The First Theorem og Graph Theory)Misalkan diberikan graf G=(V,E) dengan m(G) menyatakan ukuran atau banyaknya sisi G, maka

Proposisi:Banyaknya simpul ganjil pada sebarang graf selalu genap. (KENAPA?)

Teorema Handshaking akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada contoh berikut:Contoh:Sebuah graf G mempunyai order n(G)=14 dan ukuran m(G)=27. Derajat dari simpul-simpulnya adalah 3,4,atau 5. Terdapat 6 simpul berderajat 4. Tentukan jumlah simpul berderajat 3. Tentukan pula jumlah simpul berderajat 5. Jawab:Karena terdapat 6 simpul berderajat 4, maka jumlah simpul berderajat 3 atau 5 adalah 14-6= 18. Misalkan jumlah simpul berderajat 3 adalah x, maka jumlah simpul berderajat 5 adalah 8-x. Dengan menggunkanan Teorema Handshaking maka:

Jadi terdapat 5 simpul berderajat 3 dan 3 simpul berderajat 5.

LATIHAN 3. Gambarkan sebuah graf sederhana (tidak memuat sisi ganda atau loop). Hitung banyaknya simpul ganjil!

Pada pembicaraan selanjutnya, terminology graf merujuk kepada graf sederhana. Jadi penyebutan graf bermakna sebagai graf sederhana, kecuali disebutkan lain.