1

Fungsi Gamma & Fungsi Beta

Tim Kalkulus I

2

Fungsi GammaDidefinisikan sebagai

1 1

0 0

( ) limb

n x n x

bn x e dx x e dx

,

yang konvergen untuk n > 0. Rumus berulang untuk fungsi Gamma adalah (n+1) = n (n) = n! dimana (1) = 1.

3

Tabel nilai Fungsi Gamman (n)

1,00 1,0000 1,10 0,9514 1,20 0,9182 1,30 0,8975 1,40 0,8873 1,50 0,8862 1,60 0,8935 1,70 0,9086 1,80 0,9314 1,90 0,9618 2,00 1,0000

4

Grafik Fungsi Gamma

5

Fungsi FaktorialDefinisi:

1

! , 1n

k

n k n

atau

.( 1)!, 1

!1, 0

n n nn

n

atau

0! n xn x e dx

atau Rumus Stirling

! 2n

n

nn n

e

6

Buktikan bahwa:

a. 0! 1 b. 1! 1

7

Untuk n = 1, 2, 3, …

(2) = (1+1) = 1 (1) = 1! (3) = (2+1) = 2 (2) = 2 * 1! = 2! (4) = (3+1) = 3 (3) = 3 * 2! = 3! ...dst.

Secara umum (n+1) = n(n) = n !, untuk n bil. bulat positif.

8

Bukti bahwa 1 , 0n n n n

0 0

10

0

1

0

1 lim

lim |

lim , 0

Mn x n x

M

Mn x M x n

M

Mn M n x

M

n x e dx x e dx

x e e nx dx

M e n x e dx n n n

9

Bukti bahwa 1 !, 1,2,3,...n n n

0 0

1 lim lim 1 1

1,2,3,... , 1

2 1 1 1,

3 2 2 2.1 2!,

4 3 3 3.2! 3!,

...

1 !

Mx x M

M Me dx e dx e

n n n n

n n n n

10

Bukti bahwa

1

2

2 2

2 2

2

2

11

2

0 0

2

0 0

2

2 2 2

0 0

/2

0 0 0

1 1

2

, 2

1 1 1 12 , 2

2 2

14 , tan

2

4 42 2

1

2

t t

y x

x y

rr

t e dt e dtt

t y dt ydy

e ydy e xdxy x

ye dxdy r x y

x

ee rdrd

11

Formula-formula terkait Fungsi Gamma:

12( 1)( 1) 2 ,0 1n n nn n n e e

( ) (1 ) ,0 1sin

x x xx

2 1 12 ( ) 2

2x x x x

1 1 22

1 2 1( ) ... 2

mmxmx x x x m mx

m m m

/

1

11

( )x x m

m

xxe e

x m

, konstanta adalah konstanta Euler

1.2.3...1 lim . lim ,

1 2 ...x

k k

kx k x k

x x x k

Dimana ,x k dinamakan Fungsi Gauss .

2 3

1 1 1391 2 1 ...

12 288 51840x xx x x e

x x x

Ini dinamakan Deret Asimtot Stirling untuk Fungsi Gamma.

0

' 1 ln

' 1 1 1 1 1 1... ...

1 2 1 1

xe xdx

x

x x x n x n

12

Contoh

(6) 5!30

2 (3) 2.2!

3 1 1 3(5/ 2) . ( )

2 2 2 4

13

Hitunglah:

a. 5 / 2

1/ 2

b.

3 2,5

5,5

c.

86 325 3

d. 1/ 2

e. 5 / 2

14

Selesaikan integral di bawah ini

3 2

3 6 2

0 0

4

0 0

1

0

. .

. . 3

.ln

x x

x z

a x e dx b x e dx

c x e dx d dz

dxe

x

15

Fungsi Beta Didefinisikan sebagai

1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm

yang konvergen untuk m > 0 dan n > 0 . B (m,n) = B (n,m).

16

Dengan mengambil x = sin 2 , maka

2

0

1212 cossin2),( dnmB nm

Hubungan fungsi Beta dengan fungsi Gamma

)(

)()(),(

nm

nmnmB

17

Bukti bahwa , ,m n n m

1 11 11 1

0 0

111

0

1

, 1 1

1 ,

n mm n

mn

x y

m n x x dx y y dy

y y dy n m

18

Bukti bahwa /2

2 1 2 1

0

, 2 sin cosm nm n d

2

111

0

/21 12 2

0

/22 1 2 1

0

sin

, 1

sin cos 2sin cos

2 sin cos

nm

m n

m n

x

m n x x dx

d

d

19

Bukti bahwa

, , 0, 0

m nm n m n

m n

2

2

2 2

2 2

2

2

2 1 2 1

0 0

2 1

0

2 1 2 1

0 0

2 1 2 1

0 0

/2 2 1 2 1 2 1

0 0

2 1

0

, 2

2

4

4

cos , sin

4 cos sin

4

m z m x

n y

m x n y

x ym n

m n m n

m n

z x m z e dz x e dx

n y e dy

m n x e dx y e dy

x y e dxdy

x y

m n e d d

e d

/2 2 1 2 1

0

/2 2 1 2 1

0

cos sin

2 cos sin

, ,

m n

m n

d

m n d

m n n m m n m n

20

Selesaikan

14 3

0

2 2

0

23 2

0

28

0

(1 )

2

sin cos

sin

x x dx

xdx

x

d

d