MATRIK

Definisi : Matrik adalah kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom

memiliki 2 baris & 3 contoh: A = kolom, disebut matrik

2 x 3 Matrik yang memiliki satu baris disebut vektor

baris Matrik yang memiliki satu kolom disebut vektor

kolom

2 1 0 3 4 5

Bilangan2 yg ada dalam matrik disebut entri atau elemen (berdasarkan baris dan kolom)

Notasi Matrik = Huruf Besar dan entri / elemen

= huruf kecil. Atau A = [ ajk ]

2 1 0 Contoh :Vektror Baris ; Vektor Kolom

2 3 4

2 1 0 3 4 5

A = Entry/elemen (2,1) dari Matrik A adalah 3

2 1 0 3 4 5

A = Entry/elemen dari Matrik A a11=2, a12 =1, a13=0, a21=3,a22=4, a23=5

Sistem persamaan :

Dapat dijabarkan

2 x2 x11 + 3 x + 3 x22 – x – x33 = = 5 5

4 x4 x11 + 4 x + 4 x22 – 3 x – 3 x33 = 3 = 3

2 x2 x11 + 3 x + 3 x22 + x + x33 = -1 = -1

2 3 -1 2 3 -1 A = 4 4 -3 A = 4 4 -3

2 2 3 3 1 1= Koefisien matriks= Koefisien matriks

Kemudian sistem ini dapat dituliskan sebagai Ax = b

x1x1x = x2x = x2

x3x3

= vektor dari= vektor dari variabel variabel yg tdk diketahuiyg tdk diketahui

55b = 3b = 3

-1-1= vektor dari sisi kanan = vektor dari sisi kanan

Secara umum, jika terdapat suatu sistem yang terdiri dari sejumlah m persamaan dgn n vaariabel yang tidak diketahui dituliskan sebagai berikut

a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1

a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2

: : : : : :am1x1 + am2x2 + ....+ amn Xn = bm

Dapat ditulis dalam bentuk matriksAx = b

A =

a11 a12 .... a1n

a21 a22 .... a2n

: : : :am1 am2 ....amn

x1x2 : :x3

x =

b1

b2

: :bm

b =

Disini A adalah matrik m x n, x adalah n x 1, Disini A adalah matrik m x n, x adalah n x 1, b adalah matrik m x 1. Perhatikan bahwa b adalah matrik m x 1. Perhatikan bahwa

aaijij = elemen A pd interseksi antara baris ke-i = elemen A pd interseksi antara baris ke-i dan kolom ke-j. Dimensi atau ukuran matrik A dan kolom ke-j. Dimensi atau ukuran matrik A ( m x n ) disebut juga sebagai orde A( m x n ) disebut juga sebagai orde A

Dua matrik A = [ ajk ] dan B = [ bjk] dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dan elemen2 yang ada didalamnya adlah sama yaitu :

ajk = bjk , untuk semua j dan k

sehingga dapat ditulis bahwa: A = B

contoh:contoh:

a11 = 4, a12 = 0a22 = 3, a22 = -1

A = a11 a12

a22 a22= B =

4 03 -1

Jika dan hanya jika :

Hanya dapat dilakukan pada matriks2 yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jumlah dua matriks m x n,

A = [ajk] dan B = [bjk] dituliskan :

A + B

Maka : ajk + bjk j = 1,...,m; k = 1,...,n

A = -4 6 3 0 1 2 = B =

5 -1 03 1 0

1 5 33 2 2

A + B =

Jika :

Maka :

a. A + B = B + A b. (U+V) + W = U + (V+W) atau (U+V+W)c. A + 0 = Ad. A + (-A) = 0

Keterangan: -A = [- ajk ] adl matrik m x n yang diperoleh

dengan mengalikan tiap elemen di A dgn -1 dan disebut sbg negatif dari A

Untuk A + (-B), lebih sering dituliskan sbg A-B, dan disebut matrik pembeda antara A & B

Hasil perkalian antara matrik m x n A = [ajk] dgn

sebuah skalar [dituliskan cA (atau Ac)] diperoleh dgn mengalikan elemen2 di A dgn c:

cA = Ac =

ca11 ca12 .... ca1n

ca22 ca22 .... ca2n

: : : :cam1 cam2 ....camn

Contoh :

A = 2,7 -1,80,9 3,6

Jika :

A + A = 2A = A = 5,4 -3,61,8 7,2

Maka :

Sifat-sifat perkalian matrik dgn skalar : c(A + B) = cB + cA (c + k)A = cA + kA c ( kA ) = ( ck ) A atau ( ckA ) 1A = AKeterangan : (-1)A = -A, disebut negatif dari A

Langkah pertama adalah menuliskan persamaan dalam bentuk Ax = , yaitu :

a11 a12 .... a1n

a22 a22 .... a2n

: : : :am1 am2 ....amn

x1x2 : :x3

b1

b2

: :bm

=

Selanjutnya mengalikan Ax Selanjutnya mengalikan Ax

Syarat untuk melakukan perkalian matriks :Jumlah kolom A = jumlah baris x

Jadi :

Ax =

a11 x1 + .... a1nxn

a21 x1 + .... a2n xn

: : : :am1 x1 + .... amn xn

A x = b(m x n) (n x l ) m x l)

equal

Matriks hasil berorde m x l

Assosiatif dan Distributif(kA)B = k(AB) = atau (kAB) atau (AkB)A(BC) = (AB)C atau (ABC) (A+B)C = AC + BCC(A+B) = CA + CB

Tidak Komutatif : AB tdk sama dgn BA Jika AB = 0, maka tdk berarti bahwa A = 0 atau B = 0 atau BA = 0

Matrik Squareadalah matrik yang mempunyai jumlah kolom dan baris yg sama. Jika B adalah matrik square,

maka entry/elemen ajj adalah diagonal utama

dari B.Contoh:

4 6 30 1 29 8 7

B = => Diagonal utama:

b11= 4, b22= 1, b33= 7

Matrik Tringular adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas atau dibawah diagonal utama adalah nol.

Uppper

4 6 3 30 1 2 40 0 7 30 0 0 4

Lower

4 0 0 07 1 0 05 6 5 04 1 3 4

Matrik Diagonaladalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas dan dibawah diagonal utama adalah nol.

4 0 0 00 1 0 00 0 7 00 0 0 4

1 0 0 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Matrik Scalaradalah matrik diagonal yang seluruh elemen berada di diagonal utama adalah sama

S =

c 0 .. 00 c .. :: : . :0 0 .. c

Sifat : AS = SA = cA

Matrik Satuan atau Matrik Identitas adalah matrik diagonal yang seluruh elemen yang berada di diagonal utama adalah 1.

I =

1 0 .. 00 1 .. :: : . :0 0 .. 1

Sifat : AI = IA = A

Matrik Nol adalah matrik yang semua elemen/entry-nya adalah nol. Notasi “0” digunakan untuk mendeskripsikan matrik nol.

Sifat : A + 0 = 0 + A = A notasi 0 m x n

A – A = 0; A0 = 0; 0A = 0

0 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

; 0 = ( 0 0 0 0 )

Daftar PustakaDaftar Pustaka

Advanced Engineering Mathematic, chapter 8Advanced Engineering Mathematic, chapter 8

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1

Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. JakartaEdisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2

Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. JakartaEdisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearNoor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear