Pertemuan ke- 4

BAB III

POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS

VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS

3.1 Variabel Random atau Variabel Acak

• Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukanoleh terjadinya hasil suatu percobaan dinamakan variabel random.

Contoh :

Bila 2 mata uang dilempar 1 x , maka ruang sampelnya :S = { AA,AG, GA , GG }

Variabel Acak yang terdapat dalam fungsi probabilitas :

a. Variabel diskrit

Variabel diskrit hanya dapat dinyatakan dengan nilai – nilai yangterbatas jumlahnya , dan dinyatakan dengan bilangan bulat.

b. Variabel kontinu

Variabel kontinu dinyatakan dengan harga yang terdapat dalamsuatu interval.

Fungsi Distribusi

Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi sebenarnya adalah

Σ f( x ) ; x diskrit (dinyatakan dengan sigma )

F ( x ) = P ( X ≤ x ) =

∫ f ( x ) dx ; x kontinu (dinyatakan dengan

integral)

3.2 Nilai Harapan (Mean/Rata–rata) dan Varians Distribusi Diskrit

Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan

E (x) = Σ x. f (x)

Var (x) = σx2 = E [ x – E (x) ] 2 = E (x2) – { E (x) } 2

Jika k suatu bilangan , maka E ( k ) = k

Contoh : E (3) = 3 dan seterusnya.

Latihan Soal

1 .Dua buah dadu dilempar . Jika x = jumlah mata dadu yang timbul ,berapakah:

a. P (3 < x ≤ 6)

b. Rata–rata (Nilai harapan)

Jawab:

a. P (3 < x ≤ 6) = P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6)

= f (4) + f (5) + f (6)

= 3/36 + 4/36 + 5/36 = 12/36 = 1/3

b. E (x) = Σ x . f(x)

= 2.1/36 + 3.2/36 + 4.3/36 + 5.4/36 + 6.5/36 +

7.6/36 + 8 .5/36 + 9 . 4/36 + 10.3/36 +

11.2/36 + 12.1/36 = 252/36 = 7

2 . Jika Nilai E (x) = 1/3 dan E (x2) = 1/3 . Tentukan Nilai Variansnya.

Jawab : Var (x) = E (x2) – { E (x) }2

= 1/3 – (1/3)2 = 1/3 – 1/9 = 2/9

3 . Jika E (x) = 2 , berapa nilai dari : a. E [ 3 (x + 2)]

b. E [x – 3 (x + 2)]

Jawab : a. E [ 3 (x + 2) ] = E [ 3x + 6 ]

= E (3x) + E (6)

= 3. E (x) + 6

= 3 . 2 + 6 = 6 + 6 = 12

b. E [ x – 3 (x + 2) ] = E (x) – E [ 3 (x + 2) ]

= 2 – 12 = -10

4. Jika x mata dadu seimbang , berapa nilai harapan (rata – rata)nya ?

Jawab :

E (x) = Σ x . f (x)

= 1 .1/6 + 2 .1/6 + 3 .1/6 + 4 .1/6 + 5 .1/6 + 6 . 1/6

= 21/6 = 3,5

Fungsi probabilitas dengan variabel diskrit terdiri dari :

1. Distribusi Binomial

2. Distribusi Poisson

3.3 Distribusi Binomial

Rumus Distribusi Binomial :

b (x / n , p) = P (X = x)= n C x px . qn-x ; x = 0,1,Hn

q = 1 – p

Dimana : - b ( x / n , p ) ≥ 0

- Σ b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1

Rata – rata ( Mean ) = µx = n . p

Varians ( x ) = σx2 = n . p . q

Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusibinomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4syarat sebagai berikut :

1. Jumlah percobaan harus tetap

2. Setiap percobaan harus menghasilkan duaalternatif yaitu sukses atau tidak suksesmerupakan percobaan Binomial.

3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitasyang sama untuk sukses.

4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebassatu sama lain.

Latihan Soal

1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6

kali, berapa:

a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar

b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar

Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½

b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = 6C5 ( ½ )5 . ( ½ )6-5

= 6! (½)5 . (½)1 = 3/32

5!.1!

b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2

b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = 6C6 ( ½ )6 . ( ½ )6-6

= 6 ! ( ½ )6 . ( ½ )0 = 1/64

6!0!

Probabilitas memperoleh ≥ 5 sisi gambar adalah :

b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64

2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa :

a. Rata – rata dari x

b. Varians (x)

Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6

E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3

b. Var ( x ) = σx2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36

= 5/9

3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah

paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah

0,001. Berapa E (x) nya ?

Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4

3.4 Distribusi Poisson

Ciri-ciri Distribusi Poisson

Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinyakejadian menurut satuan waktu atau ruang. DistribusiPoisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusibinomial.

Rumus Distribusi Poisson

f ( x ) = µx . e-µ = p ( x/n , p )

x!

Dimana : x = 0 , 1, 2 E n dan e = 2,71828E

Rata – rata = µx = n . p

Varians (x) = σx2 = n . p

Dalam distribusi Poisson Rata – rata denganVariansnya adalah sama

Latihan soal !

1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali ,berapa probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1,2 , 3 ,4 , 5 kali ?

Jawab:

probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5keping uang logam sebanyak satu kali adalah :

p = 1.( ½ )5 = 1/32

Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisiangka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64kalimenjadi :

f( x ) = 64 1 / 32 x 31 / 32 64-x

x

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial,

maka diambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

f ( x ) = µx . e-µ = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

x ! x ! e-2 = 0 ,1353

x 0 1 2 3 4 5

f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036

2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4

berapa :

a. Rata – rata x

b. Varians (x)

jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4

b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4

3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar,

berapa E (x) ?

Jawab : n = 6 ; p = ½

E (x) = n.p = 6.1/2 = 3

X 8 12 16 20 24

P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/8

Latihan soal:

1. Dari tabel diatas tentukan:

a. mean X;

b. standar deviasi X;

c. E(2X – 3 )2

2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan

E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan

simpangan baku X.

3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah

probabilitas memperoleh:

a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka

4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah:

a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;

b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3!

5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan

n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)!

6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali,

hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak

0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!

3.5 Aplikasi Excel menghitung distribusi Binomial

Langkah-langkahnya sbb:

1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function.

2. Pilih menu statistical pada function category

3. Pilih menu Binomdist pada function name, dan OK.

Maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

Nilai P(x) ada pada baris Formula result atau tanda (=)

BINOMDISTNumber_s : ………… (masukkan nilai X)Trials : ……….. (masukkan nilai n)Probability : ………… (masukkan nilai p)Cumulative: ………… (tulis kata False)

Contoh :

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima

dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang

hanya 13 buah diterima?

Jawab:

Diketahui n=15; dimana X = 13 dengan p= 0,9 nilai P ( x = 13 ) = …?

Langkah-langkahnya

1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function

2. Pilih menu statistical pada function category

3. Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK

maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

Distribusi Poisson

POISSONX : ………… (masukkan nilai x)Mean : ……….. (masukkan nilai µ)

Cumulative : ………… (tulis FALSE / 0 )

Contoh:

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi,

peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ

meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan

tersebut akan membagikan dividen?

Jawab:

Nilai µ = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai P( X = 5 ) = …?

Untuk menghitung dist. Binomial dengan SPSS langkah-langkahnya sbb:

1. Definisikan variabel x, lalu ketik nilai variabelnya

2. Kilk menu transform dan pilih compute

3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan OK

maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2

Gambar 2

P( X=13 )

0,2669

Untuk menghitung dist. Poisson langkah-langkahnya sbb:

1. Definisikan variabel x, lalu ketik data misal 1 sampai 5

2. Kilk menu transform dan pilih compute

3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan

OK

maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2

P(X=5) = 0,127

Gambar 2

SOAL – SOAL LATIHAN

01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x)fungsinya akan dinyatakan dengan :

a. Σ x.f(x) c. Σ f(x)

b. ∫ f(x)dx d. ∫ x.f(x)dx

02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinyahasil suatu percobaan acak dimana nilainyabervariasi adalahE.

a. Variabel random c. Permutasi

b. Probabilitas d. Kombinasi

02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil

suatu percobaan acak dimana nilainya bervariasi

adalahE.

a. Variabel random c. Permutasi

b. Probabilitas d. Kombinasi

03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :

a. - 6 c. -12

b. - 8 d. -4

03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :

a. - 6 c. -12

b. - 8 d. -4

04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknyaobservasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilaiharapan x adalah:

a. ½ c. 2

b. 50 d. 25

04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknyaobservasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilaiharapan x adalah:

a. ½ c. 2

b. 50 d. 25

05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahuisebagai berikut:

Maka nilai harapan X adalah:

a. 1 c. 3

b. 2 d. 4

X 1 2 3 4

P(X) 0,1 0,2 0,3 0,4

05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahuisebagai berikut:

Maka nilai harapan X adalah:

a. 1 c. 3

b. 2 d. 4

01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x)fungsinya akan dinyatakan dengan :

a. Σ x.f(x) c. Σ f(x)

b. ∫ f(x)dx d. ∫ x.f(x)dx

X 1 2 3 4

P(X) 0,1 0,2 0,3 0,4