HALAMAN JUDULTUGAS KELOMPOKPERTIDAKSAMAAN NONLINEARMata Kuliah (MSMA)KELAS A SORE PENDIDIKAN MATEMATIKA

Di Susun Oleh:Prinadi (311200165)Lusiana (311200098)Dewi Ayu Putri (311200147)

Dosen Pengampu:Iwit Prihatin, M.Pd

INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIAPONTIANAK2014i

2

KATA PENGANTAR Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah (MSMA) yang membahas tentang Pertidaksamaan Nonlinear. Penulis menyadari bahwa tanpa adanya bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak tidak mungkin penulis dapat menyelesaikan masalah ini. Dengan segala kerendahan hati dan ketulusan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada:1. Ibu Iwit Prihatin, M.Pd, selaku dosen mata kuliah (MSMA) yang telah membimbing dan mengarahkan penulis untukpenyusunan makalah.2. Rekan-rekan dari kelompok 1 atas segala bantuan dan partisipasinya dalam penyelesaian makalah ini. Semoga Tuhan melimpahkan rahmatnya kepada kita semua dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca dan penulis sendiri. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna.Untuk itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun senantiasa penulis harapkan untuk lebih sempurnanya penulisan makalah yang lain di masa mendatang.

Pontianak, 24 September 2014

Penulis

iii

DAFTAR ISIHALAMAN JUDULiKATA PENGANTARiiDAFTAR ISIiiiA.Pertidaksamaan Kuadrat1B.Pertidaksamaan Pecahan31.Pertidaksamaan Pecahan Linear32.Pertidaksamaan Pecahan Linear Kuadrat53.Pertidaksamaan Pecahan Linear Polinom-Polinom8C.Pertidaksamaan Irasional (pertidaksamaan bentuk akar)10D.Pertidaksamaan Nilai Mutlak13DAFTAR PUSTAKA17

PERTIDAKSAMAAN NONLINEARA. Pertidaksamaan KuadratBentuk umum : Dalam variabel x, dengan a,b,c konstanta dan a 0 Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Kuadrati. Jadikan ruas kanan = 0ii. Jadikan koefisien variabel berpangkat dua bernilai positifiii. Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor lineariv. Tetapkan nilai-nilai nolnya(misal: = nol terkecil dan = nol terbesar, yaitu v. Lihat tanda ketidaksamaannyaJika HP = Jika HP = Contoha. b. c. Jawaba.

Nilai nol :

Penyelesaian : 1

HP = b.

Nilai nol :

Penyelesaian : HP =

c. Nilai nol :

Penyelesaian : HP = 16

B. Pertidaksamaan PecahanBentuk umum :

Dengan dan merupakan polinomyang berbentuk fungsi linear, fungsi kuadrat, maupun fungsi kubik1. Pertidaksamaan Pecahan LinearBentuk umum :

Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Lineari. Jadikan ruas kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien pada pembilang dan penyebut menjadi bertanda sama (keduanya bernilai positif atau negatif)iii. Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun penyebutnya.(misal: = nol terkecil dan = nol terbesar, maka berlaku iv. Lihat tanda ketidaksamaannya Jika maka : Penyelesaiannya =atau Jika maka :

Penyelesaiannya = atau

Contoh :Tentukan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut.a. b. c. d. Jawab:Pada contoh ini terlihat koefisien x sudah bertanda sama dan ruas kanan = 0.a. i. Nilai nol:Pembilang : (nilai terbesar)Penyebut: (nilai terkcil)ii. Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:

Penyelesaian: , ditulis sebagai interval/selang: b. i. Nilai nol:Pembilang : (nilai terbesar)Penyebut: (nilai terkcil)ii. Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:

Penyelesaian: atau , ditulis sebagai interval/selang: c. i. Nilai nol:Pembilang : (nilai terkecil)Penyebut: (nilai terbesar)ii. Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:

Penyelesaian: atau , ditulis sebagai interval/selang: .d. i. Nilai nol:Pembilang : (nilai terkecil)Penyebut: (nilai terbesar)ii. Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:

Penyelesaian: , ditulis sebagai interval/selang: .

2. Pertidaksamaan Pecahan Linear KuadratBentuk umum:

Dengan merupakan konstanta.Tanda ketidaksamaan dapat juga berbentuk

Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Linear Kuadrati. Jadikan ruas kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien pada bentuk kuadrat dan koefisien pada bentuk linear menjadi bertanda samaiii. Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun penyebutnya. Pembilang atau penyebut yang berbentuk kuadrat difaktorkan terlebih dahuluiv. Buat garis bilangan untuk menentukan interval atau batas penyelesaian.

Contoh:Selesaikan setiap PtPLK berikut.a. b. Jawab:Pada contoh ini, terlihat bahwa ruas kanan = 0 dan tanda koefisien pada bentuk kuadrat dan koefisien x pada bentuk linear sudahbertanda sama.a. i. Nilai nol:Pembilang : (bentuk linear) (nilai tengah)Penyebut: (bentuk persamaan kuadrat

(nilai terbesar) (nilai terkecil)Pertidaksamaan menjadi ii. Penyelesaian:Tabel tanda: ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta (+).Unsur

Garis bilangan:

Penyelesaian = b. i. Nilai nol:Pembilang : (bentuk persamaan kuadrat)

(nilai tengah) (nilai terbesar)Penyebut: (bentuk linear (nilai terkecil) Pertidaksamaan menjadi ii. Penyelesaian:Tabel tanda: ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta .Unsur

Garis bilangan:

Penyelesaian =

3. Pertidaksamaan Pecahan Linear Polinom-PolinomBentuk umum :

Dengan dan berbentuk polinom berderajat 2 atau lebih.

Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Linear Polinom-Polinomi. Jadikan ruas kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien pada bentuk kuadrat dan koefisien pada bentuk linear menjadi bertanda samaiii. Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun penyebutnya. Pembilang atau penyebut yang berbentuk kuadrat difaktorkan terlebih dahuluiv. Buat garis bilangan untuk menentukan interval atau batas penyelesaian.

Contoh 1:Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan: Jawab:i. Nilai nol:Pembilang: (nilai terbesar) atau (nilai terkecil) Penyebut: (nilai tengah), ii. PenyelesaianTabel tanda: ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta .Unsur

Garis bilangan:

Penyelesaian =

Contoh 2:Tentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan kuadrat-kuadrat berikut : Jawab i. Nilai nol:Pembilang : (terkecil) x = 2 Penyebut : x = 3 (terbesar) ii. Penyelesaian:Tabel tanda: ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta (+).Unsur

Garis bilangan

Penyelesaian = C. Pertidaksamaan Irasional (pertidaksamaan bentuk akar)Bentuk umum:

Dengan dan berbentuk konstanta ataupun polinom.

Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Irasional:i. Tinjau syarat numers, yaitu dan ii. Kuadratkan kedua ruas dan selesaikan sesuai bentuk pertidaksamaan yang terjadiiii. Penyelesaiannya merupakan irisan(i) dan (ii).Contoh:Cari penyelesaian dari pertidaksamaan irasional berikut.a. b. c. d. Jawab:a. i. Syarat numerus : ii. Proses menghilangkan akar: (kedua ruas dikuadratkan) iii. Irisan (i) dan (ii):Garis bilangan

Penyelesaian = tidak adab. i. Syarat numerus: ii. Proses menghilangkan akar: (kedua ruas dikuadratkan) iii. Irisan (i) dan (ii):Garis bilangan

Penyelesaian = c. i. Syarat numerus: Proses menghilangkan akar: (kedua ruas dikuadratkan) ii. Irisan (i) dan (ii):Garis bilangan

Penyelesaian =

d. i. Syarat numerus: Proses menghilangkan akar: (kedua ruas dikudratkan) ii. Irisan (i) dan (ii), diperoleh:Garis bilangan

Penyelesaian =

D. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Nilai Mutlak dan sifat-sifatnyaNilai Mutlak dinotasikan dengan simbol | | dan didefinisikan sebagai jarak antara sebuah bilangan dan nol pada garis bilangan. Misalkan = 4 berarti bernilai 4 atau .Penulisan pada garis bilangan dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

Definisi:Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x disimbolkan dengan , ditentukan oleh : , untuk = , untuk , untuk Contoh a. b. c. d.

2. Sifat-sifat Nilai Mutlaka) Jika a dan b bilangan Real, berlaku : 1) 2) = , dengan b) Jika bilangan Real maka

Contoh:Carilah nilai x dari persamaan nilai mutlak berikuta. b. c. d. Jawab:a. atau b. ingat: nilai mutlak suatu bilangan tidak pernah negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut.c. 2 - 1 atau d. atau

3. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan Nilai Mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak.Sifat-sifat nilai mutlak, untuk , selalu berlaku :i. ii. iii. iv. v.

Cara menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak secara umum :i. Bentuk dan diubah ke bentuk ii. Bentuk dan diubah ke bentuk iii. Bentuk diubah ke bentuk iv. Bentuk dengan a dan positif, diubah menjadi: atau v. Bentuk dengan , diubah menjadi: Cara menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak yang mempunyai bentuk umum :

Dengan konstanta dan , adalah sebagai berikut:i. Bentuk maka penyelesaiannya ii. Bentuk maka penyelesaiannya

Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut.a. b. c. d. Jawab:a. penyelesaian awal: penyelesaian akhir: b. penyelesaian awal: atau penyelesaian akhir: atau .c. Ingat: nilai mutlak setiap bilangan adalah positif atau nol, jadi: Kesimpulan: dipenuhi oleh setiap . Penyelesaian: .d. , sesuai dengan uraian jawaban c, maka tidak ada penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

DAFTAR PUSTAKAChen Chuan-Chong and Kon Khe-mang, Principles and Techniques in Combinatorics,World Scientific, New Jersey, 2010.David Cohen, Algebra & Trigonometry Fourth Edition, West Publishing Company, NewYork, 1993.Hugh Neill and Douglas Quadling, Pure Mathematics Advance Level Mathematics 1-5,Cambridge University Press, 2013.Kemendikbud, Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Matematika SMA/MA Kurikulum2013, Jakarta: Kemendikbud, 2013.Modul-Modul Belajar dari Negara Jepang dari tahun 1990-2012.Prof. M.L. Khanna and Prof. J.N. Sharma, Mathematics for IIT, India, 1997.R.S. Anggarwal Msc. Phd, Mathematics for MBA, S Chand 8 Company LTd, New Delhi,1996.Soal-Soal Ebtanas dan UN dari tahun 1990-2013.Soal-Soal UMPTN/SPMB dari tahun 1990-2013.Tito Audresscu & Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Second Edition,Birkhauser Boston, 2000.Yao Zhang, Combinatorial Problems in Mathematicals Competitions World Scientifics,2011.