40
TUGAS PRAKTIKUM FENOMENA DASAR Di susun oleh : Cipta komara ( 3331 081419)

PERTUKARAN PANAS

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PERTUKARAN PANAS

TUGAS

PRAKTIKUM FENOMENA DASAR

Di susun oleh :

Cipta komara ( 3331 081419)

JURUSAN TEKNIK MESIN - FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASACILEGON – BANTEN

Page 2: PERTUKARAN PANAS

2010PERTUKARAN PANAS

1-1 PENGERTIAN PERPINDAHAN PANAS

Panas telah diketahui dapat berpindah dari tempat dengan temperatur lebih

tinggi ke tempat dengan tempeatur lebih rendah. Hokum percampuran panas juga

terjadi karena panas itu berpindah, sedangkan pada kalorimeter, perindahan panas

dapat terjadi dalam bentuk pertukaran panas dengan luar sistem.

Jadi pemberian atau pengurangan panas tidak saja mengubah temperatur

atau fasa zat suatu benda secara lokal, melainkan panas itu merambat ke atau dari

bagian lain benda atau tempat lain. Peristiwa ini disebut perindahan panas.

Menurut penyelidikan, perpindahan tenaga panas dapat dibagi dalam

beberapa golongan cara perpindahan. Panas itu dapat merambat dari suatu bagian

ke bagian lain melalui zat atau benda yang diam. Panasjuga dapat dibawa oleh

partikel-partikel zat yang mengalir. Pada radiasi panas, tenaga panas berpindah

melalui pancaran yang merupakan juga satu cara perindahan panas. Umumnya

perindahan panas berlangsung sekaligus dengan ketiga cara ini.

Perpindahan panas melalui cara pertama disebut perpindahan panas melalui

konduksi. Cara kedua, perindahan panas melalui konveksi dan cara ketiga melalui

radiasi.

Di sini kita menyelidiki peristiwa berlangsungnya perindahan panas itu.

Kalau kita menganggap perindahan panas berlangsung secara mengalir analogi

dengan aliran listrik atau aliran fluida, maka aliran panas ini kita namakan arus

panas.

Kita definisikan arus panas ini sebagai jumlah tenaga panas per satuan

waktu atau daya panas melalui penampang tegak lurus kepada arah arus. Oleh

sebab itu arus panas rata-rata adalah

H̄= ΔQΔτ

dengan Δτ sebagai waktu perpindahan panas yang dipandang. Karena arus panas

dapat berubah-ubah menurut waktu, maka arus panas pada setiap saat adalah

H= lim△ τ →∞

Page 3: PERTUKARAN PANAS

Perindahan panas dapat kita ketahui melalui perubahan temperatur. Oleh

karenanya perlu ditentukan hubungan antara arus panas dan perubahan atau

perbedaan temperatur.

Bagi kalorimeter yang mengalami pertukaran panas dengan luar sistem,

akibat perpindahan

panas, Newton memberikan suatu koreksi yang dikenal sebagai hukum

pendinginan atau pemanasan Newton.

1-2 HUKUM PENDINGINAN ATAU PEMANASAN NEWTON

Perubahan temperatur akibat pertukaran panas seperti pada kalorimeter

menurut Newton pada tahun 1701, adalah berbanding lurns dengan waktu. Bila

temperatur sistem lebih tinggi daripada tempeatur sekitarnya, maka akan terjadi

pendinginan pada sistem atau penurunan temperatur dan demikian pun sebaliknya.

Perbandingan ini dapat dijadikan persamaan dengan membubuhi suatu faktor

konstanta k, sehingga

dengan t dan tS. masing-masing merupakan temperatur sistem dan

temperatur sekitarnya. Tanda egatif menunjukkan terjadinya penurnnan

temperatur bila t > tS.. Karena perubahan temperatur ini dapat berbeda menurut

waktu, maka perubahan temperatur setiap saat adalah

atau dapat juga ditulis

sehingga setelah diintegrasikan diperoleh temperatur sistem setelah waktu τ ,

sebesar

Page 4: PERTUKARAN PANAS

Jika temperatur pada waktu τ = 0 adalah to maka konstanta integrasi C

dapat ditentukan, sehingga diperoleh

atau

Apabila perbedaan temperatur sistem dan sekitarnya kecil maka dengan

sendirinya perubahan temperatur pada sistem adalah kecil juga karena perubahan

temperatur maksimum dari sistem adalah menyamai temperatur sekitarnya. Oleh

sebab itu dalam hal ini nampak dari (85) bahwa kτ akan kecil juga harganya.

Untuk kτ « 1 dapat diadakan pendekatan dari (85) dengan menguraikan dulu ke

dalam deret

Dengan mengabaikan faktor kτ dengan pangkat dua dan lebih, pendekatan ini

menjadi

atau perubahan temperatur sistem selama waktu 't adalah kira-kira

Bagi to > ts terjadi pendinginan yakni penurunan temperatur sistem dan bagi

to< ts terjadi pemanasan atau kenaikan temperatur. Jadi untuk perbedaan

temperatur sistem dan sekitarnya yang kecil hubungan (87) dapat dipergunakan

sebagai suku koreksi. Suku koreksi ini dapat dipergunakan misalnya untuk

koreksi temperatur pada kalorimeter.

KONDUKSI PANAS

1-3 PENGERTIAN KONDUKSI PANAS

Page 5: PERTUKARAN PANAS

Tenaga panas dari suatu bagian benda bertemperatur lebih tinggi akan

mengalir melalui zat benda itu ke bagian lainnya yang bertemperatur lebih rendah.

Sebagai arus panas, perpindahan panas ini memenuhi definisi (82). Zat atau

partikel zat dari benda yang dilalui panas ini sendiri tidak mengalir sehingga

tenaga panas berpindah dari satu partikel ke lain partikel dan meneapai bagian

yang dituju. Perpindahan panas seeara ini disebut konduksi panas; arus panasnya

adalah arus panas konduksi dan zatnya itu mempunyai sifat konduksi panas.

Konduksi panas ini bergantung kepada zat yang dilaluinyan dan juga kepada

distribusi temperatur dari bagian benda sedangkan, menurut penyelidikan,

selanjutnya juga bergantung sedikit banyak kepada temperatur itu sendiri.

Berlangsungnya konduksi panas melalui zat dapat diketahui oleh perubahan

temperatur yang terjadi.

Ditinjau dari sudut teori molukuler, yakni benda atau zat terdiri dari

molekul, pemberian panas pada zat menyebabkan molekul itu bergetar. Getaran

ini makin bertambah jika panas ditambah, sehingga tenaga panas berubah menjadi

tenaga getaran. Molekul yang bergetar ini tetap pada tempatnya tetapi getaran

yang lebih hebat ini akan menyebabkan getaran yang lebih keeil dari molekul di

sampingnya, bertambah getarannya, dan demikian seterusnya sehingga akhirnya

getaran molekul pada bagian lain benda akan lebih hebat. Sebagai akibatnya,

temperatur pada bagian lain benda itu akan naik dan kita

lihat bahwa panas berpindah ke tempat lain. Jadi pada konduksi panas,

tenaga panas dipindahkan dari satu partikel zat ke partikel di sampingnya,

berturut-turut sampai meneapai bagian lain zat yang bertemperatur lebih rendah.

1-4 KONDUKSI PANAS PADA KEADAAN TETAP

Apabila temperatur dari suatu benda pada dua tempat adalah tetap dan

berlainan, maka akan terjadi konduksi panas. Konduksi panas demikian yakni

antara bagian dengan temperatur tetap disebut konduksi panas pada keadaan tetap.

Arus konduksi tentunya bergantung juga kepada distribusi temperatur tetap ini

pada benda itu, di samping bentuk benda itu sendiri.

Di sini kita akan melihat hanya hal-hal yang sederhana, yakni keadaan

dengan hanya dua temperatur tetap yang terletak simetris pada benda

Page 6: PERTUKARAN PANAS

bersangkutan. Pada keadaan seimbang, arus panas antara kedua tempeatur tetap

ini akan tetap harganya.

Pada gambar 19 terlihat suatu keping datar plan-paralel, dengan luas kedua

permukaan bidang yang berhadapan adalah A dan masing-masing mempunyai

temperatur tetap t1 dan t2. (t1>t2).

Tebal keping adalah l dan arus panas H mengalir dari t1 ke t2. Setelah

mencapai keseimbangan, maka menurut hasil eksperimen dari Biot dan Fourier,

arus panas tetap H berbanding lurns dengan luas penampang yang tegak lurns

pada arab arus panas, berbanding lurus dengan beda temperatur tetap itu (t1 - t1),

dan berbanding terbalik dengan panjang jalan yang ditempuh arus panas. Dengan

membubuhi suatu faktor pembanding K, kita peroleh hubungan

atau umumnya dapat ditulis

dengan x sebagai jalan yang ditempuh arus panas. Apabila perubaban

temperatur bergantung kepada jalan arus panas, maka (88) dapat ditulis menjadi

dengan tanda negatif menyatakan babwa arah arus menuju ke arah turunnya

temperatur.Faktor dtdx

disebut juga sebagai gradient temperatur.

Konstanta K disebut koefisien konduktivitas panas atau konduktivitas panas.

Ternyata kemudian bahwa konduktivitas panas ini juga tidak konstan tetapi

Page 7: PERTUKARAN PANAS

bergantung kepada temperatur. Untuk batas temperatur tertentu dapat diambil

harga rata-ratanya yakni konduktivitas panas rata. Kita pandang di sini zat dengan

konduktivitas panas yang isotropis.

Page 8: PERTUKARAN PANAS

HIDROSTATIKA

2-1 PENGANTAR

”Hidrostatika” ialah ilmu perihal zat alir atau fluida yang diam tidak

bergerak dan ”hidrodinamika” parihal zat alir yang bergerak. Hidrodinamika

yang khusus mengenai aliran gas dan udara, disebut ”Aerodinamika”.

Fluida ialah zat yang dapat mengalir. Jadi, termasuk zat cairdan gas.

Perbedaan zat cair dengan ghas terutama terletak pada kompresibilitasnya. Gas

mudah dimampatkan, sedang zat cair praktis tidak dapat dimampatkan. Dalam

pembahasan kita disini, perubahan kecil volume zat cair yang menderita tekanan,

umumnya diabaikan.

Rapat massa suatu bahan yang homogen didefinisikan sebagai massanya

persatuan volum. Satuan kerapatan sdalam ketiga sistem satuan ialah: satu

kiliogram per m-3 (1 kg m3), satu gram per cm3 dan slug per ft-3.Rapat massa akan

kita lambangkan dengan huruf Yunani r (rho):

m = rV (13-1)

Misalnya, berat 1 ft3 air ialah 62,5 lb; rapatnya ialah 62,5/32,2 = 1,94 slug

per ft-3. Berat jenis suatu bahan ialah perbandingan rapat massa bahan itu

terhadap rapat massa air dan sebab itu berupa bilangan semata. ”Berat jenis”

(spesific gravity) sebenarnyamerupakan istilah yang sangat keliru, karena tidak

ada sangkut pautnya dengan berat (gravity). Lebih tepat disebut rapat realtif,

karena lebih memperjelas konsepnya.

2-2 TEKANAN DI DALAM FLUIDA

Page 9: PERTUKARAN PANAS

Gmb. 13-1. Gaya terhadap seunsur fluida dalam kesetimbangan

Waktu menerangkan tekanan hidrostatika pada Bagian 11-1, berat fluida

diabaikan dan tekanan dianggap sama pada semua titik. Tetapi seperti sudah kita

ketahui, makin tinggi dari permukaan bumi makin berkurang tekanan udara, dan

di dalam tealaga atau laut tekanan juga akan makin berkurang jika makin jauh dari

dasar. Karena itu definisi tekanankita buat berlaku umum dan mendefinisikan

tekanan di Sembarang titik sebagai perbandingan gaya normal dF yang bekerja

pada suatuluas kecil dA dimana titik itu sendiri berada, terhadap luas dA itu:

dF = pdA (13-2)

Jika tekanan itu sama di semua titik padabidang di seluas A, maka

persamaan - persamaan ini menjadi persamaan (11-3):

F = Pa

Marilah sekarang kita cari hubungan umum antara tekanan p pada

sembarang titik di dalam fluida dengan tinggi letak y titik itu.jika fluida dalam

kesetimbangan, maka semua unsur volumnya jugadalam kesetimbangan.

Pandanglah unsur berbentuk lapisan sangat tipis, seperti pada gambar 13-1, yang

tebalnya dy dan luas permukaannya A. Kalau rapat massa fluida p, massa unsur

itu ialah pA dy dan beratnya dw ialah pgA dy. Gaya yang dikerjakan pada unsur

tersebut oleh fluida sekelilingnya dimana - mana selalu tegak lurus pada

permukaan unsur. Berdasarkan simetri, gaya resultan horisontal pada sisisnyasma

dengan nol. Gaya ke atas pada permukaan sebelah bawah ialah pA,

Page 10: PERTUKARAN PANAS

sedangkangaya ke bawah pada permukaan sebelah atas ialah (p + dp)A. Karena

dalam kesetimbangan,

Fy = 0,

pA - (p + dp)A - pgA dy = 0,

dan oleh karena itu

(12-3)

Karena r dan g keduanya besaran positif, maka dy yang positif (tinggi

bertambah)dibarengi oleh dp yang negatif (tekanan berkurag). Jika p1 dan p2

ialah tekanan pada tinggi y1, dan y2 di atas suatu bidang patokan, maka integrasi

persamaan (13-3), kalau p dan g konstan, menghasilkan:

p2 - p1 = - rg (y2 - y1)

Marilah kita terapkan persamaan ini pada zat cairdalam bejana terbuka,

seperti pada Gambar 13-2. Ambillah titik 1 pada bidang sekehendak dan misalkan

rialah tekanan pada titik ini,ambil titik 2 di permukaan zat cair, dimana tekanan

sama dengan tekanan atmosfir pa. Maka:

pa - p = - pg (2 - y1),

p = pa + pgh (13-4)

Gambar 13-2

Page 11: PERTUKARAN PANAS

Perhatikan bahwa bentuk bejana tidak mempengaruhi tekanan, dan bahwa

jika tekanan itu sama di semua titik pada kedalaman yang sama. Berdasarkan

persamaan (13-4) juga terbukti bahwa kalau tekanan p, diperbesar dengan cara

yang bagaimanapun, umpamanya dengan memasukkan sebuah piston dari atas,

besar tekanan p disemua titik di dalam zat cair itu harus pula bertambah dengan

jumlah yang sama. Hal ini dikemukakan oleh sarjana Perancis Blaise Pascal (1623

- 1662) pada tahun 1653 dan disebut ”Hukum Pascal”. Bunyinya: ”Tekanan yang

diberikan pada fluida dalam bejana tertutup diteruskan tanpa berkurang kesemua

bagian fluida dan dinding bejana itu”. Asas ini bukanlah suatu asas yang berdiri

sendiri, melainkan suatu konsekuensi yang wajar dari hukum - hukum mekanika.

Hukum Pascal: dapat diterangkan berdasarkan cara kerja penekan hidrolik,

seperti pada gambar (13-3). Sebuah piston yag luas penampangnya kecil, a,

digunakan untuk melakukan gaya kecil f langsung terhadap suatu zat cair,

misalnya minyak. Tekanan p = f/a diteruskan lewat sebuah pipa penghubung ke

sebuah silinder yang lebih besar dari yang pistonnya juga lebih besar

(berpenampang A). Karena tekanan di dalam kedua silinder sama, maka:

Oleh sebab itu penekan hidrolik adalah suatu alat untuk melipat gandakan

gaya faktor perkaliannya sama dengan perbandingan antaraluas kedua piston.

Kursi tukang cukur, kursi dokter gigi, pengangkat mobil dalam bengkel dan rem

hidrolik adalah alat - alat yang menerapkan asas penekan hidrolik.

2-3 PARADOKS HIDROSTATIKA

Jika sejumlah bejana berbagai bentuk saling dihubungkan seperti pada

Gambar 13-4 (a), lalu ke dalamnya dituangkan suatu zat cair, maka permukaan zat

Page 12: PERTUKARAN PANAS

cair itu dalam masing - masing bejana akan terletak horisontal sama tinggi. Ketika

asas - asas hidrostatika belum dipahami betuk, hal ini merupakan peristiwa yang

aneh sekali dan dinamakan orang ”paradoks hidrostatika”. Sepintas lalu bejana C,

misalnyaakan menimbulkan tekanan yang lebih besar terhadap atasnya daripada

B, dan karena itu cairan akan terpaksa mengalir dari C ke B. Tetapi persamaan

(13-4) menyatakan, bahwa tekanan hanya bergantung pada dalamnya zat cair di

bawah permukaannya, dan sama sekali bukan padabentuk bejana tempat zat cair

itu. Karena dalamnya zat cair sama di setiap bejana, tekanan terhadap alas masing

- masingpun sama dan karena itu sistem dalam kesetimbangan.

Gmb. 13-4. (a) Paradoks hidrostatika. Permukaan cairan di semua bejana

sama tinggi (b) Gaya terhadap cairan dalam bejana C.

Penjelasan lebih terperinci di bawah ini dapat membantu kita memahami

kejadian tersebut. Lihatlah bejana C pada gambar 13.4 (b). Gaya - gaya yang

dikerjakan oleh dindingnya terhadap zat cair ditunjukkan oleh anak - anak panah.

Arah gayadi mana - mana tegak lurus dinding bejana gaya - gaya miring terhadap

dinding yang condong dapat diuraikan menjadi komponen horisontal dan

komponen vertikal.

Berat zat cair dalam bagian - bagian yang dibubuhi huruf A didukung oleh

komponen vertikal gaya - gaya tersebut. Jadi tekanan pada dasar bejana tersebut

hanyalah berat zat cair vertikal gaya - gaya tersebut. Jadi, tekanan pada dasar

bejana tersebut hanyalah berat zat cair dalam kolom B berbentuk silinder. Yang

dijelaskan di atas berlaku untuk semua bejana, bagaimanapun bentuknya.

2-4 PENGUKUR TEKANAN

Page 13: PERTUKARAN PANAS

Pengukur tekanan yang paling sederhana ialah manometer pipa terbuka,

terlukis pada Gambar 13-5 (a). Alat ini berupa pipa berbentuk U yang bverisi zat

cair. Ujung yag satu menderita tekanan p yang hendak diukur, sedangkan

ujungnya yang satu lagi berhubungan denga atmosfir.tekanan pada dasar kolom

sebelah kiri ialah p + rgy1,. Sedangkan pada dasar kolom sebelah kanan pa + rgy2,

di mana p ialah rapat massa dalam manometer itu. Karena tekanan - tekanan

tersebut keduanya bekerja terhadap titik yang sama, maka:

p + rgy1 = pa + rgy2

dan

p - pa = rg(y2 - y1) = rpgh

Gmb. 13-5. (a) Manometer pipa terbuka. (b) Barometer.

Tekanan p itu disebut tekanan mutlak, sedangkan selisih p - p, antara

tekanan ini dengan tekanan atmosfir disebut tekanan realtif atau tekanan

pengukur (gauge pressure). Ternyata pula, bahwa tekanan pengukur itu sebanding

dengan selisih tinggi kolom - kolom zat cair itu.

Barometer raksaterdiri dari atas npipa gelas panjang yang sesudah diisi

dengan raksa lalu dibalik dan dimasukkan ke dalam bejana berisi raksa pula,

seperti pada gambar 12-5 (b). Dalam ruang diatas kolom raksa hanya ada uap

raksa yang tekanannya pada suhu kamar demikian kecilnya sehingga boleh

diabaikan. Teranglah bahwa:

Pa = rg(y2 - y1) = pgh

Page 14: PERTUKARAN PANAS

Karena manometer dan barometer raksa sangat sering dipakai

dilaboratorium, tekanan atmosfir dan tekanan - tekanan lainnya lazim dinyatakan

dengan ucapan sekian”inci raksa”, ”sentimeter raksa”, atau ”milimeter raksa”.

Walaupun semua bukan merupakan satuan sesungguhnya, akan tetapi karena

demikian diskriptifnya, satuan - satuan tersebut seringdipakai. Tekanan yang

dihasilkanoleh kolom raksayang tingginya satumilimeter biasadisebut satu Torr,

sebagai penghormatan kepada sarjana fisika bangsa italia, Toirricelli, yang

pertama - tama menyelidiki kolom barometer raksa.

Page 15: PERTUKARAN PANAS

PPx

y

O

DEFLEKSI ELASTIK BATANG

3-1 Definisi defleksi pada balok

Deformasi pada balok secara sangat mudah dapat dijelaskan berdasarkan

defleksi balok dari posisinya sebelum mengalami pembebanan. Defleksi diukur

dari permukaan netral awal ke posisi netral setelah terjadi deformasi. Konfigurasi

yang diasumsikan dengan deformasi permukaan netral dikenal sebagai kurva

elastis dari balok. Gambar 9-1 memperlihatkan balok pada posisi awal sebelum

terjadi deformasi dan Gb. 9-2 adalah balok dalam konfigurasi terdeformasi yang

diasumsikan akibat aksi pembebanan.

Gb. 9-1 Gb. 9-2

Jarak perpindahan y didefinisikan sebagai defleksi balok. Dalam penerapan,

kadang kita harus menentukan defleksi pada setiap nilai x disepanjang balok.

Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan yang sering disebut

persamaan defleksi kurva (atau kurva elastis) dari balok.

3-2 Pentingnya defleksi balok

Disamping faktor tegangan, spesifikasi untuk rancangbangun balok sering

ditentukan oleh adanya defleksi. Konsekuensinya, disamping perhitungan tentang

tegangan-tegangan seperti dijelaskan dalam bab 8, perancang juga harus mampu

menentukan defleksi. Sebagai contoh, dalam banyak kode bangunan defleksi

maksimum yang diperkenankan dari suatu batang tidak boleh melebihi 1/300

panjang balok. Dengan demikian, balok yang dirancang dengan baik tidak hanya

mampu mendukung beban yang akan diterimanya tetapi juga harus mampu

mengatasi terjadinya defleksi sampai batas tertentu.

Page 16: PERTUKARAN PANAS

3-3 Metode-metode penentuan defleksi balok

Banyak metode yang tersedia untuk menentukan defleksi balok. Metode-

metode yang umum digunakan antara lain adalah: (1) Metode integrasi-ganda, (2)

Metode fungsi singularitas dan (3) Metode energi elastis

Hanya metode pertama dan kedua yang akan diuraikan dalam bab ini. Perlu

dicatat bahwa kesemua metode tersebut hanya bisa diterapkan jika seluruh porsi

balok bekerja dalam rentang elastis.

3-4 Metode integrasi-ganda

Persamaan diferensial kurva defleksi balok tertekuk adalah

EId2 ydx2

=M (9.1)

dimana x dan y adalah koordinat-koordinat seperti ditunjukkan pada Gb. 9.2.

Disini, y adalah defleksi balok. Persamaan ini akan dijabarkan dalam contoh 1.

Dalam persamaan ini E menyatakan modulus elastisitas balok dan I menyatakan

momen inersia penampang melintang balok terhadap sumbu netral yang melalui

centroid penampang melintang. M menyatakan momen tekuk pada jarak x dari

salah satu ujung balok. Nilainya telah didefinisikan di bab 6 sebagai jumlah

aljabar momen-momen gaya luar terhadap salah satu sisi bagian pada jarak x dari

ujungbatang. Biasanya M akan mertupakan fungsi x dan perlu mengintegrasikan

persamaan (9.1) dua kali untuk memperoleh persamaan aljabar yang menyatakan

defleksi y sebagai fungsi x.

Persamaan (9.1) adalah persamaan diferensial dasar yang menentukan

defleksi elastis seluruh balok tanpa memandang tipe pembebanannya.

3-5 Prosedur integrasi

Metode integrasi-ganda untuk menghitung defleksi balok hanya berisi

integrasi persamaan (9.1). Integrasi pertama menghasilkan kemiringan (slope)

dy/dx pada sembarang titik pada balok dan integrasi kedua memberikan defleksi y

pada setiap nilai x. Momen tekuk M harus dinyatakan sebagai fungsi koordinat x

sebelum persamaannya bisa diintegralkan. Untuk kasus yang akan dipelajari disini

integrasinya adalah sangat sederhana.

Page 17: PERTUKARAN PANAS

Karena persamaan diferensial (9.1) merupakan order kedua, solusinya

harus mengandung dua konstanta integral. Kedua konstanta ini harus dievaluasi

dari kondisi yang diketahui terhadap slope maupun defleksi pada titik tertentu

dalam balok. Misalnya, pada kasus balok gantung (cantilever) konstanta-

konstantanya dapat ditentukan dari kondisi dimana tidak terjadi perubahan slope

dan juga kondisi tanpa perubahan defleksi pada, yaitu pada ujung balok.

Sering, dua atau lebih persamaan diperlukan untuk menjabarkan momen

tekuk pada berbagai daerah disepanjang balok. Ini telah ditegaskan di bab 6. Pada

kasus demikian, persamaan (9.1) harus ditulis untuk setiap daerah pada balok dan

integrasi persamaan menghasilkan dua konstanta integral untuk masing-masing

daerah. Konstanta-konstanta ini kemudian harus ditentukan sedemikian sehingga

memenuhi untuk keseluruhan batas kondisi untuk slope dan deformasinya (Lihat

contoh 3).

3-5 Konvensi tanda

Konvensi tanda untuk momen tekuk yang telah digunakan di bab 6 akan

dipertahankan disini. Kuantitas E dan I yang muncul dalam persamaan (9.1)

adalah positip. Jadi, dari persamaan ini, jika M adalah positip untuk nilai x

tertentu, maka d2y/dx2 juga positip. Berdasarkan konvensi tanda untuk momen

tekuk diatas, maka penting untuk diperhatikan bahwa koordinat x disepanjang

balok adalah positip kekanan dan defleksi y adalah positip naik. Dengan tanda

aljabar ini integrasi persamaan (9.1) dapat dilakukan untuk menghasilkan defleksi

y sebagai fungsi x, dengan pengertian bahwa defleksi keatas adalah positip dan

defleksi kebawah adalah negatip.

3-6 Asumsi dan pembatasan

Pada penjabaran persamaan (9.1) diasumsikan bahwa defleksi yang

disebabkan oleh aksi gesekan adalah dapat diabaikan, dibandingkan dengan yang

disebabkan oleh aksi tekukan. Juga, diasumsikan bahwa defleksi yang terjadi

adalah relatif kecil dibandingkan dengan dimensi penampang melintang balok,

dan seluruh porsi balok beraksi dalam batas elastis.

Contoh 1.

Page 18: PERTUKARAN PANAS

yx

ρ

O

Tentukan persamaan diferensial untuk kurva defleksi suatu balok yang dibebani

dengan gaya melintang.

Dari bab 8, kita mempunyai hubungan

M= EIρ

Pada pernyataan ini, M adalah momen tekuk yang bekerja pada penampang

melintang balok, ρ jari-jari kurva terhadap permukaan netral balok, E modulus

elastisitas, dan I momen penampang melintang terhadap sumbu netral yang

melalui centroid penampang. Biasanya nilai E dan I adalah konstan disepanjang

balok, tetapi M dan ρ merupakan fungsi x.

Persamaan diatas dapat kita tulis dalam bentuk

1ρ= M

EI

dimana ruas kiri mewakili kurva permukaan netral dari balok. Karena M

bervariasi disepanjang balok, kurva defleksi akan berupa kurva variabel.

Misalkan garis tebal pada gambar dibawah merupakan permukaan netral

terdeformasi dari balok. Awalnya sumbu balok adalah berimpit dengan sumbu x.

Defleksi y adalah positip kearah atas; sehingga untuk kurva pada gambar dibawah,

seluruh defleksi adalah negatip.

Pernyataan untuk kurva pada sembarang titik disepanjang balok yang

terdeformasi telah tersedia dari kalkulus diferensial. Formula kurva adalah

1ρ= d2 y /dx2

[1+(dy /dx )2]3/2

Pada pernyataan ini, dy/dx mewakili kemiringan atau slope kurva pada

sembarang titik; dan untuk defleksi balok yang sangat kecil nilainya dan juga nilai

kuadratnya sangat kecil sehingga biasanya dapat diabaikan. Asumsi ini membuat

pernyataan untuk kurva menjadi lebih sederhana, yaitu

Page 19: PERTUKARAN PANAS

L

x

P

x

PPL

y

PL

1ρ≈d2 y

dx2

Dengan demikian untuk defleksi yang kecil persamaan kurva menjadi

d2y/dx2=M/EI atau

EId2 ydx2

=M

Ini merupakan persamaan diferensial untuk kurva defleksi dari balok yang

dibebani gaya melintang. Sesuai dengan penemunya, persamaan ini juga disebut

persamaan Euler-Bernouli untuk balok tekuk.

Contoh 2.

Tentukan defleksi pada sembarang titik pada balok gantung (cantilever)

yang dikenai gaya tunggal terkonsentrasi P, seperti gambar dibawah.

Disini diogunakan sistem koordinat x-y, dimana sumbu-x berimpit dengan

posisi balok sebelum tertekuk. Balok tertekuk diperlihatkan dengan garis tebal.

Pertama perlu ditentukan rekasi-reaksi yang diterima oleh dinding pendukung,

dan dari statika diperoleh gaya reaksi vertikal P dan momen PL.

Momen tekuk pada sembarang penampang melintang pada jarak x dari

dinding diberikan dengan jumlah momen-momen kedua reaksi ini terhadap sumbu

penampang. Terbukti bahwa gaya keatas menghasilkan momen positip Px, dan

kopel PL jika beraksi sendiri akan menghasilkan kurva balok seperti gambar

sebelah kanan. Berdasarkan konvensi tanda, ini menunjukkan tekukan negatip.

Dengan demikian momen tekuk M pada bagian x adalah

M=−PL+Px

Persamaan diferensial untuk balok tertekuk adalah

EId2 ydx2

=M

Page 20: PERTUKARAN PANAS

dimana E menunjukkan modulus elastisitas bahan dan I menunjukkan momen

inersia penampang melintang terhadap sumbu netral. Substitusi kedua persamaan

diatas diperoleh

EId2 ydx2

=−PL+Px

Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan

EIdydx

=−PLx+ Px2

2+C1

yang juga berarti persamaan untuk slope, dimana C1 adalah konstanta

integral. Konstanta ini dapat dievaluasi dengan menggunakan kondisi dimana

slope dy/dx dari balok pada dinding adalah nol karena balok dijepit secara tetap

disini. Dengan demikian (dy /dx )x=0=0 . Persamaan hasil integrasi pertama adalah

benar untuk semua nilai x dan y, dan jika kondisi x = 0 disubstitusikan kita

dapatkan 0 = 0 + 0 + C1 atau C1=0.

Integrasi kedua menghasilkan

EIy=−PLx2

2+ Px 3

6+C2

dimana C2 adalah konstanta kedua integrasi. Lagi, kondisi pada dinding

pendukung akan menentukan konstanta ini. Pada x=0, defleksi y adalah nol karena

balok dijepit secara kaku. Dengan mensubstitusikan (y)x=0=0 kedalam persamaan

diatas, kita peroleh 0 = 0 + 0 + C2 atau C2=0.

Dari kedua persamaan kita peroleh C1 = C2 = 0 memberikan slope dy/dx dan

defleksi y pada titik x. Defleksi adalah maksimum pada ujung kanan balok (x =

L), dibawah pembebanan P.

EIymax=−PL3

3

dimana nilai negatip menunjukkan bahwa pada titik ini kurva defleksi

terletak dibawah sumbu-x. Jika hanya diiunginkan besaran defleksi maksimum

pada x = L, biasanya dinyatakan dengan ∆max dan kita peroleh

Δmax=PL3

3 EI

Contoh 3.

Page 21: PERTUKARAN PANAS

P

y

P

P PL

L1a a

x

Tentukan persamaan kurva defleksi untuk balok menggantung yang

dibebani oleh dua gaya P yang sama seperti diilustrasikan pada gambar dibawah.

Momen tekuk pada daerah batang gantung sebelah kiri adalah

M=−Px untuk 0<x<a

dan persamaan diferensial untuk batang tekuk pada daerah tersebut adalah

EId2 ydx2

=−Pxuntuk 0<x<a (1)

Integrasi pertama persamaan ini menghasilkan

EIdydx

=−Px2

2+C1 (2)

Tidak ada yang bisa diketahui untuk slope dy/dx di daerah ini. Secara

khusus, perlu ditekankan bahwa tidak ada justifikasi untuk mengasumsikan bahwa

slope pada sendi (x = a) adalah nol. Kita mungkin menyatakan slope disini

dengan notasi

EI ( dydx )

x=a=−P( a2

2 )+C1(3)

Integrasi selanjutnya menghasilkan

EIy=− P2 ( x3

3 )+C1 x+C2(4)

Karena balok menggantung pada pendukung (sendi), maka diketahui bahwa

defleksi y adalah nol. Dengan demikian (y)x=a=0. Dengan mesubstitusikan y = 0

ketika x = a di (4), kita peroleh

0=−Pa3

6+C1 a+C2 (5)

Momen tekuk pada daerah tengah balok diantara pendukung (sendi dan

engsel) adalah M = -Pa dan persamaan diferensialnya adalah

Page 22: PERTUKARAN PANAS

EId2 ydx2

=−Pauntuk 0<x<( L−a ) (6)

Integrasi persamaan diatas menghasilkan

EIdydx

=−Pax+C3 (7)

Karena pembebanan adalah simetris dapat dibuktikan bahwa slope dy/dx

harus nol pada bagian tengan balok. Jadi (dy/dx)x=L/2=0. Substitusi nilai ini ke

persamaan (7) kita peroleh

0=−Pa(L2 )+C3

atauC3=

PaL2 (8)

Juga dari persamaan (7) dapat dikatakan bahwa slope balok pada pendukung

sebelah kiri, x = a, dapat diberikan dengan substitusi x = a kedalam persamaan

ini, dan menghasilkan

EI ( dydx )

x=a=−Pa2+ PaL

2 (9)

Tetapi slope dy/dx yang diberikan dari pernyataan ini harus sama dengan

yang diberikan oleh persamaan (3), karena tekukan batang pada titik ini harus

mempunyai slope yang sama, tidak pandang persamaan mana yang digunakan.

Dengan cara yang sama, untuk ruas kanan (persamaan (3) dan (9)) kita

peroleh

−Pa2

2+C1=−Pa2+ PaL

2 (10)

Atau

C1=− Pa2

2+ PaL

2 (11)

Substitusi nilai C1 kedalam pers. (5) kita peroleh

0=−Pa3

6− Pa3

2+ Pa2 L

2+C2 (12)

Atau

C2=2 Pa3

3− Pa2 L

2

Integrasi selanjutnya dari persamaan (7) menghasilkan

EIy=−Pax2

2+ PaL

2( x )+C4 (13)

Page 23: PERTUKARAN PANAS

Lagi, defleksi y pada pendukung sebelah kiri, x = a, adalah nol. Meskipun

kondisi yang sama telah digunakan untuk memperoleh persamaan (5) pada saat ini

kondisi ini akan digunakan untuk menentukan konstanta C4 dalam persamaan (13).

Dengan substitusi nilai (y)x=a=0 kedalam persamaan (13), kita peroleh

0=−Pa3

2+ Pa2 L

2+C4 atau

C4=Pa3

2− Pa2 L

2 (14)

Selanjutnya diperlukan untuk memanfaatkan empat kondisi berkaitan

dengan slope dan defleksi guna menentukan keempat konstanta tersebut. Kondisi-

kondisi tersebut adalah

(a) Jika x = a, y = 0 untuk porsi balok menggantung

(b) Jika x = a, y = 0 untuk porsi tengah (central) balok

(c) Jika x = L/2, dy/dx = 0 untuk porsi tengah balok

(d) Jika x = a, slope dy/dx adalah sama untuk kurva defleksi pada

sebelah sisi pendukung.

Akhirnya, persamaan balok tekuk dapat ditulis dalam bentuk

EIy=− Px3

6− Pa2 x

2+ PaLx

2+ 2 Pa3

3−Pa2 L

2 untuk 0<x<a(15)

EIy=− Pax2

2+ PaLx

2+ Pa3

2− Pa3 L

2 untuk 0<x<( L−a ) (16)

Karena pembebanannya simetris maka tidak perlu untuk menulis

persamaan untuk balok terdeformasi pada bagian sebelah kanan.

Page 24: PERTUKARAN PANAS

KINEMATIKA

Kinematika mesin adalah suatu pengetahuan tentang gerak relatif dari

bagian -bagian mesin yaitu posisi, kecepatan dan percepatan.

4-1 Diagram Kinematis

Dalam mempelajari gerakan-gerakan dari bagian-bagian mesin, biasanya kita

gambarkan bagian-bagian tersebut dalam bentuk sketsa sehingga hanya bagian-

bagian yang akan memberi efek pada gerakan yang diperhatikan.

Gambar 1.1 Diagram kinematis

Gambar 1.1 menyatakan elemen-elemen utama dalam sebuah mesin diesel.

Bagian -bagian yang diam, terdidri dari bantalan -bantalan kruk as dan dinding

silinder diberi label 1. Engkol dan kruk as adalah batang penghubung 2, batang

penghubung 3, dan torak atau peluncur adalah penghubung 4. Batang penghubung

(link0 adalah suatu nama yang diberikan pada setiap benda yang mempunyai

gerakan relatif terhadap yang lainnya. Posisi, kecepatan dan percepatan sudut dari

batang tergantung hanya

pada panjang dari engkol dan batang hubung dan tidak dipenguruhi oleh lebar

atau ketebalan dari batang. Gambar sksla yang menyatakan suatu mesin sehingga

hanya dimensi yang memberi efek pada gerakannya disebut diagram kinematis.

4-2 Mekanisme

Page 25: PERTUKARAN PANAS

Sebuah rantai kinematis adalah sebuah system dari batang batang

penghubung yang berupa benda benda kaku yang apakah digabungkan bersama

atau dalam keadaan saling bersinggungan sehingga memungkinkan mereka untuk

bergerak relatif satu terhadap yang lain . Jika salah satu dari batang

penghubungnya tetap dan gerakan dari sebarang batang penghubung yang lain ke

posisinya yang baru akan menyebabkan setiap batang penghubung yang lain

bergerak ke posisi posisi tertentu yang telah diramalkan system tersebut adalah

sebuah rantai kinematis yang dibatasi .Jika salah satu dari batang penghubung

ditahan tetap gerakan dari batang penghubung yang lain ke posisinya yang baru

tidak akan menyebabkan setiap batang batang penghubung yang lain bergerakke

posisi tertentu yang telah diramalkan

maka system tersebut adalah suatu rantai kinematis tak terbatas.

4-3 Inversi

Dengan membuat suatu batang penghubung yang berbedadalam rantai

kinematis sebagai bagian yang tidak bergerak, kita memperoleh mekanisme yang

berbeda.Penting untuk dicatat bahwa inverse dari suatu mekanisme tidak akan

mengubah gerakan antara batang-batang penghubungnya. Sebagai contoh, gambar

diatas jika batang penghubung 2 berputar ?0 searah jarum jam relatif terhadap

batang penghubung 1, batang penghubung 4 akan bergerak kekanan sepanjang

garis lurus pada penghubung1. Hal ini akan selalu demikian tidak peduli batang

penghubung mana yang ditahan tetap.

4-4 Bidang Gerakan

Sebuah benda mempunyai bidang gerakan jika semua titik-titiknyabergerak

dalam bidang-bidang parallel terhadap bidang referensinya. Bidang referensi

tersebut dise but bidang gerakan (plane motion). Bidang gerakan dapat merupakan

Page 26: PERTUKARAN PANAS

salah satu dari 3 tipe : gerakan menurut garis lurus (translasi0, putaran atau

kombinasi dari translasi dan rotasi.

4-5 Translasi

Sebuah benda mempunyai gerakan berupa translasi, jika ia bergerak

sedemikian hingga semua garis-garis lurus dalam benda tersebut bergerak

mengikuti posisi-posisi yang sejajar. Translasi garis lurus (rectilinear translation)

adalah suatu gerakan dimana semua titik dari suatu benda bergerak dalam jalur

garis lurus. Suatu translasi dimana titik titik dalam suatu benda bergerak

sepanjang jalur yang berupakurva disebut translasi menurut kurva (curvilinear

translation).

4-6 Putaran

Dalam putaran (rotasi) semua titik dalam sebuah benda selalu mempunyai

jarak yang tetap dari sebuah garis yang tegak lurus terhadap bidang geraknya.

Garis ini adalah sumbu putaran (axis of rotation) dan titik-titik dalam benda

tersebut membuat lintasan menurut jalur berupa lingkaran terhadap garis tersebut.

4-7 Translasi Dan Rotasi

Page 27: PERTUKARAN PANAS

Kebanyakan bagian-bagian mesin mempunyai gerakan yang merupakan

kombinasi dari rotasi dan translasi. Dalam gambar (a) perhatikan gerakan dari

batang hubung sewaktu ia bergerak dari posisi BC ke B’C’. Posisi -posisi ini

ditunjukkan dalam gambar (b). Disini kita lihat bahwa gerakannya ekivalen

terhadap suatu translasi dari BC ke B’’C’’ yang diikuti oleh sutu rotasi dari B’’C’’

ke B’C’. Gerakan ekivalen yang lain diilukiskan dalam ga mbar (c). Disini

ditunjukkan suatu putaran dari suatu batang terhadap C dari posisi BC ke B’’C’’,

diikuti dengan suatu translasi dari B’’C’’ ke B’C’. Jadi gerakan dari batang

hubung dapat dianggap sebagai suatu putaran terhadap beberapa titik ditambah

suatu translasi.

4-8 Vektor-Vektor

Ada dua tipe besaran yang harus diperhatikan dalam mekanika. Besaran

scalar adalah yang hanya mempenyai besar saja. Contohnya : jarak, luas, isi dan

waktu. Besaran vector mempunyai besar dan arah. Contohnya : lintasan,

kecepatan, percepatan dan gaya. Sebuah besaran vector dapat dinyatakan dengan

sebuah garis lurus dengan anak panah. Besar dari vector diyatakan dengan

panjangnya yang digambarkan dengan skala tertentu.

4-8.1 Penjumlahan dan Pengurangan dari vector-vektor

Vektor-vektor A dan B dalam gambar dibawah dapat ditambahkan dengan

meletakkan mereka dalam suatu cara seperti pada gambar. Titik O adalah titik

awal yang disebut kutub, dari kutub ini vector A dan vector B diletakkan dengan

ekor dari salah satunya diletakkan pada ujung vector lainnya. Jumlah dari kedua

vector disebut resultante dan dalam gambar ditunjukkan dengan garis putus-putus.

Page 28: PERTUKARAN PANAS

Pada waktu meletakkan vector-vektor untuk tujuan menentukan resultantenya,

besar dan arahnya yang diberikan haru s dipertahankan, tetapi urutannya

meletakkan tidak akan memberikan efek terhadap resultantenya. Resultante selalu

berarah keluar dari kutubnya dan merupakan penutup dari suatu polygon.

4-8.2 Penggabungan dan Penguraian dari vector-vektor

Penggabungan menyatakan penambahan bersama-sama dari sejumlah vector-

vektor. Jumlahnya disebut resultante dan vector-vektor tersebut disebut komponen

dari resultante.

Penguraian menyatakan pemecahan dari vector ke dalam sejumlah komponen-

komponen. Setiap vector dapat diuraokan ke dalamsejumlah komponen yang tak

terbatas. Seringkali diinginkan untuk menguraikan sebuah vector kedalam dua

komponen. Jika sebuah vector diuraikan ke dalam dua komponen, tiap komponen

Page 29: PERTUKARAN PANAS

mempunyai besar dan arah. Jika dua dari empat besarannya diketahui, dua yang

lain dapat ditentukan.