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Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles · Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles Thomas Cailleteau 1 Maître de Stage : Aurélien Barrau

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Perturbations Tensorielles

en Gravité Quantique à Boucles

Thomas Cailleteau 1

Maître de Stage : Aurélien Barrau2

2Laboratoire de Physique Subatomique et de CosmologieUniversité Joseph Fourier, CNRS/IN2P3, INPG53 avenue des Martyrs, 38026 Grenoble cedex

1Master 2 Sciences de la MatièreEcole Normale Superieure de Lyon, 69007 Lyon1Magistére de physique fondamentale 3eme année

Bâtiment 470, Université Paris-Sud XI, 91405 Orsay

Année 2008-2009

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Table des matières

1 Introduction 3

2 La Gravitation au niveau quantique 42.1 La Théorie des Cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 La Relativité Générale Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 La quanti�cation canonique et la Loop Quantum Gravity 53.1 Une introduction intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 La théorie sous son aspect technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Formulation Hamiltonienne et contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.2 Les variables d'Ashtekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Holonomies ou boucles de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.4 La Loop Quantum Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.5 Les corrections quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.6 Les crochets de Poisson pour les perturbations et variables gravitationnelles . . . . . . . . 13

4 Les perturbations tensorielles 14

5 In�uences des corrections d'Holonomie et d'Inverse Volume sur l'équation de propagationdu graviton 145.1 Hamiltonien e�ectif et équation du mouvement de (k, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Hamiltonien total et équation de propagation du graviton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Equation de propagation du graviton en terme de quantités physiques connues . . . . . . . . . . 19

5.3.1 Dé�nition et expression des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3.2 Equation de propagation du graviton en fonction des observables . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 L'équation de propagation du graviton comme équation de type Schrödinger . . . . . . . . . . . . 23

6 Résolution de l'équation de propagation et Spectre de Puissance dans le cas d'une in�ationstandard 246.1 Modi�cations apportées dans le cas de l'in�ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Obtention d'une solution analytique pour le cas (s = 2, ε = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2.1 Limite Ultraviolette, k → +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2.2 Limite Infrarouge, k → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Conclusion 31

8 Annexe A : Crochets de Poisson et équations du mouvement 32

9 Annexe B : Klein-Gordon for the Background 32

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Remerciements

Comment ne pas être heureux et satisfait après avoir connu une personne comme Aurélien Barrau. Il m'aacceuilli au sein de l'équipe, sans pour autant me connaître et pourtant, par ce geste, il a comblé un jeuneétudiant qui avait soif d'apprendre, et dont la soif est devenue inextinguible : Aurélien est un grand orateur,il possède une telle capacité à savoir comment transmettre ses connaissances et ses motivations, que l'on estimmédiatement transporté par ses propos. C'est une personne d'une grande sympathie et très attentionnée, etje ne connaîs pas les mots pour exprimer toute ma reconnaissance, s'ils existent.Je tiens aussi à remercier une personne qui jamais n'a montré pro�l bas, mais a toujours été contente et motivéedans son travail. Jamais avarde d'un coup de main dans un moment de doutes et d'intenses ré�exions, toujourssouriante, ce fût très sympa de travailler en sa compagnie. Je tiens évidemment à remercier chaleureusementAlexia Gorecki.Et comme il faut avoir un Grain pour s'embarquer dans une telle aventure, je tenais bien entendu à remercierJulien pour ses échanges et son enthousiasme à se projeter dans la bataille. J'espère qu'il trouvera la place quilui correspond, et que l'on pourra dialoguer plus dans l'avenir.Je ne pourrais pas terminer sans ne pas avoir remercier le directeur du LPSC, Serge Kox, de m'avoir permisd'être un membre à part entière de ce laboratoire, et d'y vivre de si bons moments, mais aussi mon directeurde formation, Thierry Dauxois qui, en m'acceptant dans ce master, m'a permis de suivre une très bonne annéeet d'avoir une excellente formation en physique.Je tenais aussi à remercier toutes les personnes du laboratoire, stagiaires, thésards, chercheurs, dont les ren-contres ont rythmé joyeusement mes journées.En�n, à une personne qui compte beaucoup pour moi, et sans qui j'aurai été dans le pétrin, Céline. Plus qu'uneamie.

Puissent ces mots convaincre ces gens de mon immense gratitude, ainsi que de l'estime que j'ai pour eux.

Pour cette merveilleuse aventure, merci.

Thomas

La photographie en couverture représente la vision de notre espace-temps en terme de boucles.

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1 Introduction

Depuis toujours, la communauté scienti�que n'a eu de cesse de comprendre le monde tant dans l'in�nimentpetit que dans l'in�niment grand, provoquant ainsi une révolution intellectuelle lors de l'avènement des deuxgrandes théories modernes que sont la Mécanique Quantique (MQ) et la Relativité Générale (RG). C'est ainsiqu'une des principales occupations des physiciens a été, depuis le début du siècle dernier, de concilier ces deuxthéories a�n d'obtenir une description quantique de la gravitation. L'une des dernières avancées vers cettenouvelle description provient notamment de la Loop Quantum Gravity (LQG) ou Gravité Quantique à Boucles.Cette nouvelle théorie utilise une reformulation Hamiltonienne de la Relativité Générale écrite comme unethéorie de jauge [1] et lui applique une procédure de quanti�cation non-perturbative développée par Thieman[2, 3]. Cependant, l'échelle d'énergie faramineuse, ainsi que la longueur typique minuscule qu'il nous faudraitatteindre pour pouvoir la tester, nous sont pour l'instant hors de portée, excepté peut-être dans le cas des trousnoirs quantiques de faibles masses que l'on cherche encore à observer. On essaye donc actuellement de regarderdans quelle mesure on pourrait évaluer les conséquences de cette théorie sur les phénomènes physiques quel'on sait observer. C'est ainsi que l'on peut, en adaptant le formalisme de la Gravité Quantique à Boucles auxcaractéristiques de notre Univers [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], étudier comment il se comporte si l'on tient compte decette théorie et se placer ainsi dans le cadre de la Cosmologie Quantique à Boucles, ou en anglais Loop QuantumCosmology, dont l'utilisation récente a permis la prédiction de phénomènes étonnants comme l'abscence desingularités au moment du prétendu Big Bang [11].Plus récemment, les travaux conjoints de Martin Bojowald avec d'autres spécialistes ont permis d'entrevoir lapossibilité d'un test lié aux conséquences des corrections quantiques issues de la LQG sur les composantes du fonddi�us cosmologique ou Cosmic Microwave Background (CMB), et une preuve de la validité de la Loop QuantumGravity pourrait ainsi être dévoilée à travers l'étude des ondes gravitationnelles primordiales. En e�et, le mieuxque l'on puisse serait de calculer les conséquences des perturbations scalaires sur le fond di�us cosmologique,puisque ces perturbations sont des plus faciles à observer. Malheureusement, le calcul étant des plus compliqués[12], une première étape a été de se concentrer sur les perturbations tensorielles, même si leur mesure est pluscomplexe. C'est ainsi que les calculs e�ectués dans l'article [13] ont été repris dans le but d'étudier l'apportdes corrections d'holonomie et d'inverse-volume (qui correspondent aux corrections dominantes de la LQG) surle spectre de puissance tensoriel [14, 15, 16, 17, 18]. Dans tous les articles déjà publiés, les corrections ont étéprises séparemment a�n de connaître précisément les e�ets propres de chacune sur la phénoménologie que l'onpourrait observer, et en raison des modèles possibles dont nous disposons, di�érents groupes se sont concentréssur la possibilité d'obtenir une super-in�ation [19, 20], ou bien plus directement une in�ation [21, 22]. Nousnous proposons ainsi de coupler ces deux e�ets pour la première fois.Cette théorie étant émergente, peu de cosmologistes s'y sont intéressés au contraire, par exemple, de la Théoriedes Cordes, néanmoins, elle commence à susciter de par le monde un engouement important. Il reste cependantbeaucoup de zones non-explorées et c'est ainsi que ce stage a été consacré à l'étude des 2 corrections précédentessur les modes tensoriels.En résumé, j'essaye ainsi de chercher une signature observationnelle possible des corrections quantiques issues dela Loop Quantum Gravity, en regardant quelles devraient être leurs conséquences sur la propagation des ondesgravitationnelles primordiales dont la trace pourrait être retrouvée dans le fond di�us cosmologique. Dans cerapport seront ainsi explicitées plus ou moins succintement les di�érentes étapes de calculs m'ayant permisd'arriver à l'expression �nale de l'équation de propagation, tout en tenant compte simultanément des deuxcorrections quantiques possibles. La dernière partie sera consacrée à la résolution analytique de cette équationde propagation, dans un contexte in�ationnaire donné en ayant �xé la valeur de certains paramètres, et ce, a�nde pouvoir véri�er la validité des simulations numériques que l'on fera par la suite. On pourra dès lors calculerun Spectre de Puissance et regarder comment il est modi�é pour di�érents jeux de paramètres.

Dans tout ce qui suit, on prendra ~ = 1, c = 1, et on appelera Relativité Générale la théorie classique de lagravitation.

Une grande partie des explications qui vont suivre étant destinée à présenter "avec les mains" les idéesessentielles de la gravitation, je m'excuse d'avance auprès des lecteurs spécialistes si une ou plusieurs de cesidées sont exprimées trop légèrement, à en devenir presque fausses.

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2 La Gravitation au niveau quantique

Malgré le manque de données expérimentales directes, un des enjeux majeurs de la Physique Fondamentaledurant le siècle dernier a été d'introduire une théorie de la gravitation, cohérente tant au niveau quantique qu'auniveau macroscopique. En partant d'un besoin purement théorique a�n d'obtenir �nalement une description del'Univers plus juste et plus complète que ce que nous connaissons à l'heure actuelle, la nécessité d'une tellethéorie s'explique en partie par le fait que la Relativité Générale montre d'elle-même son incapacité à décrire lemonde physique dans certains domaines, notamment lors du Big Bang ou bien au coeur d'un trou noir. Cetteincapacité est en fait due à la présence de singularités, c-à-d des endroits où l'invariant de Riemann diverge,conduisant à des observables in�nies et donc inacceptables, nous indiquant ainsi que les équations données parla RG sont erronées et qu'il faut donc chercher une nouvelle description. Cela in�uence ainsi la Cosmologie carsi l'on ne connaît pas su�sament les conditions initiales au début de l'Univers, on ne peut véri�er les modèlesexpliquant son histoire.D'autre part, en raison des progrès e�ectués dans le cadre de la réuni�cation des forces autres que la gravitation,comme la force d'intéraction électrofaible s'exprimant au niveau quantique, on espère trouver un cadre théoriquedans lequel on pourra réuni�er cette fois-ci toutes les interactions. Or cela n'est envisageable que si l'on a accèsà une description quantique de la gravitation.Ainsi, pour ces di�érentes raisons et d'autres non abordées ci-dessus, une partie de la communautée scienti�queactuelle cherche une théorie plus prometteuse permettant de décrire la gravitation d'un point de vue quantiquejusqu'à l'échelle dite de Planck (lp ≈ 1, 62 · 10−33cm), mais qui, au niveau classique, resterait cohérente avecla Relativité Générale et les obserations e�éctuées aux très grandes échelles. Pour ce faire, il existe plusieursapproches possibles fondées sur di�érents formalismes, pouvant entraîner l'utilisation de concepts avancés demathématique, que nous allons expliciter :

2.1 La Théorie des Cordes

La Théorie des Cordes est à l'évidence la plus célèbre des théories permettant à la fois d'uni�er toutes lesinteractions et de quanti�er la gravitation. Fondée sur l'hypothèse d'objets fondamentaux �liformes (initialementimaginés pour résoudre certaines caractéristiques observées des interactions fortes), elle est :

� une théorie quantique, par construction.� une théorie gravitationnelle car il fut rapidement découvert que le spectre des cordes contenait des bosonssans masse de spin 2 (des gravitons).

� une théorie d'uni�cation puisqu'elle permet de rendre compte de toutes les forces fondamentales dans ununique corpus à partir de seulement deux � grandeurs � : la tension et la constante de couplage des cordes.

� une théorie qui permet de conférer une assise microscopique à certaines propriétés macroscopiques éton-nantes comme l'entropie des trous noirs.

De plus, de façon très étonnante, la Théorie des Cordes permet d'uni�er conceptuellement les lois qui régissentle mouvement et celles qui dictent les forces (dans la mesure où toutes les forces ont une origine commune :la cassure et l'union des cordes), ce qu'aucun autre modèle physique ne peut prétendre à l'heure actuelle.Historiquement, l'engouement qu'elle connaît fut sans doute essentiellement du à la découverte par Schwarzet Green du caractère �nitaire de la théorie : elle ne sou�re pas de la pathologie endémique de la plupart desthéories d'uni�cation nommée � anomalie � (qui indique quand une théorie quantique ne respecte plus unesymétrie de la théorie classique à partir de laquelle elle est dé�nie), ce qui signi�e qu'elle est donc, en un sens,réellement compatible avec la Mécanique Quantique. L'étude de la Théorie des Cordes s'est déployée autour detrois révolutions :

� la supersymétrie. La Théorie des Cordes requiert structurellement cette nouvelle symétrie. Dans unecertaine mesure, elle uni�e donc également les fermions et les bosons.

� La dualité. Contre toute attente intuitive, il apparut qu'il existait des liens importants entre les grandeset les petites distances (dualité T) d'une part et les fortes et les faibles interactions d'autre part (dualitéS).

� Le paysage. La compacti�cation des dimensions supplémentaires nécessaires à la cohérence de la théoriedes cordes (associée aux �ux magnétiques généralisés qui les traversent) donne naissance à une quasi-in�nité (peut être 100500) vides physiques possibles. C'est cette découverte qui mène à la proposition del'existence d'un � multivers � où toutes les lois physiques seraient réalisées.

En dépit de ces remarquables succès, cette approche sou�re également d'un grand nombre de di�cultés quijusti�ent l'étude d'autres voies d'accès à la gravitation quantique :

� la Théorie des Supercordes vit dans un espace décadimensionnel, ce qui ne semble pas être exactement lecas du monde qui nous entoure. Pourquoi seules certaines des dimensions seraient compacti�ées et doncinvisibles ?

� la Théorie des Cordes prédit l'existence de particules supersymétriques qui n'ont jamais été observées. Iln'est pas exclu que ces particules existent (le LHC les recherchera) mais vingt années de traque n'ont,pour le moment, donné aucune indication en leur faveur.

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� la théorie des cordes s'accommode très bien d'un espace Anti-de Sitter (constante cosmologique négative),beaucoup moins d'un espace de de Sitter (constante cosmologique positive, comme observé dans notremonde). Il faut alors recourir aux techniques de stabilisation qui conduisent au � paysage � de lois.

En�n, et c'est le point crucial pour notre démarche : la Théorie des Cordes n'est pas invariante de fond. Il n'estpas exclu que dans une version non-perturbative non encore découverte (ou pour la Théorie-M), elle puisse êtreexprimée sous une forme invariante de fond. Mais, dans l'état actuel, elle ne respecte pas la prescription le plusprofonde et la plus importante de la Relativité Générale (que toute les entités soient dynamiques) et requiertl'existence d'un fond �xé sur lequel se meuvent les cordes. A la di�érence de la gravitation quantique à boucles,elle est une théorie qui vit sur l'espace-temps et non pas une théorie de l'espace-temps lui-même.

2.2 La Relativité Générale Quantique

La seconde approche est la plus directe, tant conceptuellement qu'historiquement, puisqu'elle consiste à sebaser sur les fondements issus des théories déjà connues et très bien véri�ées expérimentalement que sont laRelativité Générale et la Théorie Quantique des Champs, a�n d'utiliser les règles usuelles de quanti�cation etformer ainsi une théorie de la Relativité Générale Quantique. On peut pour ce faire distinguer l'utilisation dedeux approches di�érentes qui sont

• l'approche covariante utlisant la 4D-covariance lors de certaines étapes, notamment lors de la constructiondu Lagrangien. Comme exemples de théories on peut citer la théorie des perturbations, les théories dechamps e�ectifs,...

• l'approche canonique permettant de décrire la théorie dans le formalisme Hamiltonien et d'identi�er ainsiles variables de con�guration et les moments conjugués (ce que l'on nomme structure symplectique), puisde calculer les Crochets de Poisson que l'on quanti�era. Comme exemples de théories on peut citer lagéométrodynamique quantique ou plus particulièrement la Loop Quantum Gravity.

Il existe d'autres tentatives pour décrire la gravitation au niveau quantique, mais seules la Théorie desCordes et la Loop Quantum Gravity semblent les plus prometteuses, et la théorie sur laquelle nous avons décidéde nous focaliser maintenant dans le but de regarder ses e�ets quantiques sur les perturbations tensorielles, estla seconde.

3 La quanti�cation canonique et la Loop Quantum Gravity

3.1 Une introduction intuitive

Concilier Relativité Générale et Mécanique Quantique n'est pas une mince a�aire car chacune de ces théoriesapporte une modi�cation conceptuellement radicale et non-intuitive de notre vision du monde : lorsque l'onétudie laMécanique Quantique, il s'impose une compréhension renouvellée de ce qu'est la matière, alors que notrecompréhension de l'espace et du temps est bouleversée dans le cas de la Relativité Générale. Cependant, mêmesi ces théories sont parfaitement bien véri�ées expérimentalement dans leurs domaines de validité respectifs, iln'existe pas de zone de recouvrement de ces domaines dans laquelle ces deux théories pourraient fournir unedescription similaire, la description du monde par l'une dans le domaine de l'autre étant en fait incompatible aveccelle de l'autre théorie. Il faudrait ainsi prendre a priori les principes et conséquences révolutionnaires de chacuneet les réunir dans une théorie a�née qui nous permettrait de décrire le monde à toutes les échelles, ce qu'essaye�nalement d'entreprendre la gravitation quantique. Dans cette approche, il est nécessaire de comprendre ce quel'on manipule, et pour cela il nous faut revoir nos notions d'espace et de temps, mais aussi de matière, en suivantles diverses révolutions physiques de l'Histoire.Depuis les penseurs grecs comme Democrite jusqu'à Newton et sa fameuse théorie classique de la gravitation,l'espace est perçu de manière intuitive comme une boîte dans laquelle des objets ou particules solides évolueraientselon un temps dé�ni sans privilégier une direction donnée, et c'est cette vision du monde qui est utiliséeactuellement dans de nombreuses disciplines de Physique. Cependant, elle reste incomplète et ce sont les travauxde Faraday et Maxwell qui vont venir au XIXeme siècle la rendre meilleure. En e�et, deux cents ans aprèsNewton, ces deux physiciens ont étudié comment dé�nir la force électrique qui relie entre eux deux objets decharges opposées, et ils sont arrivés à l'exprimer à travers une troisième composante physique qu'est le champélectromagnétique. Ce nouvel "objet" peut être perçu selon Faraday comme un ensemble de lignes remplissanttout l'espace et pouvant relier 2 objets chargés. Cependant la grande découverte de Faraday et Maxwell a étéde comprendre que ce champ est une entité autonome qui existe indépendamment des charges électriques, etdonc qu'en l'absence de charges, on peut tout de même imaginer que les lignes dites de Faraday soient toujoursprésentes et forment des courbes fermées dans l'espace, des boucles. Le champ électromagnétique est alors perçuà travers la propagation d'une déformation de ces lignes dont la forme varie sous l'action des lignes voisines ainsique des charges électriques présentes, comme une vague se propageant dans l'océan. Ces déformations sont deplus régies par les équations de Maxwell, qui représentent en un point de l'espace le vecteur tangeant à une lignede Faraday (comme le vecteur vitesse). Par exemple, un coups de génie de Maxwell a été d'avoir compris que la

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lumière n'est rien d'autre qu'un des mouvements ondulatoires rapides de ces lignes de champs. On pouvait ainsiconsidérer généralement l'Univers comme composé d'un espace �xe contenant des particules et des champs.Cependant, des philosophes comme Leibniz ou bien Descartes avaient imaginé l'espace autrement, comme uneentité physique propre au même titre que les particules, et cette idée a été privilégiée en Relativité Généraleoù l'on considère l'espace-temps comme étant le champ gravitationnel, ce qui a permis à la théorie de sedévelopper non plus en considérant à part l'espace comme autonome, mais en l'incluant et en le considérantcomme dynamique, similaire au champ électromagnétique. La meilleure façon de décrire la grande découverted'Einstein ne consiste peut-être pas à dire comme on le prétend souvent que la force gravitationnelle doit êtreoubliée au pro�t d'une géométrie dynamique mais que l'espace de Newton n'existe pas : c'est en réalité le champgravitationnel. Newton avait pris le champ gravitationnel pour une entité spéciale, un espace absolu qui en faitn'existe pas. Ainsi on ne doit plus considérer qu'il existe des champs qui se propagent dans un espace �xé, maisplutôt que ces champs se propagent sur d'autres champs : l'Univers est ainsi composé �nalement de particuleset de champs, mais plus d'espace. Pour comprendre cette façon de penser, Carlo Rovelli dans son livre [23] adonné une représentation parlante de ce que cela pourrait être :

Imaginez une île dans l'océan, Beaucoup d'animaux y vivent ; nous dirons que nous voyons des "animaux surune île". Mais un jeune biologiste marin nommé Einstanium mène une enquête serrée et découvre que l'îlen'est pas une île : en réalité, c'est une énorme baleine. Donc les animaux ne vivent pas sur une île, mais sur

un autre animal. On ne peut plus parler d'"animaux sur une île", mais d'"animaux sur un animal". Ladécouverte que l'île est en fait une baleine nous révèle qu'il s'agit d'un animal comme les autres et donc qu'iln'existe pas deux entités de nature di�érente, des animaux et des îles, mais seulement des entités de la même

nature, des animaux, qui vivent "empilés l'un sur l'autre", et sans faire appel à aucune terre émergée.

Des concepts au départ complètement déconnectés (l'espace, la force de gravité, les champs) deviennent autantd'aspects d'une seule entité simple : le champs gravitationnel. Telle est le fondement de la Relativité Généraled'Einstein qui a considéré �nalement le champ gravitationnel sous sa forme géométrique et dynamique.D'autre part, la Mécanique Quantique permet une compréhension aux plus petites échelles, pour lesquelles lemilieu devient discontinu, présentant une certaine "granularité" : tout champ présent est quanti�é, il n'existedonc que certaines valeurs permises et l'on doit ainsi évaluer chaque grandeur en terme de quanta. De plus, unedes notions fondamentales de la théorie est l'idée de hasard menant à une indétermination dans les résultats,dans le sens où tout est décrit en termes de probabilités. Le déterminisme et le continu, si chers à la mécaniqueclassique, ne sont ainsi plus valables lorsque l'on regarde le milieu de très près et on doit maintenant le décrirede façon probabiliste et discontinu.Si l'on réunit ainsi les notions nouvelles des deux théories en gardant l'état d'esprit dans lequel elles ontété construites, on doit, selon la Relativité Générale, considérer non plus l'espace, mais tout l'espace-tempscomme étant le champ gravitationnel, que l'on va quanti�er et décrire en terme de "nuage de probabilité" selonla Mécanique Quantique. Cet espace-temps devra ainsi présenter une structure granulaire sous la forme d'unassemblage de grains d'espace-temps, dont la dynamique devra être probabiliste. Cette vision de notre monde estainsi peu intuitive car il nous faut nous imaginer un milieu à quatres dimensions, qui serait discontinu et décriten terme de quantas probabilistes, représente un saut conceptuel important qu'il est à première vue di�cile debien assimiler. En e�et, comme c'est tout l'espace-temps qui est devenu probabiliste, comme dé�nir un tempsprobabiliste ? Ou bien, comme il est quanti�é, quelles en seront les conséquences sur ce que l'on mesurera ?Voila le problème de la gravitation quantique : construire une théorie mathématique décrivant des nuages deprobabilités de grains d'espace-temps, et comprendre ce qu'ils signi�ent. Il faut penser un monde dans lequel letemps n'est plus une variable continue qui s'écoule, mais devient quelque chose d'autre, fondé sur ce nuage deprobabilités de grains d'espace-temps.Dans ce but, de nombreuses tentatives ont été e�ectuées, notamment celle deWheeler et de Witt qui ont combinéles équations issues de la Relativité Générale avec celles de la Mécanique Quantique a�n d'obtenir l'équation deWheeler-DeWitt, qui est ainsi la formulation quantique complète du champs gravitationnel :

Hφ = 0 (1)

H étant l'Hamiltonien. Malheureusement, cette équation était mal dé�nie mathématiquement, elle ne donnaitque peu de résultats dont l'interprétation physique était des plus vagues, et il a fallu attendre quelques tempsavant qu'un physicien, Lee Smolin ne trouve des solutions intéressantes. En se basant sur les travaux d'AbhayAshtekar qui ont permis de reformuler la Relativité Générale dans une forme Hamiltonienne di�érente de ce quiavait été fait précédemment, Smolin a été capable de trouver pour l'équation de Wheeler-DeWitt des solutions quicorrespondaient à des courbes fermées dans l'espace, et donc de nouveau à des Boucles. Ces boucles constituenten fait les lignes de Faraday du champ gravitationnel quantique et l'on obtient ainsi un ensemble de bouclesindividuelles : dans la théorie quantique, comme le champ électromagnétique qui se brise en photons, le champgravitationnel se brise en lignes de champs séparées les unes des autres et donne ainsi di�érentes espèces delignes possibles. De plus, avec l'équivalence entre champ gravitationnel et espace-temps, on ne peut pas dire queces boucles sont plongées dans l'espace, puisqu'elles constituent elles-même l'espace. C'est par cette vision

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révolutionnaire de l'espace-temps comme un enchevêtrement de boucles ayant données leur nom à la théorie, laGravité Quantique à Boucles, que l'on doit maintenant se représenter notre monde.Ainsi, l'obtention d'une théorie quantique de la gravitation, en ne gardant que des concepts physiques déjàconnus et sans en inventer de nouveaux, a conduit par le mélange de la Relativité Générale et de la MécaniqueQuantique à la nécessité de résoudre l'équation de Wheeler-DeWitt qui, prise avec les variables dites d'Ashtekarpermet d'obtenir une solution physique acceptable donnant une représentation de notre espace-temps granulaireet probabiliste sous forme d'un maillage aléatoire de boucles. Comme un tissus qui de loin paraît uni, l'espace-temps à plus grande échelle va nous paraître de plus continu et on retrouve ainsi la limite classique.D'autre part, contrairement au champ classique où les lignes de Faraday sont en nombre in�ni, on peut icicompter le nombre de boucles dans le champ gravitationnel quantique, et les traiter individuellement sansoublier cependant le fait qu'elles sont en interaction directe avec les boucles voisines, et que pour décrire ladynamique du champ, il faut prendre en compte toutes ces boucles. Ainsi, en l'abscence de masses, les bouclesrestent fermées sur elles-mêmes, et au voisinage d'une masse, ces boucles s'ouvrent, tout comme les boucles duchamp électromagnétique s'ouvrent sous l'action des charges. La taille caractéristique des boucles du champgravitationnel étant de l'ordre de l'échelle de Planck lPL, seules les masses des particules élémentaires vontpouvoir interagir avec ces boucles : un électron aura pour e�et d'ouvrir les boucles de son voisinage, maisun proton ne verra quant à lui qu'une image continue de l'espace-temps. L'électron, ou toute autre particulefondamentale, se trouve ainsi à l'extrémité d'un certain nombre de lignes du champ gravitationnel. Cela nouspermet ainsi de dire que cette théorie réussit à quanti�er l'espace, que celui-ci est devenu granulaire, mais ilfaut cependant se rendre compte que dans ce mode de pensée, il n'y a en fait plus d'espace, il n'y a que desparticules, des champs et des boucles de champs en interaction.Alors comment mesurer un volume ou bien une aire ? Le volume d'une pièce est la quantité d'espace présentdans cette pièce, et comme l'espace est devenu le champ gravitationnel, mesurer un volume revient a mesurerle champ gravitationnel présent. Cette théorie étant quantique, la mesure conduit à la donnée d'une valeurpermise, et l'on obtiendra un spectre discontinu des volumes, ce qui suggère l'existence de "grains de volumes"élémentaires. L'espace est ainsi constitué de quanta d'espace qui, selon les calculs, se retrouvent précisémentaux intersections des boucles, montrant ainsi que ces intersections sont en fait plus importantes que les liens quiles relient : le volume n'est dé�ni qu'au niveau des intersections. Il est ainsi possible de se représenter l'espacecomme un ensemble de points reliés entre eux par di�érents liens, et donc d'obtenir un réseau. Sur un mêmelien joignant deux points appelés maintenant noeuds, il est possible de trouver plus d'une ligne de Faraday. Lenombre de lignes de Faraday superposées est un nombre entier que l'on associe à chaque lien, et qui s'appelle lespin du lien (pour des raisons historiques). C'est ainsi que l'on s'est représenté l'espace comme étant un réseaude spin. L'image qui en résulte est surprenante : les noeuds du réseau de spin sont les grains d'espace et leslignes reliant les points les uns aux autres représentent les relations spatiales entre eux, elles expriment quelgrain se trouve en contact avec quel autre grain. D'autre part, il est aussi possible de dé�nir la notion d'airecette fois-ci comme étant la valeur donnée par l'ensemble des liens reliant deux noeuds, et comme chaque lienpossède un spin donné, la mesure d'une aire sera elle aussi quanti�ée.Regarder l'ensemble des points d'un réseau de spin est comme regarder un journal : de très prés, à avoir l'oeilsur le papier, on observe que ce l'on croyait être des structures continues sont en fait des ensemble de points,et c'est ainsi que se placer aux échelles macroscopiques ne permet pas de voir la structure discrète du réseau.Maintenant que l'on sait ce que signi�e la mesure d'un volume et d'une aire, une question intéressante à seposer est l'interprétation du temps car, comme en Relativité Générale, aucun temps n'est privilégié dans cettethéorie et son abscence dans les équations fondamentales n'empêche pourtant pas que des prédictions précisespuissent être faites.En reprenant l'idée des réseaux de spins qui dé�nisse un espace, on peut parler d'espace-temps pour indiquer lafaçon dont ces réseaux de spin se transforment l'un en l'autre. La théorie étant quantique, elle fait intervenir lanotion de probabilité, et la dynamique du champ gravitationnel est donc dé�nie par l'ensemble des probabilitésqu'un espace - donc qu'un réseau de spin donné - puisse exister à l'instant où l'on regarde l'espace-temps. Cetespace-temps est donc en fait composé de plusieurs réseaux de spins possibles. Or l'état �nal d'un réseau dépendde son histoire, et l'on dé�nit donc par mousse de spins l'historique de toutes les étapes par lesquelles il estpassé. On comprend mieux cette appellation si on imagine une mousse que l'on découpe en tranche : sur chaquetranche on observera un réseau, dont l'évolution est donnée par la tranche suivante (la description de la théoriefaite en termes de ces mousses de spins est aujourd'hui une des directions de recherche les plus actives). Ainsion dé�nit l'espace-temps à un moment donné comme l'ensemble des mousses de spins possibles a�ectées d'uneprobabilité, et l'on peut peut-être voir le temps comme la succession de ces di�érents ensembles de mousses despins, dé�nis précisément par la con�guration des mousses qui y sont présentes.L'idée d'un temps intrinsèque et autonome a été consacré par Newton, mais jamais ce temps n'a été "mesuré"en tant que tel, il a toujours été dé�ni comme une quantité de "quelque chose" : on peut par exemple dé�nir letemps que met un objet à tomber en regardant combien d'oscillations d'un pendule il y a eu pendant la chute.De plus, suivant les leçons de la RG, le temps n'apparaît pas explicitement dans les équations fondamentales dela LQG. Il n'en demeure pas moins que le concept "intuitif" de temps "qui sécoule" peut être retrouvé à la limite

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classique. C. Rovelli [24] a montré que lorsqu'il est tenu compte de ce que la vision macroscopique d'un systémemasque un grand nombre de degrés de liberté, une variable privilégiée et orientée apparaît naturellement. En cesens, le temps ne serait qu'une mesure de notre inconnaissance de l'état microscopique complet des systèmes.Ainsi, on a pu développer l'idée d'une description de l'espace-temps à partir des assertions faites lorsque l'ondécide de combiner en une théorie cohérente la Relativité Générale à la Mécanique Quantique, et donc d'utiliserdes champs quanti�és. Cet espace-temps peut être vu comme un ensemble de boucles imbriquées les une dansles autres, ou bien comme un ensemble de points reliés entre eux, représentants les noeuds entre di�érentesboucles. D'autre part, seules certaines valeurs sont permises lors de la mesure d'une aire ou bien d'un volume et,jusqu'à la mesure, di�érents réseaux de spins sont possibles. On a donc bien obtenu une notion d'espace-tempsquanti�é et probabiliste comme le suggérait la Mécanique Quantique. Malgré une di�culté à bien dé�nir lanotion de temps dans cette théorie (ce sujet est toujours très controversé et donc très discuté en ce momentmême), cette description a été faite sans perdre les outils habituels. De plus, comme la Relativité Générale,la Loop Quantum Gravity peut être appliquée à la Cosmologie et l'on dé�nit ainsi la théorie comme étant laLoop Quantum Cosmology. Il su�t pour cela de considérer l'Univers comme homogène et isotrope, de se dotteren conséquence d'une métrique appropriée, et d'utiliser le formalisme issu de la théorie mère pour dériver leséquations qui nous intéressent a�n de regarder les di�érents modèles obtenus que l'on pourrait confronter auxobservations. Il est des plus intéressant de remarquer que dans ce formalisme, il existe naturellement une périoded'in�ation, expansion accélérée supposée de l'Univers et inscrite dans le Modèle standard de la Cosmologie.Je terminerai cette section en vous faisant part d'une idée d'expérience tirée de [23] valant la peine d'êtrementionnée : si la structure de l'espace est granulaire, cela devrait avoir un e�et sur la propagation de lalumière. Des rayons de couleurs di�érentes qui traversent l'espace granulaire devraient en principe se déplacer àdes vitesses très légèrement di�érentes (exactement comme dans un cristal : la lumière est dispersée et le rougeavance un peu plus vite que le bleu) on voit donc arriver l'image rouge un peu avant l'image bleue, la vitessede phase étant donnée par vφ = ω

k où ω = 2πν et k = 2π/λ). L'e�et est in�me, mais il s'accumule tout au longdu trajet et on devrait donc pouvoir le détecter sur les rayons gamma venant de galaxies très lointaines. Cettedémarche est en développement mais nous montrerons dans la suite du rapport que ce n'est pas la seule voied'accès expérimentale possible à la Loop Quantum Gravity.

3.2 La théorie sous son aspect technique

A la di�érence de la vision newtonienne dans laquelle espace et temps étaient considérés comme deux entitésdi�érentes, cette disymétrisation n'est plus valable en Relativité Générale pour laquelle on considère la variabletemporelle comme une coordonée de l'espace-temps au même titre que les coordonnées d'espace. L'Universest alors plongé dans un monde à 4 dimensions dans lequel on dé�nit une métrique gµν permettant de calculerl'élément de longueur in�nitésimal entre deux points proches appelés événements de cet espace-temps. On dé�nitainsi la mesure de longueur pour un choix de coordonnées xµ = (t, xa) comme étant donnée par

ds2 = gµνdxµdxν = −N2dt2 + qab(dxa +Nadt)(dxb +N bdt) (2)

où on a considéré la convention voulant que tout indice répété doit être sommé, les indices grecques représentantles indices de l'espace-temps et les indices latin ceux de l'espace. Cette récriture sous l'aspect d'une (3+1)-forme permet de considérer l'espace-temps t× Σ comme la donnée d'une variable réelle t et celle d'une variétéΣ correspondant à un espace dont la géométrie est encodée dans sa métrique spatiale qab. Pour des raisonstechniques qui apparaîtront par la suite, cette manière d'écrire la métrique est la mieux adaptée à la procédure dequanti�cation canonique. Dans cette équation, N est appelé Lapse function et Na shift vector car ils permettentd'exprimer le fait qu'il existe une multitude de dé�nitions possibles des variables décrivant une courbe sepropageant dans l'espace-temps. Cela montre qu'ici la variable t n'est qu'une variable arbitraire et qu'il estpossible de décrire l'Univers avec des notions de temps di�érentes, et ce sans rien changer à la physique. C'estainsi qu'en cosmologie, on dé�nit le temps cosmologique ou temps propre comme étant le temps t tel que N = 1,et le temps conforme η pour lequel N = a(η) qui est le facteur d'échelle décrivant un Univers évoluant sous leshomothéties de ses axes.

3.2.1 Formulation Hamiltonienne et contraintes

D'autre part, dans une formulation canonique, on considère comme objet dynamique l'Hamiltonien total Het non plus le Lagrangien, et l'on va dé�nir alors les équations du mouvement de chaque variable comme étantles équations d'Hamilton-Jacobi qui, pour un couple de variables conjuguées dites canoniques (q, p) dé�niestelles qu'elles possèdent une relation de Crochets de Poisson {q, p} rappelée en Annexe A, sont données par

q = {q,Htot[N ]} = {q, p}∂Htot

∂p,

p = {p,Htot[N ]} = −{q, p}∂Htot

∂q, (3)

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où le point correspond à la dérivée par rapport au temps utilisé dans l'expression de l'Hamiltonien. La structureissue des crochets de Poisson dé�nit ainsi la dynamique des variables canoniques que sont q, la variable decon�guration, habituellement la position, et p le moment conjugué ou encore impulsion généralisée.A�n d'utiliser la procédure de quanti�cation dans la formulation Hamiltonienne, on doit dé�nir quelle est lastructure symplectique, quels sont les crochets de Poisson associés et obtenir, par la correspondance quantique,les relations de commutation des variables quanti�ées. Dans le cas de la Relativité Générale avec une métriquedonnée par (2), on va choisir dans l'approche canonique les variables de con�guration comme étant qab, et onprendra comme moment généralisé associé la courbure extrinsèque Kab que l'on dé�nit comme la courbure del'espace-temps que l'on verrait s'il était plongé dans un Univers à 5 dimensions, et plus formellement commeétant la dérivée de la métrique spatiale par rapport aux changements e�ectués d'une tranche d'espace à l'autre.Cependant une conséquence du choix de ces quantités comme variables canoniques est la nécessité de contraintesdont le but est de garder les fondements de la théorie, comme par exemple la covariance générale. La RelativitéGénérale est covariante en ce sens que ses équations restent inchangées sous tout changement de coordonnées,ce qui signi�e que la géométrie de l'espace-temps ne doit pas dépendre des coordonnées d'espace et de tempschoisies. Or nous avons cependant dé�ni une coordonnée particulière du temps. Ainsi, dans la métrique ci-dessus,la théorie ne doit pas dépendre de la lapse function N et du shift vector Na, ce qui implique que leur momentconjugué Πi doit être identiquement nul (la théorie étant invariante par changement de coordonnées, changerN et Na n'aura aucune conséquence et on peut les voir de loin comme étant des constantes). On peut ainsidé�nir l'expression de ces contraintes : comme leur moment disparaît, les équations d'Hamilton-Jacobi1 dé�niespar (3) donnent

0 = ΠN = {ΠN ,H} = −δHδN

, (4)

0 = ΠNa = {ΠNa ,H} = − δH

δNa. (5)

Ce sont les équations des contraintes dans l'espace des phases de N et Na. D'autre part, on dé�nit l'Hamiltonientotal H comme étant la somme de ces contraintes et on obtient ainsi

H = H[N ] +D[Na], (6)

H[N ] =∫dx3N(x)

δH

δN, D[Na] =

∫dx3Na(x)

δH

δNa,

et selon (4) et (5), ces expressions doivent être nulles. D[Na] est appelée contrainte de Di�éomorphisme carelle génère les déformations de l'espace sous les changements de coordonnées, et lorsque cette contrainte estsatisfaite, la géométrie de l'espace ne dépend pas des coordonnées spatiales choisies, la théorie est ainsi inva-riante par Di�éomorphisme. Il en va de même avec H[N ] qui est la contrainte Hamiltonienne spéci�ant que lathéorie est en plus indépendante du choix de la coordonnée temporelle, complétant ainsi avec la contrainte deDi�éormorphisme, le fait que l'espace-temps conserve sa covariance générale. La contrainte Hamiltonienne estde plus importante car comme il n'y a pas de temps absolu, il n'y a pas d'Hamiltonien permettant de générerla dynamique des variables : l'Hamiltonien H pour être exact ne correspond pas à un Hamiltonien habituel caril est dé�ni comme étant une contrainte2, et l'évolution étant liée à la coordonnée temporelle représentée nonpas par la contrainte de Di�éomorphisme mais par la contrainte Hamiltonienne, la dynamique sera donnée parcette dernière. Lorsque celle-ci est satisfaite, elle contient alors toutes les informations sur les champs physiquesqui sont ainsi présents dans l'espace-temps, comme le champ gravitationnel donné par l'hamiltonien HG, ainsique les champs de matière donnés par l'Hamiltonien de matière Hmatter. Il est de plus important de voir quela contrainte Hamiltonienne correspond en fait à l'équation de Wheeler-DeWitt dé�nie précédemment en (1) etdont la résolution donnera dans la théorie de la Loop Quantum Gravity les solutions de boucles.Il est de plus nécessaire dès le début de choisir une jauge, c-à-d de spéci�er quelles sont les expressions de Net Na car elles déterminent le sens physique que l'on doit donner aux di�érentes variables de l'espace-temps.Il est intéressant de remarquer que prendre Na = 0 satisfait entièrement la contrainte de Di�éomorphisme. Unpoint cependant important à souligner est qu'en aucun cas on ne devra utiliser les expressions choisies pourN et Na lorsque l'on dérivera les contraintes par rapport à n'importe quelle variable, car dans le formalismeHamiltonien on doit considérer ces variables indépendantes les unes des autres. Ce fait est capital puisque nousserons amenés par la suite à trouver des équations du mouvement à partir des contraintes.D'autre part, il est souvent utile de décrire la géométrie spatiale non pas par la métrique spatiale mais parune variable appelée triad ea

i , matrice 3 × 3 antisymétrique, qui permet de dé�nir trois champs de vecteursorthogonaux entre eux et normalisés (dans un espace plat à 3 dimensions, on retrouve la notion de repère).Cette variable contient de plus toutes les informations sur la géométrie de l'espace puisqu'elle est l'inverse de lacotriad ei

a, qui est elle même liée à la métrique spatiale via la relation

qab=eiae

ib. (7)

1N et Na ne possèdent pas d'équations du mouvement car leur moment est nul2cependant par un abus de language, on conserve l'appellation "Hamiltonien"

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Il existe une symétrie de rotation des vecteurs de la triad dont l'action ne change pas la métrique, et le fait que lathéorie doit en plus être invariante sous cette symétrie impose une nouvelle contrainte dite contrainte de Gauss.D'autre part, en Relativité Générale, la métrique permet de dé�nir la connection ou Symbole de Christo�el Γc

ab

qui encode la partie non triviale de la dérivation covariante, contenant entre autre l'information sur la forcegravitationnelle, et il est aussi possible de dé�nir également une connection appelée connection de Spin

Γia=− εijkeb

j(∂[aekb] +

12ecke

la∂[ce

lb]) (8)

qui est le pendant des symboles de Cristo�el dans un réseau de spin.

3.2.2 Les variables d'Ashtekar

Lorsque l'on désire quanti�er la théorie sous sa forme canonique en choisissant comme structure symplectiqueqab et Kab, on se rend compte que l'espace des métriques spatiales ainsi que celui des courbures extrinsèques sonttrès mal connus mathématiquement, et appliquer une quanti�cation comme l'avaient fait Wheeler et De Wittdevient des plus compliqué. Mais heureusement, la reformulation Hamiltonienne de la Relativité Générale selonles variables introduites par Ashtekar amène une compréhension claire et bien dé�nie de l'espace des variablesd'Ashtekar, et donc la possibilité d'obtenir une quanti�cation bien dé�nie. Ces variables sont formulées en termedes triads ei

a dans une forme dite "densi�ée" car elles sont multipliées par un facteur qui est le Jacobien destransformations de coordonnées. On dé�nit ainsi :

• la variable de con�guration comme étant la densité de triad Eai . Elle possède les mêmes propriétés que la

triad, comme l'invariance sous les rotations ou bien la possession d'une orientation, et elle est donnée par

Eai =|det(eb

j)|−1eai , (9)

• son moment conjugué, qui est la matrice de courbure extrinsèque Kia, donnée par

Kia=Kabe

bi , (10)

et la relation de crochets de Poisson qui existe entre eux, déduite de l'action d'Einstein-Hilbert expriméeselon les variables d'Ashtekar, est dé�nie par

{Kia(x), Eb

j (y)} = κδbaδ

ijδ(x, y), (11)

où κ = 8πG, G étant la constante gravitationnelle. Cependant, les variables d'Ashtekar ne correspondent pasparfaitement à ce couple de variables, et il faut aussi tenir compte de la connection de spin introduite précéde-ment. On dé�nit alors ces variables d'Ashtekar comme étant la paire (Ea

i , Aia) où Ai

a est la connection d'Ashtekardé�nie par

Aia = Γi

a + γKia, (12)

γ ∈ R étant le paramètre de Barbero-Immirzi, qui n'a aucune conséquence dans le cas classique puisque pourtoutes valeurs de γ on retrouve toujours les mêmes équations, mais qui apporte une contribution dans le casquantique. On voit par (11) que la connection d'Ashtekar a été dé�nie de telle manière que

{Aia(x), Eb

j (y)} = κγδbaδ

ijδ(x, y). (13)

Ainsi, il est possible d'exprimer les relations obtenues précédement en terme de ces nouvelles variables, et onpeut citer par exemple la métrique spatiale qui se retrouve par

Eai E

bi = qab · det(q), (14)

ainsi que les contraintes de Gauss, de Di�éormphisme et Hamiltonienne

G[Λ] =1κ

∫Σ

d3xΛi(∂aEai + εijkA

jaE

ak), (15)

D[Na] =1κ

∫Σ

d3xNaF iabE

bi , (16)

H[N ] =12κ

∫Σ

d3xN |detE|− 12Ea

jEbk(εijkF

iab − 2(1 + γ2)Ki

[bKja]), (17)

où F iab = ∂aA

ib − ∂bA

ia + εijkAj

aAkb est la courbure de la connection d'Ashtekar dé�nie comme en Théorie

Quantique des Champs, mais on peut en plus dé�nir les expressions permettant de donner le volume VR et lasurface AS d'une région :

AS =∫

S

√Ea

i naEbinbd

2y, (18)

VR =∫

R

√|detEa

i |d3x. (19)

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D'autre part, pour un champ Φ d'impulsion pΦ et de potentiel V (Φ), on dé�nit selon les variables d'Ashtekar,l'Hamiltonien de matière comme étant

Hmatter =∫d3x

12p2Φ + Ea

i Ebi ∂aΦ∂bΦ√

|detEcj |

+√|detEc

j |V (Φ)

, (20)

avec

det(E) =εabcε

ijk

3!Ea

i EbjE

ck. (21)

3.2.3 Holonomies ou boucles de Wilson

Pour le moment, aucune procédure de quanti�cation n'a été e�ectuée car nous n'avons que reformuler laRelativité Générale en terme des variables d'Ashtekar, et l'étape suivante est bien entendu de la quanti�er a�nd'obtenir le formalisme de la Loop Quantum Gravity . Pour ce faire, nous allons maintenant utiliser l'espacedes connections d'Ashtekar comme espace des con�gurations, car sa structure est beaucoup mieux comprise quel'espace des métriques, et voir comment procéder.Il faut tout d'abord se souvenir qu'en Théorie Quantique des Champs, on obtient des relations comme (13), maison considère les champs comme étendus, en ce sens que leur valeur décroît rapidement et tend vers 0 à l'in�ni :on peut ainsi intégrer les variables de con�guration et les moments conjugués sur une région tridimensionnellea�n se débarasser du δ3(x − y) présent dans ces crochets et obtenir �nalement une algèbre de quanti�cationtrès bien dé�nie. C'est seulement après avoir perdu cette dépendance en l'espace, que l'on peut appliquer laprocédure, les opérateurs de créations et d'anihilation agissant n'importe où. Cependant, intégrer sur un volumerequièrt l'obtention d'une mesure, ce qui n'est habituellement pas un problème car les champs évoluent déjàsur un fond, comme celui de Minkowski ou celui d'un espace courbe. Or cela ne va plus être possible dès lorsque l'on souhaite l'appliquer à la gravité en terme des variables d'Ashtekar, car la nécessité d'avoir un fond�xé détruirait immédiatement l'hypothèse que la Relativité Générale soit invariante de fond, i.e. toutes lesstructures géométriques comme le champ gravitationnel sont dynamiques.Il existe cependant une manière possible de quanti�er, développée par Thiemann, qui ne requièrt pas l'utilisationd'une métrique de fond, et ainsi, au lieu de se placer dans une région tridimensionnelle, on va intégrer laconnection d'Ashtekar le long de courbes unidimensionnelles, et en faire une exponentielle ordonnée selon leschemins possibles pour obtenir un objet covariant que l'on nomme holonomie :

he(A) = PeR

eτiA

iaeadλ (22)

où ea est le vecteur tangeant à la courbe, τi une fonction des matrices de Pauli, et dλ une paramétrisationde la courbe. L'intégration pouvant se faire sur des courbes fermées, par exemple des boucles qui pourraientêtre solutions de la contrainte Hamiltonienne H = 0, les holonomies qui, dans leur forme invariante de jauge laplus simple, sont appelées Boucles de Wilson tr(he(A)) sur des courbes fermées e, sont à l'origine de la LoopQuantum Gravity. De la même manière, les champs de vecteurs de la densité de triad peuvent être intégrés surune surface à deux dimensions, donnant des �ux dé�nis par

FS(E) =∫

S

τiEai nad

2y (23)

où na est le co-vecteur normal à la surface.De plus, l'algèbre de Poisson des holonomies et des �ux est très bien dé�nie et il est possible de regarder quellessont les représentations possibles de cette algèbre sur l'espace de Hilbert, qu'il est facile de construire pour unereprésentation pour laquelle les états sont des fonctions des connections si l'on considère les holonomies commedes opérateurs de création avec un vide dé�ni.En résumé, l'idée globale est donc la suivante. La Relativité Générale est écrite sous sa formulation canoniqueen termes de moments conjugués. La covariance générale de la géométrie spatio-temporelle est assurée par lescontraintes de Di�éomorphisme et Hamiltoniennes. La théorie résultante est quanti�ée suivant le schéma usuelde Dirac mais, l'espace de métriques étant mal connu, il est préférable de choisir comme variables la connectionde Ashtekar et la triad. Comme dans toute procédure de quanti�cation, il faut ensuite s'a�ranchir des fonctionδ, ce qui ne peut être mis en oeuvre par une intégration classique car cela briserait -via l'introduction d'unemétrique- l'invariance de fond. C'est pourquoi sont, in �ne, utilisés les holonomies et les �ux (qui intègrent leschamps sans rompre les symétries). L'algèbre de Poisson des holonomies et des �ux est alors bien connue et unereprésentation sur un espace de Hilbert peut être recherchée. C'est la démarche de base de la LQG.

3.2.4 La Loop Quantum Cosmology

En Cosmologie, on considère aux grandes échelles l'Univers comme homogène et isotrope, décrit dans lesvariables (η, r, θ, ψ) par une métrique appelée métrique de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker

ds2 = −a2(η)dη2 + a2(η)(dr2 + r2dθ2 + sin2(θ)dψ2). (24)

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On donne, pour une variable u, sa composante homogène u à partir de

u =1V0

∫u(x)d3x (25)

en ayant dé�ni V0 comme étant un volume ou cellule de référence (�ducielle). Si l'on exprime (24) en fonctionde (2), on obtient les expressions de qab, N et Na données par

qab = a2(η)δab, (26)N = a(η) Na = 0, (27)

qui con�rment pour N que l'on utilise le temps conforme, et pour Na que la contrainte de Di�éomorphisme estbien véri�ée. De plus, dans cet Univers, les variables d'Ashtekar homogènes peuvent être obtenues de manièreà être diagonales, et elles ont pour expression [25]

Eai = pδa,

i

Kia = kδi

a, Γia = 0,

Na = 0, N =√p, (28)

avec (k, p) les variables gravitationnelles qui décrivent la géométrie de l'espace-temps. On peut exprimer k = γa,et en comparant (27) et (28), on voit que p = a2(η). D'autre part, l'équation (13) devant être véri�ée, on endéduit la relation de crochets de Poisson entre ces deux variables

{k, p} =κ

3V0, (29)

où le 3 provient du fait que l'on intègre sur les 3 dimensions d'espace, que k et p sont unidimensionnelles etl'univers isotrope3. On peut aussi exprimer les contraintes Hamiltoniennes qui serviront à donner la dynamiquedes variables gravitationnelles homogènes dans le formalisme Hamiltonien. Ainsi selon (17) et (20), on obtient

HfondaG [N ] =

12κ

∫Σ

d3xN[−6√pk2], (30)

etHmatter[N ] =

∫Σ

d3x

(12p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

), (31)

où on a calculé (21) donnant det(E) = p3. La somme de ces contraintes est ainsi l'Hamiltonien total.De plus, à de moins grandes échelles, on observe dans le fond di�us di�us cosmologiques des inhomogénéitésde températures et de densités de matière qui peuvent s'expliquer en introduisant des perturbations dans leséquations. Ainsi, on dé�nit au premier ordre et par rapport au cas homogène, la connection Ai

a et la densité detriad Ea

i perturbées par

Eai = Ea

i + δEai = pδa

i + δEai , (32)

Aia = Γi

a + γKia = γkδi

a + (δΓia + γδKi

a), (33)

et on obtient la relation de crochets de Poisson entre les deux perturbations à partir de (13)

{δAia(x), δEb

j (y)} = κγδbaδ

ijδ(x, y). (34)

On peut de même retrouver l'expression de l'Hamiltonien gravitationnel perturbé (Hmatter n'est pas perturbéeau premier ordre), donné par

HG[N ] =12κ

∫Σ

d3xN

[−6√pk2 − k2

2p3/2(δEc

j δEdkδ

kc δ

jd) +

√p(δKj

c δKkd δ

ckδ

dj )

− 2k√p(δEc

j δKjc )− 1

p3/2(δcdδ

jkEcj δ

ef∂e∂fEdk)], (35)

Cet Hamiltoniens classique ne nous sera pas utile en tant que tel dans la suite, car ce que l'on cherche sont lesconséquences observationnelles des corrections issues de la Loop Quantum Cosmology (données au paragraphesuivant), et il nous faut donc y apporter les corrections quantiques.

3dans un univers anisotrope, on aurait de même {ki, pj} = κV0

δij où i indexe chacun des 3 axes

12

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3.2.5 Les corrections quantiques

Dans le formalisme de la LQG, le fait d'utiliser les holonomies au lieu de la connection d'Ashtekar elle-même,en tant qu'opérateurs de l'espace de Hilbert, va introduire une première correction lors de la quanti�cation. Cettecorection appelée correction d'holonomie ne va alors toucher que k, et on devra remplacer cette variable selonune forme générale (m ∈ N)

k → sin(mµγk)mµγ

(36)

où µ est un paramètre de la théorie tel que µ2p = 1 : on peut le comprendre comme l'opérateur donnant lataille possible des boucles lorsque l'on utilise les holonomies.De plus, il existe une seconde correction qui est la correction d'inverse-volume et qui provient du terme devolume donné par l'expression |det(E)|− 1

2 dans l'expression4 des contraintes Hamiltoniennes (17) et (20). Dansle cas classique, ce terme n'est que mathématique, mais lorsque l'on quanti�e, Ea

i devient un opérateur etpossède des valeurs propres, et il en va de même pour det(E) dont une de ses valeurs propres est 0. Même siun opérateur et son inverse peuvent être très di�érents, il n'en sont pas moins liés, et l'obtention d'une valeurpropre nulle pour l'un va entraîner un in�ni pour l'autre. On va ainsi rendre compte de cet e�et d'inverse volumeen corrigeant les Hamiltoniens par la fonction

α(p, ..) = 1 + λiqi = 1 + λi

(l2PL

p

)i

(37)

où i pourra remplacer par s ou d dans la suite, et où q peut s'exprimer en fonction de p. Ces 2 choix proviennentdu fait que l'on a distingué dans les Hamiltoniens chaque opérateur d'inverse-volume α(p) et D(q), et on aobtenu

HeffG [N ] =

12κ

∫Σ

d3xNα(p, ..)

[−6√p

(sin µγkµγ

)2], (38)

Hmatter[N ] =∫

Σ

d3x

(12D(q)

p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

). (39)

Dans l'Hamiltonien gravitationnel ci-dessus, nous avons noté HeffG pour e�ectif, car dans le cas où les cor-

rections quantiques sont prises en compte, le fond homogène sera déduit de ces Hamiltoniens, et prendre unHamiltonien perturbé ne serait pas logique. Nous noterons par la suite l'Hamiltonien gravitationnel perturbéet auquel les corrections quantiques sont appliquées, HPhen

G pour phénoménologie, et c'est celui-ci, en plus del'Hamiltonien de matière corrigé ci dessus, que l'on retrouvera dans les équations d'Hamilton-Jacobi nous don-nant la dynamique des variables perturbées, avec dans ce cas, α(p, δE).C'est ainsi que l'on va partir des contraintes Hamiltoniennes perturbées et corrigées par les 2 corrections quan-tiques fondamentales (holonmie et inverse-volume)

HPhenG [N ] =

12κ

∫Σ

d3xNα(p, δEai )

[−6√p

(sin µγkµγ

)2

− 12p3/2

(sin µγkµγ

)2

(δEcj δE

dkδ

kc δ

jd)

+√p(δKj

c δKkd δ

ckδ

dj )− 2√

p

(sin 2µγk

2µγ

)(δEc

j δKjc )− 1

p3/2(δcdδ

jkEcj δ

ef∂e∂fEdk)], (40)

Hmatter[N ] =∫

Σ

d3x

(12D(q)

p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

). (41)

3.2.6 Les crochets de Poisson pour les perturbations et variables gravitationnelles

Dans ce rapport, nous aurons de plus besoin d'utiliser les équations du mouvement de chaque variable, et ceséquations sont données par les équations d'Hamilton-Jacobi. Ainsi, il nous faut dé�nir les crochets de Poissonde ces variables avec une fontion X qui sera plus tard l'Hamiltonien totale. On obtient ainsi (pour des détails,

4le nom d'inverse-volume peut être facilement compris à partir de la dé�nition du volume donnée par (19)

13

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voir Annexe A)

{δEai , X} = −{δKj

b (x), δEai (y)} δX

δ(δKjb ), (42)

{δKia, X} = {δKi

a(x), δEbj (y)}

δX

δ(δEbj ), (43)

{p, X} = −{k, p}∂X∂k

, (44)

{k, X} = {k, p}∂X∂p

. (45)

Ainsi, maintenant que l'on connaît les grandes étapes de la formulation de la théorie, on va pouvoir l'appliquerdans la suite, et regarder quelles sont les conséquences des corrections quantiques.

4 Les perturbations tensorielles

On va considérer l'espace-temps plat de Minkowski que l'on perturbe en ne considérant que les modestensoriels, et ainsi la métrique s'écrit

gµν = ηµν + hµν , (46)

hµν est ainsi sans trace δµνhµν = 0 et transverse ∂µhµν = 0.On va donc ainsi s'intéresser ici à la métrique perturbée de FLRW

ds2 = a2(η)(−dη2 + (δij + hij)dxidxj) (47)

et qui exprimée selon (2) donne

g00 = −N2 + qabNaN b = −a2(η), (48)

g0a = qabNb = 0, (49)

gab = qab = a2(η)(δab + hab). (50)

Comme N et Na sont respectivement un scalaire et un tenseur, ils ne contribueront pas aux pertrubationstensorielles et seront ainsi égaux à leur valeur homogène.D'autre part, la Relativité Générale implique l'existence d'ondes gravitationnelles, dont une partie dite primor-diale, est supposée avoir été crée notamment lors de l'in�ation. Ce sont ces ondes que l'on cherche à observer,notamment avec les expériences comme Planck et BPOL, à travers leurs empreintes laissées dans la polarisationB des photons issus du fond di�us cosmologique. Dans la suite, nous allons ainsi regarder quelle est l'équation depropagation de ce graviton, et regarder ce que l'on obtient lorsque l'on regarde la solution à la �n de l'in�ation,pour �nalement calculer un spectre de puissance que l'on pourra étudier et dans lequel on pourra voir l'in�uencedes corrections quantiques de la Loop Quantum Cosmology.

5 In�uences des corrections d'Holonomie et d'Inverse Volume sur

l'équation de propagation du graviton

On a pu voir précédemment comment était dé�ni le formalisme de la Loop Quantum Cosmology et quellesétaient les équations que l'on devait utiliser pour connaître les expressions des variables de la théorie à partir dela donnée d'une métrique. Dans ce qui va suivre, on va donc considérer l'Univers doté de la métrique FLRW quel'on a perturbé en ne considérant que les modes tensoriels car on ne s'intéresse qu'à la signature observationnellede la Loop Quantum Gravity à travers les ondes gravitationnelles représentées par le graviton hµν . Le travailconsiste donc à connaître l'équation de propagation du graviton, et dans ce but, de nombreux calculs s'imposent.

5.1 Hamiltonien e�ectif et équation du mouvement de (k, p)

Avant cela, il nous sera utile de connaître les équations du mouvement de (k, p) puisqu'elles nous permettrontd'obtenir l'équation de propagation du graviton en fonction d'observables que l'on sait mesurer, mais ausside simpli�er dans les calculs suivants les expressions obtenues : comme k et p sont des variables abstraites,on devra pour obtenir une compréhension des phénomènes, exprimer les informations qu'elles contiennent entermes de composantes physiques comme le paramètre de Hubble ou bien la densité d'énergie. Ces variablesreprésentent la partie homogène et l'on doit utiliser l'expression non perturbée de l'Hamiltonien e�ectif contenant

14

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les corrections quantiques donné par (38) et (39), puis calculer les équations du mouvement données dans leformalisme Hamiltonien par

˙p =dp

dη= {p, Heff

G [N ] +Hmatter[N ]}

= −{k, p} ∂∂k

(HeffG [N ] +Hmatter[N ]), (51)

˙k =dk

dη= {k, Heff

G [N ] +Hmatter[N ]}

= {k, p} ∂∂p

(HeffG [N ] +Hmatter[N ]). (52)

Nous avons vu dans l'expression de l'Hamiltonien de matière (39) qu'il ne dépendait que de p et nullement dek. Cela s'impli�e ainsi l'expression de ˙p donnée �nalement par

˙p = −{k, p}∂Heff

G [N ]∂k

= − κ

3V0· Nα(p, δE)

[−6√p× 2

sin(µγk)µγ

cos(µγk)]

= 2 · p · α(p, δE) ·(sin(2µγk)

2µγ

).

Et l'on fait de même pour k en décidant de ne pas écrire littéralement l'expression obtenue par la dérivationde Hmatter[N ] et en n'oubliant pas que α et µ dépendent aussi de p. On obtient �nalement les équations dumouvement pour (k, p) :

˙p = 2 · p · α(p, δE) ·(sin(2µγk)

2µγ

), (53)

˙k =κ

3V0

∂Hmatter

∂p− p

∂α

∂p·(sin(µγk)

µγ

)2

− α

2

[(sin(µγk)

µγ

)2

+ 2p∂

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2], (54)

qui représentent les équations du fond car elles expliquent la dynamique des champs non-perturbés. Ces équationsparaissent pour le moment obscures, mais elles auront par la suite une réalité physique importante sous la formede résultats compatibles avec la cosmologie connue. Cependant, il nous faudra d'abord obtenir l'équation depropagation du graviton grâce aux variables d'Ashtekar perturbées.

5.2 Hamiltonien total et équation de propagation du graviton

On a vu dans (50) que l'on retrouvait des composantes de hµν dans l'expression de la métrique spatiale qab,et en utilisant le formalisme hamiltonien de la Loop Quantum Gravity, on va dériver les équations du mouvementde chaque variable contenant hµν (connection et densité de triad). On obtiendra ainsi directement l'équationde propagation dans laquelle seront présentes les corrections quantiques de la théorie.Ainsi, selon (7), on peut dès à présent regarder l'expression de la triad qui nous servira ensuite à calculerl'expression de la densité de triad donnée par (9). Connaissant l'expression de Ea

i , on obtiendra l'expressionde δEi

a qui servira dans les équations d'Hamilton donnée par (42). On a ainsi au premier ordre en hab en serappelant que les perturbations tensorielles sont sans trace, δabhab = 0, l'expression de Ea

i donnée par

qab = eiae

ib = a2(δab + hab), (55)

eia = a(η)

(δia +

12δibhab

)+ o(h2), (56)

eai =

1a(η)

(δia −

12δibhab

)+ o(h2), (57)

Eai = |det(ei

b)|eai

= a3

(1 +

12δabhab

)1a

(δai −

12ha

i

)= a2

(δai −

12ha

i

). (58)

En se rappelant que p = a2 et Eai = pδa

i , on obtient directement par (32) et (58) l'expression de la perturbationde la densité de triad en fonction du mode tensoriel ha

i :

δEai = −1

2pha

i (59)

15

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On peut aussi dé�nir, de la même maniére que pour les variables canoniques homogènes (k, p), les équations dumouvements des perturbations qui dépendront de l'Hamiltonien total Htot = HPhen

G +Hmatter, telles que

δEai = {δEa

i ,HPhenG [N ] +Hmatter[N ]}

= −{δKjb (x), δEa

i (y)} δ

δ(δKjb )

(HPhenG [N ] +Hmatter[N ]),

δKia = {δKi

a,HPhenG [N ] +Hmatter[N ]}

= {δKia(x), δEb

j (y)}δ

δ(δEbj )

(HPhenG [N ] +Hmatter[N ]).

Selon (41), l'Hamiltonien de matière ne dépend pas de la perturbation de la connection δKia, mais il dépend

entre autre de δEai à travers p. On peut donc calculer aisément l'équation du mouvement pour la perturbation

de la densité de triad δEai , telle qu'avec δEa

i = − 12 ph

ai on pourra obtenir une expression pour δKi

a

δEai = −1

2( ˙pha

i + phai ) (60)

= −{δKjb , δE

ai (y)}δ(H

PhenG [N ])δ(δKj

b )

= − κ

2κ· δb

a · δij ·∫

Σ

d3x · δ3(x− y) · N · α(p, δE) ·[2√p · δKl

c · δcj · δb

l −2√p

(sin(2µγk)

2µγ

)· δEb

j

]= −α(p, δE) ·

[p · δKl

c · δca · δb

i −(sin(2µγk)

2µγ

)· δEa

i

]. (61)

En réunissant les équations (60) et (61) et en utilisant l'expression de ˙p donnée par (53), on obtient �nalementl'expression de δKi

a en fonction de hia et de hi

a, dont l'équation du mouvement donnera une seconde dérivationpar rapport à η pour �nalement arriver à l'équation de propagation que l'on cherche. D'où

δKia =

1αp

[α · δEi

a

(sin(2µγk)

2µγ

)+

12phi

a +12

˙phia

]= −1

2αp

αp

(sin(2µγk)

2µγ

)· hi

a +12p

αphi

a +˙p

2αphi

a

=12αhi

a + (1− 12)(sin(2µγk)

2µγ

)· hi

a,

δKia =

12αhi

a +12

(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a (62)

On a donc de même l'équation d'Hamilton-Jacobi pour la perturbation de la connection

δKia =

12

[hi

a

α− 1α2

∂α

∂η· hi

a +(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a + hia ·

∂η

(sin(2µγk)

2µγ

)]

= {δKia(x), δEb

j (y)}δ

δ(δEbj )

(HPhenG [N ] +Hmatter[N ]).

Or, en notant pour simpli�er [...] à la place de [−6√p(

sin µγkµγ

)2

− ...] dans (40), et en n'oubliant pas que αdépend aussi de δE, on obtient que

δHPhenG

δ(δEbj )

=12κ

∫Σ

d3(x) · N · δα

δ(δEbj )

[...] +12κ

∫Σ

d3(x)Nα

[− 2

2p32

(sin(µγk)

µγ

)2

(δEcl · δl

b · δjc)

− 2√p

(sin(2µγk)

2µγ

)δKj

b −2p

32(δbd · δjk · δef∂e∂f (δEd

k))]

16

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et donc, sachant que δef∂e∂f (δEdk) = ∇2(δEd

k) = − 12 p · ∇

2hdk, cela conduit à

{δKia, δE

bj}δHPhen

G

δ(δEbj )

=12√p

δα

δ(δEbj )

[...]

− κ

∫Σ

δ3(x− y)δijδ

baα

[1p

(sin(µγk)

µγ

)2

(δEcl δ

lbδ

jc) + 2

(sin(2µγk)

2µγ

)δKj

b − δbdδjk∇2hd

k

]

=12√p

δα

δ(δEbj )

[...]

+12α

[12

(sin(µγk)

µγ

)2

hia −

(sin(2µγk)

2µγ

)(hi

a

α+(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a

)+∇2hi

a

](63)

=12

[hi

a

α− 1α2

∂α

∂ηhi

a +(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a + hia

∂η

(sin(2µγk)

2µγ

)]− κ

δHmatter[N ]δ(δEb

j ). (64)

En notantδαi

a =12√p

δα

δ(δEbj )

[...],

Tmatter = κδHmatter[N ]δ(δEb

j ),

∂Hmatter =κ

3V0

∂Hmatter

∂p,

AQ =∂

∂η

(sin(2µγk)

2µγ

),

et en se rappelant que

˙p = 2 · p · α(p, δE) ·(sin(2µγk)

2µγ

),

˙k = ∂Hmatter − p∂α

∂p·(sin(µγk)

µγ

)2

− α

2

[(sin(µγk)

µγ

)2

+ 2p∂

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2],

on doit en réunissant (63) et (64), résoudre l'équation

δαia + Tmatter =

12

[hi

a

α+ hi

a

(− 1α2

∂α

∂η+ 2

(sin(2µγk)

2µγ

))+

(AQ − α∇2 − α

2

(sin(µγk)

µγ

)2

+ α

(sin(2µγk)

2µγ

)2)hi

a

]

=12

[hi

a

α+ hi

a

˙pp

(1− αp

α2

∂α

∂p

)− α∇2 + χhi

a

]

=12

[hi

a

α+ 2

(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a

(1− ∂ln(α)

∂ln(p)

)− α∇2hi

a + χhia

],

où on a noté

χ = AQ −α

2

(sin(µγk)

µγ

)2

+ α

(sin(2µγk)

2µγ

)2

.

De plus, on a

AQ =∂

∂η

(sin(2µγk)

2µγ

)= ˙k · cos(2µγk) + ˙p · ∂

∂p

(sin(2µγk)

2µγ

),

et on va maintenant chercher à exprimer χ d'une manière plus simple. Pour cela, on remplace l'expression deAQ dans χ et on déroule les calculs

χ =

[∂Hmatter − p · ∂α

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2

− α

2

(sin(µγk)

µγ

)2

− α · p · ∂∂p

(sin(µγk)

µγ

)2]· cos(2µγk)

− α

2

(sin(µγk)

µγ

)2

+ α

(sin(2µγk)

2µγ

)2

+ ˙p · ∂∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)= ∂Hmatter − p · ∂α

∂p· cos(2µγk) ·

(sin(µγk)

µγ

)2

+ ˙p · ∂∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)+ α

[(sin(2µγk)

2µγ

)2

− 12

(sin(µγk)

µγ

)2

− 12cos(2µγk) ·

(sin(µγk)

µγ

)2

− p · cos(2µγk) · ∂∂p

(sin(µγk)

µγ

)2].

17

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Or (sin(2µγk)

2µγ

)2

− 12

(sin(µγk)

µγ

)2

− 12cos(2µγk) ·

(sin(µγk)

µγ

)2

= 0

et cela implique donc que

χ = ∂Hmatter − p∂α

∂pcos(2µγk) ·

(sin(µγk)

µγ

)2

− 2pα

[−

˙p2pα

∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)+

12cos(2µγk) · ∂

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2],

et si on note

G(p) = −˙p

2pα∂

∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)+

12· cos(2µγk) · ∂

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2

,

on obtient

G(p) = −(sin(2µγk)

2µγ

)∂

∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)+

12· cos(2µγk) · ∂

∂p

(sin(µγk)

µγ

)2

= −(sin(2µγk)

2µγ

)∂

∂p

(sin(2µγk)

2µγ

)+

22· cos(2µγk) ·

(sin(µγk)

µγ

)· ∂∂p

(sin(µγk)

µγ

)= cos(2µγk)

sin(µγk)µγ

˙µγ(µγ)2

[µγkcos(µγk)sin(µγk)

]− sin(µγk)

µγcos(µγk)

2 ˙µγ(2µγ)2

[2µγkcos(2µγk)− sin(2µγk)

]=

˙µγ(µγ)2

(sin(µγk)

µγ

)[−cos(2µγk) · sin(µγk) +

12· cos(µγk)sin(2µγk)

]=

˙µγ(µγ)2

(sin(µγk)

µγ

)[−sin(µγk) + 2sin3(µγk) + cos2(µγk) · sin(µγk)

]=

˙µγ(µγ)2

(sin2(µγk)

µγ

)[−1 + 2sin2(µγk) + cos2(µγk)

]=

˙µµµ2γ2

(sin(µγk)

µγ

)4

,

soit �nalement

χ = ∂Hmatter − p · ∂α∂p

· cos(2µγk) ·(sin(µγk)

µγ

)2

+ αTQ

avec

TQ = −2(p

µ

∂µ

∂p

)(µγ)2

(sin(µγk)

µγ

)4

.

et donc

δαia+Tm =

12

[hi

a

α+ 2

(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a

(1− ∂ln(α)

∂ln(p)

)− α∇2hi

a +

(∂Hm − p

∂α

∂pcos(2µγk)

(sin(µγk)

µγ

)2

+ αTQ

)hi

a

].

On a ainsi, par toutes ces étapes de calculs, obtenu l'équation de propagation du graviton qui nous intéresse :

12

[hi

a

α+ 2

(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a

(1− p

α

∂α

∂p

)− α∇2hi

a + αTQhia

]+Ai

a = κΠiQa

(65)

où on a noté

TQ = −2(p

µ

∂µ

∂p

)(µγ)2

(sin(µγk)

µγ

)4

,

ΠiQa

=1

3V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)cos(2µγk) +

δHmatter

δ(δEai )

,

Aia =

12√p

δα

δ(δEai )

[...]− p∂α

∂pcos(2µγk)

(sin(µγk)

µγ

)2

hia,

et [...] pour [−6√p(

sin µγkµγ

)2

− ...] dans (40).L'obtention de cette équation est le premier résultat de ce stage. Le terme Ai

a est une anomalie constructive de

18

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la théorie entre les contraintes Hamiltonienne et de Di�éomorphisme et, pour des raisons de non-dégérescencede ces contraintes, on doit choisir ce terme égal à zéro [13] : Ai

a = 0. Ces contraintes sont indépendantes et biendé�nies, rajouter le terme Ai

a reviendrait à en ajouter une troisième qui lierait les 2 autres, et l'on n'aurait au�nal qu'une unique contrainte, ce qui n'est pas permis si l'on veut garder la théorie cohérente avec son sensphysique initial. Dans la suite, on prendra donc Ai

a = 0.D'autre part, on remarque que dans cette expression la correction d'inverse-volume intervient dans tous lestermes par la présence des fonctions de α, alors que la correction d'holonomie n'intervient qu'à travers le TQ

(du uniquement à la correction d'holonomie, il devient un terme supplémentaire par rapport au cas classique),le terme en facteur de hi

a, ainsi que dans le terme ΠiQa

(il su�t de voir les termes contenant µ).Un autre point important concerne le terme Πi

Qa, appelé terme source car il montre l'in�uence que possèdent

tous les éléments (champs, particules) contenus dans l'Univers, sur la dynamique du champs gravitationnel. EnMécanique Classique, le terme ci-dessus sécrit

ΠiQa

=1

3V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)+δHmatter

δ(δEai )

(66)

et reste nul pour les perturbations tensorielles dans un Univers homogène, non par dé�nition, mais en consé-quence de sa forme générale. En e�et, dans ce cas il n'y a pas de back-reaction explicite du champs gravitationnel(compris entre autre dans le terme δEc

j ). Cela n'est cependant plus vrai dans le cas quantique, comme le montrela Théorie Quantique des Champs, et c'est notamment par la présence de ce terme source que les correctionsquantiques interviennent et in�uencent la dynamique primordiale du graviton.Ainsi, à travers le formalisme de la Loop Quantum Gravity, on a pu trouver une équation du mouvement dé-crivant la propagation des gravitons dans notre Univers. On doit maintenant résoudre cette équation a�n deconnaître précismént la "fonction d'onde" hi

a, pour pouvoir être capable de calculer quel serait le spectre depuissance attendu et pouvant être comparé aux données observationnelles des satellites comme Planck (et plusencore BPOL puisque c'est le mode B du CMB qui est ici pertinent). Dans la suite, une grande partie seraconsacrée à la résolution de (65), et l'on calculera dans une autre partie l'expression du spectre dans un certainjeux de paramètres, la résolution numérique des équations étant en cours de traitement. Mais avant cela, on vachercher à se ramener à des observables connues, et ainsi obtenir des équations à partir desquelles il sera plusfacile de comprendre la théorie à travers la physique qui y est sous-jacente.

5.3 Equation de propagation du graviton en terme de quantités physiques connues

5.3.1 Dé�nition et expression des observables

Nous allons maintenant dé�nir à partir des caractéristiques de la théorie, l'expression d'observables que l'onsait mesurer, a�n de comprendre l'apport physique issu de la solution dont il était question lors de l'obtentiondes équations du fond. Pour ce faire, on va utiliser la contrainte Hamiltonienne vue précédemment que l'on peutréécrire comme étant :

0=δ

δN(Heff

G [N) +Hmatter[N ]). (67)

De plus, pour décrire la phénoménologie en Cosmologie, on considère l'Univers comme un �uide parfait possédantune énergie ou, plus particulièrement, une densité d'énergie, ainsi qu'une pression. En Loop Quantum Cosmology,il est possible de dé�nir correctement ces observables en partant directement de l'Hamiltonien de matière quidécrit fondamentalement l'Univers et ses caractéristiques physiques, et il est donc normal de retrouver lesexpressions que l'on attendraient dans le cas où l'on considérerait la théorie dans son approximation classique.On a ainsi la corespondance entre la densité d'énergie ρ, la pression P en fonction de l'Hamiltonien de matière,donnée par

ρ =1

V0p32

δHmatter

δN, (68)

P = − 1NV0

δHmatter[N ]δ(√|detE|)

. (69)

Avec (67), on obtient l'expression de la dérivée de Hmatter par rapport à N et l'on peut connaître dans ce casl'expression de la densité d'énergie en fonction des variables (k, p). L'expression (67) implique donc que

0 =12κ

∫Σ

d3xα

[−6√p

(sin(µγk)

µγ

)2]

+δHmatter

δN,

0 = −3V0

κα√p

(sin(µγk)

µγ

)2

+δHmatter

δN,

19

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et �nalement

ρ =1

V0p32× 3V0

κα ·√p

(sin(µγk)

µγ

)2

=3κ

α

p

(sin(µγk)

µγ

)2

. (70)

De plus, la dynamique de l'Univers est décrite par le paramètre de Hubble H qui, selon le temps conformeet en se souvenant que p = a2(η), est dé�ni comme

H=1

a(η)da(η)dη

=˙p

2p= α

(sin(2µγk)

2µγ

). (71)

Il existe en Relativité Générale les équations de Friedman reliant H à ρ, et l'on peut retrouver leur pendantquantique qui, prit dans l'approximation classique, redonne l'expression connueH = a2(η)κ

3ρ. En Loop QuantumCosmology, on obtient de même :

H2 = α2

(sin(2µγk)

2µγ

)2

= α2

(sin(µγk)

µγ

)2

cos2(µγk)

= α2

(sin(µγk)

µγ

)2

(1− sin2(µγk))

= α2

(sin(µγk)

µγ

)2

(1− µ2γ2

(sin(µγk)

µγ

)2

)

= α2 p

α

κ

3ρ(1− µ2γ2κ

3p

αρ), (72)

et si l'on dé�nit une densité d'énergie critique ρc comme étant

ρc =3κ

1µ2γ2p

, (73)

on voit que l'équation (72) peut se réécrire comme

H2 = a2κ

(α− ρ

ρc

)(74)

pour laquelle on a tenu compte des corrections quantiques : la correction d'holonomie apporte en comparaisonde l'équation de Friedman "classique" un terme en ρ2, alors que la correction d'inverse-volume multiplie parun facteur α l'expression classique. De plus, utiliser la limite ρc → +∞ et α → 1 permet de retrouver le casclassique valable dans notre Univers, pour lequel la densité d'énergie est très faible en comparaison de ρc, quidans le cas où µ2p = 1, est constante et vaut

ρc =3κγ2

= 4, 1.1097 kg .m−3. (75)

Cette équation de Friedman modi�ée est une des "révolutions" engendrées par la Loop Quantum Cosmology.En e�et, en Relativité Générale, le terme de droite κ

3ρ est toujours positif, ce qui implique que a n'est jamaisnul et l'Univers soit s'étend pour toujours à partir du Big bang, soit se contracte jusqu'au Big Crunch. Maisdans cette équation modi�ée, a peut devenir nulle quand ρ = ρc engendreant ainsi l'apparition d'un bounce oubond quantique : dans le passé de cet événement, l'Univers se contracte tandis que dans le futur il s'expand.Cela n'est rendu possible qu'à cause du signe négatif présent avec la correction d'holonomie ρ

ρc. Cette résolution

de la singularité n'est pas trivialement obtenue car par exemple, en théorie des branes, l'équation de Friedmanreçoit elle aussi une correction en ρ2, mais elle est accompagnée d'un signe positif, ne permettant pas au bouncede se produire. Ainsi, en Loop Quantum Cosmology, il est possible d'obtenir une succession de ces phases decontraction et d'expansion, et pourquoi pas d'obtenir un Univers dit cyclique, sans singularité5.Quoiqu'il en soit on voit avec (74) que, comme en Relativité Générale, l'évolution de la géométrie de l'espace

5en réalité, dans des scénarios peu probables, on observe quand même la présence de singularités, di�érentes des Big Bang etBig Crunch [26]

20

Page 22: Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles · Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles Thomas Cailleteau 1 Maître de Stage : Aurélien Barrau

in�uence aussi les constituants du fond, et l'on doit donc tenir compte de cette équation si l'on veut regarderl'évolution exacte des variables. Il est de plus possible d'exprimer ρ en fonction de H, ce qui donne

ρ =α

2ρc

(1−

√1− 12

κ

H2

a2

1α2ρc

), (76)

tel que lorsque l'on prend l'approximation classique (ρc → +∞ et α→ 1), on retrouve l'équation de Friedmanclassique. D'autre part, connaissant l'expression de l'Hamiltonien de matière (41) comprenant la correctiond'inverse-volume, il est possible d'écrire l'expression de la densité d'énergie ρ en fonction notamment du champd'in�aton Φ et de son moment conjugué Φ dé�ni tel que

Φ =dΦdη

={Φ,HPhenG +Hmatter} = {Φ, pΦ}

∂Hmatter

∂pΦ= ND(q)

p32Φ = aD(q)

p32, (77)

où on a utilisé le fait que la relation de crochets de Poisson entre Φ et pΦ (l'impulsion) est donnée par

{Φ, pΦ} = δ3(x− y). (78)

On a doncΦa

= D(q)pΦ

p32, (79)

et nous pouvons exprimer �nalement

ρ =1

V0p32

δHmatter

δN(80)

=1

V0p32V0

(D(q)

2p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

)=

D(q)2

p2Φ

p3+ V (Φ),

(81)

soit

ρ =1

2D(q)Φ2

a2+ V (Φ) (82)

On peut de même obtenir l'équation de Klein-Gordon pour le champs scalaire Φ dont le calcul est donné enAnnexe B, telle qu'en temps cosmologique on ait

Φk + Φk

(3H − D

D

)+DV,Φ(Φ) = 0. (83)

On connaît maintenant les di�érentes formules utiles, et il est donc possible de regarder di�érents modèlesen changeant notamment le comportement de V (Φ) qui est le potentiel de l'in�aton et dont seule la formeapproximative est connue de nos jours.

5.3.2 Equation de propagation du graviton en fonction des observables

L'équation de propagation que l'on cherche à résoudre est donc :

hia + 2α

(sin(2µγk)

2µγ

)hi

a.

(1− p

α

∂α

∂p

)− α2∇2hi

a + α2TQhia = 2καΠi

Qa. (84)

Nous allons maintenant exprimer la majorité des termes en fonction des variables décrites précédemment,nous permettant ainsi de ne plus utiliser de variables dont le sens était abstrait, ce qui favorisera par la suiteune compréhension plus facile de la contribution physique de chaque terme et permettre ainsi le lien avec lesobservables. Dans un premier temps, nous nous intéressons au terme α2TQ qui peut s'exprimer en fonction deρ dont nous utiliserons l'expression donnée par (70), et nous tiendrons aussi compte de µ2p = 1 ainsi que (73)pour �nalement obtenir

α2TQ = −2(p

µ

∂µ

∂p

)(αµγ)2

(sin(µγk)

µγ

)4

= −2(−p 3

2 · 12p

32

)(αµγ)2

( pα

κ

3ρ)2

= (αµγ)2p2

α2

(κ3ρ)2

.

21

Page 23: Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles · Perturbations Tensorielles en Gravité Quantique à Boucles Thomas Cailleteau 1 Maître de Stage : Aurélien Barrau

L'expression �nale de ce terme que l'on utilisera par la suite est ainsi donnée, en utlisant la dé�nition de p etρc, par

α2TQ =κ

3a2

ρcρ2. (85)

De plus, pour le terme en dérivée première hia, on voit directement en utilisant la dé�nition de H donnée par

(71) et p = a2, que l'on peut écrire

2α(sin(2µγk)

2µγ

)(1− p

α

∂α

∂p

)= 2H

(1− ∂ln(α)

∂ln(p)

)= 2H

(1− 1

2∂ln(α)∂ln(a)

)= 2H

(1− 1

2a

a

α

α

). (86)

D'autre part, il reste à calculer le terme source ΠiQa

, pour lequel on a vu que dans le cas classique on avait

13V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)+δHmatter

δ(δEai )

= 0.

De par la dé�nition de l'Hamiltonien de matière donnée en (41), ainsi que de celle de la densité d'énergie ρdonnée en (82), on peut de même calculer le terme source :

ΠiQa

=1

3V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)cos(2µγk) +

δHmatter

δ(δEai )

=1

3V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)(1− 2µ2γ2

(sin(µγk)

µγ

)2)

+δHmatter

δ(δEai )

=1

3V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)+δHmatter

δ(δEai )

− 2(µ2γ2 p

α

κ

3ρ)

13V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)

= − 2α

ρ

ρc

13V0

∂Hmatter

∂p

(δEc

j δjaδ

ic

p

)

=hi

a

α

ρ

ρc

13V0

∂Hmatter

∂p,

soit alors

ΠiQa

=hi

a

α

ρ

ρc

13V0

V0N

[32√p

(−D(q)

2p2Φ

p3+ V (Φ)

)+

12∂D

∂p

p2Φ

p32

]=

hia

α

ρ

ρc

13

[32p

(− 1

2D(q)Φ2

a2+ V (Φ)

)+p

4· 2p D˙p

p2Φ

p32

]

=hi

a

α

ρ

ρc

13

[32p

(ρ− 1

D(q)Φ2

a2

)+p

4· 2 p˙p

D

D

Φ2

Da2

]

=hi

a

α

ρ

ρc

13

[32p

(ρ− 1

D(q)Φ2

a2

)+p

4a

a

D

D

Φ2

Da2

]

=hi

a

α

ρ

ρc

13

32p

[ρ− Φ2

D(q)a2

(1− 1

6D

D

a

a

)],

et on obtient ainsi l'expression de ce terme source en fonction des paramètres cosmologiques connues (a(η), ρ,H,Φ)tel que

ΠiQa

=hi

a

α

ρ

ρc

a2

2

[ρ− Φ2

D(q)a2

(1− 1

6D

D

a

a

)]. (87)

De plus, on ne va considérer que les petites perturbations de α(p, δE) et donc supposer que les termes en phsont négligeables devant p puisque h est une perturbation par dé�nition. Dans un but pratique, a�n de ne pasconfondre α la correction d'inverse-volume et a(η) le facteur d'échelle, on va renommer α telle qu'au premierordre en p, on obtienne

α(p, δE) = S(η) = α(p) = 1 + λs(q)−s2 (88)

où s est un paramètre que l'on peut faire varier. Maintenant que l'on a pu dé�nir tous les termes non plusen fonction de (k, p) mais en fonction des paramètres cosmologiques, on peut à présent écrire l'équation depropagation du graviton comme étant[

∂2

∂η2+

2a

∂a

∂η

(1− 1

2∂lnS

∂lna

)∂

∂η− S2∇2 +

κ

3a2 ρ

2

ρc− κ

ρ

ρca2

(ρ− Φ2

D(q)a2

(1− 1

6D

D

a

a

))]hi

a = 0,

22

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soit encore[∂2

∂η2+

2a

∂a

∂η

(1− 1

2∂lnS

∂lna

)∂

∂η− S2∇2 − κ

ρ

ρca2

(23ρ− Φ2

D(q)a2

(1− 1

6D

D

a

a

))]hi

a = 0. (89)

Dans un soucis de clarté, nous abandonnons les indices i et a et dé�nissons M2(a) comme étant

M2(a) = κρ

ρca2

(23ρ− Φ2

D(q)a2

(1− 1

6D

D

a

a

))(90)

qui n'est rien d'autre que l'expression 2αΠiQa− α2TQ en terme des variables cosmologiques et dans laquelle

sont réunies toutes les modi�cations dues à la correction d'holonomie, en plus de la correction d'inverse-volume.Ainsi après avoir exprimé tous les termes en fonctions de paramètres plus "physiques", on obtient �nalementl'équation de propagation que l'on souhaite résoudre, et qui se résume à

h+ 2a

a

(1− 1

2∂lnS

∂lna

)h−

(S2∇2 +M2(a)

)h = 0 (91)

A première vue, résoudre analytiquement cette équation semble très di�cile, voire impossible, et en obtenirune analyse physique semble l'être encore plus. Cependant, il est possible de se ramener, par un changementde variable adéquat, à une équation de type Schrödinger que l'on peut mieux manipuler et comprendre. Nousnous employerons dans la suite à trouver la manière d'obtenir ce type d'équation.

5.4 L'équation de propagation du graviton comme équation de type Schrödinger

Pour transformer (91) en une équation plus connue, il est utile de prendre sa transformée de Fourier hk, eton obtient �nalement

hk + 2a

a

(1− 1

2a

a

S

S

)hk + (S2k2 −M2(a))hk = 0. (92)

On cherche maintenant un changement de variable de la forme

hk(η) = g(η)φk(η), (93)

pour n'avoir que la dérivée seconde et le terme non dérivé de φk. Ainsi, (93) permet de dé�nir les dérivées dehk telles que

hk = g(η)φk,

hk = g(η)φk + g(η)φk,

hk = g(η)φk + 2g(η)φk + g(η)φk,

qui lorsqu'elles sont reportées dans (92) conduisent à l'équation :[2g(η) +

(2H− S

S

)g(η)

]φk + g(η)φk +

[g(η) +

(2H− S

S

)g(η)− S2k2g(η)−M2(a)g(η)

]φk = 0.

Si l'on veut obtenir une équation du type Schrödinger, on doit donc imposer la condition suivante pourcontraindre le changement de variable :

2g(η) +

(2H− S

S

)g(η) = 0,

qui se résoud simplement selon

0 = 2g(η) +

(2H− S

S

)g(η),

0 = 2g(η) +∂

∂η

(ln

(a2

S

))g(η),

g(η)g(η)

=∂

∂ηln(g(η)) = −1

2∂

∂η

(ln

(a2

S

)),

23

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et permet �nalement d'obtenir

g(η) =√S

a,

donc d'utiliser le changement de variable suivant

φk =a√Shk. (94)

Appliquer ce changement de variable conduit à

d2hk

dη2=√S

a

d2φk

dη2−

(2a

a− S

S

) √S

aφk −

aa− 2

(a

a

)2

+S

S

a

a+

14

(S

S

)2

− 12S

S

√Saφk,

d2hk

dη2=√S

a

d2φk

dη2−

(2a

a− S

S

) √S

aφk −

aa− 2

(a

a

)2

+S

S

a

a+

14

(S

S

)2

− 12S

S

√Saφk,

2aa

(1− 1

2a

a

S

S

)dhk

dη=

(2a

a− S

S

)[√S

aφk −

(a

a− 1

2S

S

) √S

aφk

],

(S2k2 −M2(a)

)hk =

(S2k2 −M2(a)

) √Saφk.

Cela permet d'obtenir, après avoir multiplié par a/√S, une équation qui re�ète la propagation du graviton

dans l'espace de Fourier, dans lequel on va pouvoir plus tard dé�nir une expression pour le spectre de puissanceà partir de la solution φk. Il sera donc utile de résoudre numériquement et parfois analytiquement l'équation

φk +

S2k2 −

aa

+M2(a)− a

a

S

S+

34

(S

S

)2

− 12S

S

φk = 0 (95)

qui correspont parfaitement à une équation de type Schrödinger[d2

dη2+ Ek(η)− V (η)

]φk(η) = 0,

pour laquelle on a dé�nit une énergie Ek(η) et un potentiel V (η) tels que{Ek(η) = S2k2.

V (η) = aa +M2(a)− a

aSS + 3

4

(SS

)2

− 12

SS .

(96)

Se ramener à une équation de type Schrödinger permet uniquement de simpli�er les calculs car cela n'apportepas de sens physique supplémentaire, excepté peut-être l'interprétation de l'énergie et du potentiel associésà ce substitut du graviton : on peut en e�et voir maintenant φk(η) comme une particule se déplaçant dansun potentiel et étudier quels sont les comportements possibles de la solution suivant les valeurs de l'énergie.Cependant, nous souhaitons avant tout résoudre cette équation et c'est ce que nous entreprenons dans la suite,en nous plaçant cependant dans un cadre particulier.

6 Résolution de l'équation de propagation et Spectre de Puissance

dans le cas d'une in�ation standard

6.1 Modi�cations apportées dans le cas de l'in�ation

Ce qui nous intéresse maintenant est l'obtention numérique ou analytique de la solution du graviton a�nde calculer le spectre de Puissance qui permettra ainsi de connaître l'in�uence des corrections par rapport aucas classique, tout en étant comparé avec les données expérimentales dans le but de valider ou d'in�rmer lathéorie. Cependant, ce modèle comporte plusieurs paramètres libres, notamment à travers l'expression de S(η)

24

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ou bien de D(q) pour lesquels il est possible de faire varier s et d, et, de plus, il faut aussi connaître l'évolutiondu facteur d'échelle. Idéalement, il faudrait résoudre le système d'équations composé de

H2 =κ

(S − ρ

ρc

),

0 = Φk + Φk

(3H − D

D

)+DV,Φ(Φ),

0 = φk +

(S

a

)2

k2 −

aa

+M2(a)a2

− a

a

S

S+

34

(S

S

)2

− 12S

S

φk,

où l'on utilise ici le temps cosmologique t. Malheureusement, ce systéme qui décrit la dynamique complète esta priori trop compliqué pour être résolu, et même son implémentation numérique est très délicate.Néanmoins, on peut adapter les équations suivant ce que l'on connaît, et c'est ce que l'on a décidé de fairedans un premier temps pendant lequel on a considéré comme vrai le fait que l'Univers aurait subit une phased'expansion in�ationnaire au cours de son histoire, et l'on va ainsi considérer au départ un comportement pourle facteur d'échelle a(η) calqué sur celui donné par l'in�ation. Cette hypothèse revient à supposer (ce qui esttrès usuel) que l'e�et des corrections est plus important sur la propagation des modes que sur l'évolution de lamétrique de fond.Dans cette première approche, on se considère comme su�sament éloigné du moment où l'Univers e�ectue unbounce (q � 1), de façon que l'évolution du fond soit dictée par les équations de Friedman classiques commelors d'une phase in�ationnaire standard, à ceci près que l'on garde la correction d'inverse-volume S pour desraisons de cohérence :

H2 = a2κ

3ρS. (97)

D'autre part, on suppose que l'évolution du facteur d'échelle a(η) est donné suivant l'expression usuelle del'infaltion "slow-roll"

a(η) = l0|η|−1−ε, (98)

avec ε � 1 et l0 une longueur caractéristique donnant la durée de cette in�ation, l'expression de S(η) donnéepar (88) devient alors

S(q) = 1 + λsq− s

2

= 1 + λs

(lPL

l0

)s

|η|s(1+ε). (99)

Le fond sera de plus considéré comme classique, et donc nous prendrons D(q) ≈ 1 dans toutes les équations.Plus précisément, nous utiliserons l'approximation de slow-roll telle que

Φ” + 3HΦ′− V,Φ(Φ) = 0, (100)

12Φ′2 � V (Φ), (101)

Φ” � 3HΦ′, (102)

où le prime dénote une dérivation par rapport au temps cosmologique. En conséquence, on doit maintenantconsidérer le fait que

ρ = V (Φ), (103)

V,Φ(Φ) = −3HΦ′, (104)

et, en raison de toutes ces approximations, (97) permet d'expliciter ρ2 comme étant

ρ2 =9κ2

1S2

H4

a4. (105)

Utiliser (105) avec (101) et (102) simpli�e l'expression de M2(a) selon

M2(a) = κρ

ρca2

(23ρ− Φ

′2

)≈ κ

ρ

ρca2 2

≈ 6κ

1ρc

1S2

(a

a

)4 1a2. (106)

25

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On connaît l'évolution de a(η), ainsi que l'expression approchée de S(η) que nous considérerons comme undéveloppement limité avec un jeu de paramètre (s, ε) donné. En utilisant (98) et (99) dans (106) puis dans (96),on obtient �nalement au premier ordre en λs, l'expressions de M2(a) ainsi que celles de l'énergie e�ective et dupotentiel e�ectif :

M2(a) ≈ 6κ

1ρc

(1 + 4ε)l20

|η|−2(1−ε) − 12κ

λs

ρc

(lPL

l0

)s (1 + 4ε)l20

|η|s−2+ε(s+2), (107)

Ek(η) = S2k2 =

[1 + 2λs

(lPL

l0

)s

|η|s(1+ε) + λ2s

(lPL

l0

)2s

|η|2s(1+ε)

]k2, (108)

V (η) =2 + 3εη2

+6κ

1ρc

(1 + 4ε)l20

|η|−2(1−ε)

+ λs

(lPL

l0

)s [−12κ

1ρc

(1 + 4ε)l20

|η|s−2+ε(s+2) + s(1 + 2ε)|η|s(1+ε)−2 − 12s(s− 1 + ε(2s− 1))|η|s(1+ε)−2

].

(109)

Ce sont ces deux dernières équations que l'on souhaite résoudre a�n d'obtenir une expression exacte du Spectrede Puissance, et ce pour des valeurs de s et ε �xées. Malheureusement, rares sont les cas pour lesquels unerésolution analytique est possible, et l'on devra donc utiliser les outils informatiques. Cependant, dans le butd'au moins véri�er quelques simulations numériques, on peut chercher des valeurs de (s, ε) telles qu'il existe unesolution analytique, et l'enjeux de ce stage consistait à aller jusqu'à l'obtention d'une telle solution pour le jeux(s = 2, ε = 0). C'est cette solution analytique que je vais démontrer par la suite, avant de regarder l'in�uencedes corrections quantiques sur le spectre tensoriel et de les comprendre.

6.2 Obtention d'une solution analytique pour le cas (s = 2, ε = 0)

Pour ces valeurs données, on doit résoudre une équation de propagation de la forme

d2φk

dη2+

[(1 + 2λs

(lPL

l0

)2

η2

)k2 − 2

η2

(1− 3

κ

1ρc

1l20

)− λs

(lPL

l0

)2 [−12κ

1ρc

1l20

+ 1]]φk = 0, (110)

et dans la suite, nous nous évertuerons à chercher une solution mathématique à cette équation ce qui nousamènera, exception faite de la condition de Wronskien, à oublier partiellement le sens physique. C'est ainsi quel'on peut réécrire (110) en utilisant :

φk = y, (111)

Z =(lPL

l0

)2

λs, (112)

3κρc

= γ2, (113)

comme étantd2y

dη2+[k2 − Z

(1− 4

γ2

l20

)+ 2Zk2η2 − 2

η2

(1 +

γ2

l20

)]y = 0. (114)

Dans un soucis de clarté nous dé�nissons

A = k2 − Z

(1− 4

γ2

l20

), (115)

B = 2Zk2, (116)

C = −2(

1 +γ2

l20

), (117)

et l'on doit donc �nalement résoudre l'équation

η2 d2y

dη2+ (Bη4 +Aη2 + C)y = 0. (118)

Pour ce faire, on va essayer par di�érents changements de variables de se ramener à une équation dont lessolutions sont bien connues. En regardant (118), on peut songer à faire un premier changement tel que

x = η2, (119)

26

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et l'on obtient �nalement après avoir calculé les dérivées correspondantes, l'équation

d2y

dx2+x

2dy

dx+(B

4x2 +

A

4x+

C

4

)y = 0. (120)

De plus, nombreuses sont les équations solubles ne possédant pas de terme en dérivée première de y, et l'on vadonc chercher à ne plus en avoir. Pour cela, on e�ectue un second changement de variables tel que y = f(x)w,et l'on obtient

x2f(x)d2w

dx2+(2x2f

′(x) +

x

2f(x)

) dwdx

+[x2f”(x) +

x

2f′(x) + f(x)

(B

4x2 +

A

4x+

C

4

)]w = 0, (121)

permettant de trouver f(x) tel que2x2f

′(x) +

x

2f(x) = 0,

dont la solution estf(x) = x−

14 , (122)

et qui conduit à résoudre de ce fait

d2w

dx2+[(

316

+C

4

)1x2

+A

41x

+B

4

]w = 0. (123)

En dé�nissant maintenant pour k � 0

z = i√Bx, (124)

v = −i A

4√B, (125)

µ =√

1− 4C4

, (126)

on obtient �nalement l'équation dite équation de Whittaker

d2w

dz2+

[−1

4+v

z+

(14 − µ2

)z2

]w = 0, (127)

dont la solution est une combinaison linéaire des fonctions de Whittaker Mv,µ(z) etWv,µ(z) qui sont elles-mêmeproportionelles aux équation de Kummer M( 1

2 +µ− v, 1 + 2µ, z) et U( 12 +µ− v, 1 + 2µ, z). Ainsi la solution de

l'équation (110) est donnée par

φk(η) =1√|η|

(αMv,µ(i

√Bη2) + βWv,µ(i

√Bη2)

), (128)

en se ramenant aux variables initiales, avec (α, β) ∈ C2, où

Mv,µ(z) = e−12 zz

12+µM(

12

+ µ− v, 1 + 2µ, z), (129)

Wv,µ(z) = e−12 zz

12+µU(

12

+ µ− v, 1 + 2µ, z), (130)

que l'on peut retrouver dans [27]. La solution (128) peut ainsi s'écrire

φk(η) = e−i2

√Bη2

(i√B)

12+µ|η| 12+2µ(αM(a, b, i

√Bη2) + βU(a, b, i

√Bη2)). (131)

Il reste donc maintenant à déterminer les deux coe�cients α et β a�n de connaître la solution exacte. Commela solution est valable à tout moment, il su�t de regarder le comportement de la solution dans un passé lointainappelé remote past, i.e lorsque η → −∞, pour laquelle on peut approximer la solution, et ensuite d'utiliser lacondition de Wronskien (dont le sens physique est d'assurer une interprétation exacte de la théorie de champen terme de particules) pour déterminer la relation liant ces 2 coe�cients. Si l'on dé�nit une nouvelle variablec telle que

c =√Bη2,

la condition de Wronskien s'écrit

Wη(φ+k , φk) = i

16πM2

PL

= φk∂ηφ+k − φ+

k ∂ηφk

=∂c

∂η(φk∂cφ

+k − φ+

k ∂cφk)

= 2√k√

2Z√cWc(φ+

k , φk),

27

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et donc �nalement cette condition peut se réécrire comme étant

√cWc(φ+

k , φk) = i8πM2

PL

1√k√

2Z. (132)

D'autre part, dans le remote past, |z| → +∞ (η → −∞), le comportement des fonction de Kummer peut êtreapproximé selon

M(a, b, z) ≈ Γ(b)Γ(b− a)

e±iπaz−a +Γ(b)Γ(a)

ezza−b, (133)

U(a, b, z) ≈ z−a, (134)

où Γ(x) sont les fonctions d'Euler et

a =12

+ µ− v,

b = 1 + 2µ.

Ainsi, loin dans le passé la solution peut être donnée par

φk(c) ≈ λe−i2 cc−( 1

4−v) + Λei2 cc−( 1

4+v), (135)

φ+k (h) ≈ λ+e

i2 cc−( 1

4+v) + Λ+e−i2 cc−( 1

4−v). (136)

telles que

λ = (k√

2Z)14 e

i2 π( 1

2+µ)

Γ(b)Γ(b− a)

e−i2 πa + βe−

i2 πa

), (137)

Λ = (k√

2Z)14 e

i2 π( 1

2+µ)αΓ(b)Γ(a)

ei2 π(a−b). (138)

Si l'on utilise (132), on trouve que

√cWc(φ+

k , φk) = i8πM2

PL

1√k√

2Z= i(|λ|2 − |Λ|2), (139)

imposant le fait que Λ = 0 et donc α = 0, mais aussi que

λ =2√

2πMPL(k

√2Z)

14

= (k√

2Z)14 e

i2 π( 1

2+µ)βe−i2 πa, (140)

donnant β. On connaît maintenant la solution exacte donnée par

φk(c) =2√

2πMPL(k

√2Z)

14e

i2 πae−

i2 cc

14+µU

(12

+ µ− v, 1 + 2µ, ic)

(141)

qui est donc valable tout au long de l'évolution de l'Univers, nous permettant ainsi d'obtenir son expressionlorsque η → 0−, donc à la �n de l'in�ation. Dans ce cas là, |z| → 0 et il est de nouveau possible d'approximerla solution en utilisant le fait que

U(a, b, |z| → 0) ≈ Γ(b− 1)Γ(a)

z1−b, (142)

et en remplaçant z par z = i(k√

2Z)η2, on obtient �nalement l'expression �nale de φk(η)

φk(η → 0) ≈ 2√

2πMPL(k

√2Z)µ

Γ(b− 1)Γ(a)

e−i2 πv|η| 12−2µ (143)

On peut dès à présent dé�nir le spectre de Puissance correspondant à la fonction φk(η) comme étant (ε = 0)

PT (k) =2k3

π2

∣∣∣∣φk

a

∣∣∣∣2 =2k3

π2H2

0 |φk · η|2 , (144)

et qui revient à étudier le spectre

PT (k) =16M2

PL

k3−2µH20 (√

2Z)−2µ

∣∣∣∣Γ(b− 1)Γ(a)

e−i2 πv

∣∣∣∣2 |η|3−4µ. (145)

28

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De plus, on a choisi comme hypothèse physique le fait que l20 � γ2, ce qui implique qu'à l'ordre 0 en

ω =γ2

l20� 1, (146)

permet de dé�nir3− 4µ ≈ 0, (147)

ce qui dans (145) montre que l'on peut se débarasser de la dépendance en η, chose que l'on souhaite avoir carregarder le fond di�us cosmologique est comme regarder une photographie prise au moment du découplage :tout est �gé, et donc les caractéristiques de ce moment ne doivent pas évoluer dans le temps. La dépendance enη dans l'expression du spectre est un sujet délicat car on doit se ramener aux dé�nitions possibles du spectre.Néanmoins, il est permis de considérer dans le reste de l'équation l'in�uence du terme ω. De plus, nous ne devonspas oublier que v est un imaginaire pure et donc que sa contribution dans (145) doit être prise en compte. Ondevra par la suite le conserver et étudier le spectre

PT (k) =16M2

PL

k3−2µH20 (√

2Z)−2µ

∣∣∣∣Γ(b− 1)Γ(a)

e−i2 πv

∣∣∣∣2 (148)

a =12

+ µ− v =12

+34

√1 +

8γ2

9l20+

i√32Zk2

(k2 − Z

(1− 4

γ2

l20

)), (149)

b = 1 + 2µ = 1 +32

√1 +

8γ2

9l20, (150)

v = − i√32Zk2

(k2 − Z

(1− 4

γ2

l20

)). (151)

Nous connaisson maintenant la forme du Spectre de Puissance tensoriel primordial dans le cas où les correctionsquantiques imposées par la Loop Quantum Cosmology ont été prises en compte. Pour savoir si la théorie estainsi testable, nous allons maintenant évaluer ce spectre pour le cas des très petites longueurs d'ondes, k grand,mais aussi dans celui des très grandes longueurs d'ondes, k petit, pour lesquels on pourrait di�érencier les e�etsquantiques à ceux donnés par la Relativité Générale.

6.2.1 Limite Ultraviolette, k → +∞

Lorsque l'on considère le cas des grands nombres d'onde k, on remarque que la partie imaginaire de a dans(149) diverge, et mathématiquement il est ainsi possible de donner une expression à Γ(a) telle que

a ≈ 54

3+ i|v|, (152)∣∣∣∣Γ(5

4+

13ω + i|v|

)∣∣∣∣2 ≈ 2πe−π|v||v| 32+ 23 ω (153)

et obtenir

PT (k) = 16(lPL

l0

)2

k3− 32−

23 ω(√

2Z)−32−

23 ω

∣∣∣∣Γ(32

)∣∣∣∣2 e−π|v| 12πeπ|v||v|− 3

2−23 ω

= 16(lPL

l0

)2

k3 8π4

412πA−

32−

23 ω,

avec A qui pour l'approximation ω � 1 est donné par

A−32−

23 ω ≈ k−3− 4

3 ω

[1 +

32Z

k2(1− 4ω)

]. (154)

On trouve �nalement que le Spectre de Puissance dans la limite ultraviolette est donnée par

PUVT (k) ≈ 16π3

(lPL

l20

)2(1 +

32Z

k2(1− 4ε)

)k−

43 ω (155)

Le fait de prendre ω � 1 est physiquement correct, et l'on obtient dans ce cas là une forme identique à celleobtenu dans [22] où seule la correction d'inverse-volume a été prise en compte. Comme k tend vers l'in�ni ici,par hypothèse, on retrouve l'allure du spectre de puissance de la Relativité Générale, qui doit être constant, etil n'y a donc dans ce régime, pas de modi�cation par rapport au cas classique.

29

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6.2.2 Limite Infrarouge, k → 0

Dans le cas des grandes longueurs d'onde, on a de même la partie imaginaire de a qui diverge et par le mêmeprocessus, à la di�érence que maintenant A < 0, on obtient une formule de Γ(a) similaire à (153)

|Γ(a)|2 ≈ 2πeπ√

32Zk(k2−Z(1−4ω))

(Z(1− 4ω)√

32Zk

) 32+ 2

3 ω (1− k2

Z(1− 4ω)

) 32+ 2

3 ω

,

donnant ainsi

PT (k) ≈ 162π

π4

4

(lPL

l0

)2

k32−

23 ω(√

2Z)−32

(k√

32ZZ(1− 4ω)

) 32+ 2

3 ω (1− k2

Z(1− 4ω)

)− 32−

23 ω

e− π√

8Zk(k2−Z(1−4ω))

≈ 2π3

(lPL

l0

)2

8(Z(1− 4ω))−32 k3e−π

√Z8

1+4ωk .

Le spectre de Puissance dans le cas de la limite infrarouge est alors donné par

P IRT (k) = 16π3

(lPL

l0

)2

(Z(1− 4ω))−32 k3eπ

√Z8

(1−4ω)k (156)

Cette expression, dans le cas où k → 0 est encore de la même forme que dans l'article [22], et l'on voit bienqu'identiquement à avant, seule la correction d'inverse-volume est prédominante. D'autre part, la forme de cetteéquation montre une divergence IR pour les très petites valeurs de k : cela suggère qu'il existe un k critique audessus duquel on retrouve le résultat classique, mais en dessous duquel le spectre n'est plus constant, et divergevers les in�nies. L'e�et des corrections quantiques modi�e ainsi substantiellement le comportement du spectrepour les faibles valeurs de k, et c'est donc dans ce régime infrarouge que l'on va devoir regarder si l'on observebien l'in�uence de ces corrections.

Fig. 1 � Résultat numérique obtenu dans le cas où seule la correction d'inverse volume est prise, et ce pourdiverse valeur de κ (en fait s dans ce rrapport). Cette �gure est ce à quoi on doit s'attendre dans les cas où les2 corrections quantiques sont prises, pour les faibles valeurs de k. Extrait du travail de Barrau et al.

30

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7 Conclusion

En tenant compte de l'e�et simultané des deux corrections quantiques dominantes provenant de la LoopQuantum Gravity, nous avons vu grâce aux di�érentes expressions du spectre de puissance, que le comporte-ment classique attendu en Relativité Générale dans le cas d'une in�ation standard était retrouvé à la limiteultraviolette mais que celui-ci di�érait considérablement à la limite infrarouge. Nous ouvrons donc une nouvellefenêtre sur la possible mise en évidence observationnelle d'e�ets de gravitation quantique. Ces résultats ont étéobtenus uniquement en considérant le premier ordre dans les développements en λs, et l'étape suivante seraitde voir ce que l'on obtiendrait avec les ordres suivants en λ2

s,λ3s... Pour être tout à fait rigoureux on devrait

aussi regarder le cas où l'on considére les corrections du fond a�n de savoir si ces modi�cations perdurent.Le travail que je devrai e�ectuer par la suite sera notamment d'étudier numériquement le comportement de lasolution, et donc du spectre, dans l'ensemble de l'espace des paramètres. Une autre étape importante sera derésoudre le système d'équations di�érentielles donné précédemment en tenant compte des corrections du fond,a�n de connaître le comportement exact de la solution physique auquelle on doit s'attendre. Cela ouvre un largechamp de perspectives car à long terme, il sera alors possible de regarder quantitativement si les expériencescomme Planck ou BPOL pourraient révéler ces corrections quantiques. Il faudrait aussi calculer le spectre depuissance scalaire que l'on comparerait avec les �uctuations en température qui sont d'ores et déjà bien mesu-rées.Réputée inaccessible à toute observation, la "physique à l'échelle de Planck" commence ainsi à entrer dans lechamp de la science expérimentale grâce à la cosmologie. La Cosmologie Quantique à Boucles n'en est qu'à sesbalbutiements mais les résultats sont déjà très prometteurs et méritent surtout d'être étudiés plus en détails,a�n de savoir, qui sait, si ce n'est pas cette théorie qui doit succéder à la Relativité Générale d'Einstein.

Références

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31

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8 Annexe A : Crochets de Poisson et équations du mouvement

Dans un espace à N dimensions, il existe N variables de con�guration qi possédant chacune N momentsconjugués pi, et l'on peut créer ainsi un espace des phases à 2N dimensions (ici i = 1..N). Pour (F,G), deuxfontions des (pi, qi), on dé�nit les Crochets de Poisson comme étant

{F,G} =N−1∑i=0

(∂F

∂qi

∂G

∂pi− ∂G

∂qi

∂F

∂pi

). (157)

Or cette relation n'est valable que si {qi, pi} = 1. Dans le cas contraire, on doit rajouter la valeur de chaquecrochets de Poisson canoniques devant chaque couple de crochets de Poisson.

{F,G} = {q1, p1}(∂F

∂q1

∂G

∂p1− ∂G

∂q1

∂F

∂p1

)+ ....{qN , pN}

(∂F

∂qN

∂G

∂pN− ∂G

∂qN

∂F

∂pN

), (158)

et l'on obtient bien si l'on prend F = q1 que {F,G} = {q1, p1} si G = p1, et si G = p2 {F,G} = 0.En Loop Quantum Gravity , il existe une relation de crochets de Poisson liant la dynamique de k et p , et uneautre liant δKi

a et δEai que l'on utilise pour décrire toute la dynamique de l'espace

{k, p} =κ

3V0,

{δKia, δE

bj} = κδ3(x− y)δb

aδij .

On peut dé�nir ainsi le crochet de Poisson de k , p , δKia ou δEa

i avec une fonction X. Par exemple, pour p (laprocédure est la même pour toutes les variables)

{p, X} = {k, p}(∂p

∂k

∂X

∂p− ∂X

∂k

∂p

∂p

)+ {δKi

a, δEbj}

(∂p

∂δKia

∂X

∂δEbj

− ∂X

∂δKia

∂p

∂δEbj

)

= {k, p}(

0− ∂X

∂k

)+ 0,

et donc{p, X} = −{k, p}∂X

∂k.

9 Annexe B : Klein-Gordon for the Background

Nous utilisons les équations

H2 =κ

(S − ρ

ρc

), (159)

Hmatter[N ] = NV0

(12D(q)

p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

), (160)

où H2 est dé�ni suivant le temps cosmologique. On dé�nit le Lagrangien comme étant

Hmatter[N ]=V0pΦΦ− L (161)

note : le point fait référence au temps cosmologique donné par N . D'autre part, nous utilisons les variableshomogènes, et intégrons les quantités sur un volume V0 que l'on pourra prendre arbitrairement comme 1, etalors

L = V0pΦΦ−Hmatter[N ]

= V0pΦND(q)pΦ

p32− NV0

(12D(q)

p2Φ

p32

+ p32V (Φ)

)= NV0

(12D(q)

p2Φ

p32− p

32V (Φ)

). (162)

Avec N = 1 (cosmic time), nous avons∂Φ∂t

= Φ = DpΦ

p32

(163)

32

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d'oùL = V0

(1

2DΦ2 − V (Φ)

)p

32 , (164)

et nous pouvons maintenant utiliser les équations d'Euler-Lagrange pour trouver l'équation de Klein-Gordonmodi�ée

1V0

∂L∂Φ

= −p 32 ∂ΦV (Φ), (165)

1V0

∂L∂Φ

=ΦDp

32 , (166)

1V0

∂η

(∂L∂Φ

)=

ΦDp

32 − Φ

Dp

32D

D+

ΦD

32√p ˙p, (167)

conduisant àΦDp

32 − Φ

Dp

32D

D+

ΦD

32√p ˙p+ p

32 ∂ΦV (Φ) = 0,

ΦDp

32 +

Φk

Dp

32

(−DD

+ 3 ·˙p

2p

)+ p

32 ∂ΦV (Φ) = 0.

Utilisant (71) et multipliant le résultat par D

p32, nous obtenons

Φk + Φk

(3H − D

D

)+D∂ΦV (Φ) = 0.

Pour plus de clarté, nous noterons

∂ΦV (Φ) =∂V (Φ)∂Φ

= V,Φ(Φ),

et nous obtenons ainsi l'équation de Klein-Gordon modi�ée pour le fond

Φk + Φk

(3H − D

D

)+DV,Φ(Φ) = 0 (168)

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