PETA KONSEP

PETA KONSEP

HOME

MATERI

CONTOH SOAL

LATIHAN SOAL

STANDAR KOMPETENSI

PROFIL

STANDAR KOMPETENSI

• Menentukan persamaan lingkaran• Menentukan persamaan garis

singgung lingkaran

lingkaran

persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran berpusat

di (0, 0) dan (a, b)

Menentukan Pusat dan

Jari-Jari Lingkaran

yang Persamaan

nyaDiketahui

Kedudukan titik

dan garis terhadaplingkaran

persamaan garis singgung lingkaran

persamaan garis singgung yang

melalui suatu titik pada lingkaran

persamaan garissinggung yang

gradiennya diketahui

Peta konsep

Lingkaran

tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama

terhadap suatu titik tetap.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari

dan titik tetap itu disebut

pusat lingkaran

Sumber: www.psb-sma.org

PERSAMAAN LINGKARANPersamaan Lingkaran yang berpusat di o(0,0) dan berjari-jari r

O

Y

X

P(x,y)

P’x

yr

Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah

Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.

Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)dan berjari-jari di r

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah

Y

g

x - a

A (a,b)

r

P’

y-b

P (x,y)

X


Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang PersamaannyaDiketahui

Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

Posisi suatu titik terhadap lingkarana. Posisi kedudukan titik P(a,b) terhadap lingkaran L ≡

dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a2 + b2 < r2

Y

XO

P(a,b)●

r


2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L ↔ a2 + b2 = r2

Y

P(a,b)●

r

XO


3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L ↔ a2 + b2 > r2

Y P(a,b)●

r

XO


b. Posisi suatu kedudukan titik P(h,k) terhadap lingkaran L ≡ sebagai berikut:

1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ (x-a)2 + (k-b)2 < r2

2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L ↔ (x-a)2 + (k-b)2 = r2

O

●P(h,k)

●A(a,b) r

P(h,k)●

●A(a,b) r

O

Y

X

X

Y


3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L ↔ (x-a)2 + (k-b)2 > r2

P(h,k)●

●A(a,b) r

O

Y

X


Posisi garis y=mx + n terhadap suatu lingkaran


(a,b)

ky= mx + n

(a,b)

ky= mx + n


k(a,b) y= mx + n


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

• Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2. Gradien garis OP adalah mOP = . Jika P merupakan titik singgung, dan l merupakan garis singgungnya, maka gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah karena mOP . ml = -1. Dengan demikian, garis yang melalui titik P dan bergradien adalah

y – y1 = m l (x – x1)

y – y1 = (x – x1)

y1 (y – y1) = -x1 (x – x1)

y1y – y12 = -x1x + x1

2

x1x + y1y = x12 + y1

2

x1x + y1y = r2Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1 ,y1) pada Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

- Gradien garis AP adalah mAP =

- Garis singgung l tegak lurus garis AP,

sehingga gradien f=garis singgung g adalah

ml = - = -

- Persamaan garis singgung g adalah:


Untuk P(x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka:


●

A(a,b)

Q (x1 - a)

(y1 - b)

P(x1 , y1)●

Berikut gambar lingkarannya


• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1 ,y1) pada Lingkaran


• Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0,c)

dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut menyinggung

lingkaran x2 + y2 = r 2, maka nilai c dapat diperoleh dengan langkah-

langkah sebagai berikut.

Substitusikan y = mx + c

x2 + y2 = r 2

x2 + (mx-c)2 = r 2

x2+m 2x2+ 2mcx + c2 = r 2

x2+m 2x2+ 2mcx + c2 - r2 = 0

(1+m 2)x2+ 2mcx + c2 - r 2 = 0Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan

nol (D=0)

a = (1+m 2) ; b = 2mc ; c = c2 - r 2

D = b2 – 4ac = 0

(2mc)2 – 4 (1+m 2)( c2 - r 2) = 0

4m2c2 – 4 (c2 + m2c2 – r2 – m2r2) = 0

4m2c2 – 4c2 +4 m2c2 + 4 r2 + 4m2r2 = 0

– 4c2 + 4 r2 + 4m2r2= 0

– c2 + r2 + m2r2= 0

c2 = r2 + m2r2

c= ±r√m2+1

Substitusikan c= ±r√m2+1 ke persamaan garis y=mx+c, sehingga diperoleh

y=mx ±r√m2+1Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x1, y1) di luar lingkaran, tidak terdapat

rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar:

L ≡ x2 + y2 = r2

titik P(x1, y1) di luar L

Garis-garis singgung di:

A(xA, yA) xAx + yAy = r2 .................. (1)

B(xB, yB) xBx + yBy = r2 .................. (2)

Sehingga persamaan garis;

(1): AP ≡ xAx1 + yAy1 = r2 .................. (3)

(2): BP ≡ xBx1 + yBy1 = r2 .................. (4)

(xA - xB)x1 + (yA - yB)y1 = 0

= = .................. (5)Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Gradien garis AB adalah mAB = yA – yB / xA - xB .................. (6)

Dari (5) dan (6):

mAB = - x1 /y1

Persamaan garis AB (garis polar) adalah y – yA = mAB(x - xA)

y - yA = - x1 /y1 (x - xA)

y1y - y1yA = - x1x + x1xA

x1x + y1y = x1xA + y1yA ....................(7)

Dari (3) dan (7):

x1x + y1y = r2

Adalah persamaan garis polar lingkaran x2 + y2 = r2 dan titik (x1, y1) di luar lingkaran.

Persamaan garis polar dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung

yang melalui titik di luar lingkaran. Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat

di O(0, 0) dan melalui titik P(-3, 1)Jawab:Lingkaran berpusat di O(0, 0), maka jari-jari r

adalah

r = = sehingga r2 = = 10Persamaan lingkarannya: x2 + y2 = r2

Maka x2 + y2 = 10Jadi persamaan lingkarannya adalah

Contoh 1

x2 + y2 = 10


Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat

di (2,3) dengan jari-jari 6Jawab:Pusat (2,3) a=2, b=3 ; r = 6(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 62

x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 36x2 +y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 36 = 0x2 +y2 – 4x – 6y – 23 = 0Jadi persamaan lingkarannya adalah

Contoh 2

x2 +y2 – 4x – 6y – 23 = 0


Tentukan pusat dan jari-jari darilingkaran L ≡ x2 +y2 – 8x – 2y + 13 = 0Jawab:L ≡ x2 +y2 – 8x – 2y + 13 = 0A = -8, B = -2, C = 13• Pusat = • Jari-jari r = = =

= = 2Jadi pusat lingkarannya dan jari-jarinya adalah

Contoh 3

(-4, -1) 2dan


Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 +y2 = 12,

yang melalui titik (2,4)Jawab:

Titik (2,4) → x1 = 2 dan y1 = 4, terletak pada L ≡ x2 +y2 = 12

Persamaan garis singgungnya:

x1x + y1y = r2

(2)x + (4)y = 12

2x + 4y = 12

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 +y2 = 12 yang melalui titik (2,4) adalah

Contoh 4

2x + 4y = 12Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 = 12 yang melalui titik (3,5)Jawab:

Titik (3,5) → x1= 3 dan y1 = 5, terletak pada L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 = 12

Persamaan garis singgungnya:

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(3-2)(x-2) + (5+1)(y+1) = 12

1(x-2) + 6(y+1) = 12

x – 2 + 6y + 6 = 12

x + 6y + 4 – 12 = 0

x + 6y – 8 = 0

Jafi persamaan garis singgungnya adalah

Contoh 5

x + 6y – 8 = 0


LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui masing-masing titik nya sebagai berikut :a. A(2,3)b. G(-3,1)c. I(4,4)d. S(7,7)e. R(6,9)

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini:a. Pusat P(3,4), melalui titik O(2,3)b. Pusat Z(-4,2), melalui titik I(0,2)

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran pada masing-masing lingkaran dibawah ini:a. x2 + y2 – 6x + 2y – 24 = 0b. x2 + y2 + 12x - y + 17 = 0c. x2 + y2 - 10x + 4y – 31= 0

4. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini:a. P(2, 3) dan L ≡ x² + y² = 8b. P(-1, 6) dan L ≡ x² + y² = 40c. P(√3, -1) dan L ≡ x² + y² = 4


5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x + 8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x ² + y ² = 9, jika mempunyai gradien 2

7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y – 1)² = 4 yang tegak lurus garis l ≡ -3x + 4y – 1 = 0

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – 1)² + (y – 4)² = 25 di titik singgung B(-3, 1)

9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x + 8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)

10.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 3) dan berjari-jari 6

11.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(5, -1), melalui titik P(-1, 7)

12.Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(3, 4) dan berjari-jari 3


PROFIL

IFA SHOLIHAHKelas : 2iNPM : 112070005TTL : 16 April 1993Sebagai pemateri kedua

APRIAN NURDINKelas : 2iNPM : 112070086TTL : Kuningan, 16 Juni 1992Sebagai pemateri pertama

NURLAELAKelas : 2iNPM : 112070187TTL : Cirebon, 13 Maret 1995Sebagai pemateri Ke 3

GINA PUTRI LESTARIKelas : 2jNPM : 112070027TTL : Cirebon, 24 April 1994Sebagai pemateri Ke 4

PROFIL

Documents

PETA KONSEP