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Petite introduction thématique à la théorie des graphes. Dominique Barth, PRiSM-UVSQ. Plan. Introduction et concepts de base Coloration de graphes Planarité Comparaison de graphes Conclusion. Introduction et concepts de base. Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux}). - PowerPoint PPT Presentation
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Petite introduction thématique à la théorie des graphes
Dominique Barth, PRiSM-UVSQ
Plan
• Introduction et concepts de base
• Coloration de graphes
• Planarité
• Comparaison de graphes
• Conclusion
Introduction et concepts de base
Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux})
(vrai) graphe orienté
Graphe orienté symétrique Graphe non-orienté
- Degrés- Distances, diamètre- Chaine, chemin, cycle, circuits- Connexité, forte-connexité, k-connexité- pondération, étiquetage
Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension
Coloration de graphes
Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs.
G=(V,E), graphe non-orienté
Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleursColoration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v)Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V)Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G
Problème historique des 4 couleurs
Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire.
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Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet
Complexité Nombre de données processeur x 1000 traitées / 24h
Linéaire 1 million x1000Polynomial (deg. 4) 4000 x 2
Exponentiel 150 +20Factoriel 12 +2
} Classe P
Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant
Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens
Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes.
Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P.
Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP).
Hiérarchie de classes de problèmes
Question : P=NP ?
Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP
Savoir si un problème est NP-complet :« Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connucomme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussiun des problèmes les plus difficiles (NP-complet). »
Que faire si un problème est NP-complet : - Heuristiques polynomiales- Approximation, garanties de performances- Liens entre invariants et complexité
Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet
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Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet)
Problème : enchevêtrement de cycles
Planarité
K3 K4K5
K3,3
Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent
oui ouinon
non
?
Graphe homéomorphe à
Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K5, ni à K3,3
Décider si un graphe est planaire est dans P.
Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire
= caratérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces
Comparaisons de graphes
Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) :Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’.
f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme)
Graphe G Graphe HIsomorphismeentre G et H
ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6ƒ(c) = 8ƒ(d) = 3ƒ(g) = 5ƒ(h) = 2ƒ(i) = 4ƒ(j) = 7
f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H
- groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs
f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur)
Graphe homéomorphe à
Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de GEt de H qui ont la propriété de morphisme visée.
Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E
Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisantLe nombre d’opérations élémentaires
Conclusion
Question : un graphe est-il « rond » ou « long »?
1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer?
2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande
Petites introductions pour futurs MoDiMo :
Théorie des jeux, combinatoire,…
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Séparateur
Excentricité
Largeur de bande