Petr Olk

Linern algebra

Praha, 2000-2007

E

Text je en voln podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt.Text ve formtech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete na adreseftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/.

Verze textu: 31. 7. 2007

Poznmka ke zmnm v textu. V z 2006 jsem pvodn text rozil o mnoho novch parti, protoe sezmnily osnovy algebry pro prvn ronk otevenm programu STM na na fakult. Veker nov textjsem pipojoval na konce stvajcch kapitol, abych zachoval slovn definic a vt pvodnho textu. Nakonec prvn kapitoly o linernch prostorech jsem pipojil text o grupch a tlesech. Na konec druhkapitoly (o obalech a bzch) jsem vloil Steinitzovu vtu o vmn. Na konci kapitoly o maticch pibylyvty o hodnosti souinu matic. Na konec kapitoly o soustavch linernch rovnic jsem pidal nkolikdodatk na postupy een soustav. Na konec kapitoly o linernch zobrazench jsem pipojil definicipojmu vlastn slo a vlastn vektor vetn povdn o zkladnch vlastnostech, jako napklad podobnosts diagonln matic. Na konec textu jsem pipojil zcela novou kapitolu 10 obsahujc vod do kdovn.

V ervnu 2007 jsem tento text pouil ve skriptech [18]. Tam je navc ke kad kapitole pipojena rozshlsbrka cvien a je pidna kapitola o polynomech. Tyto vci ve verzi voln en na internetu nejsou.Zdrojov text voln enho textu i skript je spolen (veejn vystaven soubor linal.tex). Pekladtextu TEXem se pi zpracovn skript a internetov verze li jen na nkolika mstech (viz pepna\ifbook). Pi tisku skript se pochopiteln odkazuje na dal zdrojov soubory, kter nejsou na internetuzveejnny. Korektury, kter jsem zapracoval pi vydn skript, jsou zaneseny i do tto verze volnenho textu. Zmnil jsem znaen pro linern obal dk matice a dle skldn zobrazen () v novverzi textu teme zprava doleva. Pi vrob skript vznikl t seznam literatury a rejstk, co jsou vci,kter jsem nov zaadil i do internetov verze textu.

Copyright c RNDr. Petr Olk, 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txtftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

Obsah

Gaussova eliminan metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1vodn pklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Dal pklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Diskuse po peveden matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Pklad, kdy soustava nem een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Linern prostor, grupa, tleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Vta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Dkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Definice linernho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Prostor R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Prostor Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Prostor funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Prostor polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Linern podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Prnik prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Prostor orientovanch seek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Triviln prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Pologrupa, grupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Podgrupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Tleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Galoisovo tleso se dvma prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14GF(p), Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Linern prostor nad tlesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . 18Linern kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Triviln linern kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Linern zvislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Linern nezvislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Zkladn vlastnosti linern (ne)zvislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Jeden vektor je linern kombinac ostatnch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Zvislost orientovanch seek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Linern (ne)zvislost nekonench mnoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Linern obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Prvek linernho obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Vlastnosti linernho obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Linern obal je podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Rozen LN mnoiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Charakteristika LN mnoiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Bze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Existenece a jednoznanost bze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Bze jsou stejn velk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Dimenze prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Dimenze podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Poet prvk v LN mnoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Definice matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Linern prostor matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Symetrie relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Gaussova eliminace zachovv obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Trojhelnkov matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Numericky nestabiln matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Transponovan matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Nsoben matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Komutujc matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Matice vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Jednotkov matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Inverzn matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Regulrn, singulrn matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Vpoet inverzn matice eliminac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Hodnost souinu matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Znamnko permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Definice determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Zkladn vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Metoda potn determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Rozvoj determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Souin determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Existence inverzn matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Soustavy linernch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Frobeniova vta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Princip eliminan metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52een homogenn soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52een nehomogenn soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Strojov een soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Nejednoznanost zpisu een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Soustavy se tvercovou matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Dodatky k een soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Soustava linernch soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6. Vce o linernch prostorech konen dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Spojen prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Dimenze prniku a spojen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Souadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Existence a jednoznanost souadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Matice pechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Souadnice vektoru a matice pechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Pechod od bze (B) pes (C) k (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Sestaven matic pechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. Linern zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Definice zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Zobrazen na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Prost zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Definice linernho zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Zachovn obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Jdro zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Defekt a hodnost zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Souadnice jako linern zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Linern zobrazen na bzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Zobrazen linern nezvislch vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Sloen zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Inverzn zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Izomorfismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Matice linernho zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Hodnost matice zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Zobrazen souadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Defekt + hodnost zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Matice sloenho zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Matice identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Zobrazen do stejnho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Vlastn slo, vlastn vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Podobnost s diagonln matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8. Linern prostory se skalrnm souinem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Definice skalrnho souinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Skalrn souiny na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Symetrick a pozitivn definitn matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Velikost vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85hel dvou vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Vzdlenost vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Kolm vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Ortonormln bze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Ortogonalizan proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9. Aplikace linern algebry v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Euklidovsk prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Souadnice orientovanch seek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Skalrn souin orientovanch seek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Kolm prmt vektoru na vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Ortonormln bze v UO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Kladn orientovan bze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Vektorov souin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Smen souin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Prostor V3 volnch vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Souet bodu s vektorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Pmka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Souadnicov systm v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Rovnice pmky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Vzjemn poloha dvou pmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Vzjemn poloha pmky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Vzjemn poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Soumrn body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Ti roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10. Linern algebra v teorii kdovn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Tleso Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Potn v Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Kd, kdov slovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Kdovn s detekc a opravou chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Linern kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Generujc a kontroln matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Kodr linernho kdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Dekodr linernho kdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Hammingv kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Rozen Hammingv kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12. Rejstk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Gaussova eliminan metoda

Ne se pustme do studia linernch prostor a podprostor, zvislosti a nezvislosti vektor, bza linernch obal, uvedeme si v tto vodn kapitole metodu, kter se nm bude asto hodit. Protoese k een soustav vrtme podrobnji v kapitole pt, ekneme si zde jen to nejnutnj a budeme sev nkterch ppadech vyjadovat mon ponkud tkopdn. Ve napravme v kapitole 5.Gaussova eliminan metoda je metoda usnadujc een soustav linernch rovnic. Soustava line-

rnch rovnic je jedna nebo (obvykle) vce linernch rovnic, kter maj bt splnny vechny souasn.Linern rovnice je rovnice, ve kter se jedna nebo (obvykle) vce neznmch vyskytuje pouze v prvnmocnin. Neznm mohou bt nsoben rznmi konstantami a tyto nsobky se v soutu maj rovnatdan konstant, tzv. prav stran. eit soustavu rovnic znamen najt een, tj. najt takov relnsla, kter po dosazen za neznm v rovnicch spluj vechny rovnice souasn. Takov een meexistovat pro danou soustavu jedin, me se ale stt, e je takovch een vce nebo nen dn.

vodnpklad

Metodu si nejprve vysvtlme na jednoduchm pklad nsledujc soustavy dvou linernch rovnico dvou neznmch x, y:

2x 5y = 16 x + 2y = 7

Ze stedn koly asi znte dv metody, jak takov soustavy eit: bu postupnm dosazenm, nebo nso-benm rovnic konstantami a vzjemnm stnm rovnic. Metoda postupnho dosazen by mohla vypadattakto:

2x 5y = 16 2(2y + 7) 5y = 14 y = 16 y = 2 x+ 2y = 7 x = 2y + 7 x = 2(2) + 7 = 3,

ale nem s Gaussovou eliminan metodou moc spolenho. Pro rozshlej soustavy (mnoho rovnic,mnoho neznmch) se moc nehod. Zamme se proto na druhou metodu stn rovnic. V tto metodmnme postupn soustavu rovnic na jinou soustavu se stejnm eenm. Zmny soustavy, kter nemneen, jsou nsledujc:

(1) Prohozen rovnic mezi sebou.(2) Vynsoben rovnice nenulovou konstantou.(3) Piten libovolnho nsobku njak rovnice k jin.

Pomoc tchto prav pevedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze kter je ji een snadnoiteln. Jednotliv modifikace na soustavy od sebe oddlujeme znakem .

2x 5y = 16 x+ 2y = 7

2x 5y = 16 2x+ 4y = 14

2x 5y = 160x y = 2

2x 5y = 16y = 2

2x+ 0y = 6y = 2

x = 3y = 2

Nejprve jsme vynsobili druhou rovnici dvma, pak jsme ob rovnice seetli a vsledek napsali na mstodruh rovnice, dle jsme druhou rovnici vynsobili slem 1, pak jsme ptinsobek druh rovnice pietlik prvn a nakonec jsme prvn rovnici vynsobili slem 1/2. Z posledn soustavy teme pmo een.

Gaussova eliminan metoda je vlastn shodn s prv pouitou metodou stn rovnic. NavcGaussova metoda upesuje postup, jak rovnice nsobit a stat mezi sebou, abychom se clen dobralik vsledku i u rozshlch soustav mnoha rovnic s mnoha neznmmi. Ne tento postup popeme,zamyslme se nad tm, jak strun meme soustavy rovnic zapisovat. V soustav rovnic nen pi hledneen podstatn, zda se neznm jmenuj x, y, z nebo teba , , . Podstatn jsou jen koeficienty, kternsob jednotliv neznm a samozejm jet hodnoty na pravch stranch rovnic. Oddlme tedy zrnood plev a vypeme z na soustavy jen to podstatn (koeficienty u neznmch a hodnoty pravch stran)do tabulky sel, kter budeme kat matice:(

2 5 161 2 7

)Pokud chceme prohodit rovnice, v novm znaen to znamen prohodit dky matice. Vynsoben rovnicenenulovou konstantou odpovd vynsoben dku matice touto konstantou. Konen piten nsobkujedn rovnice k druh je toton s pitenm nsobku jednoho dku ke druhmu. Postup een naehopkladu tedy meme zapsat takto:(2 5 161 2 7

)(2 5 162 4 14

)(2 5 160 1 2

)(2 5 160 1 2

)(2 0 60 1 2

)(1 0 30 1 2

)1

Linern algebra Gaussova eliminan metoda

Dal pkladPed vkladem Gaussovy eliminan metody na obecn soustav linernch rovnic si ukeme postupjet na jednom pkladu, kter bude mt tyi rovnice a pt neznmch. Pklad je zvolen zmrn tak,aby vychzela mal cel sla, take se nm to bude dobe potat bez pouit vpoetn techniky. To jeobvykl v tzv. modelovch pkladech, se ktermi se setkte u psemn sti zkouky a pi een loh zeskript. Jakmile se ale dostanete k lohm z praxe, budete postaveni ped soustavy teba s tisci rovnicemia se zhruba stejnm potem neznmch. Na mal cel sla budete muset zapomenout. Bez vpoetntechniky se to pak eit ned. Pamatujte tedy, e een modelovch pklad ze skript nen konenmclem na teorie, ale jen pomckou k pochopen rozshlejch souvislost.Mme eit nsledujc soustavu linernch rovnic

4x1 + 4x2 x3 + x4 7x5 = 112x1 2x2 + x3 + 3x5 = 44x1 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = 3

6x1 + 6x2 4x3 + x4 12x5 = 7

Koeficienty tto soustavy pepeme do matice a matici budeme upravovat pomoc tzv. krok Gaussovyeliminan metody, mezi kter pat prohozen dk mezi sebou, vynsoben dku nenulovou konstantounebo piten libovolnho nsobku njakho dku k jinmu.

4 4 1 1 7 112 2 1 0 3 44 4 5 1 7 36 6 4 1 12 7

Nejprve potebujeme stnm nsobk dk dostat nulu podprvn prvek v prvnm sloupci. Aby se nm to lpe dlalo, pro-hodme prvn dek s druhm.

2 2 1 0 3 44 4 1 1 7 114 4 5 1 7 36 6 4 1 12 7

Pod dvojkou v prvnm sloupci budeme postupn vytvet nuly.Vezmeme dvojnsobek prvnho dku a piteme jej ke dru-hmu.

2 2 1 0 3 40 0 1 1 1 34 4 5 1 7 36 6 4 1 12 7

Zatm nemme v prvnm sloupci pod dvojkou vude nuly. Bu-deme si stle pomhat nsobky prvnho dku, kter op-eme. Minus dvojnsobek prvnho dku piteme ke tetmu atrojnsobek prvnho dku piteme ke tvrtmu.

2 2 1 0 3 40 0 1 1 1 30 0 3 1 1 110 0 1 1 3 5

Nyn bychom mli vytvet nuly ve druhm sloupci. To sev tomto ppad stalo (vjimen) samo, take se zammena tet sloupec. Tam pod prvn jednikou v druhm dku vy-tvome nuly takto: minus trojnsobek druhho dku pitemeke tetmu a dle druh dek piteme ke tvrtmu. Prvn adruh dek opisujeme.

2 2 1 0 3 40 0 1 1 1 30 0 0 2 4 20 0 0 2 4 2

Znovu se pesuneme na dal sloupec (tentokrt tvrt) a vy-tvome nulu pod minus dvojkou ze tetho dku. K tomu stasest tet dek se tvrtm a vsledek napsat na msto tvr-tho dku.

2 2 1 0 3 40 0 1 1 1 30 0 0 2 4 20 0 0 0 0 0

Tet dek jet (spe pro pardu) vynsobme slem 1/2.tvrt dek nemusme pst, protoe tento dek odpovd rov-nici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, kter je zejm splnnapro libovoln x1, x2, x3, x4, x5.

2 2 1 0 3 40 0 1 1 1 30 0 0 1 2 1

Dostvme matici, kter m ve sv dolnm levm kout nuly.Pesnji: kad dal dek m zleva aspo o jednu nulu vce nepedel. To je clem tzv. pmho chodu Gaussovy eliminanmetody, kter jsme prv ukonili.

Nai matici koeficient pvodn soustavy jsem pevedli pomoc Gaussovy eliminan metody na maticiodpovdajc nov soustav, kter m stejnou mnoinu een, jako pvodn. Sta se proto dle zabvattouto novou soustavou. Pro nzornost si ji zde zapeme

2x1 2x2 + x3 + 3x5 = 4x3 + x4 x5 = 3

x4 2x5 = 1

2

Linern algebra Gaussova eliminan metoda

Kad rovnice umon spotat hodnotu jedn neznm, pokud jsou dny hodnoty ostatnch. Mme tirovnice o pti neznmch, umme tedy spotat jen ti neznm. Pomoc posledn rovnice budeme potatnapklad x4, pomoc pedposledn rovnice budeme potat x3 a z prvn rovnice spotme napklad x1.Ostatn neznm nejsou tmito rovnicemi ureny a mohou nabvat libovolnch hodnot. To dme najevonapklad takto: x5 = u, x2 = v, u R, v R. Nyn budeme potat hodnoty ostatnch neznmchdosazovac metodou, postupujeme od posledn rovnice k prvn:

x5 = ux2 = v

x4 2u = 1 x4 = 1 + 2ux3 + (1 + 2u) u = 3 x3 = 4 u

2x1 2v + (4 u) + 3u = 4 x1 = 4 u + v

een jsme zapsali pomoc dvou parametr u, v, kter mohou nabvat libovolnch hodnot. Vimnemesi, e poet parametr, ktermi popeme een libovoln soustavy linernch rovnic je roven potuneznmch mnus poet nenulovch rovnic, kter zskme po eliminaci Gaussovou eliminan metodou.V naem ppad: poet parametr = 5 3. Zadan soustava m sice tyi rovnice, ale po eliminaci senm soustava redukovala na pouh ti nenulov rovnice.Pokud bychom se rozhodli napklad z prvn rovnice potat x2, pak by neznm x1 mohla nabvat

libovolnch hodnot a vsledek by byl formln zapsn ponkud jinak: x1 = w, x2 = 8 + 2u + 2w,x3 = 4u, x4 = 1+2u, x5 = u, u R, w R. Vidme tedy, e neexistuje jednoznan zpis vsledku.Oba zpisy popisuj stejnou mnoinu een, kad trochu jinm zpsobem.

Popismetody

Nyn se pustme do vkladu Gaussovy eliminan metody pro obecnou soustavu linernch rovnic.Nejprve vysvtlme proceduru, kterou budeme v tto metod s prvky matice mnohokrt opakovat. Tatoprocedura vytvo nuly v s-tm sloupci pod nenulovm prvkem matice v r-tm dku. Nzorn:

sloupec s

......

dek r 0 0 a 0 0 b1 ...

......

0 0 bk

sloupec s

......

0 0 a dek r0 0 0 ...

......

0 0 0

Tekami jsou v tomto obrzku vyznaeny prvky matice, jejich hodnoty ns momentln nezajmaj.Prvek a mus bt nenulov. Procedura vytvoen nul pod prvkem a se provede takto:

K1. dky 1 a r opeme beze zmny.K2. K dku r+1 pitme (b1/a) nsobek dku r, k dku r+2 pitme (b2/a) nsobek dku r,atd., a konen k dku poslednmu pitme (bk/a) nsobek dku r.Tmto konem se neporu nulov prvky ve sloupcch vlevo od sloupce s a vzniknou nov nuly pod

prvkem a ve sloupci s.Popeme algoritmus, kter pevede libovolnou matici na matici, kter m v levm dolnm rohu

nuly. Pesnji, matice bude mt v kadm dku zleva aspo o jednu nulu vce v souvisl ad nul, nepedchoz dek. V algoritmu se pracuje s promnnou r oznaujc aktuln dek a s promnnou s,kter znamen sloupec, ve kterm v danm okamiku vytvme nuly. Pokud se v algoritmu zvtuje r,a pitom r ji oznauje posledn dek matice, ukonme innost. Pokud by se mlo zvtit s, a pitoms u oznauje posledn sloupec matice, ukonme innost. V tchto ppadech je u matice pevedena dopoadovanho tvaru.

G1. Nastavme r = 1, s = 1.G2. Nech a je prvek matice z s-tho sloupce a r-tho dku. Pokud je a = 0 a vechny prvky podprvkem a v s-tm sloupci jsou tak nulov, zvtme s o jedniku a opakujeme krok G2.

G3. Je-li a = 0, a pitom existuje nenulov prvek pod prvkem a v s-tm sloupci na dku r1, prohodmedek r s dkem r1. Od tto chvle je v nov matici prvek na r-tm dku a s-tm sloupci nenulov.

G4. Vytvome nuly pod nenulovm prvkem a z r-tho dku a s-tho sloupce zpsobem, popsanmv krocch K1 a K2.

G5. Existuj-li v matici dky cel nulov, z matice je odstranme.G6. Zvtme r o jedniku a s o jedniku a celou innost opakujeme od kroku G2 znova.

3

Linern algebra Gaussova eliminan metoda

Pi eliminan metod jsme pevedli matici koeficient soustavy na jinou matici odpovdajc jinsoustav, ale se stejnou mnoinou een, protoe pi pravch jsme pouili jen tyto elementrn kroky:

(1) Prohozen dk matice.(2) Pronsoben dku nenulovou konstantou.(3) Piten nsobku dku k jinmu.(4) Odstrann nulovho dku.

Diskuse popevedenmatice

Ji dve jsme vysvtlili, e tm dostvme modifikovanou matici odpovdajc nov soustav sestejnou mnoinou een. Sta se tedy zamit na tuto novou soustavu. Nejprve rozhodneme, zda soustavam vbec njak een. Pokud je posledn dek ve tvaru:

(0 0 0 | c), c 6= 0

soustava nem een. Tento dek toti odpovd rovnici

0x1 + 0x2 + + 0xn = c, c 6= 0,

kterou nelze splnit pro dn x1, x2, . . . , xn.Pokud posledn dek obsahuje nenulov prvek mezi koeficienty soustavy (vlevo od svisl ry),

soustava m een. V takovm ppad meme ci, kolik tch een bude: pokud m soustava (poprav eliminan metodou) stejn poet rovnic, jako neznmch, m jedin een. Je-li poet rovnicmen, ne poet neznmch, je een nekonen mnoho.

Poet rovnic po eliminaci neme nikdy peshnout poet neznmch, vyloume-li ppad dku(0 0 | c), c 6= 0. Rozmyslete si, pro. Zadan soustava me mt podstatn vce rovnic ne neznmch,ale po eliminaci se v takovm ppad zkonit poet rovnic zmen.M-li soustava een, pak pro kadou rovnici rozhodneme, kterou neznmou budeme pouitm tto

rovnice potat (v dan rovnici mus bt tato neznm nsobena nenulovm koeficientem). V kadrovnici je nejprve zleva skupina nulovch koeficient a pak existuje njak prvn nenulov koeficient.Doporuujeme potat tu neznmou, kter je nsobena tmto prvnm nenulovm koeficientem. Neznm,kter nebudeme potat pomoc dn rovnice, mohou nabvat libovolnch hodnot. Takov neznm dlepovaujeme za parametry. Pro poet parametr tedy plat:

poet parametr = poet neznmch celkem poet rovnic po eliminaci

Spotme nejprve neznmou z posledn rovnice a vsledek dosadme do ostatnch rovnic. Pak spotmedal neznmou z pedposledn rovnice atd. a se dostaneme k prvn rovnici. Tm mme vyjdena vechnaeen dan soustavy linernch rovnic.

Pklad, kdysoustavanem een

Pklad. Gaussovou eliminan metodou budeme eit nsledujc soustavu ty rovnic o tyech nezn-mch , , , .

+ 2 + 3 + = 12 + 4 + 7 + 7 = 4 + 2 = 23 + 7 + 10 + 6 = 7

Zapeme koeficienty soustavy a hodnoty pravch stran do matice a zaneme tuto matici eliminovatzpsobem popsanm ve.

1 2 3 1 12 4 7 7 41 0 2 0 23 7 10 6 7

(1)1 2 3 1 10 0 1 5 20 2 1 1 30 1 1 3 4

(2)1 2 3 1 10 1 1 3 40 2 1 1 30 0 1 5 2

(3)

1 2 3 1 10 1 1 3 40 0 1 5 50 0 1 5 2

(4)1 2 3 1 10 1 1 3 40 0 1 5 50 0 0 0 3

V prav (1) jsme vytvoili nuly pod jednikou z prvnho sloupce a prvnho dku. V prav (2) jsmepehodili druh dek se tvrtm v souladu s krokem G3 naeho algoritmu (na druhm dku a druhmsloupci toti byl nulov prvek). V prav (3) jsme vytvoili nuly pod jednikou z druhho dku v druhmsloupci. V posledn prav (4) jsme vytvoili nulu pod jednikou v tetm sloupci z tetho dku. Tmmme matici v poadovanm tvaru. Pohledem na posledn dek okamit vidme, e soustava nemeen.

4

1. Linern prostor, grupa, tleso

1.1. Poznmka. O form definice-vta-dkaz. V tomto textu narazte na ti zkladn slohov tvary:definice, vta a dkaz. Vesms kad solidn matematick sdlen pouv tyto pojmy. Pitom je mon,e s takto systematickm pouitm pojm definice, vta, dkaz se setkvte poprv. Proto si tyto pojmyvysvtlme.

DefiniceDefinice vysvtluje (definuje) nov pojem, kter bude dle v teorii pouvn. Definice se opro pojmy, kter byly definovny v pedchozch definicch. V psn exaktnch teorich bychom muselina zatku vyjmenovat pojmy, kter nedefinujeme, ale budeme s nimi pracovat, protoe jinak bychomnebyli schopni zapsat prvn definici. V tomto textu nebudeme takto psn exaktn a budeme se oprato matesk jazyk a o pojmy znm ze stedn koly (pedpokldme, e jsou znm pojmy mnoina,reln slo apod.). Nov definovan pojem bude v definici vyznaen kurzvou.

VtaVta je tvrzen, kter nm sdluje njakou vlastnost tkajc se definovanch pojm. Dosti asto sevta d formln rozlenit na pedpoklady a vlastn tvrzen. Pedpoklady bvaj uvozeny slovy nech,budi, jestlie, pedpokldejme atd. Vlastn tvrzen obvykle zan slovem pak nebo potom.Vta se mus dokzat. Proto se hned za vtu pipojuje dal slohov tvar: dkaz. Po dokzn vtyse v nsledujcm textu d vta pout. To bv obvykle provedeno tak, e se ov v danm kontextuplatnost pedpoklad vty a na zklad toho se prohls, e plat vlastn tvrzen vty.

DkazDkaz je obhajoba platnosti vty. Pi tto obhajob meme pout pedchoz definice (zamnmepouit pojem ve vt skupinou pojm, ktermi je pojem definovn) a dle meme pout dve dokzanvty (ovme pedpoklady dve dokzan vty a pouijeme pak jej vlastn tvrzen). Dle se v dkazechpouv logickch obrat, kter byste mli znt ze stedn koly (napklad vrok nen pravda, eexistuje prvek, pro kter plat tvrzen A lze peformulovat na toton vrok: pro vechny prvky neplattvrzen A).

V exaktnch teorich se ke skupin nedefinovanch pojm na zatku teorie pipojuje i nkoliktvrzen, kter nelze prostedky teorie dokzat, ale pro dkazy dalch vt je nutn jejich platnost ped-pokldat. Takovm tvrzenm se k axiomy. V naem textu nebudeme teorii stavt jen na axiomech, alenkdy pouijeme spe intuitivn pstup. Nen nutn bt za kadou cenu psn exaktn.

Pro matematick sdlen novch poznatk je obvykle lenn textu na definice, vty a dkazy dosta-ujc. V tto uebnici si navc budeme ilustrovat novou problematiku na pkladech a obas prohodmenjakou poznmku. Dokladem toho je i tato poznmka 1.1.

1.2. Poznmka. V nsledujc definici linernho prostoru 1.6 se pracuje s mnoinami ble nespecifi-kovanch objekt. Jedin, co s tmi objekty umme dlat, je vzjemn objekty stat a nsobit objektrelnm slem. Pitom tyto operace (stn a nsoben relnm slem) je poteba pro konkrtn mno-iny objekt definovat. Pro kadou mnoinu objekt mohou tyto operace vypadat jinak. Skutenost, enen eeno, jak objekty a operace s nimi konkrtn vypadaj, me bt pro nkter tene ponkudfrustrujc. Proto ped definic uvedeme pklady mnoin objekt, kter lze stat a nsobit konstantou.

1.3. Pklad. Nech R2 je mnoina vech uspodanch dvojic relnch sel, tj. R2 = {(a, b); a R,b R} (symbolem R oznaujeme reln sla, sloky uspodan dvojice peme do kulatch zvorek aoddlujeme rkou). Definujme stn dvou uspodanch dvojic:

(a, b) (c, d) df= (a+ c, b+ d) (1.1)

a nsoben uspodan dvojice relnm slem R:

(a, b) df= ( a, b). (1.2)

Vimneme si, e jsme definovali operaci stn objekt tak, e vsledek stn je zase uspodandvojice. Stejn souin relnho sla s uspodanou dvojic je zase uspodan dvojice, tedy prvekmnoiny R2. Nae stn je tedy operace, do kter vstupuj dva prvky mnoiny R2 a vystupuje z nprvek mnoiny R2. Nae nsoben je operace, do kter vstupuje reln slo a prvek z R2 a vystupujez n prvek z R2. Tuto skutenost zapeme pomoc kartzskho souinu mnoin:

: R2 R2 R2, : RR2 R2. (1.3)

5

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Vimneme si dle, e jsme definovali nov operace a prostednictvm operac stn a nsobenrelnch sel, tj. prostednicvm operac, jejich vlastnosti jsou znmy ze stedn koly. Pkladem takovvlastnosti je komutativn zkon (pro reln sla x a y plat: x+y = y+x). Nae nov definovan operace m tak tuto vlastnost:

(a, b) (c, d) = (c, d) (a, b),protoe podle definice je (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) a (c, d) (a, b) = (c + a, d + b), ovem dvuspodan dvojice se rovnaj, pokud se rovnaj odpovdajc sloky. V tomto ppad prvn sloka prvndvojice a+ b se rovn prvn sloce druh dvojice b+ a, nebo pro stn relnch sel plat komutativnzkon. Podobn ovme i druhou sloku.

Uvdomme si, e nen vbec automaticky zarueno, e nov definovan operace musej tyto zkonysplovat. Pokud bychom napklad definovali jin stn dvou uspodanch dvojic pedpisem:

(a, b) (c, d) df= (2a+ d, b+ c), (1.4)pak se d snadno ukzat, e pro nen splnn komutativn zkon (ovte si sami).

1.4. Pklad. Ozname P mnoinu vech polynom, tedy funkc p : R R, kter pro x R majhodnotu danou vzorcem:

p(x) = anxn + an1x

n1 + + a1x+ a0, (an, an1, . . . , a1, a0 jsou njak reln sla). (1.5)Na tto mnoin polynom definujeme stn : P P P a nsoben : R P P takto: prokad p P , q P , R je

(p q)(x) df= p(x) + q(x) x R,

( p)(x) df= p(x) x R.

eeno pelivji: v definici jsme zavedli novou funkci p q : R R tak, e jsme ekli, jakou bude tatofunkce mt hodnotu v kadm bod x jejho defininho oboru. Tuto hodnotu podle definice potme jakosouet hodnoty funkce p a hodnoty funkce q v bod x. Tyto hodnoty jsou reln sla, take stn funkc(nov stn novch objekt) vlastn definujeme pomoc stn relnch sel (stn, kter znme zestedn koly). Podobn definujeme nsobek funkce relnm slem.D se ovit, e pro p P , q P , R je p q zase polynom a p je tak polynom. Rovn se

d ovit, e pro operaci plat komutativn zkon.

1.5. Poznmka. V pedchozch dvou pkladech jsme definovali na mnoin njakch objekt stna nsoben relnm slem. Pro vt pehlednost jsme nov definovan operace zapisovali do krouku,abychom je odliili od operac stn a nsoben relnch sel. To ale nen poteba. Sta pouvattyt znaky, protoe podle typu objekt, kter do operace vstupuj, okamit poznme, jakou operacimme pout (zda nov definovanou nebo znmou operaci na relnch slech). Takov automatickpizpsoben operace podle typu operand znaj programtoi objektov orientovanch jazyk. Tam setomu k petovn opertor.Definici stn uspodanch dvojic tedy sta zapsat takto: Pro vechna (a, b) R2, (c, d) R2 je

(a, b) + (c, d)df= (a + c, b + d). Pitom poznme, e prvn znak + v uvedenm vzorci oznauje stn

uspodanch dvojic a ostatn dva znaky + znamenaj stn relnch sel.V dalm textu budeme skoro vdy pouvat znaky + a i pro nov definovan operace, protoe

podle typu operand neme dojt k nedorozumn. Tak znak nsoben budeme nkdy vynechvat,jako jsme zvykl jej vynechvat pi zpisu nsoben relnch sel.

Definicelinernhoprostoru

1.6. Definice. Linernm prostorem nazvme kadou neprzdnou mnoinu L, na kter je definovnostn + : L L L a nsoben relnm slem : R L L a tyto operace spluj pro kadx L,y L, z L, R, R vlastnosti:

(1) x+ y = y + x (komutativn zkon stn),

(2) (x+ y) + z = x+ (y + z) (asociativn zkon stn),

(3) ( x) = () x (asociativn zkon nsoben),(4) (x+ y) = x+ y (distributivn zkon pro stn prvk z L),(5) (+ ) x = x+ x (distributivn zkon pro stn sel),(6) 1 x = x (vlastnost relnho sla 1),(7) existuje o L, e pro kad x L je 0 x = o (existence nulovho prvku).

6

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Prvky linernho prostoru nazvme vektory. Relnmu slu v kontextu nsoben : RL L kmeskalr. Prvku o L z vlastnosti (7) kme nulov prvek nebo nulov vektor.

1.7. Vta. Pro nulov prvek o linernho prostoru L plat vlastnosti:

(1) x+ o = x x L,(2) o = o R,(3) Nech x L. Je-li x = o a 6= 0, pak x = o.

Dkaz. Pouijeme vlastnosti z definice 1.6. Pro pehlednost peme nad rovntka slo pouit vlastnosti.

(1) x+ o(7)= x+ 0 x (6)= 1 x+ 0 x (5)= (1 + 0) x = 1 x (6)= x.

(2) o (7)= (0 x) (3)= ( 0) x = 0 x (7)= o.

(3) x(6)= 1 x =

(1

) x (3)= 1

( x) (z pedpokladu)= 1

o (vlastnost (2) vty 1.7)= o.

1.8. Poznmka. Ve vlastnostech (1) a (7) v definici 1.6 se pracuje se znaky + a v souladus poznmkou 1.5 ve dvojm vznamu. Bu to jsou operace s prvky mnoiny L nebo operace s relnmisly. Napklad ve vlastnosti (5) je prvn symbol + pouit ve vznamu stn na mnoin relnchsel, zatmco druh symbol + je pouit ve vznamu stn na mnoin L. Jako cvien zkuste o kadpouit operaci ve vzorcch (1) a (7) rozhodnout, jakho je druhu.

Prostor R21.9. Pklad. Ukeme, e mnoina R2 z pkladu 1.3 se stnm a nsobenm skalrem podle defi-nic (1.1) a (1.2) tvo linern prostor. Msto znak a budeme nadle pouvat znaky+ a .Nejprve je teba zjistit, zda operace + a jsou skuten definovny zpsobem, jak poaduje

definice 1.6, tj. zda plat + : R2 R2 R2 a : RR2 R2. To jsme ale u ovili dve, viz (1.3).Dle zjistme platnost vlastnost (1) a (7) z definice 1.6. Vlastnost (1) jsme podrobn ovovali

v pkladu 1.3. Pokraujeme tedy vlastnost (2). Pro kad a, b, c, d, e, f R plat:((a, b) + (c, d)

)+ (e, f) = (a+ c, b+ d) + (e, f) =

((a+ c) + e, (b+ d) + f

)=

=(a+ (c+ e), b+ (d+ f)

)= (a, b) + (c+ e, d+ f) = (a, b) +

((c, d) + (e, f)

).

Pi pravch jsme nejprve dvakrt pouili definici (1.1), pak jsme v jednotlivch slokch vyuili toho,e pro stn relnch sel plat asociativn zkon a konen jsme zase dvakrt pouili definici (1.1).Nyn dokeme dal vlastnosti. Pro kad a, b, c, d, , R plat:

(3) ( (a, b)

)=

( a, b

)=( ( a), ( b)

)=(( ) a, ( ) b

)= ( ) (a, b),

(4) ((a, b) + (c, d)

)= (a+ c, b+ d) =

( (a+ c), (b+ d)

)= ( a+ c, b+ d) =

= ( a, b) + ( c, d) = (a, b) + (c, d),

(5) (+ ) (a, b) =((+ ) a, (+ ) b

)= ( a+ a, b+ b) = ( a, b) + ( a, b) =

= (a, b) + (a, b),

(6) 1 (a, b) = (1 a, 1 b) = (a, b),(7) dvojice (0, 0) spluje: (0, 0) = 0 (a, b),protoe 0 (a, b) = (0 a, 0 b) = (0, 0).

Pouili jsme nejprve definice (1.1) a (1.2), pak jsme vyuili vlastnosti relnch sel v jednotlivch slokchdvojice. Nakonec jsme znovu pouili definice (1.1) a (1.2).

Vidme, e nulovm vektorem linernho prostoru R2 je dvojice (0, 0). Podle konvence ze zvrudefinice 1.6 jsme oprvnni uspodanm dvojicm se stnm a nsobenm podle definic (1.1) a (1.2)kat vektory.

1.10. Pklad.MnoinaR2 se stnm podle definice (1.4) a nsobenm podle (1.2) netvo linernprostor. Nen toti splnna napklad vlastnost (1) z definice 1.6.

7

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Prostor Rn1.11. Pklad. Znakem Rn ozname mnoinu vech uspodanch n-tic relnch sel, (n je njakpirozen slo, n 1). Jinmi slovy:

Rn = {(a1, a2, . . . , an); a1 R, a2 R, . . . , an R}.

Definujme + : Rn Rn Rn, : RRn Rn takto: pro kad (a1, . . . , an) Rn, (b1, . . . , bn) Rn, R je

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn)df= (a1 + b1, . . . , an + bn),

(a1, . . . , an)df= ( a1, . . . , an).

Mnoina Rn s takto definovanmi operacemi tvo linern prostor.Dkaz bychom provedli analogicky jako v pkladu 1.9, ale pro sporu msta to ji nebudeme opa-

kovat. Vidme tedy, e uspodan n-tice s takto definovanm stnm a nsobenm skalrem memenazvat vektory. Speciln v ppad uspodanch n-tic mluvme o aritmetickch vektorech. slo ainazvme i-tou slokou vektoru a = (a1, a2, . . . , an).

1.12. Pklad. Mnoina R s obvyklm stnm relnch sel a nsoben relnho sla relnm slemtvo linern prostor. To je zejm. Stn a nsoben relnch sel toti spluje vlastnosti (1) a (7)z definice 1.6. Tento poznatek si jist pinte ze stedn koly. V tomto textu jsme jej u pouili, kdyjsme ovovali, e R2 nebo Rn je linern prostor.

Nulovm prvkem linernho prostoru R je slo 0. V kontextu stn a nsoben meme tedy katrelnm slm vektory, ale obvykle to nedlme.

Prostorfunkc

1.13. Pklad. Uvaujme mnoinu FD vech relnch funkc reln promnn definovanch na njakmnoin D R, tj. FD = {f ; f : D R}. Pro libovoln funkce f FD, g FD a pro libovoln relnslo definujme souet f + g a nsobek skalrem f takto:

(f + g)(x)df= f(x) + g(x) x D (1.6),

( f)(x) df= f(x) x D (1.7)

(srovnejte s definic a v pkladu 1.4). Ukeme, e mnoina FD s takto definovanm stnm ansobenm skalrem tvo linern prostor.Potebujeme ovit, zda souet funkc z mnoiny FD je opt funkce z mnoiny FD a skalrn nsobek

je tak funkce z FD. To ale plat, protoe stnm funkc ani nsobenm funkce konstantou podle nadefinice se nemn definin obor a vsledkem operac je znovu reln funkce reln promnn.Dle potebujeme ovit vlastnosti (1) a (7) z definice 1.6. Pro libovoln f FD, g FD, h FD,

R, R a pro vechna x D plat:

(1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x),

(2)((f + g) + h

)(x) = (f + g)(x) + h(x) =

(f(x) + g(x)

)+ h(x) = f(x) +

(g(x) + h(x)

)=

= f(x) + (g + h)(x) =(f + (g + h)

)(x),

(3)( ( f)

)(x) =

(( f)(x)

)=

( f(x)

)= ( )f(x) =

(( ) f)(x),

(4)( (f + g)

)(x) =

((f + g)(x)

)= (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) =

= ( f)(x) + ( g)(x) = ( f + g)(x),(5)

((+ ) f

)(x) = (+ ) f(x) = f(x) + f(x) = ( f)(x) + ( f)(x) = ( f + f)(x),

(6) (1 f)(x) = 1 f(x) = f(x),(7) (0 f)(x) = 0 f(x) = o(x), kde funkce o m pro vechna x D hodnotu 0.

Akoli tyto vzorce vypadaj na prvn pohled jen jako hran se zvorkami, musme si uvdomit, erovnost funkc zde dokazujeme na zklad rovnosti jejich hodnot v kadm bod x D a e pi dkazupouvme nejprve rozepsn operac podle definic (1.6) a (1.7). Tm problm pevdme na stn ansoben relnch sel, kde jsou vlastnosti (1) a (7) zarueny. Jako cvien si zkuste pepsat tyto vzorcetak, e odlite operace stn funkc a nsoben funkce skalrem od bnch operac + a pro relnsla. Pouijte napklad symbol a , jako v pkladu 1.4.Vidme, e mnoina FD s definic stn a nsoben skalrem podle (1.6) a (1.7) je linernm prosto-

rem. Funkce z FD jsme tedy podle definice 1.6 oprvnni nazvat vektory. Nulovm vektorem je v tomtoppad funkce, kter m pro vechna x D nulovou hodnotu.

8

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Prostorpolynom

1.14. Pklad. Ukeme, e mnoina P vech polynom s definicemi stn a nsoben skalrem podlepkladu 1.4 tvo linern prostor.Pedevm souet dvou polynom je polynom a skalrn nsobek polynomu je polynom, take plat,

e + : P P P a : RP P . To je ale ve, co potebujeme dokzat. Ovovnm vlastnost (1) a(7) se nemusme zdrovat, protoe jsme definice stn a nsoben polynom pevzali z prostoru funkcFD, o nm jsme dokzali v pkladu 1.13, e se jedn o linern prostor (volme D = R). Pi ovovnvlastnost (1) a (7) bychom dlali vlastn to sam jako v pkladu 1.13, jen na podmnoin P FD.

1.15. Pklad. Nech n N, n 0 (symbolem N zname mnoinu pirozench sel). Mnoina Pnvech polynom prv n-tho stupn s definicemi stn a nsoben skalrem podle pkladu 1.4 netvolinern prostor. Pipomeneme, e stupe polynomu se definuje jako nejvt k N takov, e ak je vevzorci (1.5) nenulov. Jsou-li vechna ak nulov, definujeme stupe takovho polynomu jako 1.Pro nen mnoina Pn linernm prostorem? Seteme-li toti dva polynomy n-tho stupn, napklad

xn + 2 a xn 2, dostvme nulov polynom, co je polynom stupn 1. Tento protipklad ukazuje,e neplat vlastnost + : Pn Pn Pn. Dokonce neplat ani : R Pn Pn (zkuste nsobit polynomn-tho stupn nulou).

1.16. Poznmka. Pklady 1.14 a 1.15 ukazuj, e meme vymezit podmnoinu M L linernhoprostoru L a pevzt pro ni operace stn a nsoben konstantou z L. Za jistch okolnost mnoinaM s pevzatmi operacemi me bt linernm prostorem, ale nemus bt vdy. Z pkladu 1.14 navcvidme, e sta ovit vlastnosti + :M M M a : RM M , abychom mohli prohlsit, e M jelinern prostor. Vlastnosti (1) a (7) nen teba znovu ovovat. Podmoinu linernho prostoru, kterje sama linernm prostorem pi pouit stejnch operac, nazvme linernm podprostorem. Pesnjiviz nsledujc definice.

Linernpodprostor

1.17. Definice. Nech L je linern prostor s operacemi + a . Neprzdnou mnoinu M Lnazvme linernm podprostorem prostoru L, pokud pro vechna x M,y M a R plat:

(1) x+ y M,(2) x M.

1.18. Pklad. Mnoina vech polynom P z pkladu 1.14 je linernm podprostorem mnoiny vechfunkc FD z pkladu 1.13, kde volme D = R. Mnoina Pn vech polynom prv n-tho stupn z p-kladu 1.15 nen linernm podprostorem linernho prostoru FD ani linernho prostoru P .

1.19. Pklad. Mnoina Pn vech polynom nejve n-tho stupn je linernm podprostorem line-rnho prostoru vech polynom P i linernho prostoru vech relnch funkc FD. Je to dno tm, e(1) soutem polynom nejve n-tho stupn dostvme polynom nejve n-tho stupn a (2) vynso-benm polynomu nejve n-tho stupn relnm slem dostaneme zase polynom nejve n-tho stupn.

1.20. Pklad. Uvaujme M Rn, M = {(a, a, . . . , a); a R}. Pedpokldme tedy, e mnoinaM obsahuje takov n-tice, ve kterch se vechny sloky vzjemn rovnaj. Ukeme, e M je linernpodprostor linernho prostoru Rn.Sta pro mnoinuM dokzat vlastnosti (1) a (2) z definice 1.17. Plat (1) souet dvou uspodanch

n-tic, ve kterch se sloky rovnaj, je uspodan n-tice, ve kterch se sloky rovnaj. (2) vynsobenmuspodan n-tice, ve kter se sloky rovnaj, relnm slem, dostvme zase uspodanou n-tici, vekter se sloky rovnaj.

1.21. Pklad. Uvaujme mnoiny M R3, N R3 a S R3, kter jsou definovny takto:

M = {(x, y, z); x+ 2y = 0, z libovoln },N = {(x, y, z); 2x+ y z = 0},S = {(x, y, z); 2x+ y z = 3}.

Ukeme, e M a N jsou linernmi podprostory linernho prostoru R3, zatmco S nen linernmpodprostorem linernho prostoru R3.Ovme vlastnost (1) z definice 1.17: Nech (x1, y1, z1) M a (x2, y2, z2) M . Pak plat x1+2y1 = 0

a x2 + 2y2 = 0. Pro souet (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) plat x1 + 2y1 + x2 + 2y2 = 0 (seetli jsme

9

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

pedchoz rovnice), tj. (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = 0, take i souet le v mnoin M . Nyn vlastnost (2):Jestlie (x, y, z) M , R, pak plat x + 2y = 0. Vynsobenm rovnice slem dostvme, e t x + 2 y = 0, co ale znamen, e i trojice (x, y, z) le v mnoin M . Oven, e mnoina N jelinernm podprostorem, lze provst podobn.Mnoina S nen linernm podprostorem, protoe napklad 0 (x, y, z) = (0, 0, 0), co je ale prvek,

kter nele v S. Neplat toti 2 0 + 0 0 = 3.

Prnikprostor

1.22. Vta. Nech M L a N L jsou linern podprostory linernho prostoru L. Pak plat:

(1) M N je linern podprostor linernho prostoru L.(2) M N nemus bt linern podprostor linernho prostoru L.

Dkaz. (1) Z pedpoklad vty a definice 1.17 vme, e pro x M , y M , R je x + y M a x M . Tot plat pro mnoinu N . Pokud nyn x M N , y M N , pak x i y le souasnv M i N , take plat, e x + y M , x M a souasn x + y N , x N . Prvky x + y a xle v obou mnoinch M a N souasn a to nen jinak mon, ne e le v prniku tchto mnoin.

(2) Abychom ukzali, e sjednocen M N nemus bt linernm podprostorem, sta najt vhodnpklad. Nech M = {(a, 0); a R}, N = {(0, b); b R}. Je zejm, e M a N jsou linernmipodprostory linernho prostoru R2. Sjednocenm tchto mnoin je mnoina uspodanch dvojic, prokter je prvn nebo druh sloka nulov. Vezmeme nyn (1, 0) M N a (0, 1) M N . Souet(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) je uspodan dvojice, kter nele ve sjednocen M N .

1.23. Pklad. Uvaujme podprostory M a N z pkladu 1.21. Podle vty 1.22 je tak M N linernmpodprostorem linernho prostoru R3.

Prostor ori-entovanchseek

1.24. Pklad. Zvolme jeden bod v prostoru, kter ns obklopuje, a ozname jej psmenemO. Udlme toteba tak, e nakreslme na papr kek a prohlasme jej za bod O. Dle s paprem nehbme. Uvaujmevechny orientovan seky, kter zanaj v bod O a kon v njakm jinm bod v prostoru. Pidejmek tomu degenerovanou seku, kter zan i kon v bod O a ozname mnoinu vech tchto seekznakem UO.Definujme nyn stn + : UO UO UO ryze konstruktivn takto: seky u UO, v UO

doplnme na rovnobnk. hlopku, kter zan v bod O a kon v protjm bod rovnobnka,prohlsme za souet seek u a v, tedy u+v. Dle definujme nsoben skalrem : RUO UO takto:zmme njakm mtkem (pracujeme pod se stejnm mtkem, jedno jakm) velikost seky u.Tm dostvme nezporn reln slo. Toto slo vynsobme skalrem a vsledek nsoben oznamepsmenem c R. Je-li c > 0, naneseme vslednou seku u na stejnou polopmku, na kter le ua velikost m c. Je-li c < 0, naneseme vslednou seku u na opanou polopmku a velikost buderovna |c|. Je-li c = 0 polome u rovnu degenerovan sece, kter zan i kon v bod O.Mnoina UO s takto konstruktivn definovanm stnm a nsobenm relnm slem tvo linern

prostor. Abychom toto tvrzen obhjili, musme dokzat vlastnosti (1) a (7) z definice 1.6. (1) u+ v =v+u, protoe v obou ppadech doplujeme na stejn rovnobnk. (2) (u+v)+w = u+(v+w), protoepostupn doplnn hlopky rovnobnku u,v a seky w na rovnobnk vede ke stejnmu vsledku,jako kdy nejprve sestavme hlopku rovnobnku v,w a tu doplnme na rovnobnk s sekou u(udlejte si ntrek). (3) (u) = ( ) u, protoe velikost tchto seek je stejn (pro zskn velikostinsobme mezi sebou jen reln sla) a seky maj stejnou orientaci. (4) (u + v) = u + v,protoe pslun rovnobnky pro stn jsou podobn a druh je krt vt ne prvn. Proto t jehohlopka bude krt vt. (5) ( + ) u = u + u, protoe ob seky maj stejnou velikosta orientaci (pro zskn velikosti nsobme a stme reln sla). (6) 1 u = u, protoe ob sekymaj stejnou velikost a orientaci. (7) 0 u je vdy seka s nulovou velikost, co je degenerovan sekazanajc i konc v bod O. Ta je tedy nulovm prvkem naeho linernho prostoru.

Vidme, e orientovan seky s ve definovanm geometrickm stnm a nsobenm skalremmeme v souladu s definic 1.6 nazvat vektory. V kapitole devt jim budeme kat vzan vektory(vzan bodem O).

1.25. Pklad. Nech M UO jsou jen takov seky, kter le ve stejn rovin, jako le n papr,na kter jsme v pkladu 1.24 nakreslili kek. Vidme, e M 6= UO, protoe napklad seka nenu-lov velikosti kolm na n papr nele v M . Ukeme, e mnoina M je linern podprostor linernho

10

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

prostoru UO. Skuten, souet libovolnch dvou seek le ve stejn rovin (protoe tam le cel rov-nobnk) a nsobek seky le dokonce na stejn pmce, jako pvodn seka, take nutn zstv vestejn rovin.

Kad rovina, kter prochz bodem O, obsahuje podmnoinu seek z UO, kter tvo linernpodprostor linernho prostoru UO.

Uvaujme nyn dv roviny, kter maj spolen bod O, ale nejsou toton. Jejich prnik je njakpmka, prochzejc bodem O. Vechny orientovan seky z UO, kter le v tto pmce, tvo podlevty 1.22 rovn linern podprostor linernho prostoru UO.

Trivilnprostor

1.26. Poznmka. Zamysleme se, jak me vypadat linern prostor s nejmenm potem prvk. Podledefinice 1.6 je linern prostor vdy neprzdn mnoina, take mus obsahovat aspo jeden prvek. Ukazujese, e jednobodov mnoina L = {o} je skuten nejmen mon linern prostor. Pitom o je nulovprvek z vlastnosti (7). Stn je definovno pedpisem o + o

df= o a nsoben skalrem pedpisem

o df= o. Takov linern prostor nazvme triviln.

1.27. Poznmka. Ukeme, e konen mnoina obsahujc aspo dva prvky neme bt linernmprostorem. Znamen to, e se nm pro takovou mnoinu L nepovede najt operace + : L L L a : R L L takov, aby souasn splovaly vlastnosti (1) a (7) z definice 1.6.

Jeden z prvk mnoiny L mus bt nulov prvek (ozname jej o) a jin prvek ozname teba x. Dalprvky oznaovat nemusme. Uvaujme mnoinu K = { x; R}. Protoe K L, je i K konenmnoina. Protoe relnch sel je nekonen mnoho, a pitom K je konen, musej existovat dv rznreln sla 6= takov, e x = x. Z definice linernho prostoru 1.6 dostvme:

o = 0 x = ( ) x = x+ () x = x+ () x = ( ) x.

Nyn mme splnny pedpoklady vlastnosti (3) vty 1.7 (volme = ). Dostvme tedy x = o. Toje ale spor s pedpokladem, e jsme vybrali prvek x jin ne nulov. Konen mnoina obsahujc aspodva prvky tedy neme bt linernm prostorem.Existuje tedy jednobodov linern prostor a pak dlouho nic . . . a vechny ostatn linern prostory

musej mt nekonen mnostv prvk.

1.28. Pklad. Ukeme si jeden pklad ponkud exotickho linernho prostoru. Jedn se o mnoinukladnch relnch sel R+, na kter je definovno stn : R+ R+ R+ a nsoben relnmslem : RR+ R+ takto: pro x R+, y R+, R je

x y df= x y, x df= x,

kde znakem je mnno bn nsoben relnch sel a x je reln mocnina o kladnm zkladu.V tomto pklad jsme se pokorn vrtili ke kroukovn novch operac stn a nsoben skalrem,

protoe bychom je velmi tko odliovali od bnho stn a nsoben relnch sel. Nov stn vlastndefinujeme jako bn nsoben a nov nsoben jako bnou mocninu.Aby R+ s operacemi a byl linernm protorem, mus splovat vlastnosti (1) a (7) z definice 1.6.

Pro x R+, y R+, z R+, R, R je

(1) x y = x y = y x = y x,(2) (x y) z = (x y) z = x (y z) = x (y z),(3) ( x) = ( x) = (x) = x = ( ) x,(4) (x y) = (x y) = (x y) = x y = ( x) ( y) = ( x) ( y),(5) (+ ) x = x+ = x x = ( x) ( x) = ( x) ( x),(6) 1 x = x1 = x,(7) 0 x = x0 = 1 R+.

Z posledn vlastnosti vyplv, e nulov prvek tohoto linernho prostoru je slo 1.

1.29. Poznmka. Nsledujc text a do konce kapitoly je ponkud abstraknj povahy. Pitom se jehoznalost nepedpokld pro pochopen dalch kapitol. Pokud tedy ten nechce bt hned v potkustudia zahlcen pojmy o algebraickch strukturch, me tento text peskoit.

11

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

1.30. Poznmka. Reln sla jsou mnoina prvk, kter umme vzjemn stat a vzjemn nsobit.Pesnji, je to mnoina R, na kter jsou definovny obvykl operace + : R R R a : R R Rs jistmi vlastnostmi (asociativn zkon, distributivn zkon, atd.). Tmito vlastnostmi se budeme in-spirovat a pokusme se vybudovat abstraktn algebraickou strukturu, tzv. tleso. Jednm z monchkonkrtnch pklad tlesa pak samozejm budou reln sla. Jenome krom nich budeme nachzet ijin pklady tles. Zaneme nejprve strukturou s jedinou operac.

Grupa1.31. Definice. Mnoinu G, na kter je definovna operace : G G G nazvme grupou, pokudpro tuto operaci plat:

(1) x, y, z G : (x y) z = x (y z) (asociativn zkon),(2) e G, pro kter plat x G : e x = x e = x (existence neutrlnho/jednotkovho prvku),(3) x G y G : x y = y x = e (existence opanho/inverznho prvku y pro kad prvek x).

Pokud navc plat

(4) x, y G : x y = y x (komutativn zkon),

pak grupu G nazvme komutativn grupou. Z historickch dvod a z cty k norskmu matematikovi,kter rozpracoval teorii grup a bohuel zemel mld na zkenou nemoc ve vku 26 let, se komutativngrupa nazv t Abelova grupa.

1.32. Poznmka. Niels Abel mimo jin pomoc teorie grup dokzal, e nelze pro obecn polynom stupnvyho ne 4 najt vzorec na vpoet jeho koen z jeho koeficient. Pro polynomy stupn 1, 2, 3 a 4pitom takov vzorce existuj. Pro stupe 2 se jej ci u zpamti: x1,2 = (b

b2 4ac)/2a.

1.33. Pklad. Jednoprvkov mnoina G = {e} s operac e e = e je nejmen monou grupou.

1.34. Pklad. Mnoina R s operac stn tvo grupu. Skuten plat asociativn zkon pro stnrelnch sel: (x+ y) + z = x+ (y + z), dle existuje neutrln prvek 0, pro kter 0 + x = x+ 0 = 0 akonen pro kad x R existuje y = x tak, e x+y = y+x = 0. Navc se jedn o grupu komutativn,protoe stn relnch sel je komutativn.Pokud operaci grupy zname symbolem + (jako v tomto pklad), pak obvykle o prvku e z vlast-

nosti (2) mluvme jako o neutrlnm prvku a zname ho symbolem 0 (t nula, nulov prvek) a prveky z vlastnosti (3) nazvame opan a zname x. Piten opanho prvku v komutativn grup paknazvme odetn a msto a+ (b) peme a b.

1.35. Pklad. Mnoina R \ {0} s operac nsoben tvo grupu. Skuten plat asociativn zkon pronsoben relnch sel: (x y) z = x (y z), dle existuje jednotkov prvek 1, pro kter 1 x = x 1 = 1a konen pro kad x R \ {0} existuje y = x1 tak, e x y = y x = 1. Navc se jedn o grupukomutativn, protoe nsoben relnch sel je komutativn.

Pokud operaci grupy zname symbolem , pak obvykle prvek e z vlastnosti (2) zname symbo-lem 1 (jedna, jednotkov prvek). Prvek y z vlastnosti (3) nazvame inverzn a zname x1. Nsobeninverznm prvkem v komutativn grup nazvme dlen a msto a b1 peme a/b nebo ab .

1.36. Pklad. Mnoina R s operac nsoben netvo grupu, protoe 0 nem inverzn prvek.

1.37. Pklad. Mnoina vech relnch funkc F = {f : R R, f je prost a na} s operac skldnfunkc : F F F , definovanou pomoc (g f)(x) = g

(f(x)

)x R, tvo grupu. Skuten plat

asociativn zkon (f g) h = f (g h) a existuje jednotkov prvek: identick zobrazen i, pro kteri(x) = x. Ke kad prost funkci f lze setrojit funkci inverzn f1 tak, e f f1 = f1 f = i. Pitomse nejedn o grupu komutativn, protoe napklad pro f(x) = x3, g(x) = 1 + x je (f g)(x) = (1 + x)3,zatmco (g f)(x) = 1 + x3.

1.38. Pklad. Kdybychom v pedchozm pklad msto funkc f z R na R uvaovali prost zobrazenp z njak mnoiny M na M , dostvme znovu grupu, kter nemus bt komutativn. V ppad konenmnoiny M se jedn o grupu permutac.

12

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

1.39. Pklad. S dal grupou se seznmme ve tet kapitole. Mnoina vech regulrnch matic stejnhotypu (n, n) (viz 3.51) s operac nsoben matic tvo pklad nekomutativn grupy.

1.40. Pklad. Mnoina sel {0, 1, 2, . . . , k 1} s operac a b = a + b modulo k tvo komutativngrupu. Pipomnme, e x modulo y je zbytek pi dlen sla x slem y. Neutrlnm prvkem ttogrupy je 0 a opanm prvkem k prvku a 6= 0 je prvek k a. Samozejm, opanm prvkem k prvkuneutrlnmu je prvek neutrln, co ostatn plat v libovoln grup.

1.41. Pklad. Linern prostor se svou operac stn vektor (podle definice 1.6) tvo komutativngrupu. Skuten, asociativn zkon je postulovn vlastnost (2) v definici 1.6, neutrlnm prvkem jenulov vektor (viz vlastnost (1) vty 1.7) a opan vektor k vektoru x je vektor x = (1) x, protoe

(1) x+ x = (1) x+ 1 x = (1 + 1) x = 0 x = o.Konen z vlastnosti (1) definice 1.6 plyne, e se jedn o grupu komutativn.

1.42. Poznmka. Obrcen, pomoc pojmu grupa meme vznamn zkrtit na definici linernhoprostoru 1.6:

Linernm prostorem je mnoina L, kter s operac + : L L L tvo komutativn grupu. Dlemus bt na mnoin L definovna operace : R L L, s vlastnostmi , R,x,y L:

(A) ( x) = () x,(B) (x+ y) = x+ y,(C) (+ ) x = x+ x,(D) 1 x = x.

Vzhledem k tomu, e vlastnosti (1), (2) definice 1.6 pmo koresponduj s vlastnostmi komutativngrupy, sta ovit, e nm z tto nov definice vyplyne vlastnost (7) definice 1.6, kter jedin zde chyb.Existence nulovho vektoru je zajitna jako existence neutrlnho prvku o v grup. Je poteba ukzat,e pro libovoln x L je vektor 0 x roven neutrlnmu prvku o. K vektoru 0 x ovem existuje v grupprvek opan 0 x. Ten piteme k obma stranm rovnice 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x. Na levstran dostvme 0 x + ( 0 x) = o. Na prav stran je 0 x + 0 x + (0 x) = 0 x + o = 0 x.Porovnnm lev a prav strany mme vsledek o = 0 x.

1.43. Poznmka. Axiomy grupy v definici 1.31 explicitn neuvdj, e v grup existuje jen jedinneutrln prvek a ke kadmu prvku existuje jen jedin prvek opan. Nsledujc vta ukazuje, e tonicmn plat jako jednoduch dsledek axiom.

1.44. Vta. (A) Kad grupa m jen jedin neutrln/jednotkov prvek. (B) Ke kadmu prvku grupyexistuje jedin opan/inverzn prvek.

Dkaz. (A) Pedpokldme dva neutrln prvky e1, e2. Mus platit e1 = e1 e2, protoe e2 je neutrln.Mus tak platit e2 = e1 e2, protoe e1 je neutrln. Take e1 = e1 e2 = e2 a neutrln prvky se neli.(B) Nech x G m dva inverzn/opan prvky y1 a y2. Ozname e jednotkov prvek. Pak plat:

y1 = e y1 = (y2 x) y1 = y2 (x y1) = y2 e = y2, take y1 = y2.

1.45. Vta. Nech na neprzdn mnoin G je dna operace : GG G, pro kterou plat asociativnzkon (1) z definice grupy 1.31. Pak vlastnosti (2) a (3) z definice grupy jsou ekvivalentn s vlastnost:pro kad a, b G existuj x, y G, kter e rovnice a x = b a y a = b.

Dkaz. Nech nejprve plat vlastnosti (1), (2), (3) z definice grupy 1.31. Ozname a1 inverzn prvekk prvku a. Pak x = a1 b e rovnici a x = b, protoe a (a1 b) = (a a1) b = e b = b.Z podobnch dvod y = b a1 e rovnici y a = b.Nech nyn plat asociativn zkon (1) a umme eit uveden rovnice. Volme a G. Ozname ea

een rovnice ax = a, tj. plat a ea = a. Ukeme nejprve, e pro libovoln b G je b ea = b. Nechy G e rovnici y a = b. Pak plat b ea = (y a) ea = y (a ea) = y a = b. Vidme tedy,e een ea rovnice a x = a nezvis na volb prvku a, take sta prvek ea oznaovat e. Podobn lzeukzat, e tak een rovnice ya = a nezvis na volb prvku a. Ozname toto een f . Nyn podobnjako v dkazu vty 1.44 je f e = f , protoe e e a e = a a plat f e = e, protoe f e y a = a.Take e = f a toto je jednotkov prvek grupy.Sestrojme inverzn prvek k prvku x G. Nech u e rovnici x u = e a v e rovnici v x = e.

Plat v = v e = v (x u) = (v x) u = e u = u, take u = v je inverzn prvek k prvku x.

13

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Pologrupa,grupoid

1.46. Poznmka. Vzhledem k pedchoz vt se v nkter literatue definuje grupa jen pomoc asocia-tivnho zkona a eitelnosti rovnic (jen dv vlastnosti). Pokud plat jen asociativn zkon a eitelnostrovnic nen poadovna, mluv se o pologrup. Pokud je pouze dna operace : G G G bez dal-ch vlastnost, mluv se v nkter literatue o grupoidu. Take mnoina s operac je grupoid. Grupoids asociativnm zkonem je pologrupa. Pologrupa s eitelnost rovnic je grupa.

Podgrupa1.47. Definice. Nech G je grupa s operac . Pokud G1 G je sama o sob grupou se stejnou operac(tj. speciln : G1 G1 G1 a plat vlastnosti (1)(3) definice grupy 1.31), nazvme G1 podgrupougrupy G.

1.48. Poznmka. Ve uvedenou definici uvdm hlavn proto, aby ml ten monost ji porovnats definic podprostoru 1.17 a shledal, e zkladn mylenka definice podstruktury je pod stejn. V p-pad ovovn podgrupy je kontrola asociativnho zkona (1) zbyten (je zaruen u ve vnj grup),ale vlastnosti x y G1, e G1 a existence inverznho prvku v G1 jsou podstatn.

1.49. Pklad. Mnoina Z celch sel s operac stn + je podgrupou grupy R relnch sel sestejnou operac.

1.50. Pklad. Mnoina Z \ {0} celch nenulovch sel s operac nsoben nen podgrupou grupyR \ {0} relnch sel se stejnou operac, protoe k slm rznm od 1 a 1 neexistuje na mnoinZ \ {0} inverzn prvek. Na druh stran se jedn o pologrupu, protoe nsoben je uzaveno na nenulovcel sla a je samozejm asociativn.

Tleso1.51. Definice. Tleso je mnoina T se dvma operacemi obvykle oznaovanmi + : T T T a : T T T , kter maj nsledujc vlastnosti:(1) T s operac + je komutativn grupa. Neutrln prvek tto grupy je oznaen symbolem 0.(2) T \ {0} s operac je komutativn grupa. Jednotkov prvek tto grupy se zna symbolem 1.(3) Operace + a spluj distributivn zkon: a (b+ c) = a b+ a c.

1.52. Poznmka. Nkte autoi v definici tlesa nepoaduj komutativitu grupy vzhledem k nsobena pokud je splnna, mluv o komutativnm tlese. Existuj pklady, kdy komutativita nsoben nensplnna Dleitm pkladem jsou kvaterniony : sla podobn komplexnm, ale se temi nezvislmiimaginrnmi jednotkami. Kvaterniony se uvaj napklad pi popisu 3D transformac v potaovgrafice [26]. V naem textu budeme u tles vdy pedpokldat komutativitu obou operac.

1.53. Pklad. Reln sla s operacemi stn a nsoben tvo tleso.

1.54. Pklad. Racionln sla jsou podtlesem tlesa relnch sel. Podtleso je definovno v souladus poznmkou 1.48 jako podmnoina tlesa, kter sama o sob se stejnmi operacemi tvo tleso.

1.55. Pklad. Mnoina celch sel s operacemi stn a nsoben netvo tleso, protoe pro operacinsoben neexistuje pro vechna nenulov cel sla inverzn prvek jako cel slo. Toto je pklad struk-tury, kter m vechny vlastnosti tlesa s vjimkou jedin: nen zaruena existence inverznho prvkupro nsoben. Takov struktura se nazv okruh.

1.56. Pklad. Mnoina komplexnch sel s operacemi stn a nsoben tvo tleso.

1.57. Vta. Pro libovoln prvky a, b z tlesa plat: a b = 0 prv tehdy, kdy a = 0 nebo b = 0.

Dkaz. (): T \ {0} mus bt podle vlastnosti (2) definice 1.51 vzhledem k nsoben grupa, tj. souindvou nenulovch prvk mus bt prvek nenulov. Jinmi slovy, pokud souin vychz nulov, mus aspojeden z initel bt nula.(): Je teba dokzat, e 0 a = 0. Protoe 0 je neutrln prvek vzhledem ke stn, plat 0+0 = 0.

Dky distributivnmu zkonu je 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a. K obma stranm rovnosti pitemeopan prvek k prvku 0 a, tedy prvek 0 a. Na lev stran dostvme 0 a na prav 0 a.

Galoisovotleso sedvma prvky

1.58. Pklad. Tleso mus podle definice obsahovat 0 a 1 a tyto dva prvky musej bt rzn. Taketleso mus obsahovat aspo dva prvky. Ukeme, e existuje tleso, kter obsahuje jen tyto dva prvky,tedy T = {0, 1}.

14

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Operaci + definujeme: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Operaci definujeme jakoobvykl nsoben: 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1. Mnoina T = {0, 1} s takto zavedenmi operacemitvo tleso.

Skuten, pro operaci + plat asociativn zkon, 0 je neutrln prvek, opan prvek k 0 je 0 aopan prvek k 1 je 1. Grupa T \ {0} vzhledem k nsoben je jednoprvkov a vechny vlastnosti grupyzde plat zcela samozejm. Je rovn splnn distributivn zkon.

Stn je v tomto tlese tot co odetn. Inverzn prvek k 1 je 1.Tlesa s konen mnoha prvky se z historickch dvod nazvaj Galoisova tlesa. V naem pklad

T = {0, 1} se tedy jedn o Galoisovo tleso se dvma prvky.variste Galois byl francouzsk matematik, kter bohuel zemel mld ve vku 20 let na nsledky

zrann v souboji. I jeho teorie dokazuje mimo jin nemonost algebraickho popisu koen polynomstupn vtho ne 4. Tato teorie je znmj ne Abelova, ovem byla zveejnna o pt let pozdji.

1.59. Poznmka. Chceme-li na dvouprvkov mnoin definovat operace stn a nsoben tak, abychomzskali tleso, nememe to udlat jinak, ne v pkladu 1.58. Pedevm 0 je neutrln prvek vzhledemke stn, take podle vlastnosti (2) definice grupy 1.31 mus 0+0 = 0, 0+1 = 1+0 = 1. Dle mnoina{1} mus bt grupou vzhledem k nsoben, take mus 1 1 = 1. Dle mus platit 0 a = a 0 = 0, jinakby nebyla splnna vta 1.57. Zbv otzka, zda meme definovat 1+ 1 = 1. Nememe, protoe pak byprvek 1 neml prvek opan.

GF(p), Zp1.60. Pklad. Na mnoin {0, 1, . . . , p1} definujme operace + a jako obvykl stn a nsoben,ovem na vsledek aplikujme proces modulo p. Take napklad pro p = 5 pracujeme s mnoinou{0, 1, 2, 3, 4} a plat 4 + 3 = 2, protoe zbytek po dlen sla 7 slem 5 je 2. Nebo 4 4 = 1, protoezbytek po dlen sla 16 slem 5 je 1.Nech nejprve p nen prvoslo, tj. je tvaru souinu p = m n. Pak m n = 0 modulo p, a pitom sla

m a n jsou nenulov. Podle vty 1.57 se neme jednat o tleso, protoe souin nenulovch sel musv tlese vyjt jako slo nenulov.Nech p je prvoslo. Ukeme, e M = {0, 1, . . . , p 1} s operacemi +, modulo p tvo tleso.

Pedevm M se stnm modulo p je komutativn grupa (viz pklad 1.40). Operace nsoben modulo pje asociativn, komutativn a jednotkovm prvkem je slo 1. Distributivn zkon plyne z distributivnhozkona bnch operac + a . Nejvce prce d nalezen inverznho prvku pro a M \ {0}. Prveka nechme pevn a uvaujme vechna sla ak modulo p pro k {1, 2, . . . , p 1}. Tato sla jsou prorzn k vzjemn rzn (viz ne) a pokrvaj tedy celou mnoinu {1, 2, . . . , p 1}. Mus tedy existovattakov k, e ak = 1 mod p. Toto k je inverznm prvkem k prvku a. V vaze jet chyb obhjit, e slaak modulo p jsou pro rzn k vzjemn rzn. Pedpokldejme, e existuj sla k1, k2 M \ {0},k1 k2 takov, e ak1 = ak2 mod p, tj. a(k1 k2) = mp pro njak m 0. Rovnost vydlme slem a.Protoe a < p a p je prvoslo, existuje m1 0, e po vydlen slem a dostvme k1 k2 = m1p. Vlevoje slo men ne p, take mus bt m1 = 0, tj. k1 = k2.Podle potu prvk p se toto tleso oznauje GF(p). Jin znaen Zp dv najevo, e se jedn o cel

sla modulo p. Pedchoz pklad 1.58 definuje konen tleso Zp pro p = 2.

1.61. Definice. Charakteristika tlesa udv nejmen kladn poet jedniek, jejich souet dv nulu.Tedy pokud je

1 1 = 0 a je nejmen kladn slo s touto vlastnost, pak tleso m charakteristiku .

Pokud tato vlastnost nen splnna pro dn poet jedniek, je charakteristika rovna .

1.62. Pklad. Charakteristika tlesa relnch sel je . Charakteristika tlesa Zp je p.

1.63. Vta. Charakteristika tlesa je nekonen nebo to je prvoslo.

Dkaz. Sporem. Nech pro charakteristiku plat = mn, m 6= , n 6= . Z distributivnho zkonaplyne (

m1 1) (

n1 1) =

mn1 1 =

1 1 = 0. Podle vty 1.57 mus bt aspo jedna suma v zvorce rovna

nule, protoe jejich souin je nulov. To je spor s tm, e je nejmen poet jedniek, jejich souet jenulov.

1.64. Poznmka. Krom GF(p), kde p je prvoslo, existuj konen tlesa s potem prvk pm, kdep je prvoslo, m je libovoln mocnina, znaen: GF(pm). Jak jsme ukzali v pklad 1.60, konstrukceoperac pro GF(pm) neme vychzet jen z mylenky modulo p. Ve skutenosti je konstrukce tlesaGF(pm) vrazn komplikovanj. V nsledujcm pklad je pro ilustraci popsno tleso GF(23).

15

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

Z vty 1.63 plyne, e i tlesa GF(pm) musej mt charakteristiku ve tvaru prvosla. Kdybychom zdemli prostor na podrobnj popis tles GF(pm), shledali bychom, e maj charakteristiku p.D se dle ukzat, e pokud m mt tleso konen poet prvk, pak tento poet neme bt jin

ne pm, kde p je prvoslo a m pirozen slo. Navc operace na konenm tlese lze definovat jedinmmonm zpsobem (liit se me jen zpsob oznaen prvk).

1.65. Pklad. Uvaujme mnoinu vech uspodanch trojic prvk ze Z2 indexovanch sly. Nulovtrojice nem dn index a ostatn trojice maj piazeny indexy 0 a 6:

{(0, 0, 0), (1, 0, 0)0, (0, 1, 0)1, (0, 0, 1)2, (1, 1, 0)3, (0, 1, 1)4, (1, 1, 1)5, (1, 0, 1)6}.

Prvky tto mnoiny budeme stat tak, e si index nebudeme vmat a budeme stat jen uspodantrojice v aritmetice Z2. Napklad (1, 1, 0)3+(0, 1, 1)4 = (1, 0, 1)6, protoe je (1, 1, 0)+ (0, 1, 1) = (1, 0, 1)v aritmetice Z2.Vsledek nsoben kterhokoli prvku s prvkem (0, 0, 0) definujeme jako (0, 0, 0). Jedn se o nulov

prvek tlesa. Nsoben nenulovch prvk definujeme tak, e si nevmme uspodanch trojic, ale jenindex. Ty seteme a provedeme operaci modulo 7. Napklad (0, 1, 1)4 (1, 1, 1)5 = (0, 0, 1)2, protoe4 + 5 modulo 7 = 2. D se ukzat, e tento pklad spluje axiomy tlesa. Obsahuje 23 prvk, take sejedn o pklad tlesa GF(23).

Jak ji bylo eeno, je (0, 0, 0) nulov prvek. Rovn je zejm, e (1, 0, 0)0 je jednotkov prvektohoto tlesa. Inverzn prvek napklad k (0, 0, 1)2 je (1, 1, 1)5, protoe 2 + 5 modulo 7 = 0. Opanprvek k libovolnmu prvku x je prvek x, protoe v aritmetice Z2 je 1 + 1 = 0. Charakteristika tohototlesa je 2.

Prosm tene, aby se nesnail hrubou silou ovit platnost distributivnho zkona tohoto tlesa (jdeto, ale nen to pli eln) ani pli nehloubal nad tm, pro napklad trojice (1, 1, 1) m index 5. Proodpovdi na tyto otzky je poteba pout vlastnosti ireducibilnch polynom nad tlesem Z2 (obecnnad tlesem Zp), co bohuel pekrauje rmec tohoto vodnho textu.

Linernprostor nadtlesem

1.66. Poznmka. V definici linernho prostoru 1.6 jsme sice byli dostaten abstraktn (vektory, anioperace s nimi jsme ble nespecifikovali), ale pracovali jsme tam s docela konkrtn mnoinou R relnchsel. Pokud v tto definici nahradme mnoinu R pojmem tleso (s ble nespecifikovanmi prvky aoperacemi), dostvme linern prostor nad tlesem. Meme pak pracovat s linernm prostorem nadtlesem komplexnch sel, linernm prostorem nad tlesem Z2 atd.Pokusme se tedy do tetice pepsat definici linernho prostoru, tentokrt nad libovolnm tlesem.

1.67. Definice.Mnoinu L nazvme linernm prostorem nad tlesem T , pokud jsou definovny operace+ : LL L a : T L L tak, e L tvo s operac + komutativn grupu, a dle , T,x,y L:

(A) ( x) = ( ) x,(B) (x+ y) = x+ y,(C) (+ ) x = x+ x,(D) 1 x = x.

1.68. Poznmka. Volme-li za tleso T v tto definici mnoinu relnch sel R, dostvme vzhledemk poznmce 1.42 definici linernho prostoru 1.6. Abych uklidnil tene, tak konstatuji, e v dalch ka-pitolch tohoto textu nebudeme potebovat linern prostor v takov obecnosti (nad libovolnm tlesem)a vystame si vtinou s linernm prostorem nad relnmi sly. Pokud tedy nebude vslovn eenojinak (napklad linern prostor nad Z2 studovan v kapitole 10), pak pojmem linern prostor myslmelinern prostor nad R a sta pout definici 1.6.

1.69. Pklad. Vrtme se k pkladu linernho prostoru relnch uspodanch n-tic 1.11 a zobecnmeho na linern prostor uspodanch n-tic prvk libovolnho tlesa.Nech T je tleso. Uvaujme mnoinu uspodanch n-tic prvk z tlesa T (ozname ji Tn) a

definujme na ni operace + : Tn Tn Tn, : T Tn Tn takto: pro kad (a1, . . . , an) Tn,(b1, . . . , bn) Tn, T je

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn)df= (a1 + b1, . . . , an + bn),

(a1, . . . , an)df= ( a1, . . . , an).

Snadno se d ovit, e mnoina Tn s takto definovanmi operacemi tvo linern prostor nad tlesem T .

16

Linern algebra 1. Linern prostor, grupa, tleso

1.70. Poznmka. Volme-li za tleso T = Z2, je Tn podle pedchozho pkladu diskrtn linernprostor, kter je pouvn v teorii kdovn. Jednotliv vektory (tzv. binrn slova) jsou uspodann-tice jedniek a nul. Tento linern prostor m celkem 2n rznch vektor.

1.71. Poznmka. V ppad linernho prostoru nad konenm tlesem dostvme konen linernprostor. V tomto ppad tedy neplat tvrzen poznmky 1.27. Mete si vimnout, e toto tvrzen seopralo o skutenost, e relnch sel je nekonen mnoho. Poznmka 1.27 zstv v platnosti prolinern prostory nad nekonenmi tlesy.

17

2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

2.1. Poznmka. Akoli jsme v pedchoz kapitole uvedli destky pklad, kter mly ilustrovat definicilinernho prostoru, je mon, e smysl tto definice se tm nepodailo objasnit. Mete se ptt, pro jsmenuceni ovovat u rznch mnoin, zda jsou i nejsou pi definovn uritch operac stn a nsobenrelnm slem linernmi prostory. Neuvedli jsme toti, e pokud njak mnoina je linernm prostorem,lze na ni zkoumat mnoho dalch vlastnost a zavst plno uitench pojm, kter jsou spolen vemlinernm prostorm.Tyto vlastnosti a pojmy pedpokldaj pouze to, e vektory (tj. prvky njak ble neuren mnoiny)

umme stat a nsobit relnm slem, a pitom tyto operace spluj vlastnosti (1) a (7) z definice 1.6.Kdybychom tuto jednotc definici nemli, museli bychom napklad zvl zavdt pojmy linern zvis-lost, bze a dimenze pro mnoinu orientovanch seek, zvl pro mnoinu uspodanch n-tic a zvlpro mnoinu relnch funkc. A bychom teba pozdji zjistili, e meme kupkladu nekonen po-sloupnosti relnch sel stat a nsobit skalrem, znovu bychom pro tuto mnoinu byli nuceni definovatpojmy linern zvislost, bze a dimenze. Pitom k zaveden tchto pojm je zapoteb dokzat nkoliktvrzen, kter bychom tak museli dokazovat pro kadou konkrtn mnoinu zvl. Snad kad uzn, eto je docela zbyten prce. Je peci jen jednodu ovit, e njak mnoina tvo linern prostor aokamit pro ni pouvat vechny dal vlastnosti a pojmy, kter se dozvme v tto kapitole.

2.2. Poznmka. Stn m podle definice 1.6 dva operandy. Kdy bychom chtli sest teba ti vektoryx+ y + z, mli bychom uvst, v jakm poad budeme operace provdt, tj. zda provedeme (x+ y) + znebo x+ (y + z). Vlastnost (2) definice 1.6 ns ale od tto povinnosti osvobozuje, protoe zaruuje, eoba ppady povedou ke stejnmu vsledku. Proto nebudeme v takovm ppad nadle zvorky uvdta napklad pro vektory x1,x2, . . . ,xn budeme jejich souet zapisovat jednodue: x1 + x2 + + xn.Dle budeme msto x+(1)y zapisovat strun xy. Tm vlastn mme zavedenu operaci odtn

vektor, akoli tato operace nen v definici 1.6 vbec zmnna.Abychom v textu odliili vektory (tj. prvky njakho linernho prostoru) od relnch sel, budeme

vektory oznaovat malmi psmeny anglick abecedy a vdy je zvraznme tun, tedy takto: x,y,a,x1atd. V psanm textu se asto vektory zvrazuj zpisem ipky nad psmeno, podtrenm psmene neboi jinak.

Linernkombinace

2.3. Definice. Nech x1,x2, . . . ,xn jsou vektory (tj. prvky njakho linernho prostoru). Linernkombinac vektor x1,x2, . . . ,xn rozumme vektor

1 x1 + 2 x2 + + n xn,

kde 1, 2, . . . , n jsou njak reln sla. Tmto slm kme koeficienty linern kombinace.

2.4. Pklad. Linern kombinac vektor x,y,z me bt teba vektor x+y+z (vechny ti koeficientyjsou rovny jedn), nebo vektor 2x y + 3,18z (koeficienty jsou sla 2; 1; 3,18), nebo tak vektor x+ y + z (koeficienty , , R jsme ble neurili).

Trivilnlinernkombinace

2.5. Definice. Triviln linern kombinace vektor x1,x2, . . . ,xn je takov linern kombinace, kterm vechny koeficienty nulov, tj. 0x1+0x2+ +0xn. Netriviln linern kombinace je takov linernkombinace, kter nen triviln, tj. aspo jeden jej koeficient je nenulov.

2.6. Vta. Triviln linern kombinace je vdy rovna nulovmu vektoru.

Dkaz. Podle vlastnosti (7) v definici 1.6 je kad stanec v triviln linern kombinaci roven nulovmuvektoru a podle vlastnosti (1) vty 1.7 je i souet nulovch vektor roven nulovmu vektoru.

Linernzvislostskupiny

2.7. Definice. Skupinu vektor x1,x2, . . . ,xn nazvme linern zvislou, pokud existuje netrivilnlinern kombinace vektor x1,x2, . . . ,xn, kter je rovna nulovmu vektoru. Strun kme, e vektoryx1,x2, . . . ,xn jsou linern zvisl.

2.8. Poznmka. Pokud bychom rozvedli pojem netriviln linern kombinace podle definic 2.5 a 2.3,meme ci, e vektory x1,x2, . . . ,xn jsou linern zvisl, pokud existuj reln sla 1, 2, . . . , ntak, e aspo jedno z nich je nenulov, a pitom plat

1 x1 + 2 x2 + + n xn = o.

18

Linern algebra 2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

Linernnezvislostskupiny

2.9. Definice. Skupinu vektor x1,x2, . . . ,xn nazvme linern nezvislou, pokud nen linern zvisl.Strun kme, e vektory x1,x2, . . . ,xn jsou linern nezvisl.

2.10. Poznmka. Vektory jsou linern nezvisl, pokud (podle definic 2.7 a 2.9) neexistuje netrivilnlinern kombinace tchto vektor, kter je rovna nulovmu vektoru. Jinak eeno, jedin triviln linernkombinace je rovna nulovmu vektoru. Pi pouit definice 2.5 meme ci, e vektory x1,x2, . . . ,xnjsou linern nezvisl, pokud z pedpokladu 1 x1 + 2 x2 + + n xn = o nutn plyne, e1 = 2 = = n = 0.

2.11. Poznmka. Akoli se vesms pouv strun formulace: vektory x1,x2, . . . ,xn jsou linernzvisl/nezvisl msto pesnjho: skupina vektor x1,x2, . . . ,xn je linern zvisl/nezvisl, jepoteba si uvdomit, e strun formulace me vst k nepochopen. Rozhodn se tm nechce ci, ejednotliv vektory jsou linern zvisl/nezvisl (tj. x1 je linern zvisl/nezvisl, x2 je linernzvisl/nezvisl atd.), ale jedn se vdy o vlastnost cel skupiny vektor jako celku.Pojem linern zvislosti a nezvislosti vektor m v linern algebe zsadn dleitost. Zvislost

vektor je mon nzornj z pohledu nsledujc vty 2.21, ovem pi ovovn linern zvislostiabstraktnch vektor je definice 2.7 pouitelnj. M proto smysl definicm 2.7 a 2.9 vnovat nleitoupozornost.

2.12. Pklad. Uvaujme linern prostor R3 (viz pklad 1.11, n = 3). Jsou dny ti vektory z R3:

x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (1, 4, 0).Zjistme z definice, zda jsou vektory x,y,z linern zvisl i nezvisl. Podle poznmek 2.8 a 2.10 stazjistit, jak mohou bt koeficienty , , , pokud polome

x+ y + z = o.

Dosazenm do tto rovnice dostvme

(1, 2, 3) + (1, 0, 2) + (1, 4, 0) = (0, 0, 0).Zde jsme vyuili toho, e nulov vektor v R3 je roven trojici (0, 0, 0). Dle podle definice stn ansoben skalrem na R3 dostvme

(+ , 2+ 4 , 3+ 2) = (0, 0, 0).Dv uspodan trojice se rovnaj, pokud se rovnaj jejich odpovdajc sloky. Mus tedy platit tytorovnice:

+ = 0,2 + 4 = 0,3 + 2 = 0.

Tato soustava m nekonen mnoho een (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminan metodou).Mezi tmito eenmi je jedin triviln, vechna ostatn jsou netriviln. Pkladem takovho netrivilnhoeen me bt teba = 2, = 3, = 1, take

2 (1, 2, 3) 3 (1, 0, 2) 1 (1, 4, 0) = (0, 0, 0).Existuje tedy netriviln linern kombinace vektor x,y,z, kter je rovna nulovmu vektoru, co podledefinice 2.7 znamen, e vektory x,y,z jsou linern zvisl.

2.13. Pklad. V linernm prostoru R3 jsou dny ti vektory z R3:

x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (2, 1, 0).Zjistme z definice, zda jsou vektory x,y,z linern zvisl i nezvisl. Podle poznmek 2.8 a 2.10 stazjistit, jak mohou bt koeficienty , , , pokud polome x+ y+ z = o. Dosazenm do tto rovnicedostvme

(1, 2, 3) + (1, 0, 2) + (2, 1, 0) = (0, 0, 0),(+ 2 , 2+ , 3+ 2) = (0, 0, 0).

Dv uspodan trojice se rovnaj, pokud se rovnaj jejich odpovdajc sloky. Mus tedy platit tytorovnice:

+ 2 = 0,2 + = 0,3 + 2 = 0.

Tato soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminanmetodou). Vidme tedy, e jedin triviln linern kombinace vektor x,y,z je rovna nulovmu vektoru,co podle definice 2.9 znamen, e vektory x,y,z jsou linern nezvisl.

19

Linern algebra 2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

2.14. Pklad. Uvaujme linern prostor vech relnch funkc definovanch na R a v nm ti funkcef, g, h, kter jsou zadan tmito vzorci:

f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = 4 x R.

Ovme, zda jsou tyto ti funkce linern nezvisl i zvisl. Polome jejich linern kombinaci rovnunulov funkci:

sin(x) + cos(x) + 4 = 0 x R (2.1)

a zjistme, jakch hodnot mohou nabvat koeficienty , , . Tato rovnost m bt splnna pro vechnax R. Je mon, e pi volb t hodnot x R u vynutme trivialitu linern kombinace v (2.1).Zkusme tst napklad pro x

{0, 2 ,

}. V rovnici (2.1) se tedy omezme na

sin(x) + cos(x) + 4 = 0 pro x {0,

2, }

. (2.2)

Po dosazen hodnot x dostvme ti rovnice:

0 + + 4 = 0, + 0 + 4 = 0,0 + 4 = 0.

Tato soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminanmetodou). Take pokus se zdail. Z rovnice (2.1) plyne (2.2) a z n pak = 0, = 0, = 0. To podledefinice znamen, e vektory f, g, h jsou linern nezvisl.

2.15. Pklad. Uvaujme linern prostor vech relnch funkc definovanch na R a v nm ti funkcef, g, h, kter jsou zadan tmito vzorci:

f(x) = sin2(x), g(x) = 3 cos2(x), h(x) = 4 x R.

Ovme, zda jsou tyto ti funkce linern nezvisl i zvisl. Polome jejich linern kombinaci rovnunulov funkci:

sin2(x) + 3 cos2(x) + 4 = 0 x R

a zjistme, jakch hodnot mohou nabvat koeficienty , , . Jako v pkladu 2.14 zkusme volit njakti hodnoty x. Po dosazen x = 0, x = /2 a x = dostvme soustavu

3 + 4 = 0, + 4 = 0,3 + 4 = 0.

Vidme, e jedna rovnice je zde napsan dvakrt, take zbvaj dv rovnice o tech neznmch. Takovsoustava rovnic m nekonen mnoho een, jednm z nich je napklad = 12, = 4, = 3. To nmale k zvru o linern zvislosti funkc nesta, protoe my musme najt netriviln kombinaci rovnounule pro vechna x R, nikoli jen pro ti vyvolen hodnoty. Vsledek ale napovd, jak by mohly btkoeficienty hledan netriviln linern kombinace:

12 sin2(x) + 4 3 cos2(x) 3 4 = 12 (sin2(x) + cos2(x)) 12 = 0 x R.

Zde jsme vyuili vzorce sin2(x) + cos2(x) = 1 pro vecha x R. Nali jsme tedy netriviln linernkombinaci, kter je rovna nulov funkci na celm defininm oboru, a proto jsou funkce f, g, h linernzvisl.

2.16. Pklad. Nech u,v,w jsou prvky njakho (ble nespecifikovanho) linernho prostoru. Ped-pokldejme, e jsou linern nezvisl. kolem je zjistit, pro kter a R jsou vektory

x = 2u v, y = u+ 3v 2w, z = v + aw

linern zvisl.

20

Linern algebra 2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

Polome tedy linern kombinaci vektor x,y,z rovnu nulovmu vektoru a budeme zjiovat, jakmus bt koeficienty , , :

x+ y + z = o.

Dosadme: (2u v) + (u+ 3v 2w) + (v + aw) = o

a po pravch dostvme

(2+ )u+ (+ 3 + )v + (2 + a )w = o.

Protoe podle pedpoklad jsou vektory u,v,w linern nezvisl, mus bt tato linern kombinacejedin triviln, tj. vechny koeficienty jsou nulov:

2 + = 0, + 3 + = 0,

2 + a = 0.Napklad pomoc Gaussovy eliminan metody se meme pesvdit, e soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 pro 7a+4 6= 0. V takovm ppad budou vektory x,y,z linern nezvisl. Jestlienaopak 7a+4 = 0, m soustava nekonen mnoho een, mezi ktermi se jist najde i netriviln een.Vektory x,y,z jsou tedy linern zvisl pro a = 4/7.

Zkladnvlastnostilinern(ne)zvislosti

2.17. Vta. Nech x1,x2, . . . ,xn jsou prvky njakho linernho prostoru L. Pak plat:(1) Linern zvislost i nezvislost vektor x1,x2, . . . ,xn se nezmn pi zmn poad tchto vektor.(2) Jestlie se mezi x1,x2, . . . ,xn vyskytuje nulov vektor, pak jsou tyto vektory linern zvisl.(3) Jestlie se ve skupin vektor x1,x2, . . . ,xn nkter vektor vyskytuje aspo dvakrt, je tato skupinavektor linern zvisl.(4) Jestlie jsou vektory x1,x2, . . . ,xn linern zvisl a xn+1 L, pak jsou i vektory x1,x2, . . . ,xn,xn+1linern zvisl.(5) Jestlie jsou vektory x1,x2, . . . ,xn linern nezvisl, pak jsou i vektory x1,x2, . . . ,xn1 linernnezvisl.(6) Samotn vektor x1 (chpan ovem jako skupina vektor o jednom prvku) je linern nezvisl prvtehdy, kdy je nenulov.

Dkaz. (1) Linern kombinace vektor x1,x2, . . . ,xn nezvis na jejich poad, protoe stn vektorje podle definice 1.6 komutativn.(2) Vzhledem k vlastnosti (1) sta bez jmy na obecnosti pedpokldat, e o = x1. Pak plat:

1 o+ 0 x2 + 0 x3 + + 0 xn = o,

co je netriviln linern kombinace rovna nulovmu vektoru.(3) Vzhledem k vlastnosti (1) sta bez jmy na obecnosti pedpokldat, e x1 = x2. Pak plat:

1 x1 + (1) x2 + 0 x3 + + 0 xn = (1 1) x1 = o,

co je netriviln linern kombinace rovna nulovmu vektoru.(4) Podle pedpokladu existuje netriviln linern kombinace 1 x1 + 2 x2 + + n xn rovna

nulovmu vektoru. Potom plat

1 x1 + + n xn + 0 xn+1 = o,

co je netriviln linern kombinace vektor x1,x2, . . . ,xn,xn+1 rovna nulovmu vektoru.(5) Dokeme to sporem. Budeme pedpokldat negaci tvrzen vty (tj. e vektory x1,x2, . . . ,xn1

jsou linern zvisl). Pak ale podle vlastnosti (4) musej bt linern zvisl i vektory x1,x2, . . . ,xn,co je spor s pedpokladem, e tyto vektory jsou linern nezvisl.(6) Je-li x1 = o, pak je x1 podle vlastnosti (2) linern zvisl. Pedpokldejme nyn x1 6= o a

polome x1 = o.

Kdyby bylo 6= 0, mohli bychom pst

x1 = 1 x1 =(1

) x1 =

1( x1) =

1 o = o.

To je ale spor. Mus tedy bt = 0. To znamen, e pouze triviln linern kombinace je rovna nulovmuvektoru, take vektor x1 je linern nezvisl.

21

Linern algebra 2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

2.18. Poznmka. Vlastnost (4) pedchoz vty nelze obrtit. Pesnji: z linern zvislosti vektorx1,x2, . . . ,xn neplyne nic o linern zvislosti i nezvislosti vektor x1,x2, . . . ,xn1. Me se tebastt, e vektory x1,x2, . . . ,xn1 jsou linern nezvisl a linern zvislost vektor x1,x2, . . . ,xn jezpsobena tm, e vektor xn je nulov. Me se ale tak stt, e vektory x1,x2, . . . ,xn1 zstvajlinern zvisl.

2.19. Poznmka. Vlastnost (5) pedchoz vty nelze obrtit. Pesnji: z linern nezvislosti vektorx1,x2, . . . ,xn neplyne nic o linern zvislosti i nezvislosti vektor x1,x2, . . . ,xn+1. Vektor xn+1 totime bt nulov, ale tak me bt takov, e vektory x1,x2, . . . ,xn+1 zstvaj linern nezvisl.

2.20. Pklad. Nech x1,x2, . . . ,xm jsou vektory z linernho prostoru Rn. Ukeme, e pokud m > n,jsou nutn tyto vektory linern zvisl.Podle definice linern zvislosti hledejme netriviln linern kombinaci, pro kterou

1 x1 + 2 x2 + + m xm = o.Rozepsnm tohoto poadavku do sloek dostvme n rovnic o m neznmch. Protoe prav stranyrovnic jsou nulov, soustava m urit aspo triviln een. Protoe je v soustav vce neznmch nerovnic existuje nekonen mnoho een tto soustavy. Mezi tmito eenmi je jen jedin triviln avechna ostatn jsou netriviln. Poznamenejme jet, e matematicky korektnj argumentace k tomutopkladu vychz jako dsledek vty 2.56.Poznamenejme, e pklad ukazuje dleitou vlastnost linernch prostor Rn: vechny linern

nezvisl skupiny vektor maj poet vektor men nebo roven n.

Jeden vektorje linernkombinacostatnch

2.21. Vta. Nech n 2. Vektory x1,x2, . . . ,xn jsou linern zvisl prv tehdy, kdy existuje indexr {1, . . . , n} takov, e vektor xr je roven linern kombinaci ostatnch vektor.

Dkaz. Vty formulovan ve tvaru ekvivalence (vrok A plat prv tehdy, kdy plat vrok B) seobvykle dokazuj ve dvou krocch. Nejprve dokeme, e z A plyne B a pak dokeme, e z B plyne A.

Dokazujme tedy nejprve, e z linern zvislosti vektor x1,x2, . . . ,xn plyne existence indexu r veuveden vlastnosti. Z definice linern zvislosti vme, e existuje netriviln linern kombinace rovnanulovmu vektoru, tj.

1 x1 + 2 x2 + + n xn =n

i=1

i xi = o, (2.3)

a pitom aspo jeden koeficient linern kombinace je nenulov. Existuje tedy r {1, . . . , n} takov, er 6= 0. Piteme nyn vektor r xr k obma stranm rovnice (2.3)

ni=1i 6=r

i xi = r xr.

Po vynsoben obou stran rovnice koeficientem 1/r dostvmen

i=1i 6=r

ir

xi = xr.

Vektor xr je tedy roven linern kombinaci ostatnch vektor.V druh sti dkazu pedpokldme existenci koeficientu r takovho, e vektor xr je roven li-

nern kombinaci ostatnch vektor. Dokeme linern zvislost vektor x1,x2, . . . ,xn. Pro njakr {1, . . . , n} tedy plat

xr =n

i=1i 6=r

i