ЛЕКЦИЯ 5 (6 часов). СЕТИ ПЕТРИ

5.1. Общие сведения о сетях Петри. Исходные понятия.

Сети Петри используются для моделирования асинхронных систем, функционирующих как совокупность параллельных взаимодействующих процессов. Анализ сетей Петри позволяет получить информацию о структуре и динамическом поведении моделируемой системы.

Причинно-следственная связь событий в асинхронных системах задается множеством отношений вида "условия-события".

Построение моделей систем в виде сетей Петри заключается в следующем:

1. Моделируемые процессы описываются множеством событий (действий) и условий определяющих возможность наступления этих событий, а также причинно-следственными отношениями, устанавливаемыми на множестве пар "события-условия".

2. Определяются события-действия, последовательность выполнения которых управляется состояниями системы. Состояния системы задаются множеством условий, формируемых в виде предикатов. Количественно условия характеризуются величиной которая выражается числами натурального ряда.

3. Условия, в зависимости от значений их количественных характеристик, могут выполняться или нет. Выполнение условий обеспечивает возможность реализации событий. Условия, с фактом выполнения которых связывается возможность реализации событий, называются предусловиями. Реализация события обеспечивает возможность выполнения других условий, находящихся с предусловиями в причинно-следственной связи. Эти условия называются постусловиями.

В сетях Петри условия - это позиции, а события - переходы. В соответствии с этим граф сети Петри является двудольным ориентированным мультиграфом. Изображение позиции и перехода на графе показано на рисунке 5.1.

а) б)

Рис 5.1. а) − изображение позиции; б) − изображение перехода.

Ориентированные дуги могут соединять только позиции и переходы в прямом и обратном направлении (свойство двудольности). Сеть Петри является мультиграфом, так как допускается кратность дуг между позициями

iP jt

и переходами (вершинами графа). Пример графа сети Петри приведен на рис.5.2.

B графах сети Петри количественные характеристики условий (числа натурального ряда) принято изображать числом меток в соответствующих позициях (см. рис.5.2).

Рис.5.2. Пример графа сети Петри.

Последовательности событий отображаются срабатываниями переходов. Выполнение какого-либо условия связано с появлением одной или нескольких меток в соответствующей этому условию позиции. Соглашения о правилах срабатывания переходов является способом выражения причинно-следственных связей между условиями и событиями в системе.

При моделировании гибких производственных систем позиции отражают отдельные операции производственного процесса (например: транспортировка заготовки к конвейеру, передвижение заготовки к станку конвейером, обработку детали) или состояния компонентов гибкой производственной системы (например: робота, конвейера, станка). Наличие метки в одной из позиций соответствует состоянию выполнения некоторой из технологических операций либо состояние, в котором пребывают некоторые из компонентов гибкой производственной системы.

Переходы соответствуют событиям, отображающим начало или завершение моделируемых операций. Например, переход интерпретируется как событие, связанное с завершением операции транспортирования заготовки роботом и ее установки на конвейере, а также с началом операции перемещения заготовки конвейером к станку.

Присвоение меток позициям сети Петри называют маркировкой сети. Динамика сетей Петри связана с механизмом изменения маркировок позиций и соглашениями о правилах срабатывания переходов. Переход срабатывает, если в каждой входной позиции (предусловии) число меток не меньше числа дуг, исходящих из позиции в данный переход. Такие переходы называют возбужденными, их срабатывание может наступить через любой конечный промежуток времени после возбуждения. В результате срабатывания из всех входных позиций перехода исключается число меток равное числу дуг, выходящих из соответствующей позиции в переход, а в выходные позиции

данного перехода добавляется число меток равное числу дуг» исходящих из перехода в соответствующую выходную позицию. На рис. 5.3 а показан возбужденный переход, а перехода на рис.5.3 б невозбужден.

а) б)

Рис.5.3, а − возбужденный переход, б) − невозбужденный переход.

Причем маркировка на рис.5.3 б получена в результате срабатывания возбужденного перехода на рис.5.3 а. Заметим, что срабатывание перехода предполагается неделимым актом, то есть изменение маркировок всех связанных с данным переходом входных и выходных позиций осуществляется мгновенно.

5.2 Механизмы синхронизации процессов.

Для более глубокого понимания существа использования аппарата сетей Петри при описании совместной работы совокупности параллельных взаимодействующих процессов рассмотрим основные типы взаимодействия и синхронизации процессов. Взаимодействие процессов требует распределения ресурсов между ними. Чтобы система работала правильно распределением ресурсов необходимо управлять. Это управление в основном сводится к задачам синхронизации взаимодействия процессов. При этом изучается ряд задач синхронизации ставших классическими:

- задача о взаимном исключении;- задача о производителе/потребителе;- задача об обедающих мудрецах;- задача о чтении/записи;- - и - операции над семафорами.

Другие механизмы синхронизации процессов включают решение перечисленных задач. Знание этих задач и приобретение навыков их применения позволяет успешно справляться с весьма не простым делом описания функционирования систем сетями Петри.

Задача о взаимном исключении

Данная задача возникает в условиях, когда несколько процессов разделяют общую переменную. Каждый процесс может вначале считать значение переменной, затем вычислить новое значение и записать его на то же место. Если два процесса одновременно будут выполнять указанную последовательность действий, то может возникнуть неправильная работа системы. Например, оба процесса считают по очереди старое значение переменной, а при записи одно из новых значений записанное первым будет уничтожено. Таким образом, результат работы одного из двух процессов будет утерян.

Процесс I Процесс 2

Рис. 5.4. Механизм взаимного исключения

Для правильной работы системы необходимо обеспечить механизм взаимного исключения, при котором одновременно не более чем один процесс имеет доступ к разделяемой переменной. Часть программного кода процесса, в котором выполняется доступ к разделяемой переменной и при этом требуется защита от доступа к разделяемой переменной другого процесса, называется критической секцией. Механизм взаимного исключения работает таким образом, что при выполнении критической секции какого-либо процесса, критические секции других процессов блокируются. Взаимодействие двух процессов через механизм взаимного исключения критических секций представлен сетью Петри на рис.5.4.

Переходы и находятся в конфликте за метку в позиции . Запуск, например, перехода , вынуждает 1-ый процесс ждать, пока 2-ой процесс выйдет из своей критической секции и возвратит метку в позицию .

Задача о производителе/потребителе

В этой задаче разделяемым объектом является буфер. Процесс производитель порождает компоненту информации и размещает ее в буфер. Процесс потребитель ждет пока компонента информации разместится в буфере, после этого он может ее удалить из буфера и использовать. Как правило используется буфер ограниченной емкости, то есть имеется возможность разместить в нем не более компонентов данных. В этом случае скорость заполнения буфера процессами-производителями и скорость извлечения данных процессами - потребителями должны быть сопоставимы. На рис.5.5 представлена сеть Петри, отражающая рассматриваемое действие процессов.

Производитель Потребитель

Рис.5.5. Механизм обмена через буфер

Буферу сопоставлены две позиции: В − указывает на количество компонентов данных размещенных в буфере, но еще не использованных, В° − количество свободных мест в буфере для размещения компонентов данных. Первоначально позиция В° имеет меток, а позиция В не имеет. Если буфер будет полностью заполнен, то в позиции В будет меток, а в В° − 0 меток. Таким образом, доступ процесса-производителя в заполненный буфер невозможен, так как в позиции В° будет 0 меток.

Задача об обедающих мудрецахМудрецы сидят за круглым столом и каждый из них может пребывать в

одном из двух состояний: думает или обедает. На столе блюда китайской кухни, а между мудрецами лежит по одной палочке. Для приема пищи мудрец должен взять палочку слева и палочку справа. В этом случае соседи обедающего мудреца могут только думать и ждать, когда освободятся палочки, чтобы приступить к обеду. На рис.5.6 сетью Петри представлено взаимодействие трех процессов (трех мудрецов), состояния которых отражены позициями и : −обедает, − думает. Позиции представляют палочки для еды (разделяемые ресурсы). В исходной маркировке мудрецы думают, а все палочки свободны. При такой исходной

маркировке любой из трех мудрецов может приступить к обеду, захватив палочки слева и справа.

Рис.5.6. Механизм разделения ресурса

Задача о чтении/записиРассматривается взаимодействие процессов двух типов: процессы

чтения и процессы записи. Все процессы совместно используют общий файл или переменную или элемент данных. Процессы чтения не изменяют объект, а процессы записи изменяют. Поэтому процессы записи должны взаимно исключать (см. рис. 5.4) все другие процессы чтения и записи, в то время как несколько процессов чтения могут иметь доступ к разделяемым данным одновременно. Взаимодействие процессов необходимо организовывать так, чтобы не могла возникнуть тупиковая ситуация и был обеспечен механизм взаимного исключения со стороны процессов записи.

Рис.5.7. Механизм взаимодействия процессов чтения и записи

На рис.5.7 представлена сеть Петри, имитирующая взаимодействие процессов чтения и записи при условии, что число процессов чтения и записи ограничено величиной . Это означает, что и при неограниченном числе процессов чтения, одновременно могут выполняться не более

Чтение Запись

процессов. Начальное маркирование сети предполагает наличие процессов чтения и процессов записи. Из данной сети видно, что процессы находятся в конфликте за метку в позиции . При захвате меток процессом записи позиция остается без меток, тем самым блокируется запуск процессов чтения, до тех пор пока процесс записи не возвратит меток в позицию .

Следует обратить внимание на то, что в данной сети позиция после завершения процессов чтения всегда будет иметь меток и тем самым разрешает запуск процессов записи.

В тех случаях, когда число одновременно читающих процессов не ограничено, моделировать взаимодействие процессов чтения и записи с помощью сети Петри оказывается невозможным. Проблема заключается в отсутствии механизма блокировки неограниченного числа одновременно читающих процессов при выполнении процессов записи. Для хранения числа читающих процессов можно ввести специальную позицию счетчик. При запуске каждого процесса чтения в счетчик добавляется единица, а по окончании единица вычитается. Однако это не решает проблему, так как для запуска процесса записи необходимо, чтобы в позиции-счетчике отсутствовали метки. Механизма проверки неограниченной позиции на нуль в сетях Петри нет. Это показывает, что возможности сетей Петри для отображения взаимодействия процессов далеко не безграничны.

Р − и V − операции над семафорами

Одним из распространенных механизмов синхронизации процессов являются Р - и V - операции над семафорами. Семафор − это переменная, которая может принимать только неотрицательные целые значения. V - операция увеличивает значение на единицу, а Р-операция уменьшает его на единицу. Р-операция может выполняться только в том случае, когда полученное значение семафора остается неотрицательным. Таким образом, если значение семафора равно 0, то Р-операция должна ждать, пока какой-нибудь другой процесс не выполнит V -операцию. Р- и V -операции определены как примитивные, то есть никакая другая операция не может изменять значения семафора одновременно с ними. На рис.5.8 показано как такие операции моделируются сетью Петри. Каждый семафор моделируется позицией, количество меток r в позиции показывает значение семафора. Р-операции используют позицию семафора в качестве входа, а V-операции в качестве выхода.

Рис.5.8. Механизм семафоров

5.3. Формализованное описание сетей Петри.Для описания и математического анализа процессов с точками

ветвления и синхронизации взаимодействия разработан аппарат сетей Петри. Структура сети представляется ориентированным двудольным графом. Множество вершин графа разбивается на два подмножества и , , . Дугами могут связываться вершины из множеств и . Динамика развития процессов отражается в вершинах метками (марками). Распределение меток по вершинам называют маркированием сети. Каждое маркирование соответствует определенному состоянию сети.

Сеть Петри определяется пятеркой , где, - множество позиций;, - множество переходов;

- функция следования; - функция предшествования;

- начальное маркирование (состояние) сети; - множество положительных целых чисел.

Функции и задают множества дуг и соответственно.Дуги, предшествующие позиции , обозначим множеством

, а дуги, предшествующие переходу , множеством .

Здесь запись означает наличие дуги , а запись - дуги . Аналогично, дуги, следующие из и , представим множествами , .

Входные позиции перехода объединяются в множества его предшественников , а выходные позиции – в множества позиций–последователей .

Маркирование сети представляется вектором , где - число меток в позиции . Переход возбужден при маркировании и

r

может сработать, если выполняется условие , то есть число меток больше или равно числу дуг , что соответствует

.Срабатывание перехода приводит к тому, что каждая позиция

теряет меток, а каждая из позиций получает меток.

Если при маркировании возбуждено несколько переходов, то порядок их срабатывания не определен, и, следовательно, может быть представлено несколько последовательностей срабатывающих переходов.

Примеры построения сети Петри.Пример 1. В примере рассматривается описание двух

взаимодействующих процессов на основе механизма семафоров. Пусть в общей памяти выделен участок длиною единиц, который используется для хранения запросов на выполнение задач. Процессы записи запросов в очередь и выбора их из очереди могут происходить независимо (асинхронно). Описатель очереди содержит четыре элемента: и - число заполненных и свободных ячеек очереди; и - адреса начального и конечного элементов очереди. Алгоритмы записи в очередь и выборки запросов из очереди приведены на рис. 5.9. Запись вида представляет операцию размещения в ячейку очереди с номером , а запись вида - считывание содержимого ячейки и использование его в качестве информации о запросе.

R

1

1N

1да

нет

а) в)

R

1

1N

1да

нет

б)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

4

6

Рис. 5.9. а) – алгоритм постановки запроса в очередь; б) – алгоритм выборки запроса из очереди; в) – пример состояния очереди в буфере из ячеек.

С очередью может работать несколько программ «в очередь» и «из очереди». Для организации корректного использования очереди необходимо исключить одновременный доступ программ к области хранения запросов. Иначе возможны ошибки. Например, два потребителя могут выбрать один и тот же запрос, не выбрав из очереди следующий за ним. Для исключения подобной ситуации параллельные процессы «в очередь» и «из очереди» могут синхронизироваться с помощью семафорных примитивов и . Сеть Петри, описывающая эти параллельные процессы, приведена на рис. 5.10. Содержательный смысл позиций и переходов отражен у этих элементов сети.

Рис. 5.10. Сеть Петри, описывающая параллельные процессы управления буферированием: - создание запроса; - запись запроса в очередь; - выполнение запроса; - выборка запроса из очереди.

Позиция - семафор, ограничивающий доступ процесса к очереди. Операции над - переменная увеличивается на 1, если ;

- если , то уменьшается на 1, в противном случае процесс

l

S

n

1t

2t

3t

4t

lP

sP

nP

sP

sV

lV nV

sV

блокируется, ожидая состояния семафора . Примитив запрещает доступ процесса в критическую область, а - разрешает.

Аналогично определяются операции над считывающими семафорами и : - если , то уменьшается на 1 и процесс продолжается, иначе он блокируется в текущей точке; - если , то увеличивается на 1 и процесс продолжается.

Пример 2. В данном примере рассматривается ВС (Рис. 5.11), содержащая процессор (П), устройство связи с объектом (УСО) и запоминающее устройство (ЗУ). УСО и П могут работать параллельно.

Рис. 5.11. Однопроцессорная ВС с УСО и ЗУ

Процессы в данной ВС порождаются периодическими и инициативными запросами от ОУ и инициативными запросами от оператора. Рассмотрим очередь запросов оператора, которые включают выполнение на П двух операций. Первая из них использует текущие данные из ЗУ. Вторая операция выполняется после первой и завершения работы УСО с ОУ и ЗУ. Сеть Петри, описывающая данный процесс, приведена на рис.5.12.

Рис. 5.12. Модель процесса в виде сети Петри

Переходы: - ввод данных с ЗУ в ОЗУ; - операция 1; - работа УСО с ОУ и ЗУ; - операция 2; - подготовка ЗУ к работе (установка головок).

П ОЗУ УСО

ОУ

ЗУ

оператор

1P

1t 4t2t

3t

5t

2P

4P

7P 6P

3P

5P

8P

Позиции: - П свободен; - ввод данных с ЗУ в ОЗУ выполнен; - операция 1 выполнена; - работа УСО закончена; - УСО свободно; - ЗУ готово к работе; - операция 2 выполнена.

Переход срабатывает, если есть запрос, свободный процессор и готовое к работе ЗУ. Возможность параллельной работы процессора и УСО отражена параллельными ветвями с и . Операция 2 (переход ) выполняется по завершению операции 1 и работы УСО. После срабатывания перехода освобождается процессор, ЗУ и фиксируется метка о завершении процесса. После подготовки ЗУ (переход ) может отрабатываться следующий запрос оператора.

В приведенных примерах сети Петри описывали:- параллелизм и синхронизацию процессов;- взаимодействие процессов и ресурсов, представленных метками;- независимые действия, представленные переходами;- накопители информации (ячейки и буферы) и состояния процессов,

представленные позициями.Однако в рассматриваемом виде сети Петри не позволяют адекватно

представлять многие свойства систем. Так, одним из недостатков сетей Петри является отсутствие времени в определении ее динамического функционирования. Большинство теоретических исследований по сетям Петри также исключает из рассмотрения время. При учете времени происходит существенное усложнение в методах анализа сетей и как бы переход от алгебраических уравнений к дифференциальным.

Временные сети. Для учета временных характеристик вводятся временные сети Петри, в которых каждому переходу сопоставляется время

. Если переход возбуждается, то метки, вызвавшие запуск перехода, покидают входные позиции . Порождение меток в выходных позициях

происходит через время . На множестве переходов с сети Петри может задаваться отношение приоритетности (порядка), определяющее порядок потребления меток возбужденными переходами в условиях конфликта за метку. Временная сеть с приоритетами переходов объединяет возможности, описанные в рассмотренных выше классах сетей.

Раскрашенные сети. Раскрашенные сети Петри являются естественной интерпретацией реальных систем, аналогичной сетям с очередями. Однако сети с очередями не допускают представления эффектов размножения и синхронизации, отражаемых с помощью переходов в сетях Петри. Меткам раскрашенной сети Петри приписывают атрибуты, которые называют цветами. Правила возбуждения переходов дополняются условиями, предполагающими выбор меток определенных цветов из позиций . Срабатывание переходов сопровождается посылкой в позиции меток с задаваемыми значениями цвета.

В ряде случаев на множестве цветов задают отношения приоритетности и сопоставляют их определенным дугам . Правила возбуждения перехода реализуют приоритетный выбор метки для

возбуждения перехода на основе значения соответствующего атрибута – приоритета (цвета) метки. Приоритетные раскрашенные сети адекватно представляют приоритетное обслуживание процессов.

Таким образом, процедура раскраски сети Петри – это модельный способ трактовки различных по характеру реальных элементов: в алгоритмах – номера оператора или этапа обработки; в мультипрограммных системах – номера задачи, ее приоритета и других атрибутов; для ресурсов – их типа, способа использования и т.д.

Методы анализа характеристик сетей. Существуют два базовых метода анализа сетей Петри. Один из них основан на использовании графа достижимых маркировок (диаграммы состояний сети), другой - на применении уравнения состояний и методов линейной алгебры. Статические свойства системы определяет графовая часть сети Петри, а динамические – начальное маркирование и правила возбуждения (моделирования).

Приведем определения некоторых характеристик сетей и их смысловое толкование применительно к задачам анализа систем.

Маркирование называют достижимым из маркирования , если существует последовательность срабатывающих переходов , переводящая сеть из состояния в . Отношение следования маркирований, возбуждаемых действием последовательности имеет вид:

.Переход называют достижимым в сети из маркирования , если

существует такое маркирование , достижимое из , при котором происходит срабатывание перехода .

Переход называют живым, если он достижим в из любого , где - множество достижимых маркирований сети.

Сеть - живая, если все ее переходы живые. Доказав, что сеть является живой, можно гарантировать, что в соответствующей системе выполнимы все элементарные действия процессов при их развитии.

Позицию называют -ограниченной, если существует неотрицательное целое , такое что : , где - число меток в позиции .

Сеть - ограниченная, если все ее позиции ограничены, то есть для каждой позиции сети существует предельное число меток, которые могут быть там одновременно. Если метки используются для представления промежуточных данных, созданных системой, то, проанализировав ограниченность сети, можно сделать вывод о возможности потери информации в ВС при ее буферировании.

Сеть - безопасная, если : , то есть при всех достижимых маркированиях ее позиции не могут иметь более одной метки. Анализ безопасности проводится для исключения условий одновременного использования ресурса несколькими процессами. Например, если два сообщения о нем могут одновременно передаваться по каналу или два

вычислительных процесса не могут одновременно находиться в критической программной секции, имеет место безопасность маркирования в соответствующих позициях сетевой модели.

Маркировку называют тупиковой, если в этом состоянии сети ни один из переходов не может сработать.

Сеть обладает терминальностью (завершаемостью) процессов, если при всех допустимых начальных маркированиях завершение процессов в ней приводит к тому, что метки покидают сеть, или собираются в некоторой терминальной (конечной) позиции. Терминальность гарантирует работу систем при следующей инициализации без всяких побочных эффектов. Терминальность процессов связана с результативностью алгоритмов (реентерабельностью соответствующих программ). Два перехода, связанные с общей входной позицией являются конфликтными, если они возбуждаются в результате появления метки в . Конфликт за метку из приводит к случайному (недетерминированному) характеру процессов в сети.

Сеть – непротиворечивая, а процессы в ней – детерминированные, если для всех достижимых маркирований множество переходов , возбуждаемых маркированием , равно множеству переходов, срабатывающих при , то есть : .

Проверка свойств сетей может выполняться путем построения и анализа множества достижимых состояний системы. Однако в случае большого количества состояний такой способ затруднителен. Другой способ представляет собой структурный анализ сети на основе заданной матрицы инцидентности и начального маркирования. Динамика сети в пространстве состояний может быть описана рекуррентным уравнением:

; ,где - состояние, которое следует после состояния в результате -го воздействия ; - начальное маркирование; - матрица, полученная транспонированием матрицы инцидентности позиций и переходов, причем ее элементы равны , , или 0, когда соответственно переход имеет исходящих дуг к позиции , входящих дуг в позицию или не имеет связи с позицией ; – управляющий вектор, компоненты которого . Если

, то в -й момент асинхронного времени происходит срабатывание перехода , если же , то срабатывание не происходит.

Для решения рекуррентных уравнений смены состояний сетевых моделей используются методы линейной алгебры. Они позволяют на основе математического исследования структуры биграфа сети и начального маркирования оценить такие качественные характеристики сети как ограниченность, живость и т.д. Для исследования количественных характеристик сетей можно использовать различные методы теории графов и классического сетевого анализа.

Е-сети. В настоящее время теория сетей Петри получила существенное развитие. Так, для описания различных и многообразных свойств систем предлагается язык нагруженных сетей, который легко адаптируется для

представления различных частных классов сетевых моделей, и при необходимости объединяет эти частные свойства в едином описании. Расширением языка сетей Петри является язык вычислительных сетей, которые получили название -сети. Так же, как и сеть Петри, -сеть является графом, содержащим вершины двух типов – позиции и переходы и ребра, соединяющие вершины разных типов.

Рис. 5.13. Переходы -сетиВ отличие от сети Петри в -сети в множестве позиций выделяют

некоторое подмножество, которое соответствует так называемым разрешающим позициям (эти позиции обозначаются буквой ). Каждая позиция -сети может содержать метку. Причем метки могут быть простыми, которые определяют только свободность или занятость данной позиции, или сложными. Сложная метка является вектором, характеризующим множество некоторых параметров. Метки перемещаются по -сети вдоль направленных путей, при этом содержание сложной метки может меняться по мере ее прохождения по сети. Каждая позиция -сети может иметь только одну входящую и одну исходящую дугу. Переходы -

а)1P 2P б)

в)

1P2P

3P

1P

2P3P

3P

1P

r

2Pг)

д)1P

2P 3P

r

сети, как и сети Петри, являются вершинами, в которых происходит преобразование потока меток.

Определено пять типов переходов -сети (элементарных подсетей), из которых составляется сложная -сеть. На рис. 5.13 показаны различные переходы -сети. -, - и -переходы (рис. 5.13, а-в, соответственно) аналогичны переходам безопасной сети Петри. - и -переходы используют разрешающую позицию , которая определяет, на какую выходную позицию

-перехода (рис. 5.13, г) перейдет метка с его входной позиции и с какой входной позиции -перехода (рис. 5.13, д) перейдет метка на его выходную позицию.

5.4. Задачи анализа сетей Петри

Анализ заключается в изучении основных свойств сетей Петри: безопасности, ограниченности, сохранении, активности, достижимости и покрываемости. Напомним определение каждого из этих свойств.

Безопасность. Позиция piP сети C=(P, T, I, O, M0) является безопасной, если m(pi)I для любой MR(C, M0). Сеть Петри безопасна, если безопасна каждая ее позиция.

Безопасность – важное свойство для аппаратной реализации. Безопасная позиция имеет число меток 0 или 1 и может быть реализована одним триггером.

Сети, в которых позиции рассматриваются (интерпретируются) как предусловия событий, маркировка каждой позиции должна быть безопасной.

Ограниченность. Безопасность – это частный случай более общего свойства ограниченности. Безопасность позволяет реализовать позицию триггером, а в более общем случае можно использовать счетчик. Любой счетчик ограничен по максимальному числу К. Соответствующая позиция также является К-безопасной или К-ограниченной, если количество меток в ней не может превысить целое число К.

Позиция piP сети C=(P, T, I, O, M0) является К-безопасной, если m(pi)К для всех MR(C, M0).

Позиция называется ограниченной, если она К-безопасна для некоторого К.

Сеть Петри ограничена, если все ее позиции ограничены.

Сохранение. В сетях Петри, моделирующих запросы, распределения и освобождения ресурсов, некоторые позиции могут представлять состояние ресурсов. Например, если три метки в позиции представляют три устройства (однотипных) в вычислительной системе, то интерес представляет свойство

сохранения меток. То есть метки, представляющие ресурсы, никогда не создаются и не уничтожаются.

Сеть Петри называется строго сохраняющей, если для всех MR(C, M0) выполняется условие:

m(pi) = m0(pi). piP piP

Сеть Петри должна сохранять ресурсы, которые она моделирует. Однако не всегда имеется однозначное соответствие между меткой и количеством или числом ресурсов. В этом случае метка используется для создания кратных меток (по одной на ресурс), путем запуска перехода с большим числом выходов, чем входов. Поэтому вводятся взвешенные метки, а условие сохранения определяется через взвешенную сумму меток.

Активность. Другой задачей, возникающей при распределении ресурсов, является задача выявления тупиков. Рассмотрим на рис. 5.14 систему, включающую два различных ресурса q и r и два процесса а) и в), нуждающиеся в обоих ресурсах. Каждый процесс запрашивает ресурс, а затем освобождает его. Процесс а) сначала запрашивает ресурс q, затем ресурс r, и освобождает их. Процесс в) работает аналогично, но запрашивает сначала ресурс r, а затем q.

а) в)

Рис. 5.14. Иллюстрация наличия тупикаНачальная маркировка помечает ресурсы свободными и готовность

процессов к работе. Выполнение сети в последовательности t1, t2, t3, t4, t5, t6

или t4, t5, t6, t1, t2, t3 не приводит к тупику. Если начать с переходов t1, t4 то выполнение заблокировано, процесс а) обладает ресурсом q и хочет получить r, процесс в) обладает r и хочет получить q.

Тупик в сети Петри – это переход (или множество переходов), которые не могут быть запущены. Переходы t2 и t5 являются тупиковыми. Переход называется активным, если он не заблокирован, то есть потенциально запустимым.

Достижимость и покрываемость. Задача достижимости заключается в определении для маркировки M0 маркировки MR(C, M0). К этой задаче могут сводиться многие перечисленные выше задачи. Например, тупик в сети на рисунке может возникнуть, если достижимым является состояние (0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0).

Задача покрываемости. Для сети С с начальной маркировкой M0 и маркировки M определить, существует ли такая достижимая маркировка M’R(C, M0), что M’M.

Задачи достижимости и покрываемости могут рассматриваться относительно некоторых интересующих нас подмножеств позиций.

5.5.Методы анализа на основе дерева достижимости

Дерево достижимости. Дерево достижимости представляется множеством состояний сети.

В начальной маркировке (1, 0, 0) разрешены два перехода t1 и t2. Первый шаг построения дерева достижимости показан на рис (б). Из маркировки (1, 1, 0) можно снова запустить t1 (получая (1, 2, 0)) и t2 (получая

P1 t2 P3

(0, 2, 1)); из (0, 1, 1) можно запустить t3 (получая (0, 0, 1)). Второй шаг построения дерева достижимости показан на рис (в).

Продолжая три маркировки (рис (в)) на третьем шаге маркировки (рис (г)). Маркировка (0, 0, 1) пассивная: никакой переход в ней не разрешен. Маркировка (0, 1, 1), порождаемая запуском t3 в (0, 2, 1) была уже порождена непосредственно из начальной маркировки запуском t2.

Если эту процедуру повторять снова и снова, каждая достижимая маркировка окажется порожденной, а полученное дерево может оказаться бесконечным.

Всякий путь в дереве, начинающийся в корне соответствует допустимой последовательности переходов.

Для превращения дерева в полезный инструмент анализа необходимо найти средства ограничения его до конечного размера. Приведение к конечному представлению осуществляется двумя операциями.

Первая из них – это использование пассивных маркировок, именуемых терминальными вершинами, и маркировок, ранее встречавшихся в дереве,

именуемых дублирующими вершинами. В нашем примере маркировка (0, 0, 1) – терминальная, а (0, 1, 1) – дублирующая.

Вторая операция. Рассмотрим последовательность запусков переходов , начинающуюся в начальной маркировке М0 и концом M’, M’>M0. Маркировка M’ совпадает с маркировкой М0, за исключением того, что имеет некоторые «дополнительные» метки в некоторых позициях, то есть M’=M0+(M’-M0) и (M’-M0)>0. Поскольку на запуски переходов дополнительные метки не влияют, последовательность можно запустить снова, начиная в M’, приходя к маркировке M”. Так как действие последовательности переходов добавило M’-M0 меток к маркировке M0, она добавит также M’-M0 меток к маркировке M’, поэтому M”=M’+(M’-M0) или M”=M0+2(M’-M0). В общем случае последовательность можно запустить n раз, получив в результате маркировку M0+n(M’-M0).

В нашем примере можно запустить переход t1 столько раз сколько необходимо для того, чтобы получить произвольное число меток в P2. Это бесконечное число маркировок обозначим символом . Для любого a определим

а а а Эти операции с символом достаточны для построения дерева.

Алгоритм построения дерева. Каждая вершина i дерева связывается с расширенной маркировкой M(i). В этой маркировке число меток в позиции может быть либо неотрицательным целым, либо . Каждая вершина классифицируется как граничная или терминальная или дублирующая или внутренняя.

Граничными являются вершины, которые не обработаны алгоритмом. Алгоритм превратит их в терминальные, дублирующие, внутренние.

Алгоритм начинает с начальной маркировки М0, принимая ее в качестве граничной вершины.

Пусть х – граничная вершина.1.Если в дереве имеется другая вершина у, не являющаяся граничной,

и с ней связана также маркировка М(х)=М(у), то вершина х – дублирующая.2.Если для маркировки М(х) ни один из переходов не разрешен для

всех tjT, то х – терминальная вершина.3.Для всякого перехода tjT, разрешенного в М(х), создать новую

вершину z дерева. Маркировка М(z) определяется для каждой позиции P i

следующим образом:а) если М(х)i=, то М(z)i=.б) если на пути от корневой вершины к х существует вершина у с

М(у)<(M(x), tj) и М(у)i<(M(x), tj)i, то М(z)i=, - функция следующего состояния.

в) в противном случае М(z)i=(M(x), tj)i,Функция (M(x), tj) не определена, если tj не разрешен в маркировке

М(х). Если tj разрешен, то (M(x), tj)=M’(x), где M’(x) – маркировка, полученная после срабатывания tj. Дуга, помеченная tj, направлена от

вершины х к вершине z. Вершина х переопределяется как внутренняя, вершина z становится граничной.

Когда все вершины дерева – терминальные, дублирующие или внутренние, алгоритм останавливается.

Для нашего примера дерево достижимости имеет вид:

Имеется доказательство того, что алгоритм конечный и не может создавать новые граничные вершины бесконечно.

Ниже на рис. 5.15 приведем еще один пример сети Петри и дерево достижимости для него.

Рис 5.15. Пример дерева достижимости

Анализ сетей Петри на основе дерева достижимости. Сеть Петри ограничена тогда и только тогда, когда символ отсутствует в ее дереве достижимости. Если сеть ограничена и символ отсутствует в дереве достижимости, то сеть представляет систему конечных состояний. Это позволяет решить вопросы анализа простым перебором и проверкой конечного множества всех достижимых маркировок.

Сеть Петри является сохраняющей, если она не теряет и не порождает метки, а просто передвигает их. Свойство сохранения проверяется по дереву достижимости вычислением для каждой маркировки суммы меток. Если метки взвешены, то вычисляется взвешенная сумма. Если сумма одинакова для каждой достижимой маркировки, сеть - сохраняющая.

Задача покрываемости маркировки М маркировкой М’ сводится к поиску на дереве такой вершины х, состояние которой покрывает состояние М. Если такой вершины М(х) не существует, маркировка М не покрывается никакой достижимой маркировкой.

Таким образом, дерево достижимости можно использовать для решения задач безопасности, ограниченности, сохранения и покрываемости. К сожалению, в общем случае его нельзя использовать для решения задач достижимости и активности, а также для определения возможной последовательности запусков. Решение этих задач ограничено существованием символа . Символ означает потерю информации, конкретные количества меток отбрасываются, учитывается только существование их большого числа. Вместе с тем, в отдельных конкретных случаях дерево достижимости позволяет судить о свойствах достижимости и активности. Например, сеть, дерево достижимости которой содержит терминальную вершину, не активна. Аналогично искомая маркировка M’ в задаче достижимости может встретиться в дереве достижимости, что

означает ее достижимость. Кроме того, если маркировка не покрывается некоторой вершиной дерева достижимости, то она недостижима.

5.6. Анализ сетей Петри на основе матричных уравнений

Матричный подход основывается на представлении сети двумя матрицами Д- и Д+, представляющими входную и выходную функции сети. Каждая матрица имеет m строк (по одной на переход) и n столбцов (по одному на позицию). Определим матрицы Д-(j,i)=K(Pi,I(tj)) и Д+

(j,i)=K(Pi,O(tj)). Д- описывает входы в переходы, Д+ - выходы из переходов, K – кратность позиции по входам и выходам.

Введём m - вектор e(j), содержащий нули везде, за исключением j-й компоненты. Переход tj представляется m - вектором e(j).

Тогда переход tj в маркировке М разрешён, если М≥e(j)Д-, а результат запуска перехода tj в маркировке М обозначим функцией δ(M,tj) определяющей новую маркировку М’:

δ(M,tj)=M - e(j) Д- + e(j) Д+ = M+ e(j)(- Д- + Д+) = M + e(j)Д,

где Д = Д+ - Д- - составная матрица изменений состояний сети. Тогда для последовательности запусков переходов G={tj1,tj2,…,tjk}имеем:

δ(M,G) =δ(M, tj1, tj2,…, tjk) == M + e(j1)Д + e(j2)Д + … + e(jk)Д == M +[ e(j1) + e(j2) + … + e(jk)]Д = M + f(G)Д.

Вектор f(G) = e(j1)+e(j2) …..+e(jk) называется вектором запуска последовательности tj1,tj2,…,tjk. i-й элемент вектора f(G), f(G)i - это число запусков перехода tj в последовательности tj1,tj2,…,tjk. Вектор запусков, следовательно, является вектором с неотрицательными целыми компонентами.

Рассмотрим задачу сохранения при известном векторе взвешивания меток W. Если M0 - начальная маркировка, а M’ - произвольная достижимая маркировка, необходимо, чтобы M0W = M’W. Тогда существует последовательность запусков переходов G, которая переводит сеть из M0 в M’. Поэтому,

M’ = δ(M0,G) = M0 + f(G)Д.

Следовательно, M0W = M’W = (M0 + f(G) Д) W = M0W + f(G) ДW. Исходя из условия сохранения, имеем: f(G)ДW = 0.

Поскольку это должно быть верно для всех f(G), имеем ДW = 0.Таким образом, сеть Петри является сохраняющей тогда и только тогда,

когда существует такой положительный вектор W, что ДW = 0. Это

обеспечивает простой алгоритм проверки сохранения, а также позволяет получать вектор взвешивания W для сохраняющей сети. Для этого нужно решить систему Д W=0 относительно W.

Матричная теория является инструментом для решения проблемы достижимости. Пусть маркировка M’ достижима из M0, тогда существует последовательность (возможно пустая) запусков переходов G, которая приводит из M0 к M’. Это означает, что f(G) является неотрицательным целым решением следующего матричного уравнения для X:

M’ = M0 + X Д. (*)

Следовательно, если M’ достижима из M0, тогда уравнение (*) имеет решение в неотрицательных целых. Если уравнение не имеет решения, тогда M’ недостижима из M0.

Покажем возможности применения уравнения (*) для анализа сети, приведённой на рис. 5.16.

Д- =

Д+=

Д = Д+ - Д- =

Рис. 5.16. Пример сети и построения матрицы Д

В начальной маркировке M0=(1,0,1,0) переход t3 разрешён и приводит к маркировке M’, где:

M’=(1,0,1,0)+(0,0,1) =(1,0,1,0)+(0,0, 1,1)=(1,0,0,1) Последовательность G={t3, t2, t3, t2, t1}представляется вектором запусков

f(G)=(1,2,2) и получает маркировку M’:

M’ = (1,0,1,0) + (1,2,2) =(1,0,1,0)+(0,3,-1,0)=(1,3,0,0)

Для определения того, является ли маркировка (1, 8, 0, 1) достижимой из маркировки (1, 0, 1, 0), имеем уравнение:

1 1 1 00 0 0 10 0 1 0

1 0 0 00 2 1 00 0 0 1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1, 0) + X или

(0,8,-1,1)=X ,

которое имеет решение X=(0, 4, 5). Это соответствует последовательности G= {t3, t2, t3, t2, t3, t2, t3, t2, t3}.

Можно показать, что маркировка (1, 7, 0, 1) недостижима из маркировки (1, 0, 1, 0) поскольку матричное уравнение :

(1,7,0,1)=(1,0,1,0) + X или

(0,7,-1,1)= X ,

не имеет решения.

Недостатки матричных методов.

1. Матрица Д теряет информацию о ситуациях, когда переходы имеют входы и выходы из одной позиции (петли).

2. Отсутствие информации о последовательности в векторе запуска. Хотя и известно число переходов, порядок их запуска неизвестен.

3. Решение уравнения (*) является необходимым для достижимости, но недостаточным.

5.7. Модификации сетей Петри

Временная сеть Петри

Такая сеть позволяет более реалистично отражать процессы в ВС. Во временных сетях каждому переходу tj сопоставляется время τj. Если переход возбуждается, то метки, вызвавшие запуск перехода, покидают входные

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

0 -1 -1 00 +2 +1 -10 0 -1 +1

позиции Pre(tj). Порождение меток в выходных позициях Post(tj) происходит через время τj .

Формальное определение временной сети:TN = {N, τ}, где N - сеть Петри; τ: T → R0 -функция времён срабатывания,

сопоставляющая каждому переходу постоянное время срабатывания; R0 - множество неотрицательных рациональных чисел.

Сеть с приоритетами переходов

Формальное определение:PRN = {N, PR},где N - сеть Петри; PR - отношение приоритетности (порядка),

задаваемое на множестве переходов Т и определяющее порядок потребления меток возбуждёнными переходами в условиях конфликта за метку.

Временная сеть с приоритетами переходов

Такая сеть объединяет элементы, описанные в рассмотренных выше классах сетей.

Формальное определение:PRTN = {N, τ, PR}.

Пример взаимодействия двух узлов сети ЭВМ

Рассмотрим пример модели взаимодействия между узлами сети ЭВМ, описывающей протокол связи с исправлением ошибки, рис. 5.17. Протокол предусматривает подтверждение приёма посланного сообщения, повторение передачи при потере сообщения и соответствует упрощенной версии реального протокола.

Содержательный смысл, соответствующий состояниям и переходам сети Петри, имеет определённые значения.

Переходам tj сопоставлены времена τj, отражающие длительность выполнения соответствующих действий в системе обработки и обмена, генераторах помех и тайм-аута. отношения приоритетности введены для двух пар переходов – (t2,t8) и (t7,t11), поскольку только по отношению к ним может возникнуть конфликт за метку. Они имеют вид:

PR(t8) > PR(t2) и PR(t7) > PR(t11).

ПрИ – процессор-источник;ПрП – процессор-приёмник;ГТ – генератор тайм-аута;ИП – источник помех;t1 - передача сообщений в буфер обмена;t2 - приём сообщения;t3 - посылка подтверждения о приёме данных;t4 - приём подтверждения;t5 - обработка данных в ПрИ;t6 - обработка в ПрП;t7 - повторение передачи;t8, t9 - переходы модели источника помех;t10, t11 - элементы ГТ;P1 - конец обработки в ПрИ и запрос действия t1;P2 - буфер сообщения;P3 - ПрП готов принять сообщение и запрашивает t2;P4 - ПрИ ожидает подтверждения;P5 - завершение действия t2 и запуск t3;P6 - запрос t6;P7 - буфер подтверждения; P8 - запрос t5;P9, P10 - позиции ГТ;P11, P12 - позиции ИП;

Рис. 5.17. Пример временной сети Петри с приоритетами.

Передача сообщения процессором-источником порождает буферирование копии сообщения и запуск генератора тайм-аута, посылку сообщения в канал, а также формирование условия подтверждения о приёме, что отражается появлением меток в P2, P4, P9. Если сообщение в канале P2

исчезнет благодаря действию ИП (что отражается возбуждением t8), то не приходит подтверждение приёма (метка в P7 не появится), и через время тайм-аута (связанное с t10) произойдёт повторная выдача сообщения в канал (что отражается срабатыванием t7). С t9 связан интервал времени между потерей в канале очередного сообщения и возникновением условия для потери следующего сообщения. С t10 связано время тайм-аута, через которое организуется повторная посылка потерянного сообщения. Если через τ10 в P4

нет метки, то не создадутся условия возбуждения t7 и метка из P10 покинет ГТ.

Рис. 5.18. Граф допустимых маркирований

На рисунке изображён граф допустимых маркирований элементов модели ПрП и ПрИ. В вершинах графа состояний перечислены наборы позиций, в которых одновременно находятся метки-сообщения, полученные для начального маркирования M0. Ориентированные дуги указывают переходы между состояниями системы, а пометки у дуг указывают на переходы t, срабатывание которых вызывает данное изменение состояния.

Пример показывает, что вместо длинных словесных описаний протокола взаимодействия достаточно иметь графическое изображение модели, спецификацию времени и приоритетов, обеспечивая тем самым всю информацию о возможных путях и свойствах процессов.

Пренебречь временными свойствами сети возможно только в том случае, если исключение τ не отразится на структуре переходов диаграммы состояний сети. В данном случае невозможно пренебречь временными характеристиками, не исказив представление возможных свойств объекта.

Раскрашенные сети

Такие сети являются естественной интерпретацией реальных систем, аналогичной многоклассовым сетям с очередями. Однако эти многоклассовые сети не допускают представления эффектов размножения и синхронизации, отражаемых с помощью переходов в сетях Петри.

Метками раскрашенной сети приписывают атрибуты, которые называют цветами. Правила возбуждения переходов дополняются условиями, предполагающими выбор меток определённых цветов из позиций Pre(tj). Срабатывание переходов сопровождается посылкой в позиции Post(tj) меток, с задаваемыми значениями цвета.

t1, t2 - загрузка процессоров; t3, t4 – обработка; t5, t6 - освобождение процессоров P0 - позиция супервизора; P1, P2 - заявки на обработку; P3, P4 - Заявки приняты; P5, P6 - конец обработки; P7, P8 - обработанные заявки; P9, P10 - двоичные семафоры, исключающие запуск занятых процессоров.

Рис. 5.19. Пример раскрашенной сети для двухпроцессорной системы.

На Рис.5.19 приведена модель процессов в двухпроцессорной системе, управляемой супервизором. Множество атрибутов-цветов, связываемых с метками и дугами сети, принято равным С = {λ, C1, C2, C3, C4}. В сети раскрашена метка, имитирующая работу супервизора и дуги, имитирующие последовательность запуска процессоров. Прочие дуги, а также метки-заявки и метки управления не нарушены.

Начальный цвет метки в P0 равен C1 и дуга (P0,t1) окрашена в C1. Поэтому условие возбуждения выполнимо для перехода t1. После срабатывания t1 в P0

метка возвращается, уже имея цвет C2, поскольку дуга (t1,P0) раскрашена в цвет C2.

Раскрашивание дуг обеспечивает возбуждение только одного из переходов, следующих за P0, при любом состоянии системы. При данной раскраске алгоритм работы супервизора представлен последовательностью срабатывания переходов t1, t2 (t3, t4) t5, t6, т. е. происходит запуск первого процессора, затем второго, после чего следует их освобождение и цикл повторяется.

Рис. 5.20. Пример раскрашенной сети: а) – граф алгоритма; б) – биграф алгоритма;

в) – модель мультипрограммного выполнения алгоритмов, представленная раскрашенной сетью.

В примере 2 раскрашенная сеть используется для представления мультипрограммного выполнения алгоритма с ветвями и точкой синхронизации в ВС с процессором и УВВ.

На Пр и УВВ параллельно могут выполняться операторы 2 и 3, завершение которых является условием выполнения оператора 0, что видно из рис.5.20а. Переходы t0 – t3 биграфа (рис. 5.20б) соответствуют вершинам графа на рис. 5.20а. Для отображения точки входа в алгоритм на его биграфе введена маркированная позиция P1, поэтому нулевой вершине графа (рис. 5.20а) поставлены в соответствие переходы t0 и t4 биграфа. При построении сети (рис. 5.20в) учтено, что время выполнения операций t1 и t4 мало по сравнению с остальными. Учитывая также, что действия t0 и t2 выполняются на процессоре, позиции P1 и P5, а также P2 и P6 биграфа совмещены на рис.5.20в и обозначены как P1 и P2. Процессы выполнения алгоритмов представлены движением меток. Раскраска меток двухэлементная, определяющая номер процесса a = {1, 2, 3} и номер этапа обработки C = {C0, C1, C2, C3}.

Из рис. 5.20в видно, что некоторые из дуг раскрашены одним цветом (Ci), другие парой цветов (aCi), третьи не раскрашены вовсе, что учитывается при управлении возбуждением переходов и изменении цвета меток. Заметим, что при раскрашивании парой цветов все эти признаки анализируются или изменяются в комплексе. Например, входные дуги перехода t4 помечены

парами aC2 и aC3, что определяет выбор для синхронизации на t4 процессов с одним и тем же номером a и завершенными этапами обработки C2 и C3

соответственно.Следующий пример (рис. 5.21) показывает изобразительные

возможности раскрашенных сетей по разделению путей данных и управления в УВВ. Данные от двух источников U1 и U2 помечены квадратами в P1 и P3, а сигналы запроса на обработку – кружками в P2 и P4. Запросы принимаются (переходы t1, t2), накапливаются в регистре (позиция P5), выбираются из неё (переход t3) и запускают пересылку данных от источников (P1 или P3) в буфер P7. Метка-треугольник в позиции P8 отражает управляющий процесс, разрешающий выполнение только одной из двух операций считывания t4 или t5. Читателю предлагается самостоятельно разобраться, почему необходимо использовать раскрашенную метку в позиции P8 и на дугах и .

Рис. 5.21. Пример сети с разделением передачи данных

Таким образом, процедура раскраски сети Петри – это модельный способ трактовки различных по характеру реальных элементов:

- в алгоритмах – номера оператора или этапа обработки;- в мультипрограммных системах – номера задачи, её приоритета и

других атрибутов;- для ресурсов – их типа, способы использования и т. п.

Приоритетные раскрашенные сети

В таких сетях приоритетность необходимо определять и по отношению к меткам. Для этого задают отношения приоритетности на множестве цветов и сопоставляют их определённым дугам (Pitj). Правила возбуждения перехода tj

реализуют приоритетный выбор метки для возбуждения перехода на основе значения соответствующего атрибута-приоритета (цвета) метки.

Приоритетные раскрашенные сети адекватно представляют приоритетное обслуживание процессов.

Например, спецификация правил приоритетного обслуживания для модели мультипрограммного выполнения алгоритма (рис 5.20) включает определение отношения порядка (приоритетности) на множестве номеров задач a = {1, 2, 3}. Сопоставление этого правила дугам (P1t0) и (P3t3) указывает на приоритетность выбора процесса для выполнения процессором и объектом управления.

Аналогично задаётся отношение порядка на множестве признаков {●,○}, представленных на рис. 5.21 графически. Правило выбора сопоставляется дуге (P5t3) этой модели.

В приведённых примерах внимание акцентировано на моделировании различных элементов ВС. Вместе с тем, полностью аналогичны им особенности моделей дискретных производственных систем, где необходимо представлять потоки материалов, инструмента, управляющих данных и их взаимодействия с ресурсами управляемого объекта.

5.8. Динамика сетей Петри в пространстве состояний.

Динамика сети описывается следующим рекуррентным уравнением:

Mk = Mk-1+A*Uk, k=1, 2, 3,…. (5.1)

Для вычисления управляющего вектора Uk необходимо определить те переходы tj, которые срабатывают при маркировании Mk-1. Если tj

срабатывает, то uj=1 и произведение A*Uk даёт число меток, добавляемых в позицию Pi в каждом такте.

Условие срабатывания перехода tj и выработки uj=1 представляется логическим уравнением:

i [m(Pi) ≥ I(tj,Pi)] (uj=1) , (5.2)

которое управляет действиями tj.Для генерирования диаграммы состояний сети Петри достаточно

использовать (5.1), (5.2). В теории сетей Петри иногда исходят из того, что не указывают порядок срабатывания переходов, если вектор U задаёт возбуждение нескольких из них в одном и том же такте k. Так в примере при построении дерева достижимости в состоянии M0 вектор управления U1*=(1,0,1), что указывает на возбуждение первого и третьего переходов. При срабатывании t1 сеть перейдёт в состояние M1=(0,1,1,1), при t3 в состояние M5=(2,2,0,0). Однако, если следовать (5.1), то диаграмма состояний

сети имеет вид рис. 5.22в. Итак, если полагать, что все возбуждённые переходы срабатывают вместе, то динамику сети можно представить уравнением (5.1). Если исходить из того, что возбуждённые переходы могут срабатывать только порознь, то уравнение состояний сети будет иметь другой вид.

P P tt 1 2 3 4 t 1 2 3 4 P 1 2 3

1 -1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0A: 2 0 -1 -1 0 I: 2 0 0 0 1 O: 2 0 1 0

3 1 1 0 1 3 1 1 0 0 3 0 1 04 0 1 1

I: T x P → {0,1} - функция следования;O: P x T → {0,1} - функция предшествования.

Рис. 5.22. Построение диаграммы состояний сети

Совмещение первого и второго способов срабатывания одновременно возбуждаемых переходов даст третью диаграмму состояний, являющуюся наложением двух приведённых на рисунке.

Свободное движение сети. В реальных ВС имеется вполне определённый способ управления сменой состояний и присутствует такой фактор как время, что позволяет уточнить уравнение (5.2). Если времена срабатывания переходов одинаковы, то динамика системы моделируется уравнениями (5.1), (5.2), поскольку такая сеть является синхронной. Этих уравнений недостаточно для моделирования асинхронных процессов, для которых времена срабатывания различны.

В этом случае процедуру продвижения меток в сети следует производить в асинхронном времени, введя в модель часы. Если в синхронных системах достаточно вести отсчёт тактов, то в асинхронных необходимо в каждом из тактов определять момент наступления очередного. Интервал времени между

a)б) в)

тактами k и k+1 определяется временем наступления срабатывания одновременно одного или нескольких переходов.

Вынужденное движение сети. Уравнение (5.1) отражает свободное движение сети из начального состояния M0. Вынужденное движение сети определяется вектором-функцией W(t), компоненты которого Wi(t) описывают приход меток в позиции Pi во времени; W(t) может задаваться в моменты дискретного времени k, наступление которых устанавливается моментами переключения состояния сети или внутренними часами.

Уравнение вынужденного движения сети Петри имеет вид:

Mk = Mk-1+A*Uk + Wk (5.3)

Таким образом, введённая здесь последовательность Wk описывает внешний источник меток, представленных входной лентой.

Перемещение ленты для считывания следующей группы меток и ввода их в соответствующие позиции выполняется в асинхронном времени по командам от часов или по сигналам перемещения ленты из самой системы.

Последовательность Wk предназначена для отображения взаимодействий в структурированных сетях, она может отображать последовательные наборы данных, управляющих команд и т. д. Очевидно, что в любом состоянии системы компоненты вектора маркировки не могут быть отрицательными, то есть Mk≥0, Vk. Учитывая последнее, из (5.1) получаем Mk-1+A*Uk≥0.

Последовательность маркирований (5.1) можно выразить через начальную маркировку M0 и вектор счёта срабатываний:

S = { } ; j = 1, 2, 3, …, m. (5.4)

Элемент sj указывает, какое число раз срабатывает переход t в

последовательности маркирований, ведущей от M0 к Мк.Учитывая уравнение (5.4), из выражения (5.1) получаем:

Mk = M0 + A*S. (5.5)

Введя вектор изменения маркирования ΔM = Mk – M0, из уравнения (6) получим:

A*S = ΔM. (5.6)

К нахождению решений данного уравнения сводятся различные задачи практики. Все его возможные решения можно получить одним из методов решения задач целочисленного программирования.

5.9. Методы линейной алгебры для анализа сети Петри

Характеристики сети Петри на основе Р-инвариантовМетоды позволяют на основе математического исследования структуры

биграфа сети и начального маркирования M0 оценить такие качественные характеристики сети как ограниченность, живость и др.

Целочисленный вектор X = { }, i=1,2,…n, являющийся решением линейной системы:

AX = 0, (5.7)

называется Р-инвариантом или Р-циклом.Рассмотрим уравнение (5.5), обе части которого умножим на X*:

X*M = X*M0+ X*A*S. (5.8)

Известно, что AX = X*A*, поэтому из выражения (5.8) с учётом (5.7) получим:

X*M = X*M0 , (5.9)

из которого следует, что любой Р-инвариант характеризует все достижимые маркирования сети с позиции сохранения некоторых свойств процессов.

Если обозначить X*M0 = K0, где K0 - постоянная величина, то свойство инвариантности сети представимо в виде отношения-равенства:

X*M = K0 = const . (5.10)

Вектор Х называют Р-инвариантом, поскольку он определяет некоторое из свойств распределения меток по позициям Pi.

Фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений (5.7) называют такую их совокупность, через которую линейно выражаются все остальные решения. Если ранг матрицы А равен числу неизвестных (r = n), то система (5.7) имеет только нулевое решение.

Если r < n, то система (5.7) помимо нулевого имеет бесконечное множество других решений, причём фундаментальная система состоит из (n - r) векторов Х. Ранг n m - матрицы А = || aij || равен наивысшему порядку отличного от нуля определителя, полученного вычёркиванием n - r столбцов и m - r строк из матрицы А.

Таким образом, все инварианты Х для маркирований сети можно получить из n - r базисных решений. Объединив записанные в виде векторов-

строк решения фундаментальной системы, получим матрицу инвариантов или базисных решений В. Тогда для любого достижимого маркирования аналогично равенству (5.10) имеем:

BM = BM0 = K0 . (5.11)

Если все компоненты Р-цикла неотрицательны, его называют Р-цепью. Полная Р-цепь – это Р-цепь, все компоненты которой положительны. Сеть Петри инвариантна, если для неё существует полная Р-цепь. Полная Р-цепь включает в себя все позиции сети.

Инвариантная сеть Петри является ограниченной. Докажем это. Пусть Х – полная Р-цепь. Тогда X*M=K0, т. е. взвешенная сумма меток по всем

позициям - ограниченная. А поскольку xi положительные и вся

сумма ограничена, то и маркирования всех позиций сети ограничены.

Характеристики сети Петри на основе t-инвариантов

Рассмотрим следующую группу характеристик, получение которых основывается на вычислении t-инвариантов (или t-циклов).

Целочисленный вектор Y называется t-инвариантом, если он является решением линейной системы:

A*Y = 0 . (5.12)

Если значение t-инварианта подставить в уравнение (6) вместо вектора счёта срабатываний S, то окажется, что

M = M0 + A*Y = M0 .

Отсюда следует, что если Y≠0, то сеть устойчива, т. е. после ряда переключений она возвращается в исходное состояние M0. Устойчивость процессов связана с их циклической повторяемостью, начиная с состояния M0. Заметим, что среди решений системы (5.12) могут быть такие векторы Y, компоненты yj которых отрицательны.

Полная t-цепь – это t-цикл, все компоненты которого положительны. Полная t-цепь включает в себя все переходы сети. Если сеть имеет полную t-цепь, то она жива при любом начальном маркировании, поскольку в цепи маркирований от M0 до М= M0 срабатывают все переходы.

Таким образом, по устойчивости процессов и значению t-инварианта можно определить живость сети: если сеть жива и ограничена, то она инвариантна и устойчива.

Обнаружение тупиковых состояний.

Используя уравнение (5.2), условие возбуждения перехода tj можно представить в виде:

n n∑ I(tj,Pi)m(Pi) ≥ ∑ I(tj,Pi),i=1 i=1или учитывая, что I(tj,Pi) = O*( Pi , tj),n n∑ O*( Pi ,tj)m(Pi) ≥ ∑ O*( Pi ,tj). (5.13)i=1 i=1Для краткости будем использовать векторную запись условия

возбуждения переходов:

O*M ≥ O*E, где Е – единичный вектор.

Условие (5.13) объясняется следующим образом: если некоторая компонента j левой части при данном маркировании М равна соответствующей компоненте правой части или больше её, то переход tj

возбуждается.Поскольку множество достижимых маркирований R(N) должно

удовлетворять (5.10), то отсутствие возбуждаемых переходов для M R(N) следует определять из решения системы:

BM = BM0 ; O*M = O*E – E. (5.14)

Если эта система имеет решения, то некоторое её маркирование является тупиком. Заметим, что отношению (5.11) могут удовлетворять недопустимые маркирования, поэтому решением системы (5.14) также могут быть недопустимые маркирования, хотя все допустимые тупики удовлетворяют ему.

Таким образом, система (5.14) – достаточное условие того, что маркирование М тупиково.

Для анализа тупиков можно также использовать систему:

M = M0 + A*S ≥ 0;O*M ≤ O*E – E,

или

M0+ A*S ≥ 0;O*AS ≤ O*(E - M0) – E, (5.15)

если в число исходных данных входит известный вектор счёта срабатываний S. Таким образом, не совместимость системы (5.14) или (5.15) свидетельствует об отсутствии маркирования M или вектора счёта срабатываний S, которые ведут к тупику из M0 .

Рассмотрим на простых примерах возможности изложенного подхода. Для сети на рис. 5.22а согласно уравнению (5.7) Р-инвариант Х является целочисленным решением системы:

- x1+ x3 = x2 + x3 = x1 + x2 – x4 = 0.

Ранг матрицы А системы АХ=0 равен трём, поэтому данная система имеет одно целочисленное базисное решение, вектор-строка которого X* = (1, -1, 1, 0). Подставив Х и M0 в равенство (5.11) BM = BM0 = K0, получим условие, верное для любого достижимого маркирования:

M = (m1, m2, m3, m4) : m1 – m2 + m3 = 0 или m1+m3 = m2 .

Из последнего условия виден смысл инварианта: сумма числа меток в позициях P1, и P3 и число меток в позиции Р2 равны для любого достижимого маркирования сети. Этот инвариант верен здесь для диаграмм состояний (рис. 5.22 б, рис. 5.22 в), соответствующих разным правилам управления срабатыванием переходов. Вывод об ограниченности сети по данному значению Х сделать нельзя.

Вычислим t-инварианты Y. Из системы (5.12) получим систему уравнений:

- y1 + y3 = - y2 + y3 = y1 - y2 = - y3 = 0.

Система имеет только нулевое решение Y* = (0, 0, 0), поэтому в данной сети не существует маркирований, связанных циклами на диаграмме состояний. Маркирование М совпадает с начальным, только если не срабатывает ни один из переходов сети, поскольку все компоненты вектора Y нулевые. Иначе говоря, поскольку Y=0, то последовательность состояний сети не имеет возвратов, что подтверждается диаграммами состояний.

В связи с полученными особенностями целесообразно определить, имеет ли тупик указанная невозвратная последовательность маркировок. Система уравнений (5.14) имеет вид:

m1 - m2 + m3 = m1 = m4 = 0;m2 + m3 + m4 = 2.

Система совместна, и ей удовлетворяют любые маркирования, которые имеют m1=0; m2= m3; m4=0. Тупиковыми, например, являются маркирования М=(0110), М=(0220) и т. д. Таким образом, сеть номер два не является безтупиковой при M0=(1101).

Рассмотрим ещё один пример анализа.

А=

Ранг матрицы А равен двум, поэтому n-2=1, т. е. в фундаментальную систему решений однородной системы АХ=0 входит один вектор Х. Распишем систему АХ=0:

x1 – x3 = x2 – x1 = x3 – x2 = 0.

Взяв её целочисленное решение X*=(1,1,1), получим условие инвариантности для позиций:

X*M = X* M0 = m1 + m2 + m3 = 1.

Интерпретация полученного результата состоит в следующем: сеть

ограничена, поскольку , и, более того, - безопасна, поскольку

суммарное число меток в сети не превышает 1. Для вычисления t-инварианта рассмотрим систему:

y1 – y2 = y2 – y3 = y3 – y1= 0,

из которой найдём Y*=(1,1,1). Поскольку Y≠0 - сеть устойчива, т. е. процессы в ней периодически повторяются. Поскольку t-инвариант Y охватывает все переходы, так как все yi=1, то сеть жива. Система уравнений (5.14) для данной сети:

m1 + m2 + m3 = 1;m1 ≤ 0; m2 ≤ 0; m3 ≤ 0.

Поскольку она несовместна, делаем вывод, об отсутствии тупиков в данной сети.

Применив описанный подход к анализу следующей сети: можно убедиться в том, что она живая, неограниченная и беступиковая.

1 2 31 1 0 -12 -1 1 03 0 -1 1

Определение количественных характеристик сетей

Для определения количественных характеристик сетей можно использовать различные методы теории графов и классического сетевого анализа. Ранее для сетей Петри рассматривались два подхода: через построение дерева достижимости и матричные методы анализа (линейная алгебра).

Для временных сетей, когда с каждым переходом связано время , важной характеристикой является время перевода сети из состояния М0 в М. Для этого на дереве достижимости можно отыскать соответствующий путь с вектором запусков счёта срабатывания , переводящих сеть из состояния М0 в состояние М. Тогда время перевода сети из состояния М0 в состояние М определится суммой:

, где - компонента вектора S для перехода tj (число

срабатываний перехода tj).

В случае параллелизма в срабатывании переходов оценка времени перехода от М0 к М усложняется.

Оценка времени на пути из М0 в М позволяет изучить свойства системы путём сравнения их с заданными, обеспечение которых необходимо, например, из условий режима реального времени. Общее решение задачи об эквивалентности сетей Петри и временных сетей неизвестно. Отношение эквивалентности выражает в некотором смысле тождество строения. Эквивалентные – это «одинаково устроенные» сети. Исключение из рассмотрения времени и переход к анализу невременных сетей имеют двоякие следствия.

С одной стороны, исключение времени как параметра усложняет диаграмму состояний и увеличивает множество допустимых маркирований. Диаграмма состояний временной сети вкладывается в диаграмму для невременной сети. В связи с этим при исследовании сетей на основе изучения множества их состояний задача анализа может усложнятся. Но с другой стороны, если невременная сеть беступиковая, живая и т. д., то гарантировано сохранение этих свойств и во временной сети Петри. Таким образом, идя на усложнение постановки задачи путём исключения времени,

можно всё же обеспечить использование методов линейной алгебры и уравнений состояния для изучения качественных свойств систем.

Анализ свойств раскрашенных сетей

Раскрашенная сеть характеризуется следующим множеством элементов:

CN = { N, C, F, C M0 },где: N = { T, P, I, O } – биграф; C = { X, R }, X = { λ, с1, с2, …, сL } = { сr} – множество

раскрашивающих цветов или других признаков, включающее элемент λ, обозначающий «отсутствие цвета»;

R - бинарное отношение на множестве цветов Х, (чаще всего это отношение эквивалентности или равенства цветов);

F: А Х – отображение множества дуг биграфа N на множество цветов, дающее раскраску дуг: сij

S - цвет s-ой дуги aijS биграфа, направленной

из вершины i в вершину j; С М0 – начальное цветное маркирование сети.В сети также раскрашиваются метки. Если – множество цветных

меток, то цветное маркирование сети характеризуется парой отображений:

CM: { P ; Х },

первое из которых указывает на размещение меток по позициям, а второе - на цвет этих меток. Факт размещения метки m в позиции Pi

обозначим ( m Pi ).Условимся, что метка m, имеющая цвет c(m), может принять участие в

возбуждении перехода tj, если пара ( c(m),сijS ) удовлетворяет заданному R-

отношению на множестве цветов. Если R-отношение равенства, то метка (mPi) может участвовать в возбуждении tj при условии что c(m) = сij

S (т. е. когда цвет метки равен цвету дуги aij

S). Для возбуждения перехода tj

необходимо, чтобы по всем входящим дугам могли пройти метки соответствующего цвета из позиций Pi , являющиеся предшественниками перехода tj .

Логическое уравнение, описывающее условие возбуждения перехода tj, имеет следующий вид:

∀ Pi Pre(tj) ∃ m Pi [ R(с(m), сijS) = 1] u(tj) = 1,

иначе u(tj) = 0.

Итак, если переход tj возбуждён (u(tj) = 1), то происходит его срабатывание и возбуждавшие метки из позиций Pre(tj) при этом изымаются, а позиции Post(tj) пополняются метками, цвет которых принимается равным цвету дуг, проходящих из tj в позиции Post(tj).

Для отображения цветного маркирования условимся представлять его в следующем виде:

CM = | m1 … mi … mn |*,

где: * - операция транспонирования; mi = | mi

1 mi2 … … mi

L |, причём mir - число меток r-го цвета в

позиции Pi.Динамика меток в раскрашенной сети характеризуется матрицей

инцидентности Д, элементы которой dij представим в виде векторов-строк длиною L:

dij = | dij1 dij

2 … dijL |, (5.16)

где L - число раскрашивающих цветов.

Значения dijr задаются следующим образом. Если метка цвета r

потребляется переходом tj из позиции Pi при срабатывании tj, то dijr = -1; если

метка цвета r поступает в Pi из tj , то dijr = 1, и, наконец, в отсутствии этих

действий dijr = 0.

Эти же условия можно сформировать по другому. Если позиция Pi имеет исходящие дуги цвета r в переход tj, то dij

r = -1; если имеет входящие дуги цвета r, то dij

r = 1, и если не имеет инцидентных дуг цвета r, то dijr = 0.

Динамику продвижения меток по раскрашенной сети можно описать уравнением состояния:

CMk = CMk-1 + D*Uk , (5.17)где CMk - состояние, в которое переходит раскрашенная сеть из CMk-1

под действием управляющего вектора Uk = | ujk |, компоненты которого

1, если в k-ый момент срабатывает переход tj ;ujk= 0, иначе.

Р-инварианты. Введём в рассмотрение инварианты раскрашенной сети, подобно тому как это сделано в сети Петри. Р-инвариант найдём из решения линейной системы:

DV = 0 , (5.18)где V = | Vi | - целочисленный вектор-столбец, компоненты которого

имеют вид:

Vi* = | vi1 vi

2 …. viL | .

Учитывая уравнение (5.1), находим:

V*CM = V*CM0. (5.19)

Итак, подобно уравнению (5.9) для сети Петри, уравнение (5.19) для раскрашенной сети описывает инвариантность в её маркированиях.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений имеет n – rL решений, где n - число позиций сети; r - ранг матрицы Д; L - мощность множества цветов Х. Объединив их в матрицу СВ, получим уравнение, аналогичное уравнению (5.11):

CB CM = CB CM0 = K0 .

T-инварианты. Решение линейной системы:

D*W = 0 , (5.20)

даёт t-инварианты W, где W = | Wj | - целочисленный вектор-столбец, в котором

Wj = | Wj1 Wj

2… WjL |.

Условие существования тупиков в раскрашенной сети находится из анализа системы:

CB CM = CB CM0 ;CO*CM ≤ COE’ – E, (5.21)

подобно тому как это выполняется для сети Петри. Здесь CO* - матрица аналогичная O*, расширенная в пределах каждого элемента по принципу (5.16):

1, если существует дуга из tj в Pi, раскрашенная цветом r;COij

r = 0, иначе,

COij = | COij1, COij

2, … , COijr ,…, COij

L |,

Е’ – единичный клеточный вектор, компоненты которого ej’ представлены наборами из L единиц.

Итак, с математических позиций анализ раскрашенной сети и базовой сети Петри подобен. В случае раскрашенной сети, однако, действия выполняются на уровне клеточных матриц и векторов.

Рассмотрим простой пример для уяснения методики расчёта динамических свойств раскрашенных сетей.

Рис.5.23. Примеры раскрашенных сетей

В изображённой на рис. 5.23а сети, описывающей взаимодействие двух процессов, обозначенных метками (□,○), протокол взаимодействия предусматривает порождение нового процесса (●), а затем возврат к исходным.

Каждому цвету из множества Х = (□,○,●) сопоставим числа r = 1, 2, 3. Тогда элементы матрицы Д = || dij ||, где i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4, 5, равны:

d11 = d22 = | -1 0 0 |; d23 = | 0 0 1 |; d12 = d31 = | 1 0 0 |; d33 = | 0 0 -1|;d35 = d44 = | 0 1 0 |; d24 = d45 = | 0 -1 0 |,а другие dij = | 000 |.

Вектор начального маркирования СМ0 = | m0i | представлен компонентами:

m01 = | 100 |; m02 = m03 = m04 = | 000 |; m05 = | 010 |.

Уравнение состояния (5.17) здесь имеет вид:

m1 m1 d11 d21 d31 d41 U1

m2 m2 d12 d22 d32 d42 U2

m3 = m3 + d13 d23 d33 d43 * U3

m4 m4 d14 d24 d34 d44 U4

m5 k m5 k-1 d15 d25 d35 d45 k

Рекуррентное решение данного уравнения позволяет моделировать динамику состояний сети.

a) б)

Найдём Р-инвариант сети V* = | V1V2V3V4V5 |, где Vi* = | vi1 vi

2 vi3 |. Для

этого нужно решить систему (5.18). Ранг матрицы Д равен 1, следовательно фундаментальная система имеет одно решение, так как n – rL = 1. Распишем систему уравнений (5.18) для данной сети:

v11 = v2

1; v33 = v1

1 + v52;

v33 = v2

1 + v42; v4

2 = v52 .

В качестве инварианта можно взять клеточный вектор-столбец с компонентами V1* = V2* = |100|; V3*= |003|; V4* = V5* = |020|, удовлетворяющий приведённой однородной системе линейных уравнений. Затем вычисляем произведение:

V*CM0 = | V1* V2* V3* V4* V5*|| m1* m2* m3* m4* m5*|0 = 3,

и условие инвариантности: 5VCM = | Vi* || mi* |* = ∑ Vi* mi* = m1

1+ m21 +3m3

3 + 2m42 + 2m5

2 = 3. i=1Верхний индекс здесь указывает цвет метки, а нижний – позицию. В

рассматриваемом примере возможны следующие варианты распределения меток по позициям и их цветности:

m11+ 2m4

2 = 3; m11+ 2m5

2 = 3; m21 + 2m4

2 = 3;m2

1 +2m52 = 3; 3m3

3 = 3.

Из условия инвариантности, содержащего в правой части константу 3, следует ограниченность сети.

Решив систему (5.20), можно установить, что данная сеть живая и устойчивая. Элементы матрицы СО равны:

CO11 = CO22 = | 100 | ; CO42 = CO54 = | 010 | ; CO33 = | 001 |;

а другие COij= | 000 |. Система (5.21) здесь имеет вид:

m11+ m2

1 +3m33 + 2m4

2 + 2m52 = 3;

m11 ≤ 0; m2

1 + m42 ≤ 1; m3

3 ≤ 0; m52 ≤ 0.

Данная система не совместна, а, следовательно, исследуемая раскрашенная сеть не имеет тупиков.

Изменим раскраску на дуге (t3,p5) и примем новое начальное маркирование как показано на рис. 5.23б.

На основе вычислений можно установить, что приведённая сеть – ограниченная, живая, однако тупиковая, поскольку системаm1

1+ m21 +3m3

3 + 2m42 + 2m5

1 + 2m52 = 3;

m11 ≤ 0; m2

1 + m42 ≤ 1; m3

3 ≤ 0; m52 ≤ 0,

совместна. Тупиковое маркирование описывается вектором СМ = | (000) (100) (000) (100) (000) |.

«Обесцвечивание» сети, т. е. переход от раскрашенной сети к базовой сети Петри может привести к потере и искажению информации о протекании процессов в сетевой модели. Так, если выполнить «обесцвечивание» приведённой сети, то расчётами можно установить, что её инвариант станет равным m1 + m2 + 3m3 + 2m4 + 2 m5 = 3, т. е. произошло как бы «обесцвечивание» инварианта сети, приведённой на (рис. а), а не на (рис. б). Но самое важное состоит в том, что «обесцвеченная» сеть – беступиковая, хотя исходная раскрашенная сеть имеет тупик. Искажение такого важного свойства при упрощении модели указывает, что для обеспечения достоверности проектного анализа при исследовании раскрашенных сетей недопустим переход к «обесцвеченной» сети.