,i**}slw'%, deq.*#

uAfrffi&s gss$pffiffissmtruG

KGFdFHRET{SI NASIONAI P€NDIDIKAN IV1ATENfiATIKA III

Medan, Kamis * Sabtu, 23 - 25 iuli 2009

Editor: Hasratuddim

sFITE€RASI TEKruSLOGI IruFORMAT!KA DAru KOMPUTER {T!K}

DALAIV! B€LAJAR MATEMATIKA: MENUJU PEMBELA,IARAN

N'XATEMATIKA UIUTUK SEMUA ilCt NTEGRATION ,J\I LEARNING

MATHEM&TJ€$; TOWAftDS MATHEMATI€S [fAFN'ruG FOR ALL}

Siterbitkan oleh:

Uraiuersltas Negeri Medan {UNIMEFSBekerjasama dengan

Hlnrupunan Matematika lndanesia {lndoM5,}

Editor

Hasratuddin

Tebal Buku

543 hal

Penqrbit

- Universitas Negeri Medan (UNIMED)

Cetakan Pertaffi?, 2010

rsBN 978-502-8848-48-0

Tim Penilai Makalah (Reviewer)

l. Prof. Dr. Zulkardi(Jnsri)

2. Prof. Dr. Budi Nurani (Unpad)

3. Dr. Ch. Rini Indrati (UGM)

4. Dr. Mashadi (Unri)

5. Prof. Dr. Edy Tri Baskoro (ftB)6. Dr. Tulus, M.Sc. - USU

7. Dr. SutartoHadi (Unlam)

8. Dr. Rahmah Johar, lvlpd. (Unsyrah)

9. Prof. Abdurahman Ashari (JM Malang)

10. Angie Siti A S.Pd. (Jakarta)

11. Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Sc. (UpI, Bandung)

12. Prof. Dr. Ahmad Fau?n (UNp, padang)

13. Dr. Marwan Ramli (Unsyiah)

14. Ida Karnasih, M.Sc, ph.D. (UNIMED)

15. Prof Dr. Sahat Saragih, M.pd. (LINIIr/ED)

16. Prof, Dr. Asmin, M.pd. (UNn\iED)

17. Dr.Bornok Sinaga, M.pd. (tjNiMED)

18. Dr. Stanley Dewanto, M.pd. (UNPAD)

KATA PENGANTAR

Puji syuku'.s-tu.panjatkan .\..p"g Tuhan yTq y:-hr Kuasa, aras karuniaNyaProsiding Konferensi Nasionai Pendidikan Matem;tiku m ini akhirnya dapatdiselesaikan.

Koriferensi Nasional Pendidikan Matematika trI ini merupakan kegiatan rutin yangdiselenggarakan oleh Himpunan Matematika tnoonesia tiup iur "nL

Kegiatan inimerupakan media bagi pendidilg matematikiawarl p"n"riti dan pemerhati matematika untukmengkomunikasikan kegiatan ilrniah serta untuk *#ngkuttun kerjasama para peserta.

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III mengambil tema Integrasi TeknologiInformatika Dan Komputer (Tik) dalam nrr4* rra1"-atika: Menuju pembelajaranMatematika untuk Semua (a Integration In Leaiing Mathematics: Towirds MathematicsLearning For AII) I o

Tujuan KNPM III ini untuk lnenledjakan sebuah forum peneliti, guru, pendidik,dosen' mahasiswa dan siswa untuk berbagi.ia., Lrrt"munikasi^dan berdiskusi tentangpenemuan baru pemberajaran matematika di-berbagi i.tnput di Indonesia dan dunia. Forumini juga bertujuan- meningkatkan eksplorasi terhJJap-p".rukuru' ide matematikawan danuntuk menambah aktivitas ilmiah di wiiayah surut.rufuLru irri.

ropit diskusi dalam konferensi ini antara lain: Reformasi kurikulum dalam konteksbudaya yang berbeda' Penilaian rlalam Pendidikan Matematika, pembelajaran Matematikatingkat sD' sMP dan sMA/sederajat, P;t"Gjurul*turur"matika eeibahasa Inggeris,Pendidikan Guru dan Pengembangan Kemampuun irof.rional Guru dan Dosen Matematika,Integrasi ICT dalam PembelaJaran _Matematika,

pemecahan Masalah Matematik4Pembelajaran Pola. Berpikir Tingkat Tinggi dalam Matematika, penelitian pendidikanMatematika'Juga disediakan topik-khusur yuitu Forum Guru agar guru dapat berbagi danberdiskusi membahas pengalaman belajar aan pemberu.iu*n di kelas.-*

Kegiatan KNPM-3 yang lain diantaranya dalam bentuk perlombaan Jeperti LombaPembuatan cD Pembelaiaran trrtatemattta *td g,r* dun mahasisw4 Lomba Cipta KreasiPantun Matematika untuk siswa semua trngkatatidan tomba Cipto Kreasi Cerita pendek,Humor, Anekdot tentang "G(JR(J ptarnu,qnr,q.ku,, *tut masyarakat umum.

Akhirnya, kami mengucapkan terim4kasih kepada semua pihak yang telah ikutberpartisipasi atas oenyetenglat;n Konferensi Nurioiaipendidikan tutut"m-atitu ini sehinggaberhasil dengan udt-t1,1,11ty" k p"d" Pemerintah provinsi sumatera utarq Bapak ReklorLINIMED' Presiden lnfoM-s' steetini committee serta semua panitia yang telah bekerjakeras dalam mensuksestan tegiatan i;.Sebagai manusia yang tak luput dari hilaf dan salah, bila ada kelemahan dankekurangan atas penyel.nggi*n rinr"."nri ini, kami mohon maaf

Medan, 12 Septembe 12010

[iditor

Prosiding Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

DAFTAR ISI

Halaman Judul ........ i

Editor

Tim penilai makalah

Kata pengantar ......... iv

MAKALAH UTAMAThe Effective Use of ICT in the Mathematics Classroom ............. ................. ICheah Ui HockICT dalam Pendidikan Matematika................Zulkardi"Thinking Classroom". Dalam Pembelajaran Matematika Di Sekolah 3'-

Jozua Sabandar"Six ways to amaze - using dynamic images in your mathematics teaching!" .................. l7Douglas ButlerApplication of Research in an intervention study: Development of modulesthat support primary mathematics learning focus on at risk students. 19

Munirah Ghazali,Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI)..... 28Y. MarpaungThe Importance of Relational Algebraic Thinking............ ............ 39Max Stephens ; Dian Armanto; Mailizar

MAKALAH PARALEL -;Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP MelaluiPembelajaranKonteksfualPesisir:Ana1isisDataAwalPenelitian......'.....*....'..............'..58Kadir, Wahyudin, Yaya S. Kusumah, danJarnowi A. DahlanSituasi Didaktik dalam Pembelajaran Matematika Berbasis Masalah.... ......... 69E. Elvis NapitupuluMengembangkan Kemampuan Pemahaman Dan Komunikasi Matematis SiswaSekolah Menegah Pertama Melalui Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah ........... 76Asep lkin SugandiHubungan Antara Abstraksi, GayaKognitif dan Pemecahan Masalah Matematika....... 83Binur Panjaitan, M. PdPengembangan Etnomatematika Dalam Suku Dayak Kanayat'n Di KalimantanBarat (Suatu Upaya Pengembangan Pembelajaran Matematika Di Sekolah Dasar) ......... 84Edy TandililingMeningkatkan Hasil Belajar Dan Allivitas Belajar Siswa Melalui PembelajaranKooperatif Tipe TAI (Team Assited In Dividualization) dalam pokok bahasanbentuk aljabar Di Kelas VIII SMP Negeri Bandung... ...........,...... 85Faiz AlryaningsihStrategi Mathematical Habits of Mind (Iff{I{) untuk MengembangkanKemampuan Berpikir Kreatif Matematis....... .............. 86Ali Mahmudi, {Jtari Sumarmo

flrr

1,,i

"r);:";:;W:fs Dalam pembelajaran Matematika-............... ................... e5

Matematika Islami Sebagai Model Pendidikan Matematika yang BerorientasiIntegrasi Keilmuan. ........... ..H.M Ali Hamzah -....... 96

silver Inquiry Learning Model to Development Mathem atrcalcreativityand Disposition Students SeniorHigh S"h";i;......__...:--... ...:.............. ........ 97Hj. Sri WardaniPenerapan Model

femberajaran sibemetik Dalam Meningkatkan KemampuanBerpikir Kritis Mahasiswa pendidikan Matematika. _. :Fahinu ..-..-...... 98Rancangan pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar untuk siswa sMADengan Pendekatan Open-Ended.........Abdurrohim, Janson Na iborhu,Pembelajaran dengan pendekatan Teori Apos untuk Meningkatkan pemahamanSiswa pada Materi Fungsi di Kelas XI SMA N"g..i i nunOa Aceh...... .......... 100Mukhlis HidayaPembelajaran Matematika Realistik.Akden Simanihurukvaliditas Konstruk Inskumen skala sikap Diferensiar semantik TerhadapKalkulus ......Gaguk Margono & Ratu Amilia Avianti

Y:i:t;;: ffi stokastik untuk Menvel esaikan Problema optimi sasi porrofolio. ...... . . . .

Pembelaj aran Heuristik Dengan Pendekatan Multicultural Sebagai pencitraansuatu Bangsa Daram pemberajaran Matematika BermaknaEuis Eti RohaetiMetakognisi Dan Hasil Belajar Matematika Dalam pemberajaran MatematikaKAdif-r--'tuJqrattlvr<ltslllil[IKd--'-'-.....'....

Efektifitas Media s"Iyr Autograph p:dl l.glelajiran Matematika denganmenggunakan Metode Kooperatii np. Thin!-pair sir"r, ai

i;:,H#:;engahPertami........... ._..... ."Manajernen Penilaian Dalam pendidikan Matematik a .......Martua Manullang """.':'.--...

101

t07

t2t

122

134 -

154

155

Asesmen Terhadap.Interaksi Yuog Terjadi Pada pembelEaran Matematika DenganPendekatanRealistikDiSekolah6^;;.....--..:..:-:....'.Rini SetianingsihPembelajaran Kooperatif Tipe Teams-Games-Tournamenrs (TGT) GunaMeningkatkan Prestasi nelajar Mahasiswa statirti[u rraut"*atika programStudi Pendidikan Matematika FKIP UNTIRTA ........ . _-Nurul Anriani

v^!-u\r:!"""""""" """':","""'...-... 157

Pengembangan Materi Integrar untuk selorarr {enengah Atas (sMA)Menggunakan Pendekakn Fendidikan Matematik" R;;iirtik Indonesia (pMRI)Di Palembang... .......

Misdalina, zuttcarai dan purwoko -....-.. 158

Memupuk Cinta Matematika Sejak Usia Dini .Anita yus vvr*.-.rr ......-.-.-. 170

I(onfu*nri N"rionul p".4idikuo M"tematika III 2009

Prosiding Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 20092009

-Analisis Penalaran dalam Ujian Nasional Matematika SMA/IUA Program IPA........... .... l7LBabudin dan JulianaPembelajaran Berbasis Masalah pada Topik Furgsi Di SMP Santa Laurensia,

Serpong, Tangerang ............-....

Theia KurniawanSome Middle School Students Common Misconceptions on Linear Expressionsand the Strategies for Overcoming TheseIwan PranotoRancangan Pembelajaran Sistem Persamaan LinierDua Peubah Untuk SiswaSMP Dengan Pendekatan Konstruktivisme ......... ........ 186

Walryono Hadi Sus ilo, Janson NaiborhuBayes Estimator On Multipriod Forecast Of Arma Model UnderNormal-GammaPrior ............... 195

Zul AmryStrategi Penyelesaian Masalah Soal Cerita Matematika Penjumlahan DanPengurangan Murid Kelas Dua di Medan,IndonesiaMara Samin LubisPenerapan Pembelajaran Kooperatif Pendekatan NHT dan TSOS Untuk MeningkatkanHasil Belajar Matematika Siswa Kelas X3 SMAN 2 Pekanbaru ... 207Rini Dian Anggraini dan Rini GusmulyaniPercakapan matematika (mathematical discourse) ..... 208Endang WahyuningrumKalkulus Untuk Statistika .................. ....... 20gMulyanaBeberapa Penyelesaian Persamaan Polinom untuk Guru Maternatika Sekolah ................ 210JailaniRevolusimatematikadibidanginferensiastatistikaparametrik" Eri SatriaPerancangan desain instruksi dan soal sesuai variasi Individu siswa padapokok bahasan sistem persamruul linear .... 218Eko Kurnianto WI), Iwan Pranoto2)Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA ITB ..... ZtgA.Muchlis, Edy f.Baskoro,I. Pranoto, J. Naiborhu, Saladin (J., Y. Soehnryadi.Modeling Risky Bonds With Utility Function Approach .............. 220Hamidah NasutionPengetahuan Guru dan Pemabaman Siswa terhadap Pembelajaran Matematika.......... ..... 221Andrianto Iriana Arwar, Jonson NaiborhuPenarapan Matematika dalam Sistem Asuransi .......... 222Rina Filia SariBelajar Matematika dalam Pembelajaran Berbasis IMPROVE .... 223Stanley DewantoPengembangan Perangkat Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS untukMeningkatkan Kualitas Perkuliahan Aljabar Abstrak . 224I Made ArnowaKemampuan Spasial Siswa SMP Melalui Aktivitas Belajar Geometri .......... 225Edi SyahputraPembelajaran Rekacipta Mundur Segi Empat Dengan Pendekatan Teori Van Hiele ....... 226Nurdin, Janson Naiborhu

lroslllngKo_nferensi Nasional pendidikan Matematika I I I z 0 0 9

Analisis Data Longitudinal dengan Respon Biner AntaraRegee dan Regresi probit ...... 227Zulkifli MatondangImplikasi Konflik Kogrutif Terhadap Retensi Pengetahuan Matematika Siswa ............ 2ZgEty Tejo Dwi CahyowatiPemecahan Masalah Matematik Dalam Matematika Realistik ...... 234Sugimon, Yaya S. Kusumah, danJozua SabandarMeningkatkanKecerdasan Visuat-spasialAnak Melalui Mediapembelajaran Tangran.242Muliawan FirdausIntuition in Mathematics Problem Solving . 243Aan HasonahPengembangan Kemampuan BerpikirMatematik dengan Metode Moore Termodifikas i...251Rippi MayaKemampuan Guru f91sel9ungkan

perangkat pemberajaran yang DapatMembangun Interaksi Multi Arah .........I Nengah Parta

4 Dr rvrurLr tuarl """"' """' 258

Pembelajaran Kombinatorika Dengan Pendekatan Matematika Realistik pada

Y:#'#,Hit'?,\r-;;:im;;ii - - ztz

Peningkatan Penalaran Dan Komunikasi Dalam Menyelesaikan Soal Cerita DenganPendekatan RME .... Z7gRini NurhakikiPloblem solving Approach problem solving Is An Important Component ofMathematics Education. ........... .................. Zg2EIla Andhany, Eis Sri WahyuningsihPeningkatan Pemahaman Matematika Dan Aktivitas Belajar MelaluiPenerapan RME Pada Siswa SD ........... ..... 2g3Hepsi Nindiasari

Penerapan Strategi Sqrqcq dalam Tatanan Kooperatif Struktural TSOS untukMeningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas XII-IPS I SMAN 2 Benai ........... 2g4Susda HeleniFaktor-Faktor Yang Mempengaruhi proses Beryikir siswa_DalamBerinteraksi Pada Pembelaj aran Matematika ....... .....Rini SetianingsihKecerdasan Emosional Dalam pembelajaran MatematikaHosratuddin

aJaran rylatemauKtl """"""" 296

Mengembangkan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat Tinggi MelaluiPembelajaran Berbasis Masalah Dengan setting trooperatif ripeligsaw ...... 302Asep lkin SugandiMengembangkan Keyakinan (Bel iefl terhadap Matematika melalui pembelajaranBerbasis Masalah ..... 303Dj amilah Bondan Widj aj ant iFengelolaan Pengguanan Media permainan Matematika sebagai SumberBelajar Yang Inspiratif Dan Menarik Di Tingkat SekolahDasar . 304H. BanjarnahorModel Pembelajaran Cooperative Leaming yang Digunakan pada TingkatSMP Pada Pembelajaran Matematika............... ............. 305Reva LindaMengoptimalkan Fungsi Otak Siswa melalui Pembelajaran Matematika Realistik.......... 306

009--i

SomakimPotensial Efek Pelatihan Pmri Terhadap Guru-Guru Matematika Di Sumatera Selatan 316Ratu llma Indra PutriPenerapan Pembelajaran Kooperatif Tipe "Savi" Berbasis Kontekstual DalamllpayaMeningkatkan Prestasi Belajar ....... 317Rilrn WahymiDifusi Inovasi Pendidikan Matematika Realistik melalui Lesson 5tudy......... .. 325Dj am il ah B o ndan Wi dj aj ant iSelf Regulated Learning Dalam Pembelajaran Matematika .............. ............ 326Sri Hastuti NoerAktivitas Siswa Madrasah Ibtidaiyah dalam Pembelajaran Matematika ........ 333Maifalinda Fatra dan KhanifahPengaruh Pendekatan Apos (Action-Process-Object-Schema) dalamPembelajaran Kalkulus Pada Mahasiswa Calon Guru......... .........334Sugeng SutiarsoMeningkatkan Kemampuan Guru Matematika Melaksanakan PenelitianMelalui Lesson Study........FirmansyahRancangan Pembelajaran Transformasi Untuk Siswa SMA DenganPendekatan Teori Belajar Van Hiele. ......... 341Agus Muslim, Janson NaiborhuRancangan Pembelajaran Trigonometri Untuk Siswa Sma Dengan PendekatanCooperative Learning Tipe Jigsaw ............. 342Kusnawan, Janson NaiborhuPengaruh Pengunaan Model Pembelajaran ATI (Aptitude Treatment Interaction)Terhadap Hasil Belajar Siswa Pada Pokok Bahasan Segitiga Di Kelas VII SMPNegeri 2KotaBengkulu..............:..... .........343Adi Asrnma -+Pembelaj aran dengan?endek-ata n Metaphorical Th inklng-untuk MeningkatkanKemampuan Pemahaman Matematik, Komunikasi Matematik dan KepercayaanDiri Siswa SEkolah Menengah Perfama.... .................. . 344Heris HendrionaPengetahuan Gtru dan Pemahaman Siswa Terhadap Pembelajaran Matematik a .........,... 345Andrionto lriana Anwar, Janson NaiborhuEfektivitas Pendekatan Realistic Mathematics Education (RME) dalam MengajarkanPemahaman Konsep Sudut Bidang Datar di Kelas \III SMPN 2 Manado. ...... 346Rosiah. J. PulukndangModel Time Continuum dengan Learning Strategis datam Pembelajaran Matematlka..... 347RisnawatiSebuah Alternatif Pengukuran Pemahaman Tentang Fungsi Linearpada Siswa SMP.......... .................,.:................ ......-...... 348Endah MayasariAbstraksi dan Alat Peraga Mayadalam Pembelajaran Matematika............... . 349Farida NurhasanahPembenahan Pembelajaran Matematika Di Sekolah..... ................. 350Edy SuryaSelf-Efficacy Matematis dan PembelajaranBerbasis Masalah.... ... 351Armiati

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

Pembelajaran Matematika yang Diawali dengan pemberian soal ceritaZulkarnainPengunaan Reciprocal Teachingunfuk MengembangkanPemahaman Matematis);;.-o";;;:;;;;;;;*;;;;;Peran Metode IMPROVE Pada Metakognitif Dan Pemecahan Masalah Matematika .... 354Kms. Muhammad Amin FauziPengaruh Model Pembelajaran Terhadap Hasil Belajar GeometriDitinjau Dmi Kemampuan Spasial Siswa....-.... .. 355MuhlisrariniAnalyzing of ICT (Information and Communication Technology) Integrationin Pekanbaru Schools' program...

.............. 356Yenita RozaDynamic Geometri Software Media pembelajaran untuk MeningkatkanKemampuan Matematik Siswa Khususnya Glometri.. . ........- , .... , .............. 365Nwlmsanah SiregarPerancanganMediaVideoPembelajaranBerbasisWeb.........Widyo Nugroho, 2Sandhi prajaka 3Sri lIrtli Lestari

f,"nee*lul Program Cabri Untuk Meningkatkan Motivasi Belajar Matematik a............. 373tvuratnt Jrt0moPengembangan Bahan Ajar Matematika-l Berbasis Multi Media Interaktif .. 374Edi Sukirman, A. Ramadhona.N, Iltidyo NugrohoC omput er A s s i s t e d L e arn in g dalamPembelaj aran Stati stika dan MatematikamenggunakanSoftware-SoftwareFrea,yaredanlatauOpensource-..... .......... 3g3Dedi RosadiPengembangan Pembelajaran Matematika Dengan pendekatanOpen-Ended Melalui ICT...........JohnsonPola Hubungan Linear antar#artisipasi Mahasiswa dalarn-Tutorial Online terhadapNilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah StatistikaHarmi-SugiartiPenggunaan Peimainan Matematika dalam Upaya Meningkatkan Aktivitas danHasil Belajar SiswaTina YunartiFengaruh Pengunaan Metode Pemecahan Masalah Model SSCS Terhadap I{asilIrl4q siswa Pada pokok Bahasan Bangun Ruang Sisi Lengkung Kelas'vfltSMP Negeri 9 Kota Bengkulu.. . 417DiyahMeily Raniwati/Kecenderungan Penggunaan Intuisi daram pemecahan Masatah peluang..... . 4rgAgus Sulonana

legutar Pemetaan Linear pada Lingkaran satuan di BidangBeberapa Aspek Geometri dan Visualisasinya. _..... ... . ............ 4lgKuntjoro Adji Sidarto

fgranan Representasi Berbantuan software Maple pada pembelajaranMataKuliah Kalkulus ..............-.....-............. ............... 425YerizonMembangun Level Abstraksi Siswa Smp Dalam Memahami Konsep Geomeki ............ 433

Mega Teguh Budtarto, Siti Khabibah, Rini Setyaningsih

394

409

Konferensi Nasio nal. pendidikan Matematika I II 2009

09--

Peningkatan Aktivitas dan Pemahaman Mahasiswa melalui Model Definisi DesainFormulasi Komunikasi @DFK) Problem Solving Berbasi s Konstruktivismedengan Setting Pembelajaran Diskusi pada Matakuliah Statistic Matematika............ ...... 434Tiur Malasari SiregarAplikasi Komputer pada Pembelajaran Aljabar Abstrak(Group, Ring & Field) ...............439Ngarap Im ManikUpayaMeningkatkan l{asil Belajar Siswa dengan Media Komputer(Animasi Flash - Powerpoint) pada Pokok Bahasan Kesebangunandi Kelas IX SMP Negeri I Sei SukaVira AfriatiPengambilan Keputusan dalam Pengembangan ICT melalui knplementasiE-Learning menggunakan AlPr ................ 441Hermawan SyahputrazAbstraksi dan Alat Peraga Maya dalam Pembelajaran Matematika......... 453Farida NurhasanahPeranan Self-Efficacy dalamKemampuan Berpikir Kreatif Matematis Siswa........ .......... 461RisnanosantiPengembangan Aplikasi Pengaj aran Integrasi Numerik MenggunakanMedia Berbasis Web......... .................: ........ 462TulusPeningkatan Kemampuan Komunikasi dan Pemecahan Masalah MatematikMelalui Pembelajaran Berbantuan Komputer (Computer-Assisted Instructions) ............. 463YonandiPeranan strategi Problem Posing dalam Pengajaran Matematika dalamPeningkatan Kemampuan Representasi Siswa ............. 464IrwanBelief Siswa yang Berhubungan dengan MatematikaKartiniKontruksi model Soal Penilaian Kelas Tingkat TinggiMateri Pembelajaran Persamaan Kuadrat ..........-...... ..- 475Luli KamiliaPendekatan Problem solvingDalam Pembelajaran Matematika............ .. ...... 476SuriadiIntegrasi Nilai-Nilai IMTAQ Dalam Pembelajaran Matematika ... 477Tuty Suryani dan SuriodiPembelajaran Matematika Realistik Melalui Permainan Pada Materi Barisandan Deret Bilangan di Madrasah Tsanawiyah ................ 47gEndoh Purnami, M. Salman A.Nfgqbelajaran Matematika Realistik (PN{R.) Dalam Sudut Pandang KTSP SMA ....... .... 47gAbdul Razak HasbiP,embelajaran Matematika Tingkat sD, sMp, dan SMA/ sederajat.. .............. 4g0Kartini Tambtman

Permasalahan Sekitar Pembelajaran Invers Fungsi Linear ............. 4g1Nani Mulyani dan lwan pranrotoAnalisis Penalaran dalam UjianNasional Matematika SMpAvtrs .............. ...4g2Nurhamzah CS , yuni Mahmudah,

465'

I

I

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

rtl1lij

Mengubah Paradigma Pembelajaran Matematika Dari pembelajaran BerpusatPada Guru Menjadi Beqpusat pada Siswa ..............-.._.Nurliani Manuir*g' "'483

i;#::#)Matematikauntuk sekolahDasar .................. ............. qgr

MasalahPembelajaranMatematikaDan Alternatifpemecahannya ................. 4g2Yasifuti Hia. wrsruryc

Pengembangan Peranst{.rembelajaran Berbasis Konteksaral pokok Bahasan

Tff"Di Madrasah Aliyah Nes;ri : nalemffi___:- . ..... 4s6

Pembelajaran Geometri melalui pendekatan CTL ............Destiniar v^!.......r.. ............... 509

tr;#i^ModelPembelajaranKonstruktivisuntukMeningkatkanHasilBelajar..........5t0Reliabilitas Konsistensi Internal Instrumen Skala sikap DiferensialSemantik Terhadap Kalkulus......RatuAmiliaAvtaitt A CogultMirli", ""r"""""":':""""""""""... 511

Beberapa Faktor yTq tvtempenga;hi Rendahnya Hasil pembelajaranMatematika Sekotah SertaatteriatifMemper#ki;;.......... ........ ................ 524It.L. SihombingPembelajaran Matematika Berorientasi Inteligensi Majemuk Di sekolahMenengah Pertama....Sri Mulyati

i:#:;r#:::pemecahan Masalah Matematik Dan Hasilnya............... .......... s34

Sumber Kesulitan ujian Nasionar Mata perajaran Matematika sMpavlTsTahun 2}}7l2}AgMenurutpersepsi Guru......... .......... 542Jailani -oMemilih Model Pengajaran Terbaik dalam Pembelajaran sains dengari'Metode AHp .... 543Lord Byron Silalahi,

Ko'nEensi Nasionar pendidikan Matematil€ III 2009

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009'

Bayes Estimator On Multi$iod ForecastOf Arma Model Under Normal-Gamma Prior

Deparhnent of Mathematics State University of Medan

AbstractBryes estimator of parameters on multipriod forecast for ARMA model under the normal-

gamma prior assumption are investigated. By integrating the posterior density can be

obtatned the marginal posterior density which is needed analytically to provide an estirnator

via posterior mean of multivariate t-distribution and gammq4istribution..

Key word: ARMA model, bayes estimator, multipriodforecost, normal-gamma prior

I. Introduction

ARMA (Autogeressive Moving Average) model to represent of one or the other

stationer Jime series model and particular of models {RIMA (Autoregressive Integated

Moving Average) which developed by Box & Jenkins and have been extensively used in

many fields as statistics model, particular in connection with problema of forecast. Forecast

of time series model is a forecast which use obser-vations of past data, performed

investigati:il?i#1t""tffifilHJlKf Xffi:i uoa other time series moders, usuany is

how to estimate of parameters in model. On the Bayesian estimate, to estimate parameters in

model, apart from use observation also use earlier knowledge about parameters that will be

estimated. Determination prior distribution as earlier last knowledge to play an important part

for determine final decision, Bqause to;ield combined with likelihood function will result

posterior distribution which is needed in inference'

One or the other the way to determine estimator of population parameters in Bayesian

analysis is use decision theory with a loss function, so that the estimators can be obtained by

minimizing expectation value of loss function which used.

tn ttris pup.r will be to discuss the bayes estimator of parameters on muttipriod

forecast for RRUA model under normal-gamma prior assumption with the quadratic loss

function

2 -.Mutipriod

forecast

The one-stepahead point forecast of Yr,+t based data observed

S,,: (yr, yz, ...,y), denotedby 9"(l) and defined by : i(l) = E(y,,*, /S")

This case expandable for the k-step-ahead point forecast of yn*t, that is :

y(k) = E(y,.* /S,)

where Si : (yt, y2, ...,yn+k-l)

3. ARMA model

Prosram Studi Pendidikan Matematika Pascasariana UNIMED PageLgS

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

ARMA(p,q) model defined by :

v, = iO,v,' *f e,.t-; *e, (1)i=l j=l

where {q} is sequence of i i d normal random variables with e -N(0,t -1), t>0 andunknown, 0i and 0; are parameters. Residuals are written by :

4. Likelihoodftmaion

By conditioning the first p observations, letting fo:€pr:...: er: 0, where r: min(0,p+l-q), one may approximate (Box & Jenkins, t976) the likelihood function forparameters V:($1,$ 2... .,Qp,Qt 02,... ,0n) and r based S" are written by:

,(n+k-r)-R)D.-o{-:["i'[r,-io,r,-, -Iu,",-,'l''l] (3)

L z Lr=e+r\ i=r j=r )- J)

The equation (3) can be expressed as:

L(Y,ti S") cc r("+t-t)-n)/2."0.

{- ;[*g, - ( ory'-, + 6 zy,-z+ -.. + ooy,-o + 0,e,-, + 0,e,-,* -.. * r,.,-, ))' ]

o6 .((n+k-r)-p )/2 exp{-;[5'(y, -y,B, r-l]L a Lt=p+r ))

o6 .(n+k-D-n) ,,

"*p{-;[:ii: 6? -rr,*,B,-, * (*,u, , II]

where Bt: (yt, y,-r, ..., !t+l-p, et, et-I, ..., €t+tq)

By Letting

Program Studi Pendidikan Matematika Pascasarjana UNIMED Page 196

I(onfelgnsi Nasional pendidikan Matematika III 2009

U::

Yp Yp+l

Yp-r Yp

Yr Yz

€o ep*l

ep-t eo

ep*l-q ep*2-q

Yn+k-2

Yn+k-3

Yn+k-l-p

vn+k-2

vn+k-3

:

vr+k-l-q

,Xo:|,ll] W:UUr and V:Uxo

where 6, = Y, -16, v,-, -f Q e,-, , t : ptl, pr2, ... ,n

$, and Q ut least squares estimates of Q, and 0, are obtained by minimi-"ing i.;in equation (2), then the likelihood function can be expressed as:

1=p+r

L(y,r/Si) oc x((n+r-r>ozz .*o{-;Hit-2vrv.*'**-]} ...... . (5)'

5. Normal-Gumma priotr

According to Broemeling and Shaarawy's suggestio4 then equation (5) as functionof Y and t is a normal-gamma density. Thus a natural qonjugate prior density wouldbe : €(y,r)=€, (v/r).Er(r) where €, _N(Fr,(ref'), e" is a positive definitematrix of the order (fiq) and €, - GAM(",0) and joint prio, orparameters yand r can be obtained the following : -+

€(Y,r)=6,(V /r).Erk)

n

: [#)t..e{-ik*-p)'e.* --)} * ft.--, exp(-Bt)

(,)i."-' ",e{- it* - p), e1v - -ll-0,}

'#-' *oi-ik" - p)'e1* - pl*2pli

y2y; ( ,,,n--' *et- ;ty'ev - y'ep - p'ey +p'eu*2p}

Program studi Pendidikan Matematika tut."o4*u utrtiffi Paca 1Q7

Konferensi Nasio nal Pendidikan Matematika I I I 2 iq!

Posterior densitY

' constructed the following:.t

posterior densrtY can be

**l],.jjn(Y,t-1 /s") "c .(n+k-r)-n)D *r{-;[;it - 2Yrv+ vr

7. Posterior mean

Posterior mean of Y

By integrating equation (7) toward r can be obtained marginal posterior density

of (Y/ Sl ) , that is :

'Y-' .-e{- i[v'ov - Y'Qt'- p'QY + p'op+zp]]

n+k-r-p+2ct+p-, I r["S,y,t -2YrV+VrWY*VtaY-ll€t ' exP t;l,*,*'eu-p'eY+prQp+2B lJ

n+k-r-pr2a+p-, Ir[*t(w+Q)v-vrv-vtQt'- lln rT-'.*p.

1-;l .r,rv_p,ey.:il y,, *u'au*rollL L t=P*r

n+k-r-p|2d+p-, Ir[*'(w+Q)v-v'(v+Qp)- -ll

.. a---n- exp. 1-;l vrv _ (err), * . :i. y,, + rr'ep. rullL L 1=P+r

n+k-r-p+2c+p-, |, .[*t(w+Q)Y-vt(v+Qrr)- ll

cc ,- '--' .*0. I ;l (v + ep)'v * "f' y,, + rrrep . rB llI L' tn+t ))

by letting W+e : p and fll * lrtQt * 2F : K can be obtained posterior

t=p+l

distribution of Y and t-r is :

n(y,t-l ls";...-- [ '[v'ev-Y'(v-ap)l] .--.--'.""""""'(7)*et-ILry+ep)'Y+K ll

' progrum Studi P.ndidikan Matematika Pascasarjana UNIMED Page 198

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika I I I

n(V /sl ) : Jn(V,r-r / sl )at0

- (n+k-l-p+2a)+p ,:ir*=tT' *r{-;trrpy-v'(v+ep)- vrlv+err)+.1} o,0

- (n+k-l-p+2crlrp .: j.*=To" *o{-it*'pv-v'(v+ep)-(V+ep),y **} o,

- (n+k-l-p+2cr)+p ,: i,*u+*' .,.0

{- ;l},i.i; [:]r,yl .:l#$I*, * *]] o.

- (n+k-r-p+2c,)+p I fvtrv-YtPP-'(u*qul-ll: i'*+T-' *01 ;l []ff1;;-:1.;-,- ll.'

L Lfu + err)' p" (v + ep).,. * Jj

- (n+k-,-,r2ar1s-, [,[,.r:fiir:i n.Il*'-ll:J':-''*01-il l"+ep),(p-,),(v*;p,- llo'

L Lru+ep)'p-'(v+ep)+K jj

- (n+k-r- [ [*'oY-Y'PP-'(v*qP)-ll: i,*=*, *,1_;l [.:[ill,ll:;r_ ll,,

I Ltv+ep)'p-'(v+ep)+K J-J

f [v'pv-v'pp-'(v*err)- ll:i.'*;*.' *l-rl F"'[rff]il;il"l-, ll.'

t Ltu * ep), p-,(v + ep) +K l-J

.,{

: T,

**=t* -' ..0{- : [t. - p -' (v * qrr)]' r [v - r" 1v + orrlJ+l]..

o [2lK-(v+ep)rp-'(v*ep) JJ

Da-o lOClProgram Stud i Pendidikan Matematika Pascasariana I INI MFII

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

Ir0

l.[v - r'ry + arr)]' p [v - P' (v * Qp)]*

K - (v + Qp)' P" (V + Qrr)

(n+k-l-p-2aFp1,I

J

.......... (8)

_(n+k-t-p-2aFp2

_ (n+k-l-p-74)+p

a

_(n+k-1-p-2cFp2.I e{(v+qpt

2

K-(V+Qrr )l

-. [r - (v + Qp)'P-' (v + Qp)

L2x [n +k-1 -p-2crfs1H+3re x [o*k-l -p-2o]sltr+ry

- (n+k-l-p+2a)+p .:1":-".01-,o 'l

t

.'.r (Y/S"):(n+k-l-p+2c)+p .

2

Next, by using the formula : Jr''-t L-F " dt:f(o.) (B')=" oc (8.)-'0

' then based the equation (8) can be obtained :

n (Y/S" ) a[v -e'1v + ap)]' p [v - P-'(v * Qp)]*K - (v + Qp)' P'(V + Qp)

[v i?' g* ar,)F+ [* -.-' (v + ep)]+

K-(v+Qp)rP{(V+Qp)

[v - e'ry * qpl]'p [Y - r{ 1v + qrr)]*

Program Studi Pendidikan Matematika Pascasarjana UNIMED Page 200

III 2oogl

[v - e' ry * ep)]' p [y - p'(v * err)l*K - (V + ep)r p{(y + ep)

2

_(n+k-l-p--2cFp

,-lL. r

. [r-ry.qpl'P-'fv.qO1YLr)x [n *k-l-p-2"fas=T=?gu

[v - e'ry * arr)J' p [v - p"(v * ep)]*

-2

(n+k-l-p-zaFp2

"]*

x [n*k-l-p-2"]-eLTry

-"1 -,-j-t'*+*L K-(v+ep)'p-'(v+ep) ''l

xln*k-l-p-z"l9trTet

_f -1-t4-@*l K-(V+ep)'p'(V+ep) -ll1r, + L -l -p +2cr)

\F-l l

,.I K-(v+Qp )'p-'(v+ep2

,)

€

Program Studi Pendid ikan Matematika pascasariana UNI MtrI) Donol0l

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

i _l-*+*I* l(n+k-1-p+2cr). 1L @'l

... The posterior density of Y is a multiv aiate t-distribution on (n+k-l-p-2o)

degrees of freedom with mode * =P-t(V + Qp) and scale matrix

,-, - K - (V + Qp)r P-t (v + Qp) p-r , expressed as :)4 - n+k-l-P+2a

n(Y lS" ) "

f,'*u-t-p+2cr)+

tsuch that the Posterior mean of Y is : E(v/Si ) =P-' (V + Qrr)

Posterior mean of r-t

By integrating equation (7) toward Y, the marginal posterior density of (t-l I si ;

can be obtained are the following :

@

n(t-' /s: ) : Jn(v,t-' lsi ;ow

* (n+k-1-P-2ct)+P-t

oc lr 2

.€

- n+k-l-2ct ,e [r-z

-'

- n+k-l-2cr ,

cc Ir:''

*

*o{- }[v', w - zYrw + err) *rliov

* { ;lP_ l*;:i,-*L.J'

ry * Qp)l .

]}u*

*r{-; t" - (v + ep)'p'(v *. ap)}

i *r{- ;F - p' (v * qp)I p (v - P' (v + oui$av

- P-'(v + Qp)l' lv -e-'ry + Qp)

n*k-l-p+2u

Ptogtum Studi e"ndidikan Matematika Pascasarjana UNIMED Page2OZ

Prosiding Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III 2009

K-(V+Qp)'P-'(V+Qp)tl"*{-'I

l]P'(v + Qp)I

2

K -(V+Qp

[v-N(e-'(v*ep),-r-'p-'), suchthat: )

[i*r{;[* - r-'(v * er,))' (-,-'p")' (* - p"(v. ou)l]o*=, J

tlP'(v + Qrr)I

2

K-(V+Qp*'{-'Iccl

*1.-@

n+k-l-2a-t

2

.'.n(r-'lsi;

The posterior density of t-r is a gamma distribution with

paramaters fn +k

-1 -2s", r - (v + Qrr)r p-'(v + Qrr)'l

I z 2 -- J*

such that the posterior mean of t-t is :

n + k -l-2aE(r-'l s;) :

K-(v+Qp)'P'(v+Qp)2

n+k-l-2a

i *{i[- -pr1v+ ap)I (-.' p' )" (* - p'(v+or,;)I}av

cc Tr*=-" *r{-.[

n+k-l-2c ,

--l

,,

K - (V + Qp)' P'(V + Qp)

: k - (v+err)' P'(v +Qp)f'fu + k -r-2a)

D-^-^ '- C+"'l i D^^'l i'l iL^ n l\,{afam ofilrc Pacnacarirnr I INIM E'Il Paop?.O3

Prosiding Konferensi Nasional Pendidikan Matematika I I I 2 00 9

7:.

8. Conclution

,. fot a quadratic loss function :

The Bayes estimator of V is posterior mean of Y, that is :

E1v/sl;=r-'(v*QP) and

The Bayes estimator of t-r is posterior mean of t-r , that is :

E(r-' tsl) : k -Or+ Qp)' P'(v +Qp,)f'(n + k -1 -2o)

References

Bain, L.J., Engelhardt,M., (1992), Introduction to Probability and Mathematical

Stat i s t i cs .,2nd, Duxbury Press, Bel mont, Cal i fornia.

Box, G.E.P. & Jenkins G. M, (1970), Time Series Analysis: Forecasting and Control

Holden-Day, San Francisco

Box, G.E.P. & Tiao, G. C., (1973)., Bayesian Inference in Statistical Analysis

Addi son-Wesley Publishing Company, California.

Brockwel P. J. & Davis R. A., (1991)., Time Series : Theory and Methods, Second

Edition., Springer- Verlag, New York.

Chen, C.W.S., (lgg2)., Bayesian Inferences and Forecasting in Bilinear Time Series

Models.,- C ommun Stat ist-Theory Meth., 2 I (6), I 7 2 5 - I 7 4 3 -

DeGroot Morris H., (1970). , Optimal Statistical Decisions., McGraw - Hill Book

Company, New York.

Enders Walter, (1995), Applied Econometric Time Serie,s, Jhon Wiley & Sons, Inc.,

- New York.

Liu, S. I., (1994).,Multipriod Bayesian Forecasts for ARModels., Ann. Inst.

Statist. Math, Vol.46, no. 3, 429-452.

Liu, s. L, (1995)., Bayesian MultipriodForecasts for ARX Models., Ann. Inst.

Statist. Math., Vol.47, no.2, 2l I-224.

Pole,A.,West, M., Harrisoq J.,(L994).,Applied Bayesian Forecasting and Time

Series Analysis.,Chapman and Hall, New York.

Roussas George G. (1972), A First Course in Mathematical Statistics., Addison-

Program Studi Pendidikan Matematika Pascasariana UNIMED Page2O4

.d

Konferensi Nasional Pendidikan Matematika III

Wesley Publishing Company, Califomia.

Wei, W' W- S. (1994).,Time Series Analysis {Jnivariate and Multivariate Method,

Addison Wesley Publishing Company, Inc. Canada.

zanzavvr Soej oeti, ( I 987). Ana I is is Runtun rl/ahu.,Karunika, Jakarta.

Zanzawi Soej oeti dan Subanar ( I 9 8S). Infer ens i B aye s ian. Karunika, I akarta.

Program Studi Pendidikan Matematika Pascasariana UNIMtrI) Dqao2fi1