Professeur Lszl Forr 1er dcembre 2002 Physique Gnrale III Correction de la sance 5 :

Exercice 1 1. Plusieurs solutions sont possibles, par exemple, pour ce qui est de e :

0 0 0 0 0 00 0

0 0 0 0e

= =

00 0 0+

Matrice de trace nulcisaillement pur

ae

(Mais on pouvait galement

Pour ce qui est de f :

0 0 00 0 0

0 0 0 0f

= =

af Calcul des axes principaux Avec une matrice dores et d

plus qua diagonaliser la mat ae :

on a : ( ) (det 0ae = =

0 0 0

matrice nulle le : be

crire : 0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0

= = +

00

0

e )

00 0

0 0 0

+

0

Matrice de trace est trace nulle: cisaillement

bf

de nos matrices :

j diagonale ( af ) et une matrice nulle il ne nous reste

rice ae et bf .

)22

- 1 -

do les valeurs propres : 1

2

3

0

2

2

===

Aprs calcul, on obtient la base de vecteurs propres norms (qui reprsente galement les axes principaux de la dformation):

1

11 02

1u

=

JG ; 21

1 22

1

=

JJGu et : 3

11 22

1

=

JJGu

Dans cette basse la dformation e scrit :

0 0 0

0 2 0

0 0 2

e

=

Remarque : la trace est toujours nulle, on a bien affaire un cisaillement bf :

Le raisonnement est analogue : ( ) ( )2t 0bf = = de Il en dcoule les valeurs propres :

1

2

3

0

===

Puis les axes principaux de la dformation : ; 1

001

v

=

JG2

11 12

0

=

JJGv et : 3

11 12

0

=

JGv

Qui scrit : 0 0 00 00 0

bf

=

2. Dans cette question on sintresse uniquement aux traction/compression de la

question prcdente, cest--dire : af

- 2 -

On remarque de par sa forme : 0 0

00 0

AB 0

B

que ce tenseur de dformations

reprsente une traction/compression uniaxiale suivant laxe . Dans un milieu

isotrope et lastique, et dans la base fournie par les axes principaux de la traction/compression suivant

1

100

x

=

JG

1xJG

on a les relations suivantes : 1. ; ii iiE= 0jj j i = et : 2. B A= , donc dans notre cas il faut avoir : =

Exercice 2 1. On considre que :

le poids de la poutre est ngligeable le poids appliqu sur la poutre est rparti uniformment sur la surface suprieure la poutre ne subit pas de dformations suivant laxe Oy

Grce au principe de superposition, on peut sparer le problme en deux parties distinctes : z

x

y

(a) (b) a. on considre la poutre non encastre et subissant une contrainte selon Oz telle que :

azz zz

P ELa

= = a , soit la contrainte :

1 (compression)

(dilatation)

(dilatation)

azz

a ayy zz

a axx zz

PLa E

= = =

b. On considre la poutre encastre. Subissant une contrainte selon Oy telle que la dformation totale (a)+(b) soit nulle, soit : 0a byy yy + =

- 3 -

Do :

( )

( )

( )

b ayy zz

b bzz yy

b bxx yy

compression

dilatation

dilatation

== =

Par superposition on obtient :

( ) ( )

( ) ( ) (

2

2

1

0

1 1

a b a axx xx xx zz zz

a byy yy yy

a b a azz zz zz zz zz

PELa

PELa

= + = + = += + = = + = + = + )

Autre mthode : On peut utiliser la loi de Hooke gnralise pour un solide isotrope :

( ) ( )1 1ik ik ikTrE = + Attendu quil ny a pas de cisaillement, les termes non diagonaux de et sont nuls. Dautre part, le terme est galement nul, la poutre ne subissant aucune contrainte suivant Ox. On obtient donc :

ij ij

xx

( )( )( )

1

1

xx yy zz

xx yy zz

xx zz yy

E

E

E

= += =

En outre : , car il ny a pas de dformations suivant y (la poutre est encastre) donc :

0yy =

zz=yy

Enfin, azzPLa

= do :

0xx

yy

yy

PLaPLa

== =

- 4 -

Et finalement :

( )

( )(

1

0

1 1

xx

yy

zz

PELa

PELa

= += = )

+

2. Calculer le dplacement vertical z de la face suprieure de la poutre revient calculer le champs de dplacement en z=b

Rappel : 12

jiij

j i

uu ij

ux x x

= + = ; dans notre cas : zzz

uz

=

.

On a : ( ) ( ) ( )02 200

1 1z

zz z zzP Pu z dz z

ELa ELa = = = = b

- 5 -