Progressão Geométrica, PG

Formula

an = a1 . qn-1

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:

a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a

razão desta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4

Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:

(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.

Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.

Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que

no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então

sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).

Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:

x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:

x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q

É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:

9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:

9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:

3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.

Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor

q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é:

9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:

a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos.

Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:

A)1

*B) 10

C) 100

D) -1

E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:

S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)

S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,

resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:

S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10,

razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:

Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo em S, vem:

S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)

Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:

10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta

indefinidamente

é igual a:

A)1/x

*B) x

C) 2x

D) n.x

E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:

x1/2 . x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e

razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1

Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica

de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°

b) 32°

c) 36°

*d) 48°

e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão

Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:

( x, 2x, 4x, 8x ).

Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,

x + 2x + 4x + 8x = 360º

15.x = 360º

Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.

O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a

soma dos dois primeiros termos é 24.

Resposta: 3