PGS - vsb.cz

PDR 1 PGS

1. Vyřešte rovnici 222 ( ), ( , ) xzz z x y z x x e

y∂

= + =∂

.

2. Vyřešte rovnici 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( ,2 ) .xz x x e=

3. Určete obecné řešení rovnice .z z yy zx y x∂ ∂

+ =∂ ∂

4. Řešte počáteční problém 2

2 6 10 0,z z zyy

∂ ∂− + =

∂∂

( ,0)( ,0) sin , 3sin cos .z xz x x x xy

∂= = +

∂

5. Rovnici z z xyx y∂ ∂

=∂ ∂

řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .

6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici

2 2

2 2 3 , 0, 0.z zx y x y x yx yx

∂ ∂− = + ≠ ≠

∂ ∂∂

7. Vyřešte: 2 2

2 2( ,0)4 0, ( ,0) sin , 1u u u xu x x

tt x∂ ∂ ∂

− = = =∂∂ ∂

.

8. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky (4, ) sin 3 cos 4u ϕ ϕ ϕ= + .

PDR 2 PGS

1. Vyřešte rovnici 3

2 2, ( ,2 3)3

z xx y z x xx∂

= + + =∂

.

2. Vyřešte rovnici , ( ,2 ) 32

z yz x z x x xy∂

= + =∂

.

3. Vyřešte rovnici 2 2 2, ( , 2)z zx y z x y z x x xx y∂ ∂

+ = − − − = −∂ ∂

.

4. Řešte okrajový problém

2

3

1 1 ,

( ,0) , 0 1,

z zx y x y x

z x x x

∂ ∂− =

∂ ∂ ∂

= ≤ ≤

3

2

( , ) 2 , 0 1,

(1, ) (1 , 0 1.

z x x x x x

z y y y y

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

5. Rovnici 2

2z z x yx x y∂ ∂

=∂ ∂ ∂

řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .


2 2

2 2 3 , 0, 0.z zx y x y x yx yx

∂ ∂+ = + ≠ ≠

∂ ∂∂

7. Vyřešte rovnici: 2 2

2 2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂.

( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x xt

u t u t

π

π

∂= − =

∂= =

8. . Určete řešení Laplaceovy rovnice uvnitř kruhu o poloměru R a středu v počátku

soustavy souřadnic, které na obvodu kruhu nabývá hodnot 22sinu ϕ= .

PDR 3 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice dczbyaxxz

+++=∂∂ .

2. Vyřešte rovnici yzxz=

∂∂ s okrajovou podmínkou xexxz =)ln,( .

3. Najděte řešení dané rovnice splňující určenou podmínku:

2 2sin cosz zx tgz zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

, xyyyxV =),,( 2 .

4. Řešte počáteční problém

2 2

2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y

x y xx∂ ∂ ∂

+ = = + =∂ ∂ ∂∂

.

5. Rovnici 2z yzx y∂

=∂ ∂


6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2

2 2

12

z z zy x yx y y∂ ∂ ∂

+ + = −∂ ∂ ∂

, 0>y .

7. Najděte řešení rovnice 09 2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

tz

xz za podmínek

( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,

( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,

=∂

∂ .

8. V kruhu 0222 ≤++ xyx řešte Dirichletovu úlohu za podmínky 164 3 −+= xxu pro

0222 =++ xyx

PDR 4 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice 2 3 4z x y zx∂

= + + +∂

.

2. Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( , ) 3 .z x x x=

3. Určete obecné řešení rovnice ( 2 ) .z zxy x z yzx y∂ ∂

+ − =∂ ∂

4. Řešte okrajový problém 0222

=−∂∂

+∂∂

∂ yxzy

yxz

2

2

(0, ) 0 1,1( ,1) (1 ) 0 1,

( , ) (1 ) 0 1.

y

x

z y e y

z x x x xe

z x x x e x x

−

−

= ≤ ≤

= + − ≤ ≤

= + − ≤ ≤

5. Rovnici2 2

2 22 2 0 z zt x

t x∂ ∂

− =∂ ∂

řešte substitucí ( ) ( )z T t X x= + .

6. Převodem na kanonický tvar najděte obecné řešení rovnice

0 ,2

22

2

2

>∂∂

=∂∂

−∂∂ y

yzy

yzy

xz

.

7. Najděte řešení rovnice ideální struny délky l za podmínek:

3

(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .

u t u tu x xu x

t lπ

= =∂

= =∂

8. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky

2 22 2 2 2

2( , ) 1 1 pro 1.x yu x y x yx y x y

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

PDR 5 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice 1z x y zx∂

= + + +∂

.

2. Vyřešte rovnici 2 3, ( , )z zx y xyz z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.

3. Najděte řešení dané rovnice za dané podmínky:

02 =∂∂

−∂∂

yzx

xzy , 2( , ) lnz x x x= .


22 2

2

( 1) , ( ,0) 1 , 0 1,

( , ) ( 1) 1 , 0 1,

(1, ) ( 1) 2, 0 1,

z zx x x z x x xx y y

z x x x x x x

z y y y

∂ ∂+ − = = + ≤ ≤

∂ ∂ ∂

= + + − ≤ ≤

= + ≤ ≤

.

5. Rovnici2 2

2 22 2 0 z zt x

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

řešte substitucí ( ). ( )z T t X x= .

6. Načrtněte charakteristiky a převodem na kanonický tvar najděte obecné řešení rovnice

2 22

2 2 , 0z z zy y x y yx y y∂ ∂ ∂

− − = − >∂ ∂ ∂

.

7. . Vyřešte: 2 2

2 2( ,0)4 0, ( ,0) sin , 1u u u xu x x

tt x∂ ∂ ∂

− = = =∂∂ ∂

.

8. Vyřešte rovnici: 2

2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂

( ,0) (4 ),(0, ) 0, (4, ) 0.

u x x xu t u t

= −= =

PDR 6 PGS 1. Vyřešte rovnici z xz

y∂

=∂

s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .

2. Vyřešte rovnici 0z zy xx y∂ ∂

− =∂ ∂

s okrajovou podmínkou 4( ,0)z x x= .


2 2z zx y z x yx y∂ ∂

+ = + +∂ ∂

, 2( ,2)z x x x= + .

4. Řešte počáteční problém 2 2

2 0z zx yx x y∂ ∂

− =∂ ∂ ∂

,

( ) yyz 21,1 += , ( ) yx

yz=

∂∂ ,1 .

5. Rovnici 2

2 .z z xyyx

∂ ∂=

∂∂ řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .

6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2

2 24 2 2 , 0.z z zx y x xxx y

∂ ∂ ∂− − = − >

∂∂ ∂

7. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky (4, ) sin 3 cos 4u ϕ ϕ ϕ= + .


2 216 0z zx t∂ ∂

− =∂ ∂

za podmínek

( ) 0,0 =tz ( ) 0, =tz π

( ) xxz sin0, = ( ),04sin

z xx

t∂

=∂

.

PDR 7 PGS

1. Vyřešte rovnici 2z xzy∂

=∂

s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .

2. Vyřešte rovnici z zz x yx y∂ ∂

= +∂ ∂

s okrajovou podmínkou 2 3( , )z t t t= . (2yzx

= )


2 2z zx y z x yx y∂ ∂

− = − −∂ ∂

, 2( ,2)z x x x= + .

4. Řešte počáteční problém 2 2

2 0z zx yx x y∂ ∂

− =∂ ∂ ∂

,

( ) yyz 21,1 += , ( ) yx

yz=

∂∂ ,1 .

5. Rovnici 2

2 .z z xyzyx

∂ ∂=

∂∂ řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .

6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2 2

2 2 22 2 2 , 0z z zx x y xy

x yx y∂ ∂ ∂

− + = − − ≠∂ ∂∂ ∂

.

7. Dokažte, že funkce 2 2

1lnux y

=+

splňuje Laplaceovu rovnici v celé reálné

rovině s výjimkou počátku.


2 24 0z zx t∂ ∂

− =∂ ∂

za podmínek

( ) 0,0 =tz ( ) 0, =tz π

( ) xxz sin0, = ( ),02sin

z xx

t∂

=∂

.

PDR 8 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice 3 4z x y zx∂

= + − +∂

.

2. Vyřešte rovnici 4 5 0z zxx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( , ln ) 2 .z x x x=

3. Určete obecné řešení rovnice cos .z z xx y∂ ∂

+ =∂ ∂


2 4 .z x yx y∂

= −∂ ∂

2(0, ) 0 1,

( ,0) 0 1,( ,1 ) 0 1.

y

x

z y y e y

z x xe xz x x e x

= ≤ ≤

= ≤ ≤− = ≤ ≤

5. Rovnici 2

22 ( )z z

xy∂ ∂

=∂∂

řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .


2 24 2 2z z zx x yxx y

∂ ∂ ∂+ + = +

∂∂ ∂.


22 2 , 0u ua a

t x∂ ∂

= >∂ ∂

.

( ,0)( ,0) sin , sin ,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x a xt

u t u tπ

∂= =

∂= =

PDR 9 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice z ax by cz dx∂

= + + +∂

.

2. Vyřešte rovnici 3 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( ,5 ) ln .z x x x=

3. Vyřešte rovnici 0z zx zx y∂ ∂

+ − =∂ ∂

s podmínkou (1, ) .z y y=


2 6 sin cos .z x x yx∂

= −∂

( , ) cos (1 sin ), 0 1,z x x x x x= + ≤ ≤

2 3 5 2( , ) cos (1 sin ), 0 1.z x x x x x x x= − + + ≤ ≤

5. Rovnici 2


=∂ ∂ ∂



2 2 2

22 2 2 0, 0z z zx x xy

x yx y∂ ∂ ∂

− + = ≠∂ ∂∂ ∂


22 2 , 0u ua a

t x∂ ∂

= >∂ ∂

.

( ,0)( ,0) sin , sin ,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x a xt

u t u tπ

∂= =

∂= =

PDR 10 PGS


= − − +∂

.


+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( ,2 ) .xz x x e=

3. Vyřešte rovnici z zx y xyx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s podmínkou 2 3( , )z x x x= .

4. Řešte počáteční problém 2

2 4 0,z zxx

∂ ∂− =

∂∂

2 2 4 2 2 2 4( , )( , ) , 2 2 .x x x x xz x xz x x x e xe xe x e ey

∂= + = + +

∂

5. Rovnici 2( )z zxzx y∂ ∂

=∂ ∂


6. Převeďte na kanonický tvar rovnici

2 2

2 2 2 22 2 , 0, 0.z zy x x y x y

x y∂ ∂

+ = + ≠ ≠∂ ∂

7. Řešte počáteční problém pro rovnici 2 2

22 2 0, 0u ua a

t x∂ ∂

− = >∂ ∂

,

2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt

∂= =

∂.

PDR 11 PGS


= + + +∂

.

2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:

22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.

3. Vyřešte rovnici z z yy zx y x∂ ∂

+ =∂ ∂

.


22

2

( 1) ,

( ,0) 1 , 0 1,

z zx x xx y y

z x x x

∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂

= + ≤ ≤

2( , ) ( 1) 1 , 0 1,

(1, ) ( 1) 2, 0 1.

z x x x x x x

z y y y

= + + − ≤ ≤

= + ≤ ≤

5. Rovnici z z xyx y∂ ∂

=∂ ∂

řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .

6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2

2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂

− = − > >∂ ∂


2

2

2=

∂∂

−∂∂

xu

tu , ( ,0)( ,0) , 1u xu x x

t∂

= =∂

.

PDR 12 PGS


3 2, ( ,3 2)4

z xz x y z x xy∂

= + − =∂

.


+ =∂ ∂


3. Vyřešte rovnici 2 22z zx y x yx y∂ ∂

− = +∂ ∂

s podmínkou 2( ,1)z x x= .


22 3 3 0,z zy y z

yy∂ ∂

− + =∂∂

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤

3 1(1, ) , .z y y y y ee

= + ≤ ≤

5. Rovnici 2 2

2 2z z xy

x y∂ ∂

=∂ ∂


6. Převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2

2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂

− = − < >∂ ∂


22 2 , 0u ua a

t x∂ ∂

= >∂ ∂

.

( ,0)( ,0) sin , sin ,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x a xt

u t u tπ

∂= =

∂= =

PDR 13 PGS

1. Vyřešte rovnici 222 ( ), ( , ) xz z x y z x x e

y∂

= + =∂

.


− =∂ ∂

s okrajovou podmínkou 3( ,5 6) .z x x x− =

3. Určete obecné řešení rovnice 2 .z zxy x yzx y∂ ∂

− =∂ ∂


2 2

2(0, )0, (0, ) 0, 1.z z z z yz y y

x y x xx∂ ∂ ∂ ∂

+ + = = = − −∂ ∂ ∂ ∂∂

5. Rovnici 2 zx zx y∂

=∂ ∂



2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂

− = − < <∂ ∂


22 2 0, 0u ua a

t x∂ ∂

− = >∂ ∂

,

2 2 ( ,0)( ,0) , 1b x u xu x e

t− ∂

= =∂

.

PDR 14 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice 3 4z x y zx∂

= + − +∂

.

2. Vyřešte rovnici 4 5 0z zxx y∂ ∂

+ =∂ ∂

s okrajovou podmínkou ( , ln ) 2 .z x x x=

3. Určete obecné řešení rovnice 2 2 20, ( , )2

z z xx y z x xx y∂ ∂

+ = =∂ ∂

.


2 4 .z x yx y∂

= −∂ ∂

2(0, ) 0 1,

( ,0) 0 1,( ,1 ) 0 1.

y

x

z y y e y

z x xe xz x x e x

= ≤ ≤

= ≤ ≤− = ≤ ≤

5. Rovnici 2

22 ( )z z

xy∂ ∂

=∂∂



2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂

− = − > <∂ ∂


22 2 , 0u ua a

t x∂ ∂

= >∂ ∂

.

( ,0)( ,0) sin , sin ,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x a xt

u t u tπ

∂= =

∂= =

PDR 15 PGS

Vyřešte rovnici 21, ( ,2 )zz x y z x x xx∂

= + + =∂

.

2. . Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂


3. Vyřešte rovnici 2z zxy x yzx y∂ ∂

− =∂ ∂

s podmínkou 3( , 2 )z x x x= .


2

3

1 1 ,

( ,0) , 0 1,

z zx y x y x

z x x x

∂ ∂− =

∂ ∂ ∂

= ≤ ≤

3

2

( , ) 2 , 0 1,

(1, ) 1 , 0 1.

z x x x x x

z y y y y

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

5. Rovnici 2 2

2 2z z xy

x y∂ ∂

=∂ ∂



2 2 , 0.z zy x y yx y∂ ∂

− = − >∂ ∂


22 2 0, 0u ua a

t x∂ ∂

− = >∂ ∂

,

2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt

∂= =

∂.

PDR 16 PGS


3 2, ( ,3 2)4

z xz x y z x xy∂

= + − =∂

.


22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.


+ − =∂ ∂



2 4 4cos 2 .z z xx∂

+ =∂

5. Rovnici2 2

2 22 2 0 z zt x

t x∂ ∂

− =∂ ∂



2 2 , 0.z zy x y yx y∂ ∂

− = − <∂ ∂


3

(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .

u t u tu x xu x

t lπ

= =∂

= =∂

PDR 17 NS

1. Určete obecné řešení rovnice zz ax by dx∂

= + +∂

.


22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.


+ =∂ ∂


22 3 3 0,z zy y z

yy∂ ∂

− + =∂∂

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤

3 1(1, ) , .z y y y y ee

= + ≤ ≤


=∂ ∂


6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici

2 2

2 214 22

z z z x yyx y

∂ ∂ ∂− + = −

∂∂ ∂.


2 2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂.

0 1 ( ,0)( ,0) , 0,2 1 2

(0, ) 0, (2, ) 0.

x x u xu xtx x

u t u t

≤ ≤ ∂= =

∂− ≤ ≤

= =

PDR 18 NS


2 2, ( ,2 3)3

z xx y z x xx∂

= − + =∂

.


z yz x z x x xy∂

= + =∂

.


+ = − − − = −∂ ∂

.


2

3

1 1 ,

( ,0) , 0 1,

z zx y x y x

z x x x

∂ ∂− =

∂ ∂ ∂

= ≤ ≤

3

2

( , ) 2 , 0 1,

(1, ) (1 , 0 1.

z x x x x x

z y y y y

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

5. Rovnici 2


=∂ ∂ ∂


6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2 2

2 22 5 2 .z z z x yx yx y

∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂∂ ∂


2 2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂.

( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x xt

u t u t

π

π

∂= − =

∂= =

PDR 19 NS

1. Určete obecné řešení rovnice 2 1z x zx∂

= + +∂

.


∂∂ s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .

3. Určete obecné řešení rovnice .z zx xx y∂ ∂

+ =∂ ∂


2 2

2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y

x y xx∂ ∂ ∂

+ = = + =∂ ∂ ∂∂

.

5. Rovnici yzx

z=

∂∂

2

2



2 2 2

2 23 2 4 .z z z yx yx y

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂


2

2

2

=∂∂

−∂∂

tz

xz za podmínek

( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,

( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,

=∂

∂ .

PDR 20 PGS 1. Vyřešte rovnici 21, ( ,2 )zz x y z x x x

x∂

= + + =∂

.


+ =∂ ∂


3. Vyřešte rovnici 2 22z zx y x yx y∂ ∂

− = +∂ ∂

s podmínkou 2( ,1)z x x= .


2

3

1 1 ,

( ,0) , 0 1,

z zx y x y x

z x x x

∂ ∂− =

∂ ∂ ∂

= ≤ ≤

3

2

( , ) 2 , 0 1,

(1, ) 1 , 0 1.

z x x x x x

z y y y y

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

5. Rovnici 2 2

2 2z z xy

x y∂ ∂

=∂ ∂



2 2

2 2 3 4 2 , 0z z z zy x y x xyx yx y

∂ ∂ ∂ ∂− + − = + >

∂ ∂∂ ∂.


22 2 0, 0u ua a

t x∂ ∂

− = >∂ ∂

,

2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt

∂= =

∂.

PDR 21 PGS


3 2, ( ,3 2)4

z xz x y z x xy∂

= + − =∂

.


22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.


+ − =∂ ∂



2 4 4cos 2 .z z xx∂

+ =∂

5. Rovnici2 2

2 22 2 0 z zt x

t x∂ ∂

− =∂ ∂



2 2 2 , 0z zx y y x xyx y∂ ∂

+ = − >∂ ∂

.


3

(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .

u t u tu x xu x

t lπ

= =∂

= =∂

PDR 22 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice zz ax by dx∂

= + +∂

.


22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂

− = =∂ ∂

.


+ =∂ ∂


22 3 3 0,z zy y z

yy∂ ∂

− + =∂∂

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤

2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤

3 1(1, ) , .z y y y y ee

= + ≤ ≤


=∂ ∂



2 2 3 4 2 , 0z z z zy x y x xyx yx y

∂ ∂ ∂ ∂− + − = + <

∂ ∂∂ ∂.


2 2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂

0 1 ( ,0)( ,0) , 0,2 1 2

(0, ) 0, (2, ) 0.

x x u xu xtx x

u t u t

≤ ≤ ∂= =

∂− ≤ ≤

= =

PDR 23 PGS


2 2, ( ,2 3)3

z xx y z x xx∂

= − + =∂

.


z yz x z x x xy∂

= + =∂

.


+ = − − − = −∂ ∂

.


2

3

1 1 ,

( ,0) , 0 1,

z zx y x y x

z x x x

∂ ∂− =

∂ ∂ ∂

= ≤ ≤

3

2

( , ) 2 , 0 1,

(1, ) (1 , 0 1.

z x x x x x

z y y y y

= − ≤ ≤

= − + ≤ ≤

5. Rovnici 2


=∂ ∂ ∂



2 2 , 0, 0z zx y y x x yx y∂ ∂

+ = − > >∂ ∂

.


2 2 ,u ut x

∂ ∂=

∂ ∂

( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,

(0, ) 0, ( , ) 0.

u xu x x xt

u t u t

π

π

∂= − =

∂= =

PDR 24 PGS

1. Určete obecné řešení rovnice 2 1z x zx∂

= + +∂

.


∂∂ s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .

3. Určete obecné řešení rovnice .z zx xx y∂ ∂

+ =∂ ∂


2 2

2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y

x y xx∂ ∂ ∂

+ = = + =∂ ∂ ∂∂

.

5. Rovnici yzx

z=

∂∂

2

2



2 2 , 0z zx y y x xyx y∂ ∂

+ = − <∂ ∂

.


2

2

2

=∂∂

−∂∂

tz

xz za podmínek

( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,

( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,

=∂

∂ .

Documents

PGS - vsb.cz