PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN file 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông

www.VNMATH.com

1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z

k

i O

j y

x

O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ . Các trục tọa độ: Ox : trục hoành. Oy : trục tung. Oz : trục cao. Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một

vuông góc với nhau.

, , i j k là các véctơ đơn vị lần lượt

nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.

i

= (1;0;0), j

= (0;1;0), k

= (0;0;1).

1i j k

và 2 2 2

1i j k

.

i j

, j k

, k i

.

. 0i j

, . 0j k

, . 0k i

.

,i j k

, ,j k i

, ,k i j

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

M Ox M(x;0;0) M Oy M(0;y;0) M Oz M(0;0;z)

M (Oxy) M(x;y;0) M (Oyz) M(0;y;z) M (Oxz) M(x;0;z)

Tọa độ của điểm: . . . ( ; ; ) OM xi y j zk M x y z

Tọa độ của vectở: 1 2 3 1 2 3. . . ( ; ; ) a a i a j a k a a a a

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

Cho 1 1 1 2 2 2; ; , ; ; a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta có:

1. Tổng hai vectơ là một vectơ.

1 2 1 2 1 2; ; a b x x y y z z

2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.

1 2 1 2 1 2; ; a b x x y y z z

3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.

1 1 1 1 1 1. . ; ; ; ;

k a k x y z kx ky kz

4. Độ dài vectơ. Bằng 2 2 2

hoaønh tung cao

2 2 21 1 1

a x y z .

5. Vectơ không có tọa độ là:

www.VNMATH.com

2

0 0;0;0

.

6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

1 2

1 2

1 2

x x

a b y y

z z

7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.

1 2 1 2 1 2. . . . a b x x y y z z . 0

a b a b

8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

.os a,

.

a b

c ba b

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

. . .

.

x x y y z z

x y z x y z

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó:

1) Tọa độ vectơ AB là:

; ;B A B A B AAB x x y y z z

.

2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài AB :

2 2 2

B A B A B AAB AB x x y y z z .

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A BI

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

z zz

2

; ; I I II x y z

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác: Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC).

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là:

3

; ;3

3

A B CG

A B CG G G G

A B CG

x x xx

y y yy G x y z

z z zz

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:

Cho 1 1 1 2 2 2; ; , ; ; a x y z b x y z . Khi đó:

www.VNMATH.com

3

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, ; ;

y z z x x ya b

y z z x x y

Hai vectơ a , b cùng phương , 0

a b .

Hai vectơ a , b không cùng phương , 0

a b

Ba vectơ , ,c a b đồng phẳng , .c 0

a b .

Ba vectơ , ,c a b không đồng phẳng , .c 0

a b .

6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.

Cách 1: a và

b cùng phương .

a k b .

a và

b cùng phương

1 1 1

2 2 2

x y z

x y z với 2 2 3x ,y ,z 0

Cách 2:

a và

b cùng phương

2 2 2

1 1 1

x y z

x y z với 1 1 1x ,y ,z 0

Cách 3: a và

b cùng phương a,b 0

.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng. Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

Cần nhớ Phương pháp

CBA

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

hai vectơ , AB AC cùng phương

, 0

AB AC .

Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

AB

AC.

Bước 2: Tính , 0;0;0 0

AB AC .

Bước 3: Kết luận hai vectơ , AB AC cùng

phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp

CB

A

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

AB

AC.

Bước 2: Tính , ..;..;.. 0

AB AC .

Bước 3: Vậy hai vectơ , AB AC không cùng

www.VNMATH.com

4

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

hai vectơ , AB AC không cùng

phương , 0

AB AC

phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác.

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng. Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.


D

C B

A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

, , AB AC AD đồng phẳng

, . 0

AB AC AD .

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng

phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

..;..;...

AB

AC

AD

.

Bước 2: Tính

, ..;..;...

, . .... 0

AB AC

AB AC AD.

Bước 3: Vậy ba vectơ , , AB AC AD không đồng

phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Chú ý: A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD. Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng

minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.


DC

BA

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

, , AB AC AD đồng phẳng

, . 0

AB AC AD .

Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

..;..;...

AB

AC

AD

.

Bước 2: Tính

, ...;...;...

, . 0

AB AC

AB AC AD.

www.VNMATH.com

5

phẳng là bốn điểm thuộc một mp. Bước 3: Vậy ba vectơ , , AB AC AD đồng

phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.

Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ.

Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0)

2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ.

Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0) Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0) Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.


Thể tích của khối tứ diện ABCD A

1V = AB,AC .AD

6

D

B

C

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

..;..;...

AB

AC

AD

.

Bước 2: Tính

, ...;...;...

, . ....

AB AC

AB AC AD

Bước 3:

1V = AB,AC .AD

6

Chú ý: Thể tích không âm.

Vấn đề 5: Diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC

ABC

1S = AB, AC

2

A B C Chú ý: Diện tích không âm.

Bước 1: Tính

...;...;...

...;...;...

AB

AC.

Bước 2: Tính , ..;..;..

AB AC .

Bước 3: Tính 2 2 2AB ,AC h t c

.

Bước 4: ADCT ABC

1S = AB, AC

2

MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Dạng 1 Dạng 2

MC (S): 2 2 2 2x a y b z c R Mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2ax-2by-2cz+d=0

www.VNMATH.com

6

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Có tâm I(a;b;c) với

he ä soá xa

-2

he ä soá yb

-2

he ä soá zc

-2

Bán kính: 2 2 2R a b c d

Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng 2 2 2 2x a y b z c R

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực). Phương pháp:

Pt mặt cầu (S): 2 2 2 2x a y b z c R (*).

Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m. Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).

Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực). Phương pháp:


Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=n

2.

Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phương pháp:


Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

Bán kính R= IA IA

.

Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính R. Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp:


Gọi I trung điểm AB I ..;...;...

Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

Bán kính R= IA IA

.

Thế tâm I và bán kính R vào pt (*). Chú ý:

Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.

www.VNMATH.com

7

Ta có thể tính R theo 2 cách sau: R= IB IB

hoặc R=ABAB

2 2

.

Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp:


Mặt cầu có tâm I(a;b;c).

Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz DR d I,(P)

A B C

Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: 2 2 2x y z 2ax-2by-2cz+d=0 .

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Phướng pháp.

Pt mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*)

Vì A, B, C, D thuộc (S):

theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*).

theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).

theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*)

theá toïa ñoä ñieåm D vaøo pt (*)

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).

Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phướng pháp.

Pt mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*)

Vì A, B, C thuộc (S):

theá toïa ñoä ñieåm A vaøo pt (*).

theá toïa ñoä ñieåm B vaøo pt (*).

theá toïa ñoä ñieåm C vaøo pt (*)

Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư. Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d.

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và có

vectơ pháp tuyến n A;B;C

.

Phương pháp:

M

n

P)

www.VNMATH.com

8

Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M x ;y ;z .

Mặt phẳng (P) có VTPT n A;B;C

.

Ptmp (P): 0 0 0A x x B y y C z z 0 .

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và song

song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b

.

Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M x ;y ;z .

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là

a= ..... , b ....

Mặt phẳng (P) có VTPT n a,b

.

Ptmp(P): 0 0 0A x x B y y C z z 0 .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Phương pháp:

Mặt phẳng (P) đi qua M.

Mặt phẳng (P) có VTPT: P d 1 2 3n a a ;a ;a

.

Ptmp(P): 0 0 0A x x B y y C z z 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Phương pháp:

Mặt phẳng (P) đi qua A.

Mặt phẳng (P) có VTPT: n AB,AC

.

Pt(P): 0 0 0A x x B y y C z z 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp:

Mặt phẳng (P) qua điểm A.

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q). Phương pháp:

Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M x ;y ;z .

Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có

VTPT

P Qn n .

Ptmp(P): 0 0 0A x x B y y C z z 0 .

Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.

a

b

,n a b

P)

Q)

M

Qn

M

da

d

P)

,n AB AC

A B

C

B

Qn

P)

Q)

A

www.VNMATH.com

9

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)

là: QAB .....n ....

.

Nên mp(P) có VTPT: Qn AB,n

.


Dạng 6: Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’. Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’. Phương pháp:

Mặt phẳng (P) qua điểm M d .

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d d'a .....a ....

.

Mp(P) có VTPT: d d 'n a ,a

.


Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp:

Chọn điểm M thuộc đt d. Mặt phẳng (P) qua điểm A.

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: dAM .....a ....

.

Nên mp(P) có VTPT: dn AM,a

.


Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp:

Gọi I là trung điểm AB I .....

Mặt phẳng (P) qua điểm I.

Mặt phẳng (P) có VTPT n AB

. Ptmp (P): 0 0 0A x x B y y C z z 0 .

Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp:

Mặt phẳng (P) qua điểm M.

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: Q Rn .....,n ....

.

Nên mp(P) có VTPT: Q Rn n ,n

.


Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.

P)

A

I

B

www.VNMATH.com

10

Phương pháp: Xác định tâm I của mc(S). Mặt phẳng (P) qua điểm A.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IA

. Ptmp(P): 0 0 0A x x B y y C z z 0

Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n m;n; p

và tiếp xúc mặt cầu (S).

Phương pháp: Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.

Vì mp(P) có VTPT n m;n; p

mx ny pz 0 D .

Do mp(P) tiếp xúc mc(S) d I; P R

Chú ý: A B

A BA B

.

Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

( , ( ))d I P R

Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )d I d R

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0

2 2 2

A( , ( ))

x By Cz Dd M P

A B C

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B. Phương pháp:

Đường thẳng d đi qua điểm A.

Đường thẳng d có VTCP: a AB

.

Pt tham số:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp:

Đường thẳng d đi qua điểm M.

Đường thẳng d có VTCP: d d 'a a

.

Pt tham số:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

.

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.

r = d(I,(P))

I

P)

www.VNMATH.com

11

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Phương pháp:

Đường thẳng d đi qua điểm M.

Đường thẳng d có VTCP: d Pa n

.

Pt tham số:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

.

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.

Phương pháp: Gọi H là giao điểm của d và (P).

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0

0

0

Ax+By+Cz+D=0

x x at

y y bt

z z ct

Xét pt: 0 0 0A +B +C +D=0 x at y bt z ct (*).Giải pt (*) tìm tx, y, z H.

VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P). Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).

Tìm giao điểm H của d và (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).

Tìm giao điểm H của d và (P). Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của

đoạn thẳng MM”.

M

H )P

d

M

H )P

d

M/

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.

www.VNMATH.com

12

/

/

/

/

//

2 2

22

2

2

M MH

H MM

M MH H MM

H MMM MH

x xx

x x xy y

y y y y

z z zz zz

M’=..

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.

Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

và vuông góc với đường thẳng d. Tìm giao điểm H của d và (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d. Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

Tìm giao điểm H của d và (P). Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm

của đoạn thẳng MM’.

/

/

/

/

//

2 2

22

2

2

M MH

H MM

M MH H MM

H MMM MH

x xx

x x xy y

y y y y

z z zz zz

M’=..

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp:

M

H

P)

(d)

M

M

H

P)

(d)

www.VNMATH.com

13

Bước 1:

Xác định điểm M thuộc d và VTCP a

của d.

Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a'

của d’. Bước 2:

Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính a,a' ......

Nếu a,a' 0

thì a,a'

cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’. o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.

Nếu a,a' 0

thì a,a'

không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.

o Nếu a,a' .MM' 0

thì d và d’ cắt nhau.

o Nếu a,a' .MM' 0

thì d và d’ chéo nhau.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.

Ta làm như sau:

Xét pt: 0 0 0A +B +C +D=0 x at y bt z ct (*).Giải pt tìm t.

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm. o Pt (*) vô nghiệm d song song với (P). o Pt(*) có vô số nghiệm t d nằm trong (P).

Chú ý:

0t 1 voâ nghieäm.

0t =-2 voâ nghieäm.

0t 0 voâ soá nghieäm

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH. 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A

AB AC AB AC AB.AC 0

Phương pháp:

www.VNMATH.com

14

Tính AB ...,AC .....

Tính AB.AC H.H T.T C.C 0

Suy AB AC

Suy ra AB AC . Kết luận tam giác ABC vuông tại A

Chú ý:

Nếu tam giác ABC vuông tại B BC BA BC BA.BC 0

Nếu tam giác ABC vuông tại C C CB CA CB CA.CB 0

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ VUÔNG GÓC với nhau.

Cần nhớ: d d' d d 'd d ' a a a .a 0

Phương pháp:

Đường thẳng d có VTCP: a

=...

Đường thẳng d’ có VTCP: a'

=...

Tính a.a H.H T.T C.C 0

Suy ra: a a

. Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’. Phương pháp:

Do d d ' d d 'd d ' a a a .a 0 ..... ......

ta giải pt tìm được tham số.

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’. Cần nhớ:

Hai đường thẳng song song không có điểm chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.

Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1:

Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương a,a'

cùng phương:

Ta chứng minh a,a' 0

.

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận. Cách 2:

Bước 1: Lập tỉ số: Tức là

1 2 3

1 2 3

a a ;a ;a

a' a' ;a' ;a'

cùng phương 31 2

1 2 3

aa a

a' a' a' .

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.

www.VNMATH.com

15

5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’. Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương

1 2 3

1 2 3

a a ;a ;a

a' a' ;a' ;a'

.

Bước 2: Vì d //d’ nên a,a'

cùng phương 31 2

1 2 3

aa a

a' a' a' , lập pt hoặc hệ pt để tìm m.

6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và d’:

0

0

0

' ' '

' ' '

' ' '

x x a t

y y b t

z z c t

Cách tìm: Bước 1:

Gọi I là giao điểm của d và d’.

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: 0 0

0 0

0 0

' ' ' (1)

' ' ' (2)

' ' ' (3)

x at x a t

y bt y b t

z ct z c t

(*)

Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.

Giải hệ pt 0 0

0 0

' ' ' (1) ' '

' ' ' (2) ' '

x at x a t at a t m

y bt y b t bt b t n. Tìm t và t’.

Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm.

Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.

7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau. Cách 1:

Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a

của d.

Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'

của d’.

Chứng minh: a,a' 0

a,a' .MM' 0

.

Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.

Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a

của d.

www.VNMATH.com

16

Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'

của d’.

Chứng minh: a,a' .MM' 0

.

VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. Cách tính: Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:

Chọn điểm M thuộc (P).

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd P , Q d M, Q

A B C

.

VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Chọn điểm M thuộc d.

d d,d ' d M,d ' .

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

.

Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.

Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: 0 0 0M x at;y bt;z ct .

VẤN ĐỀ 18: GÓC. 1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.

a.a'

cos = cos a,a'a . a'

Chú ý: 0 00 90 .

2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

n.n '

cos = cos n,n 'n . n '

Chú ý: 0 00 90 .

3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

a.n

sin = cos a,na . n

Chú ý: 0 00 90 .

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).

Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d d I, P .

o TH1: d r (P) (S)= . (hay (P) và (S) không có điểm chung).

o TH2: d r (P) tieáp xuùc côùi maët caàu (S).

www.VNMATH.com

17

o TH3: d r (P) caét (S) theo thieát dieän laø moät ñöôøng troøn (C).

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0M(x ;y ;z )và

vuông góc với đường thẳng d. 0 0 0HD

P d

Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )

VTPT n a

Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:

x 1 2t

y 3t

z 2

Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C). - Gọi H là tâm của (C).

Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc mp(P).

- Gọi r’ là bán kính của (C).

Khi đó: 2 2 2 2 2r R d r R d . Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam giác IMH vuông tại H.

Với: R=IM, d=IH= d I, P và r=MH.

r Ir I

HHMMM

dr’

r

1. Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0

đgl vectơ pháp tuyến của

mp(P) nếu giá của n

vuông góc với (P), viết tắt là n (P)

.

- Nếu hai vectơ a, b

không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)

thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: Pn a,b

.

- Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với 2 2 2A B C 0

- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến

Pn A;B;C

có dạng: 0 0 0A x x B y y C z z 0 .

Cần nhớ:

- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:

0 0 0

P

moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp

moät VTPT n A;B;C

www.VNMATH.com

18

Bài giải HD

P d

Ñieåm ñi qua A(2;2-1)

VTPT n a

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là P dn a 2; 3;0

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

2 x 2 3 y 2 0 z 1 0

2x 4 3y 6 0

2x 3y 2 0

Cần nhớ:

- Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ da

làm vectơ pháp tuyến.

Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng

d: x 1 y 2 z

1 2 2

Bài giải HD

P d

Ñieåm ñi qua A(2;2-1)

VTPT n a

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là P dn a 1;2; 2

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 2 2 y 2 2 z 1 0

x 2 2y 4 2z 2 0

x 2y 2z 8 0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ da


Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua B(0;2;0)

VTPT n AC

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn AC 2;0;2

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 0 0 y 2 2 z 0 0

x + 2z = 0

x+z=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC

làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.

www.VNMATH.com

19

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua B(0;2;0)

VTPT n BC

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn BC 0; 2;2

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 0 2 y 2 2 z 0 0

y+4+2z=0

y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC

làm vectơ pháp tuyến. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)

VTPT n AB

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. - Gọi I là trung điểm của AB I 2;2;2

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn AB 2;2;2

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 0 2 y 2 2 z 0 0

y+4+2z=0

y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Kiến thức cần nhớ:

- Trục Ox có VTCP là i 1;0;0

.

- Trục Oy có VTCP là j 0;1;0

.

- Trục Oz có VTCP là k 0;0;1

.

- Mp (Oxy) có VTPT: n i, j k 0;0;1

.

- Mp (Oyz) có VTPT: n j,k i 1;0;0

- Mp (Oxz) có VTPT:

n k,i j 0;1;0 .

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3)

VTPT n i 1;0;0

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

www.VNMATH.com

20

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn i 1;0;0

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 0 y 2 0 z 3 0

x-1=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i

làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.

Bài giải

HD

P


VTPT n j 0;1;0


- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn j 0;1;0

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 1 y 2 0 z 3 0

y-2=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j


3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.

Bài giải

HD

P


VTPT n k 0;0;1


- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn k 0;0;1

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 0 y 2 1 z 3 0

z =0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k


Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0 0

HD

P

Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )

VTPT n AB,AC

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua A

VTPT n AB,AC

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn AB,AC

Với

AB 1;1;0

AC 1;0;1

www.VNMATH.com

21

Pn AB,AC 1;1;1

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 1 y 0 1 z 0 0

x 1 y z 0

x y z 1 0

Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).

Bài giải HDPÑieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn OM,ON

Với

OM 1;1;1

ON 1; 1;1

Pn OM,ON 2;0; 2

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 0 0 y 0 2 z 0 0

x 2z 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0M(x ;y ;z )và song

song với mp(Q) 0 0 0HD

P Q

Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )

VTPT n n

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0.

Bài giải HD

P Q

Ñieåm ñi qua A(1;2;3)

VTPT n n

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có VTPT là P Qn n 2;2;1

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 2 y 2 1 z 3 0

x 2 2y 4 z 3 0

x 2y z 3 0

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)

Bài giải HD

P ABC

Ñieåm ñi qua M

VTPT n n AB,AC


www.VNMATH.com

22

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn AB,AC

Với

AB 1;1;0

AC 1;0;1

Pn AB,AC 1;1;1

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 1 y 2 1 z 3 0

x 1 y 2 z 3 0

x y z 6 0

Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là ABCn AB,AC

.

Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).

Bài giải

HD

P


VTPT n i, j k 0;0;1


- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn i, j k 0;0;1

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 0 y 2 1 z 3 0

z-3=0

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).

Bài giải

HD

P


VTPT n k,i j 0;1;0


- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn i,k j 0;1;0

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 1 y 2 0 z 3 0

y-2=0

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).

Bài giải

HD

P


VTPT n j,k i 1;0;0


- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn j,k i 1;0;0

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 1 0 y 2 0 z 3 0

x-1=0

www.VNMATH.com

23

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc

với mp(Q) HD

P Q

Ñieåm ñi qua A

VTPT n AB,n

Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0

Bài giải HD

P Q

Ñieåm ñi qua A

VTPT n AB,n

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

Q

AB 1; 2;5

n 2; 1;3

- Mặt phẳng (P) có VTPT là P Q: n AB,n 1;13;5

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 3 13 y 1 5 z 1 0

x-13y-5z+5=0

Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua A

VTPT n AB,k

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

AB 1; 2;5

k 0;0;1

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn AB,k

=(-2;1;0)

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 3 1 y 1 0 z 1 0

x+y+5=0

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua O

VTPT n OA,i

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

OA 1;1;1

i 1;0;0

www.VNMATH.com

24

- Mặt phẳng (P) có VTPT là Pn OA,i

=(0;1;-1)

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

x 0 1 y 0 1 z 0 0

y-z=0

Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.

HD

AB

Ñieåm ñi qua A

VTPT a AB

Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ AB

. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

Bài giải HD

AB

Ñieåm ñi qua A

VTPT a AB

- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: ABa AB

=(1;-1;1).

- Pt tham số của AB là:

0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2 t

z 3 tz z ct

.

Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG.

Kiến thức cần nhớ: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đường thẳng hoặc

trùng với đường thẳng.

- Đường thẳng d qua điểm 0 0 0M(x ;y ;z ) có vectơ chỉ phương da a;b;c

:

Có pt tham số: 0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

.

Có phương trình chính tắc: 0 0 0x x y y z z, a.b.c 0

a b c

- Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm:

0 0 0

d

moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc ñöôøng thaúng

moät VTCP a a;b;c

www.VNMATH.com

25

Bài giải HD

OG

Ñieåm ñi qua O

VTPT a OG

- Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).

- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: OGa OG

=(2;3;4).

- Pt tham số của OG là:

0

0

0

x x at x 0 2t x 2t

y y bt y 0 3t y 3t

z 0 4t z 4tz z ct

.

Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).

HD

d P

Ñieåm ñi qua M

VTPT a n

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.

Bài giải HD

d P

Ñieåm ñi qua M

VTPT a n

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d Pa n

=(1;-2;-1).

- Pt tham số của d là:

0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2 2t

z 3 tz z ct

.

Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC).

Bài giải HD

d ABC

Ñieåm ñi qua O

VTPT a n AB,AC

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d ABCa n AB,AC

=(1;1;1).


0

0

0

x x at x t

y y bt y t

z tz z ct

.

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua M

VTPT a i, j k


www.VNMATH.com

26

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: da k

=(0;0;1).


0

0

0

x x at x 1

y y bt y 2

z 3 tz z ct

.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường

thẳng d’:

x 1 t

y 2 3t

z 3 4t

Bài giải HD

d d '

Ñieåm ñi qua M

VTPT a a


- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d ' a a

=(1;-3;4).


0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4tz z ct

.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường

thẳng d’: x 12 y 23 z

1 3 4

Bài giải HD

d d '

Ñieåm ñi qua M

VTPT a a


- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d d ' a a

=(1;-3;4).


0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4tz z ct

.

Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A

VTPT a BC

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a BC

=(1;-3;4).

www.VNMATH.com

27


0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4tz z ct

.

Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A

VTPT a i


- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a i

=(1;0;0).


0

0

0

x x at x 1 t

y y bt y 2

z 3z z ct

.

Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A

VTPT a j


- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d a j 0;1;0

.


0

0

0

x x at x 1

y y bt y 2 t

z 3z z ct

.

Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A

VTPT a k

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là d a k 0;0;1

x 1

Pt : y 2

z 3 t

Phương trình các trục tọa độ

Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i 1;0;0

có pt tham số là:

x t

y 0

z 0

.

Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j 0;1;0


x 0

y t

z 0

.

Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k 0;0;1


x 0

y 0

z t

.

www.VNMATH.com

28

Phương trình các mặt phẳng tọa độ.

Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: n i, j k 0;0;1

có pt: z=0.

Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT:

n k,i j 0;1;0 có pt: y=0.

Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: n j,k i 1;0;0

có pt: x=0.

Kiến thức không được quên:

Pt mp(Oxy) là: z=0 Pt mp(Oxz) là: y=0 Pt mp(Oyz) là: x=0

Vấn đề 2: Các dạng toán khác. Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:

x 1 t

y 1 t

z 2t

và mp(P):x+y-2z-4=0.

Bài giải.

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0

-2+2t=0 2t=2 t=1

x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2)

z=-2.1=-2

Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số.

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x 1 y 1 z

1 1 2

và mp(P):x+y-2z-4=0.

Bài giải. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

- Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương da 1;1; 2

.

- Phương trình tham số của d là:

x 1 t

y 1 t

z 2t

Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P). - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

www.VNMATH.com

29

t+4-4=0

-2+2t=0

2t=2

t=1

x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2)

z=-2.1=-2

Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước. Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Bài giải

Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. - Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1).

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: ABa AB

=(1;-3;2).

- Pt tham số của AB là:

0

0

0

x x at x 0 t

y y bt y 2 3t

z 1 2tz z ct

.

Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). - Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0

t+2-3t+3+6t=0

5t+5=0

5t=-5 t=-1

x=-1

y=2-3 -1 5 H( 1;5; 1)

z 1 2 1 1

Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0). B(0;1;0), C(0;0;1). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên BC. Hướng dẫn:

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC. - Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC. - Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau d d'a .a 0

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

x t

y 2 3t

z 1 2t

và d’:

x 2t

y 2 2t

z 1 2t

vuông góc với nhau

www.VNMATH.com

30

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a 1; 3;2

.

- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a' 2;2;2

.

- Ta có: a.a' 1.2 3.2 2.2 0

- Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau.

Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với nhau ta đi chứng minh tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.

Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2). Chứng minh hai đt OA và d:

x 2t

y 2 2t

z 1 2t


Bài giải

- Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương: OA 1; 3;2

.

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a 2;2;2

.

- Ta có: OA.a 1.2 3.2 2.2 0

- Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuông góc với nhau.

Bài 3: Chứng minh đường thẳng d:

x 2

y 2 8t

z 1 9t

vuông góc với trục Ox

Bài giải


.

- Trục Ox có vectơ chỉ phương: i 1;0;0

.

- Ta có: a.i 0.1 8.0 10.0 0

- Vậy: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox.

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Cần nhớ: Hai đt song song không có điểm chung:

Ta chöùng minhhai VTCP cuøng phöông

ñieåm ñt naøy khoâng ñt kia


x t

y 2 t

z 1 t

và d’:

x 2t

y 2 2t

z 3 2t

song song với

nhau. Bài giải



.

- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a' 2;2;2

.

+ Ta chứng minh hai VTCP cùng phương:

www.VNMATH.com

31

Cách 1: a vaø a' cuøng phöông do 1 1 1

2 2 2 .

Caùch 2: Do a' =2 a neân a vaø a' cuøng phöông.

Caùch 3: Do a,a' 0;0;0 0 neân a vaø a' cuøng phöông.

+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng không thuộc d’.

Thế tọa độ điểm A vào pt của d’:

0 2t t 0

2 2 2t t 2

1 5 2t t 3

suy ra A không thuộc d’.

Vậy: d và d’ song song với nhau.

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’ ba t baèng nhau A d'

ba t khoâng baèng nhau A d'

.

Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia. Đề thi Tốt nghiệp năm 2008.

Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d: x 1 y 1 z

2 1 2

. CMR đường thẳng OM song song đt d.

Bài giải - Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OM có vectơ chỉ phương: OM 2;1; 2

.

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a' 2; 1;2

.

Ta có: OM vaø a cuøng phöông do 2 1 2

12 1 2

Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta có: 0 1 0 1 0

2 1 2

. Suy ra điểm O thuộc đường

thẳng OM nhưng không thuộc đt d. Vậy: Đt OM song song đường thẳng d.

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d ba phaân soá baèng nhau d

ba phaân soá khoâng baèng nhau d

.

Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp:

Ta chứng minh a.n 0

và điểm thuộc đt nhưng không thuộc mp.


x 1 2t

y 2 3t

z 3 6t

song song mp(P): 3x+4y+z-9=0.

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a 2;3; 6

.

- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 3;4;1

.

- Ta có: a.n 2.3 3.4 6.1 0

.

www.VNMATH.com

32

- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P). - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P).

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp..


x 1 2t

y 9

z 10 6t

song song mp(Oyz).

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a 2;0; 6

.

- MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: j 0;1;0

.

- Ta có: a.j 2.0 0.1 6.0 0

- Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d nhưng không thuộc (Oyz). - Vậy: ĐT d song song mp(Oyz).

Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz). Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y-3z-9=0. Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P). Bài giải

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương: a 1; 1;0

.

- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 2;2; 3

.

- Ta có: a.n 1.2 1.2 0.( 3) 0

- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P). - Vậy: ĐT AB song song mp(P).

Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp:

Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau.

Bài 1: CM đt d:

x 1 t

y 2 2t

z 4 3t

vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0.

Bài giải


.

- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 2;4;6

.

- Ta có: 1a. n hoaëc n 2a

2

nên a, n

cùng phương với nhau.

- Vậy: ĐT d vuông góc mp(P). Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác. Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.

Ta chứng minh: AB,AC

không cùng phương.

Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác. Bài giải

www.VNMATH.com

33

- Ta có:

AB 1;1;0

AC 1;0;1

- Nhận xét: AB,AC 1;1;1 0

nên AB,AC

không cùng phương nên A, B, C là

ba đỉnh một tam giác. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ta chứng minh: AB,AC

cùng phương.

Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài giải

- Ta có:

AB 1;1;1

AC 8;8;8

- Nhận xét: AB,AC 0;0;0 0

nên AB,AC

cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.

Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông tại A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Bài giải

- Ta có: AB 0; 3;4 , AC 12;0;0

- Do AB.AC 0.12 3.0 4.0 0 AB AC AB AC

nên ABC vuông tại A. Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1). Bài giải

- Ta có:

AB 2;0; 1 AB 3

AC 2;1;0 AC 3

- Do AB AC 3

nên ABC cân tại A.

Cần nhớ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau. Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải

- Ta có:

AB 1;1;0 AB 2

AC 1;0;1 AC 2

BC 0; 1;1 BC 2

- Do AB AC AC 2

nên ABC là tam giác đều.

Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.

www.VNMATH.com

34

Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P). 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P). Bài giải 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).

- Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: d P a n 1;2; 2

.


0

0

0

x x at x 2 t

y y bt y 1 2t

z 2tz z ct

.

Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P). - Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0

2 t 2 4t 4t 9 0

9t 9 0

9t 9

t 1

x

y=3 H( 1;3; 2)

z=-2

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên (P) là H(-1;3;-2). 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).

- Do A và A’ đối xứng nhau qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

- Áp dụng công thức:

/

/

/

/

//

2 2 2 2 0

2 6 1 5 A '= 0 ;5 ;-42

2 4 0 4

2

A AH

H AA

A AH H AA

H AAA AH

x xx

x x xy y

y y y y

z z zz zz

Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4). Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt.

Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:

x 1 2t

y 1 t

z t

.

1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d. 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. Bài giải 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.

- Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d.

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là P dn a 2;1; 1

.

- 0 0 0Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0

www.VNMATH.com

35

x 1 1 y 1 1 z 8 0 x+y-z+5=0

Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d. - Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0

t+2t+4=0

x=-1

6t=-6 t=-1 y=-2 H( 1; 2;1)

z=1

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1). 2.. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’.

- Áp dụng công thức:

/

/

/

/

//

2 2 2 1 3

2 4 2 5 A'= -3;-5;-62

2 2 8 6

2

A AH

H AA

A AH H AA

H AAA AH

x xx

x x xy y

y y y y

z z zz zz

Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6). Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh của một tứ diện).

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB,AC .AD 0

.

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3). 1. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Giải

- Tính AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3

- Tính AB,AC 7;15;13 , AB,AC .AD 45 39 6

.

- Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh AB,AC .AD 0

2. Tính thể tích tứ diện ABCD. Giải

- Tính AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3

- Tính AB,AC 7;15;13 , AB,AC .AD 45 39 6

.

- Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1 1V AB,AC .AD 6 1

6 6

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh rằng OABC là một tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC. Giải

www.VNMATH.com

36

Chứng minh OABC là một tứ diện.

- Tính OA 1;0;0 , OB 0;1;0 , OC 0;0;1

- Tính OA,OB 0;0;1 , OA,OB .OC 0.0 0.0 1.1 1 0

.

- Vậy: OABC là một tứ diện.

Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1 1 1V OA,OB .OC 1

6 6 6

Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau a,a' .AB 0

. Với A thuộc d và B thuộc d’.


x 2 t

y 3 t

z 4

và d’:

x 7 t

y 8

z 9 t

chéo nhau.

Giải

- Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ chỉ phương là a 1;1;0

.

- Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là a' 1;0;1

.

- Tính a,a' 1;1;1 , AB 5;5;5

.

- Tính a,a' .AB 1.5 1.5 1.5 15 0

.

- Vậy: d và d’ chéo nhau.

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d: x 1 y 2 z

2 2 1

và d’:

x y 5 z 4

2 3 1

chéo nhau. Giải

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là a 2; 2;1

.

- Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ chỉ phương là a' 2;3; 1

.

- Tính a,a' 1;0;2 , AB 1; 7;4

.

- Tính a,a' .AB 1 1 0. 7 2.4 9 0

.

- Vậy: d và d’ chéo nhau.

Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM a,a' .AB 0

.

Vấn đề 9: Tìm giao điểm của hai đường thẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:

x 1 t x=2-2t'

y 2 3t , d': y=-2+t'

z 3 t z=1+3t'

Giải - Gọi H là giao điểm của d và d’.

www.VNMATH.com

37

- Xét hệ phương trình:

1 t 2 2t ' (1)

2 3t 2 t ' (2)

3 t 1 3t ' (3)

- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 1 t 2 2t ' t 2t ' 1 t 1

2 3t 2 t ' 3t t ' 4 t ' 1

- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa).

- Thế t=-1 vào pt d:

x 1 1 0

y 2 3( 1) 1 H(0; 1;4)

z 3 ( 1) 4

Cần nhớ: Nếu thế t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’. Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H.

Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:

x 1 t x=2-2t'

y 2 3t , d': y=-2+t'

z 3 t z=9+3t'

Giải - Gọi H là giao điểm của d và d’.


1 t 2 2t ' (1)

2 3t 2 t ' (2)

3 t 9 3t ' (3)

- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 1 t 2 2t ' t 2t ' 1 t 1

2 3t 2 t ' 3t t ' 4 t ' 1

- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-1=9+3.t (vô lí). - Vậy: d và d’ không cắt nhau.

Cần nhớ:

Hệ phương trình:

1 t 2 2t ' (1)

2 3t 2 t ' (2)

3 t 9 3t ' (3)

có hai ẩn là t và t’. Nghiệm của hệ pt là cặp giá

trị t, t’ thỏa cả ba pt (1), (2), (3). Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) hoặc (1) và (3) hoặc (2) và (3). Rồi thế t

và t’ vào pt còn lại.

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2012 Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:

www.VNMATH.com

38

1. OM 5i 2j 7k.

2. OM 3k.

3. OM i 3j.

4. AM i 3j k , A(1;-1;2).

5. AM i k , A(-1;-1;3).

6. AM i 2j k , A(0;-1;-2)

Bài 2: Tìm tọa độ điểm M biết:

1. MA 2MB

với A(2;1;0), B(-2;0;1).

2. -3MA 2MB

với A(2;1;4), B(-2;3;1). 2 1

3. MA MB3 2

với A(2;1;0), B(-2;0;1).

Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ: 1. a 2;1;4 , b 6;0;3 . 2. a 0;0;1 , b 2;0;2

.

Bài 4a: Xét sự cùng phương của các vectơ sau.

1. a 1;1;1 , b 2;2;2 , a 4;4;4 , b 3;3;3

2. a 2;4;6 , b 2;4;0 a 1;3;0 , b 2; 6;0

3. a 1;3;1 , b 2;7;2 a 1; 3; 1 ,

b 2; 7; 2

4. a 1;2;0 , b 2;4;0 a 0;4; 8 , b 0; 2;4

5. a 0;1;2 , b 0;4;8 a 0; 1;3 , b 0;2;6

6. a 1;2;9 , b 0;3;1 a 5;6;9 , b 0;3;3

Bài 4b: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).

1. Tính góc giữa hai vectơ AB, AC

.

2. Tính góc giữa hai vectơ BA, BC

.

3. Tính góc giữa hai vectơ CA, CB

.

Bài 5: Cho a m;6; 5 , b m; m; 1

. Tìm m để a b

.

Bài 6: Cho a m;3; 2 , b m; m; 1

. Tìm m để a b

.

Bài 7: Cho a m;1;6 , b m; m;1

. Tìm m để a b

.

Chứng minh tam giác vuông Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Chứng minh tam giác cân. Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2).

1. Chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A. 2. Tính chu vi tam giác ABC. 3. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2). 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 4. Tính chu vi tam giác ABC. 5. Tính diện tích tam giác ABC.

www.VNMATH.com

39

Chứng minh tam giác đều Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

MẶT CẦU Xác định tâm và bán kính mặt cầu

Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

2 2 2

2 2 2

2 22

1. x-1 y 2 z 3 4

2. x+1 y 2 z 3 9

3. x-2 y z 1 2

2 22

2 2 2

2 2 2

4. x y 3 z 3 36

5. x+2 y 3 z 16

6. x y z 3

Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1. x y z 2x 4y 6z 2 0

2. x y z 2x 4y 6z 1 0

3. x y z 4x 2y 4z 2 0

4. x y z x y z 0

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

5. x y z 3x y 5z 2 0

6. x y z 2x 4z 0

7. x y z 4y 2z 1 0

8. x y z 2x 2 0

Viết phương trình mặt cầu: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Bài 20: Viết phương trình mặt cầu: 1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3. 2. Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có

tâm là điểm A và bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Bài 21: Viết phương trình mặt cầu:

1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16. 2. Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có

tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC. Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1). Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9). Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ. Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1). Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1). Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0. Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0. Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0. Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2). Bài 32: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).

Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0). Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

www.VNMATH.com

40

Bài 35: Viết Pt mc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;1). Bài 35a(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ hoặc trục tọa độ.

Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0. Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0. Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0. Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy). Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz). Bài 41: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox. Bài 42: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến

Bài 43: Viết pt mp (P) qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đt BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3). Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0). Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại A. Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết pt mp (P) qua A và vuông góc với BC. Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 49: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d:

x 2 t

y 1 2t

z 1 2t

.

Bài 50: Viết pt mp (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng

d:

x t

y 1

z 1 2t

, biết A(1;2;3), B(3;2;1).

Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 1

2 1 2

.

Bài 52: Viết pt mp (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0. Bài 53: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0. Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0. Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0. Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba

www.VNMATH.com

41

điểm A, B, C. Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C. Bài 60: Viết pt mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1). Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A .

Mặt phẳng qua một điểm và có hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.

Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:

x 2 t

y 1 2t

z 1 2t

.

Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: x 1 y z 1

2 1 2

.

Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox. Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy. Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz. Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0. Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0. Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.

Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:

x 2 x 2 2t

y 2t , d': y 4

z 1 2t z 3 t

.

Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB. 3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.

Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau

d:

x 1 tx 1 y 2 z 4

, d': y t2 1 3

z 2 3t

.

Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x 1 y 2 z 3

1 2 3

và song

song với đường thẳng d’:

x 1 t

y t

z 1 t

.

www.VNMATH.com

42

Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

x 1

y 4 2t

z 3 t

và song song với

đường thẳng d’:

x 3 3t

y 1 2t

z 2

.

Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

x 2 2t

y 1 t

z 1

và song song với

đường thẳng d’:

x 1

y 1 t

z 3 t

.

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . Bài 78: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: 1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0 Bài 79: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Bài 80: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4). Bài 81: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0. Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). Bài 82: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mp(P): 2x-2y-z=0.

1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P). PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Bài 83: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1). Bài 84: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1). Bài 85: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 86: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 87: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ. Bài 88: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3). Bài 89: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Bài 90: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27). Bài 91: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ.

CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 92: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4). 1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.

2/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN.

www.VNMATH.com

43

Bài 93: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-3y+6z+35=0 . 1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P) . 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P) . 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) . Bài 94: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình

là :

1 2

z 1 3

x t

y t

t

và mp(P) có phương trình là 2x-y+z=0 .

1/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) .

Bài 95: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+2y+z-7=0 . 1/ Viết phương trình đường thẳng MN. 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P). Bài 96: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-10=0. 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P). Bài 97: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) . 1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC. Bài 98: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình 2x-2y+z-1=0 . 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) . 2/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P). 3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC. 2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường

thẳng d có phương trình:

1 2

3

z 6

x t

y t

t

.

1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 3/ Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N. Bài 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+y-2z-4=0. 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P). 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

www.VNMATH.com

44

Bài 102: Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7). 1/ Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF. Bài 103: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 1/ Tìm tọa độ trọng tâm G. 2/ Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. Bài 104: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x+2y-2z+6=0. 1/ Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với mp(P). Bài 105: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y+z+6=0 . Bài 106: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x-2y+2z+12=0 .

Bài 107: Cho mặt cầu (S) có pt : 2 2 2( 1) ( 1) (z 5) 25x y

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;1;10). Bài 108: Cho mặt cầu (S) có pt : 2 2 2 4 2 21 0x y z x y

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;-3;1). Bài 109: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 110: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm I(1;0;2)và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 111: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm M(-1;0;2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 112: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm A(1;2;-2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P).

TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 113: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

1/ d:

1

3

2

x t

y t

z t

và mp(P): 2x+y+2z=0. 2/ d:

12 4

9 3

1

x t

y t

z t

và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.

Bài 114: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

1/ d: 3 1 3

2 1 1

x y z và mp(P): x+2y-z+5=0. 2/ d:

2 3

1 2 2

x y z

và mp(P): 2x+y-z-

5=0. TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Bài 115: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:

1/ d:

1 2

2

1 3

x t

y t

z t

và d’:

2 '

1 2 '

1 '

x t

y t

z t

2/ d: 1 2 4

2 1 3

x y z

và d’:

1

2 3

x t

y t

z t

www.VNMATH.com

45

3/ d:

0

1

1

x

y

z t

và d’:

2 2 '

1

0

x t

y

z

4/ d: 2 1 1

1 2 1

x y z và d’:

1 2 '

2 '

1 3 '

x t

y t

z t

TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 116: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

1/ d:

1

3

2

x t

y t

z t

và mp(P): 2x+y+2z=0. 2/ d:

12 4

9 3

1

x t

y t

z t

và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.

TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 117: Tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng

1/ d:

1 2

2

1 3

x t

y t

z t

và d’:

2 '

1 2 '

1 '

x t

y t

z t

2/ d: 1 2 4

2 1 3

x y z

và d’:

1

2 3

x t

y t

z t

TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 118: Tính góc giữa hai mặt phẳng: 1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0. 3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0. CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU. Cách giải: Ta đi giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:

3 2

2 3

6 4

x t

y t

z t

và d’:

5 '

1 4 '

20 '

x t

y t

z t

cắt nhau .

Giải


3 2 5 ' (1)

2 3 1 4 ' (2)

6 4 20 ' (3)

t t

t t

t

.

- Từ (1) và (2) suy ra 2 ' 8 3

3 4 ' 1 ' 2

t t t

t t t

.

- Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn . - Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18).

Bài 119: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau:

www.VNMATH.com

46

1/ d:

1 2

2

1 3

x t

y t

z t

và d’:

2 '

1 2 '

1 '

x t

y t

z t

2/ d: 1 2 4

2 1 3

x y z

và d’:

1

2 3

x t

y t

z t

3/ d:

0

1

1

x

y

z t

và d’:

2 2 '

1

0

x t

y

z

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau ta chứng minh: , ' . ' 0a a MM

.

Với M thuộc d và M’ thuộc d’ .

Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:

3

1

2 2

x t

y t

z t

và d’:

'

2 3 '

2 '

x t

y t

z t

chéo nhau

Giải

- Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương 1' 1'2a

.

- Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ chỉ phương ' 1;3;2a

.

- Tính , ' ( 8; 4;2), ' ( 3;1; 2)a a MM

- Tính , ' . ' 24 4 4 16 0a a MM

.

- Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. Bài 120: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau:

1/ d:

2

5 3

4

x t

y t

z

và d’: 1 2

2 2 1

x y z

2/ d:

1

2 2

3

x t

y t

z t

và d’:

1

3 2

1

x t

y t

z

III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

Cách giải : Chứng minh . 'a a

=0 (chứng minh tích vô hướng bằng 0)


1

2 3

3

x t

y t

z t

và d’:

2 2 '

2 2 '

1 4 '

x t

y t

z t



5

3 2

4

x t

y t

z t

và d’:

9 2

13 3

1

x t

y t

z t


www.VNMATH.com

47

Bài 123: Chứng minh hai đường thẳng d: 1 2

2 1 1

x y z

và d’:

5 4

2 3 1

x y z

chéo nhau

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP

------------------------------------------------------------------ Bài 124: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7). 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S). 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A. 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B.

Bài 125: Cho mặt cầu (S): 2 2 2( 3) ( 2) ( 1) 100x y z và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.

1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P). 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 126: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. Bài 127: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7). Bài 128: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện. b/ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện. Bài 129: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD. c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Bài 130: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD). c/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD). Bài 130: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3). a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC). d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. e/ Tính thể tích tứ diện ABCD.

Bài 131: Cho hai đường thẳng d:

1x t

y t

z t

và d’:

2 '

1 '

'

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.


1 3

1 2

3 2

x t

y t

z t

và d’:

'

1 '

3 2 '

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc một mặt phẳng. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’

www.VNMATH.com

48

c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. Bài 133: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC. Bài 134 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0. a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P). d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q).

Bài 135: Cho đường thẳng d:

1 2

2

3

x t

y t

z t

và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0.

a/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d. c/ Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 136: Lập phương trình tham số của đường thẳng d. a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0).

b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’:

1 2

2

3

x t

y t

z t

.

c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0. Bài 137: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0).

b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d:

1 2

2

3

x t

y t

z t

biết A(1;2;3), B(1;-2;-3). c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0. d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1). e/ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3).

f/ Chứa đường thẳng d:

1 2

2

3

x t

y t

z t

và song song đường thẳng d’:

1

2 2

3

x t

y t

z

.

g/ Chứa hai đường thẳng d:

1 2

2

3

x t

y t

z t

và d’:

1

2 2

3

x t

y t

z

.

h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0.


1

2

3

x t

y t

z t

và d’:

2 2 '

3 4 '

5 2 '

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.

www.VNMATH.com

49


1

2 3

3

x t

y t

z t

và d’:

2 2 '

2 '

1 3 '

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d và d’. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.


5

3 2

4

x t

y t

z t

và d’:

9 2 '

13 3 '

1 '

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. . b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.


1 2

1 3

5

x t

y t

z t

và d’:

1 3 '

2 2 '

1 2 '

x t

y t

z t

.

a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d. Bài 143: Cho điểm A(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0. 1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q). 3/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Bài 144: Cho điểm M(-2;1;0) và đường thẳng d:

1 2

2

x t

y t

z

.

1/ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M và song với d. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d. Xác định hình chiếu vuông góc của M lên d. Bài 145: Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5). Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC.

1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm G, I. 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I và qua G. 3/ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại G.

4/ Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 146: Cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) và đường thẳng d: 1 1

2 1 1

x y z

.

1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.Tìm giao điểm H của (P) và d. Tính độ dài đoạn AH. 3/ Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng OI. Bài 147: Cho điểm A(0;-1;2) và mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0. 1/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Tính độ dài đoạn AH. 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P). 3/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

www.VNMATH.com

50

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 148: ĐHBK năm 96. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).

1. Chứng minh rằng ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. 2. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC). 3. Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 149: CĐSP Hà Nội 97. Cho mặt cầu (S) có pt: 2 2 2x y z 2x 4y 4z 0 .

1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu. 2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox,

Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 3. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ

điểm H. Bài 150: ĐHGTVT 99. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0.

1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P). 2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). 3. Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P)

Bài 151: ĐH Huế 96. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC). 2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính

mặt cầu (S). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S). Bài 152: ĐH GTVT 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

2 2 2x y z 2x 4y 6z 2 0 và song song với mặt phẳng

(Q): 4x+3y-12z+1=0. Bài 153: ĐH Thủy lợi 96. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

2 2 2x y z 10x 2y 26z 113 0 và song song với hai đường thẳng:

x=-7+3tx 5 y 1 z 13

d : , d': y=-1+2t2 3 2

z=8

.

Bài 154: ĐH KT 95. Cho mặt cầu (S): 2 2 2

x 3 y 2 z 1 100 và mặt phẳng

(P): 2x-2y-z+9=0. 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). 2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).

Bài 155: ĐH Luật 2000. Cho mặt cầu (S): 2 2 2x y z 4 và mặt phẳng (P): x+z=2.

Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S). Bài 156: ĐH SP KB-D 2000. Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M là trung điểm AB và N là tâm của hình vuông ADD’A’.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N.

Bài 157: ĐHDL 97. Cho mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2x 2 0 và mặt phẳng (P): x+z+1=0.

1. Tính bán kính và tọa độ tâm mặt cầu (S). 2. Tính bán kính và tọa độ tâm của đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt

cầu (S). Bài 158: ĐHBK KA 2000. Cho hính chóp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0).

1. Chứng minh rằng: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là

www.VNMATH.com

51

các tam giác vuông cân. 2. Tìm tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB.

3. Viết phương trình mặt cầu tâm D và có bán kính r 18 .

Bài 159: ĐHCĐ 97. Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 và đt d: x 3 y 1 z 3

2 1 1

.

1. Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P).

Bài 160: ĐHNN 97. Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;4;5). Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm H của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). HD: Mp(Oxy) có pt: z=0.

Bài 161: ĐH Huế 98: Cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng d:

x 1

y 2t

z 4 2t

.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. 2. Xác định điểm B đối xứng với A qua d.

Bài 162: ĐHTM 98. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) và C(2;1;-1). 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. Tính thể tích tứ

diện OABC. HD: Để xác định chân đường cao ta có 2 cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy ra tọa độ điểm

H, áp dụng AH.BC 0

. Cách 2: Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A và vuông góc với BC, tìm giao điểm H của đt BC và mp(Q). Bài 163: HVNH TPHCM 99: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).

1. Viết pt tham số đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc BC. Tìm tọa độ điểm H. 2. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt

phẳng (BCD).

Bài 164: ĐHBK HN 98. Cho đường thẳng d:

x 1 2t

y 2 t

z 3t

và mp(P): 2x-y-2z+1=0.

1. Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.

2. Gọi K là điểm đối xứng với của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d. Xác định tọa độ điểm K.

Bài 165: ĐHBK 97. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d: x 1 y 2 z 2

3 2 2

.

Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Bài 166: Xác định hình chiếu vuông góc của A(1;2;-1) lên d:

x 1 t

y t

z 1

.

Bài 167: HV Kỹ Thuật QS 98. Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). 1. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC). 2. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Bài 168: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0 1. Viết phương trình tổng quát của mp(Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa hai

www.VNMATH.com

52

mặt phẳng (P) và (Q). 2. Hạ AH vuông góc với (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng AH. Tìm tọa

độ điểm H.

Bài 169: ĐHBK 99. Cho đường thẳng d: x 1 y 1 z 3

1 2 2

và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0.

1. Tìm giao điểm của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P).

Bài 170: Cho đường thẳng d: x 2 y 1 z 1

2 3 5

và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0.

1. Tìm giao điểm của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P).

Bài 171: ĐH NN 97. Cho hai đường thẳng d:

x 2 2t

y 1 t

z 1

và d’:

x 1

y 1 t '

z 3 t '

.

1. Chứng minh d và d’ chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’.

Bài 172: PVBC TPHCM 99. Cho hai đt d: x 1 y 1 z 2 x-2 y 2 z

, d':2 3 1 2 5 2

.

1. Chứng minh d và d’ chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’.

Bài 173: ĐHKTQD 97. Cho hai đường thẳng d:

x=-1+tx 1 y 2 z 4

, d': y=-t2 1 3

z=-2+3t

.

1. Chứng minh d và d’ cắt nhau. Tìm giao điểm của d và d’. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và d’.

Bài 174: ĐHSP Qui Nhơn 99. Cho hai đường thẳng

x 5 2t x=3+2t

d : y 1 t , d': y=-3-t

z 5 t z=1-t

.

1. Chứng minh d và d’ song song với nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.

Bài 175: ĐHDL 98. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường

thẳng 1 2

x 1x 1 y 2 z

d : , d : y 1 t8 1 1

z t

.

Bài 176: ĐH Huế 99. Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. Bài 177: HVNH 2000. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P).

Bài 178: ĐHKT 97. Cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng d: x y 1 z 3

3 4 1

.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d.

www.VNMATH.com

53

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Bài 179: ĐHTL 99. Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 180: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0. Bài 181: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết.

1. A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). 2. A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0).

Bài 182. ĐHCĐ 99. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5). Bài 183. ĐHDL 97. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0.

Bài 184: Cho d:

x 1 2t

y 2 t

z 3t

và mp(P): 2x-y-2z+1=0.

1. Tìm các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. 2. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của d và (P) và gốc tọa độ.

Bài 185: Cho hai điểm A(0;0;4), B(2;0;0) và mp(P): 2x+y-z+5=0. 1. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AB.

2. Viết pt ặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B, biết khoảng cách từ tâm I đến mp(P) bằng 5

6.

Bài 186: Cho hai điểm A(0;0;1), B(2;0;1). Tìm điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho cho tam giác ABC là tam giác đều. Bài 187: Cho hai điểm A(3;0;2), B(1;-1;0) và mp(P): x-2y+2z-3=0. Tìm điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC cân tại B. Bài 188: Cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) . 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mp(P). 2. Chứng minh tam giác ABC vuông. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 189: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-8y+7z-1=0. Tìm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 190: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0.

Bài 191: Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) và đường thẳng d: 1 2

3 2 3

x y z

.

1/ Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng d. 2/ Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Bài 192: Cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P): 2x-2y+z-1=0. 1. Tính khoảng cách từ A đến (P). 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa

(P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P). Bài 193: Cho M(1;2;3) và mp(P): 2x-3y+6z+35=0. Tính khoảng cách từ M đến (P). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mp(P). Bài 194: Cho hai điểm A(1;2;-1), B(0;-2;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-3=0.

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

www.VNMATH.com

54

2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

------------------Hết-----------------

Chuẩn bị tốt là thành công một nửa!!!

www.VNMATH.com

55

Documents

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN file 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông